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平成20年度高等学校数学コンクール問題 1 3角形の3辺の長さが

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平成20年度高等学校数学コンクール問題 1 3角形の3辺の長さが
平成20年度高等学校数学コンクール問題
1 3角形の3辺の長さが,それぞれ正の整数 l, m, n, (l ≦ m ≦ n) であるとする。n を指
定したとき,条件にあう3角形の個数を f (n) とするとき,次の各問いに答えよ。
(1) f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) の値を求めよ。
(2) f (n) を求めよ。
2 右の図において,この街には東西,
南北に,それぞれ11本の道がある。
また図のように2地点P,Qがある。
次の各問いに答えよ。
問1 P地点からQ地点まで最短距離
で行く道順は何通りあるか。
問2 P地点からQ地点まで移動する道順を考える。
このために1つの交叉点から最寄りの交叉点に移動するとき,
「1 回の回り道をした」
ということを,次のように定義する。
たとえば,右の図の地点Aや地点Bにおいて,
「Aからbまたはcへ進む」,
「Bからcまたはdへ進む」
のように,移動前よりもQ地点と結ぶ直線距離が長くなる移動をしたとき,
「1 回の回り道をした」ということにする。
(1) P地点から,ちょうど 1 回の回り道をして,Q地点に到達する道順を考える。
Q地点を通り過ぎてから回り道をしてQ地点に到達する道順も含め,P地点
からちょうど 1 回の回り道をして,Q地点に到達する道順は,何通りあるか。
(2) P地点からちょうど3回の回り道をして,Q地点に到達する道順を考える。
ただし,Q地点を通り過ぎて回り道をしてQ地点に到達する道順も含めるものとする。
1 このとき,可能な道順すべてを含む範囲のうち,最小のものを図で表せ。
2 このような道順は何通りあるか。
3 次の各問いに答えよ。
(1) △ABC内に点Pをとり,線分APを2:1に
内分する点をQとし,線分BQを2:1に内分する点を
Rとする。このとき,点Pが線分CRを2:1に内分する
点になることがあるか。なければその証明を,
あればその作図法を述べよ。
(2) 凸四辺形ABCDの辺BC上に点Pをとり,
∠PAB=∠PDCが成り立つようにできることを
証明せよ。また,実際に,そのような点Pを作図に
よって求めよ。
4 実数値連続関数 f (x) は定積分に関する等式
1
0
f (x)dx = 0,
1
0
xf (x)dx =
1
4
を満たしているとする。
(1) F (x) =
x
0
f (t)dt とおくとき,定積分
1
0
F (x)dx の値はいくらか。
(2) 連続関数 |f (x)| の閉区間 [0,1] における最大値は,1 より大きいことを証明せよ。
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