衛星画像で見る世界大河のフラクタル性評価

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Title
衛星画像で見る世界大河のフラクタル性評価
Author(s)
後藤, 惠之輔; 川内, 透; 内田, 篤志
Citation
長崎大学工学部研究報告 Vol.28(51) p.193-198, 1998
Issue Date
1998-07
URL
http://hdl.handle.net/10069/5039
Right
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http://naosite.lb.nagasaki-u.ac.jp
長崎大学工学部研究報告
第28巻
第51
号
1
93
平成 1
0年 7月
衛星画像 で見 る世界大河のフ ラクタル性評価
後
内
藤
田
恵之輔 *･川
篤 志 ***
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ks.
1.は じめに
本研究では,衛星画像 か ら世界の河川のフラクタル
最近,フラクタル という言葉 をよ く見かけ るように
次元 を求め る とともに,国内の河川のフラクタル次元
r
a
c
t
us
な った｡ フ ラクタル とは,語源が ラテン語の f
を衛星 リモー トセンシングデー タか ら求め,それぞれ
で ,｢破 片 , こわ れ た｣ とい う意 味 で あ る｡ Man-
の河川の特徴 を捉 える ものであ る｡
de
l
br
o
t の命名 に よる自己相似性 を持つ図形 の ことを
言 う｡新 しく定義 したフラクタル次元 によ り,複雑 な
)
,
2
)
.
図形 を簡単 に表 す ことがで きるようにな った 1
2.フラクタル理論
フラクタル とは,Ma
nde
l
br
o
t が提唱 した理論 であ
そのフラクタル次元 を求め るには,デ ィバ イダーで
り, 自己相似性 を持つ図形 を意味す る｡彼 は今まで取
測 る方法やボ ックスカウソテ ィソグ法な どがあ る｡本
り扱 えなか った複雑 な図形 の中に,フ ラクタル とい う
研究では,衛星画像及 び衛星 リモー トセンシングデー
一つの数学的捉 え方 を発見 した｡ 自己相似性 を持つ と
タを使用す るため,ボ ックスカウンテ ィング法 を用 い
い うことは,図形の一部分 を拡大すれば同 じような図
た｡衛星 リモー トセンシン グデー タは正方形 メ ッシ ュ
形 が見 え,巨視的に見て も微視的 に見て も形 が大 して
デー タであ る性質上 ,いちいち対象物 (
又は対象地)
変わ らない とい うこ とであ る｡不規則 な海岸線や山の
を正方形 で細分する必要 がな く,かつ極めて容易 にそ
起伏,雲 の形 な どは,フラクタル性 を持つ と言われて
の個数 をコンピ ュー タで計算で きる利点 があ る｡
い る｡ また , これ 以 外 に もフ ラ ク タル性 を持 つ 形
1
998
年 4月24日受理
*社会開発工学科 (
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**大学院修士課程社会開発工学専攻 (
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1
9
4
後藤恵之輔 ･川内
透 ･内田 篤志
や現象が次 々 と発見 されている1
)
･
3
)
.
