Dynkin図形をめぐって

Dynkin 図形をめぐって
Naoya Enomoto∗
2003.3.
§ はじめに
この paper は Dynkin 図形に関わる数学的な話題を選んで概説するものです．Introduction でもう少し
詳しく説明しますが，Dynkin 図形と呼ばれる図形はもともと複素半単純有限次元 Lie 環の分類に登場し
ました．いわば Lie 環に“ 内在的 ”なものとして出現したこの図形は，そののち数学の様々な分野に現れ
ます．こうした話題について説明するのがこの paper の目的というわけです1 ．
§目次
0
Introduction
3
第 I 部 有限次元複素 (半) 単純 Lie 環の古典的理論と Dynkin 図形
1
2
3
4
4
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環についての準備
1.1 Lie 環の定義および (半) 単純性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
1.2
1.3
5
6
Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sl2 (C) の表現論（復習） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環のルート系
8
8
2.1
Cartan 部分環とルート空間分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
2.3
2.4
ルートの性質 ( ) ─ Killing 形式との関係─ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
内積の導入とルート系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
12
14
2.5
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
ルートの性質 ( ) ─ sl2 の表現論で解析─ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
（抽象）ルート系の構造
16
3.1
3.2
ルート系の定義と例
ルート系の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
18
3.3
ルートの基本系と単純ルート . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynkin 図形とその分類
4.1
4.2
21
ルート系から Dynkin 図形へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
既約基本系の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗ [email protected]
1 但し，筆者の専門外のことも多いので，満足な解説とはいかないでしょうけれども・
・
・．
1
21
22
5
6
証明していないこと．誤魔化したこと．詳しく説明していない概念．
5.1
ルート系，基本系，Dynkin 図形に関すること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
5.2
5.3
Serre の構成法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weyl 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
古典型の場合の具体的な計算
6.0
階数が小さい場合に何が起きているか． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
28
6.1
6.2
6.3
An−1 型：sln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bn 型：so2n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cn 型：sp2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
31
31
6.4
6.5
Dn 型：so2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
例外型 G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
6.6
例外型 E6 , E7 , E8 , F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
第 II 部
第 III 部
7
Dynkin 図形の親戚筋─拡大 Dynkin 図形・佐竹図形─
正多面体と Dynkin 図形
32
SO(3) の有限部分群
第 IV 部
第V部
第 VI 部
32
32
特異点理論と Dynkin 図形
32
Quiver の表現論と Dynkin 図形
32
Painlevé 方程式と Dynkin 図形
32
2
§0
Introduction
3
第I部
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環の古典的理論と
Dynkin 図形
ここでは，Dynkin 図形のそもそもの由来である Lie 環の古典的理論の立場から Dynkin 図形の現れる
仕組みを説明する．
§1
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環についての準備
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環について，(復習もかねて？) 準備をしよう．特に Killing 形式と sl2 (C)
の表現論があとで重要になる．
Lie 環の定義および (半) 単純性
1.1
（復習なので）有限次元 Lie 環，Lie 環の表現，随伴表現，部分環，イデアル，可換性などをまとめて
定義しよう．
定義 1.1.
有限次元 (複素) 線形空間 g がLie 環であるとは，g 上のブラケット積と呼ばれる双線形写像
[ , ] : g × g → C が与えられていて，以下を満たすときを言う；
(L1)[歪対称性] [x, y] = −[y, x]，
(L2)[Jacobi 恒等式]
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0．(x, y, z ∈ g)
(1.1)
さらに，Lie 環に関係する用語をいくつか定義する．
(1) g1 , g2 を Lie 環とするとき，f ([x, y]) = [f (x), f (y)] をみたす f : g1 → g2 をLie 環の準同型写像とい
う．線形空間 V に対し End(V ) は，[A, B] := AB − BA で自然に Lie 環とみなせるので，f : g → End(V )
なる Lie 環の準同型写像を Lie 環 g の表現という．
(2) g 自身を表現空間とし，
ad : g → End(g); g 7→ adg = [g, ∗]
(1.2)
によって定義される g の表現を g の随伴表現という．
(3) Lie 環 g の部分線形空間 h であって，[h, h] ⊂ h をみたすものを部分 Lie 環という．また，g の部分線
形空間 a が [g, a] ⊂ a をみたすとき，a を g のイデアルという．
(4) 任意のベクトル空間 g は，[x, y] = 0 で Lie 環となる．これを可換 Lie 環という．
次に，Lie 環が単純である，半単純であるということを定義しよう．半単純性についてはいくつかの
方法があるので，定理の形でまとめる．
定義 1.2.
次元が 2 以上2 であって，非自明なイデアルを持たない Lie 環を単純 Lie 環という．
定理 1.3.
次の条件は互いに同値であり，これをみたす Lie 環を半単純 Lie 環であるという．
(1) 単純 Lie 環の有限個の直和である．
(2) 可換なイデアルは自明なものに限る．
(3) 可解3 なイデアルは自明なものに限る．
(4) 根基4 が 0 である．
22
次元 Lie 環は必ず 1 次元のイデアルを持つことがわかるので，実は，3 次元以上であると仮定していることと同値である．
3 g のイデアルの列
g = a0 ⊃ a1 ⊃ a2 ⊃ · · · ⊃ ar = {0}
であって，ai /ai+1 が可換 Lie 代数となるものが存在するとき，g は可解 Lie 代数であるという．
4 Lie 代数 g の可解なイデアルのうちで最大のものを τ (g) が存在する．これを g の根基という．
4
あとで例として取り上げることの多い古典型 (単純5 )Lie 環を挙げておこう．
例 1.4.
