平成20年度高等学校数学コンクール問題 1 3角形の3辺の長さが

平成２０年度高等学校数学コンクール問題
1 ３角形の３辺の長さが，それぞれ正の整数 l, m, n, (l ≦ m ≦ n) であるとする。n を指
定したとき，条件にあう３角形の個数を f (n) とするとき，次の各問いに答えよ。
(1) f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) の値を求めよ。
(2) f (n) を求めよ。
2 右の図において，この街には東西，
南北に，それぞれ１１本の道がある。
また図のように２地点Ｐ，Ｑがある。
次の各問いに答えよ。
問１ Ｐ地点からＱ地点まで最短距離
で行く道順は何通りあるか。
問２ Ｐ地点からＱ地点まで移動する道順を考える。
このために１つの交叉点から最寄りの交叉点に移動するとき，
「1 回の回り道をした」
ということを，次のように定義する。
たとえば，右の図の地点Ａや地点Ｂにおいて，
「Ａからｂまたはｃへ進む」，
「Ｂからｃまたはｄへ進む」
のように，移動前よりもＱ地点と結ぶ直線距離が長くなる移動をしたとき，
「1 回の回り道をした」ということにする。
(1) Ｐ地点から，ちょうど 1 回の回り道をして，Ｑ地点に到達する道順を考える。
Ｑ地点を通り過ぎてから回り道をしてＱ地点に到達する道順も含め，Ｐ地点
からちょうど 1 回の回り道をして，Ｑ地点に到達する道順は，何通りあるか。
(2) Ｐ地点からちょうど３回の回り道をして，Ｑ地点に到達する道順を考える。
ただし，Ｑ地点を通り過ぎて回り道をしてＱ地点に到達する道順も含めるものとする。
1 このとき，可能な道順すべてを含む範囲のうち，最小のものを図で表せ。
2 このような道順は何通りあるか。
3 次の各問いに答えよ。
(1) △ＡＢＣ内に点Ｐをとり，線分ＡＰを２：１に
内分する点をＱとし，線分ＢＱを２：１に内分する点を
Ｒとする。このとき，点Ｐが線分ＣＲを２：１に内分する
点になることがあるか。なければその証明を，
あればその作図法を述べよ。
(2) 凸四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に点Ｐをとり，
∠ＰＡＢ＝∠ＰＤＣが成り立つようにできることを
証明せよ。また，実際に，そのような点Ｐを作図に
よって求めよ。
4 実数値連続関数 f (x) は定積分に関する等式
1
0
f (x)dx = 0,
1
0
xf (x)dx =
1
4
を満たしているとする。
(1) F (x) =
x
0
f (t)dt とおくとき，定積分
1
0
F (x)dx の値はいくらか。
(2) 連続関数 |f (x)| の閉区間 [0，1] における最大値は，1 より大きいことを証明せよ。