あ る k次元 の図形 を a倍 に相似拡大 すれば ,
k 倍 にな る｡ しか し,フ ラクタル図形 にお
量は a
いては kが整数 とは限 らない. この ときの kを
フラクタル次元 と定義する｡全体の構造 を分割 し,
分割 されたそれぞれの差 し渡 しが全体 の a分 の
1になるように した とき,各 々の部分が全体 と統
計的 に相似であ り, これ らの個数が平均 b個であ
る とき, ak-bであ るため,全体の構造のフラク
タル次元は k-l
ogabであ る｡
一般 に,曲線の次元は l次元 と 2次元の間にあ
る と考 え られ る4)
o フラクタル次元を求め る とい
うことを要約すれば,次の ようである｡
(
D与 え られた構造の部分 を拡大 した ものが,全体
と同 じように見えるか どうかを確かめ,その構
造 がフラクタルか どうかを確認する｡
図 - 1 アマゾン川
(
マナウス付近,原図は文献 7)による)
(
令差 し渡 しが何分の 1の ものが平均何個集 まって
全体 を構成 しているかを調べ,フラクタル次元
を対数 を使 って求める｡
以上の二つを調べれば,ある構造の複雑 さを特
徴づけた ことになる5)
0
3.世界大河のフラクタル性
3.1測定方法 6)
本研究では,フラクタル次元の測定方法 として
ボ ックスカウンテ ィング法を使用する｡ボ ックス
カウソテ ィング法 とは以下の とお りであ る｡
図 一 2 イルチシ川
(
西 シベ リア,原図は文献 9)による)
図形 Ⅹが一辺 dの正方形 N(
d)個 で覆 われた とす
る｡ ここであ る定数 kにおいて,様 々な大 きさの一
d) を測定 した ところ,
辺 dに対 し正方形 の個数 N(
N(
d) と dk の間に比例関係
N(
d)-〝dk(
βは正の定数)
3.2 測定結果
アマゾン川 とイルチシ川の測定結果 について,その
自然対数 をプロ ッ トした ものが図 -3である｡見た 目
がある とき, 自然対数 を とれば,
に単純そ うな河岸線であるアマゾン川 (
右岸)のフラ
l
ogN(
d)ニーkl
ogd+l
ogf
l
クタル次元は,図 - 3 (
a) よ り0
.
9
9であ り, 1に近
とな り,l
ogN(
d)と l
ogdの関係は直線の式 を意味 し
い値 が得 られた｡逆 に,見た 目に複雑そ うな西シベ リ
てい る｡ したが って,一辺 の長 さ d とその正方形 の
アのイルチシ川 (
右岸)のフラクタル次元は,図 -3
個数 N(
d) を測定 した とき,l
ogN(
d) と l
ogdの間
(
b) よ り1.1
8であ った｡理論上,直線のフ ラクタル
に債 き -kの直線関係があれば,kをフラクタル次元
次元は 1であ り,また平面全体のフラクタル次元は 2
とする｡
であるため,曲線のフラクタル次元は 1か ら 2の間で
また,本研究の測定 に用 いたデー タは L
ANDS
AT
あ ると考 え られ る｡アマゾン川の右岸は 1より小 さい
画像集 7
)
･8)
･9)を使用 し,河川の線形 を抽 出 して測定
値 が得 られているが,フラクタル次元が 1に近 い値 で
を行 う｡対象 としたのはそれぞれの河川の本流のみで
あったため,測定時の誤差が影響 して本来の値 よ り小
ある｡測定 に用いた河川の例 として,アマゾン川 (
マ
さ くな り, 1をわずかに切 った と考 え られ る｡ また,
ナウス付近)の河岸線 を図 - 1に,西 シベ リアのイル
イルチシ川の ように複雑 と思われる河岸線のフラクタ
チシ川のそれを図 -2に示す｡
ル次元は,測定前に想像 していたほ どには大 き くなか
った｡
1
95
衛星画像で見る世界大河の フラクタル性評価
1
3
2
4
2
1
5
3
1
ogd
1
ogd
(
a) アマゾン川
(
b) イルチシ川
4
図 - 3 アマゾン川 とイルチシ川の l
o
gd-l
o
gN(
d)関係 (
右岸のみ)
義 - 1世界河川のフラクタル次元の例
河
川
川幅
左岸
右岸
全体
アマゾン (
ブラジル .マナウス)
L
0.
9
8
0.
9
9
1.
34
イルチシ (
ロシア .ハンチマンシークス)
S
1.
1
6
1.1
8
1.
1
5
ユーフラテス (トル コ .ケバン)
S
1.
05
1.
03
1.
05
セーヌ (
フランス .パ リ)
S
1.
0
8
1
.
06
1
.1
2
スモーキー (
カナダ .アルバ-タ州)
M
1.
05
1.
02
1.
1
0
モスクワ (
ロシア .モスクワ)
S
1.
0
8
1.
1
4
1.
1
5
タパホヌ (
ブラジル .イタイ トバ)
L
0.
9
7
0.
98
1.
1
8
ウス リー (
ロシア .ビギン)
S
0.
9
9
0.
99
1.
04
ソソカー (
ベ トナム .ビン)
S
1.
0
8
1.
06
1.
ll
スワン (
オース トラリア .パ-ス)
S
1.
06
1.
04
1.
08
マ レー (
オース トラリア .ミルヅ- ラ)
S
1.1
5
1.
1
5
1.
1
4
名
注)L:川幅大 ,M :川幅中,S:川幅小
同様 に,その他の世界大河 について,測定結果のい
くつかを表 - 1に示す｡表 - 1より,左岸 と右岸のフ
ラクタル次元には大 きな差はな く,それぞれ同 じよう
4.衛星デ ータを用いた 日本河川のフラクタル性
4.1 測定方法
衛星 リモー トセンシン グデー タ と して ,SPOT,
な値が得 られている｡すなわち,同 じ河川では左岸,
LANDSAT/
TM,LANDSAT/
MSS デー タを用いる.
右岸は同 じような複雑 さであった｡ほ とん どの川の河
これ らの衛星デー タでは,地上の大 きさがそれぞれ異
00- 1
.
20の範囲に集中 して
岸線はフラクタル次元が1.
なっている｡そ こで 2画素 ×2画素, 3画素 ×3画素
いたため,河川の河岸線はそれほ ど複雑な曲線ではな
と,正方形の一辺をデータが読める範囲まで変 えてい
いことが言える｡ したがって,河川の河岸線のフラク
d)個 で覆 わ
き,その とき図形 Xがそれぞれ画素 N(
タル次元は1.
00
程度の値か ら,大 き くて も1.
2
0
程度 に
れた とする. 3.1と同様に,ある定数 kにおいて,
なる と考 え られ る｡ また,川幅を含めた河川全体のフ
様 々な正方形 の一辺 dに対 し画素の個数 N(
a)を測
ラクタル次元は,義 - 1の ｢
全体｣ にあるように川幅
定 した とき,l
o
gN(
d)と l
o
gdの間に傾 き-kの直
が広いほ ど大 きな値が得 られている｡
線関係があれば, kをフラクタル次元 とす る｡
1
9
6
後藤恵之輔 ･川内
透 ･内田 篤志
本章では,対象 として筑後川,六角川のフラクタル
性 を調べ る｡筑後川は筑後大堰付近 よ り下流の本流の
みを,六角川は北方町 と武雄市の境界付近 より下流の
本流のみ を対象 とした｡ また,筑後川の SPOT画像
a) に,LANDSAT/
TM 画像 を画像 を画像 1 1 (
1(
ち) に,LANDSAT/MSS画像 を画像 - 1 (
C)
にそれぞれ示す｡
4.2 測定結果
図 -4は,筑後川左岸の結果 について,その 自然対
数 をプ ロ ッ トした ものであ る｡SPOT デー タか らの
a) よ り1.
03,LANDI
フ ラク タル 次元 は図 - 4 (
SAT/
TM データか らのフラクタル次元は図- 4 (
b)
よ り1
.
00,LANDSAT/MSSデー タか らのフ ラクタ
C) よ り1
.
0
0であった｡それぞれの
ル次元は図 - 4 (
衛星デー タか ら求まったフラクタル次元に大 きな差は
な く,似たような値 が得 られている｡
しか し,筑後川の場合 ,LANDSAT/
MSSデー タ
ではデー タが 5個 しか得 ることがで きなかった (
図一
(
a)S
POT画像 (
1
9
8
6.
1
0.
2
0
観測)
(
b)LANDSAT/
TM 画像 (
1
9
9
2.
9.
1
7
観測)
4(
C) 参照 )｡ そ こで ,SPOT, LANDSAT/TM ,
LANDSAT/
MSS のデー タ 3つをま とめるこ とで,
(
C)LANDSAT/
MSS画像 (
1
9
7
9,
8.
8
観測)
画像 - 1 筑後川下流域の衛星画像
1
9
7
衛星画像 で見 る世界大河の フラクタル性評価
データ数の少な さを補 うこ ととした｡ 3つのデー タを
一つに した ものが図 - 5であ る. 図 - 5よりフラクタ
ル次元は1.
01
であ った｡ プロ ッ トした点 もはば直線上
にあ り (
相関係数 rニー0.
998),フラクタル性 を有 し
ている と言 える｡それぞれの衛星 デー タか ら求めたフ
ラクタル次元 と大 きな差 はな く,河岸線のフラクタル
次元を求め る場合, 3つのデー タをま とめることも可
能 であ ることが言 える｡
筑後川,六角川の測定結果 を表 - 2に示す｡表 - 2
よ り両河川 ともに左岸,右岸 に大 きな差 はな く,両河
3 3.
5 4 4.
5 5 5.
5 6
l
ogd
岸 は同 じ程 度 の複 雑 さを持 ってい る とい うこ とにな
る｡ また, 3つの衛星デー タをま とめて も,同 じ様な
フラクタル次元 が得 られ ることが分 かる｡
(
a)SPOT
4
3 3.
5 4 4.
5 5 5.
5 6
l
ogd
4.
5
5
5.
5
I
ogd
(
C)LANDS
AT/
MSS
(
b)LANDSAT/
TM
図 -4 筑後川左岸の
l
o
gd-l
o
gN(
d
)関係
●
A
SP
OT
L
ANDSAT/
TM
□
L
ANDSAT
/
MSS
3 3.
5 4 4.
5 5 5.
5 6
l
ogd
図 一5 筑後川左岸の
l
o
gd-l
o
gN(
d)関係 (デー タ併用)
6
1
9
8
後藤恵之輔 ･川内
表 -2 筑後川,六角川のフラクタル次元
祝 後 川
六 角 川
透 ･内田 薄志
いため,河川 を横断的,縦断的に見て,そのフラク
タル次元を求めてい くことが今後の課題である｡
左岸 右岸 全体 左岸 右岸 全体
SPOT
参 考
1
.
0
31
.
0
31
.
7
91
.
01 1
.
01 1
.
6
0
LANDSAT/
TM 1
.
0
01
.
0
01
.
6
21
.
0
01
.
0
01
.
5
8
LANDS
AT/
MSS 1
.
0
01
.
01 1
.
3
81
.
0
41
.
01 1
.
3
6
文
献
1)佐藤文隆 ･蔵本 由紀 :イ ミダス9
6,集英社 ,p.
9
62,
1
9
9
6.
2)高安秀樹 ･高安美佐子 :フラクタルって何だろう,
8
8,
1
9
8
8.
ダイヤモン ド社 ,p.
5.まとめ
本研究の結果,得 られた成果をま とめれば,次の と
お りである｡
(
1
)世界大河における河岸線のフラクタル次元は,河
.
0
0
川の線形 を特徴づけることがで き,その値は1
程度にある｡
1.
2
0
(
2)川幅を含めた河川全体のフラクタル次元は,川幅
が広 いほ ど大 きな値 を持つ｡
(
3)衛星 リモー トセンシングデータを用いることで,
河川のフラクタル次元が容易に求め られる｡
(
4)異なる衛星 リモー トセンシングデータを組み合わ
せて,フラクタル次元を測定することがで きる｡
著者 らの研究では,本論及び文献 6) に見 られる
ように,これまで河川を平面的 に しか見て きていな
3)石村貞夫 ･石村園子 :フラクタル数学,東京図書,
p.
2
3
8,
1
9
9
0.
4)岡部恒治 :イミダス9
6,集英社 ,p.
9
8
4,
1
9
9
6,
6
9-7
5.
5)前出 2),pp.
6)後藤恵之輔 ･川内 透 ･内田篤志 ･前間英一郎 :
衛星 リモー トセンシングデータを用いた河川線形 と
海岸線形のフラクタル性評価,土木構造 ･材料論文
集 ,γo
l
.
1
3
,pp.
1
41
-1
4
8,
1
9
9
7.
1
2.
7)チ ャールズ ･シェフイール ド:宇宙か ら見た地球
1
0
-1
5
9,
1
9
8
3.
文明 MANONEARTH,旺文社 ,pp.
8)辻井連一 ･飯坂譲二 :宇宙か ら見た世界の森林,
p.
1
4
-1
4
9,
1
9
8
6.
共立 出版 ,p
9)前島郁雄 ･飯坂譲二 :宇宙か ら見た世界の地理,
p.
6
-1
2
5,
1
9
9
2.
共立 出版 ,p