次の例はすべて gln (k) の部分 Lie 代数である．
sln (k) := {x ∈ gln (k)| tr(x) = 0}，
(1.3)
son (k) := {x ∈ gln (k)|t x + x = 0}，
(1.4)
sp2m (k) := {x ∈ gl2m (k)| xJ + Jx = 0}．(n = 2m)
t
(1.5)
ただし，
(
J=
0
Em
−Em
0
)
である．
1.2
Killing form
g の表現，特に随伴表現を利用して，Killing 形式と呼ばれる g 上の“ 不変 ”対称双線形形式を導入し，
(半) 単純性との関連を見る．
定義 1.5.
Lie 環 g 上の (複素数値) 対称双線形形式 h , i がg-不変であるとは，
h[x, y], zi = hx, [y, z]i
を満たすときを言う．また，
Radh , i := {x ∈ g|g のすべての元 y に対して hx, yi = 0}
と定義し，Radh , i = {0} のとき，h , i は非退化であるという．
Remark 1.6.
h , i が不変対称形式のとき，Radh , i は随伴表現 (ad, g) の不変部分空間であるから，
g が単純 Lie 環ならば，Radh , i = g または {0}，すなわち，h , i は恒等的に 0 であるかまたは非退化で
ある．
定義 1.7.
(g, V ) を Lie 環の有限次元表現とするとき，
BV (x, y) := tr(π(x)π(y)) (x, y ∈ g)
によって g 上の不変対称双線形形式が定まる．特に，随伴表現 ad に対して定義される
B(x, y) := tr(adx ady ) (x, y ∈ g)
(1.6)
を g のKilling 形式という．
定理 1.8. ［Cartan’s criterion］
有限次元 Lie 環 g について，次は同値．
(1) g が半単純である．
(2) Killing 形式 B が非退化である．
これはCartan の半単純性判定条件と呼ばれており，あとの議論のために必要な基礎的事実である．証
明は Lie 環の構造論なので省略する．
一方，先の Remark と Schur の補題から次のことがわかる．
定理 1.9.
g を有限次元単純 Lie 環とすると，g 上の不変対称双線形形式はスカラー倍を除いて一意的
である．すなわち，Killing 形式のスカラー倍でかける．
5n
が小さいときには，単純でも半単純でもないものが混じっているが，それを除けば単純．
5
[証明] g 上の 2 つの不変対称形式が与えられ，恒等的に 0 ではないとすると，g の単純性により，先
の Remark から両者は非退化．よって g ∼
= g∗ を与える．これを合成して g → g なる同型写像がえられる
が，Schur の補題によってそれは恒等写像のスカラー倍しかありえない．よって主張の前半が従う．後半
は前定理． ■
ここで用いた Schur の補題とは次のものである．
補題 1.10. ［Schur の補題］
(g, V ) を有限次元既約表現とするとき，Endg (V ) = C · IdV ．特に，g が単純なら，Endg (g) = C · Idg ．
[証明] T ∈ End(V ) とすると，T の固有値 λ とその固有ベクトル v(6= 0) を 1 つとる；T v = λv ．こ
こで，T 0 := T − λIdV とおくと，T 0 ∈ End(V )．Ker T 0 は V の不変部分空間であるが，既約性より V ま
たは {0}．しかし 0 6= v ∈ Ker T 0 より，Ker T 0 = V ，すなわち T 0 = 0．よって T = λIdV ．後半は，g が
単純であることにより随伴表現の既約性が従い，前半に帰着． ■
ここに古典型の場合の例の計算を追加したい！
sl2 (C) の表現論（復習）
1.3
「あたしのことを思い出してね」この優しいひとことで，
目の前に立ちふさがる壁はもろくも崩れ去り・
・
・
ここでは sl2 (C) の表現論について復習する．これは Lie 環の表現論の最も有用な結果である．
Lie 環 sl2 は，
sl2 = {X ∈ M2 (K)| tr X = 0}
で与えられる．この Lie 環の基底は，次の 3 つの行列で与えられる；
)
)
(
)
(
(
1 0
0 0
0 1
．
, h=
, f=
e=
0 −1
1 0
0 0
(1.7)
それらの間の交換関係は
[h, e] = 2e,
[h, f ] = −2f,
[e, f ] = h
(1.8)
である．
次の定理が sl2 (C) の有限次元 (既約) 表現に関する主定理である．
定理 1.11. ［sl2 (C) の表現論］
［ ］ (sl2 , V ) を有限次元表現とする．h の作用に関する固有ベクトル v が hv = cv をみたすなら，ev, f v
の固有値はそれぞれ c + 2, c − 2 で与えられる．
［
］ (sl2 , V ) を有限次元 既約 表現とする．このとき，次が成立．
(1) V には，h の作用による固有ベクトルとなっていて，かつ ev0 = 0 をみたすような元 v0 が (スカラー
倍を除いて一意的に) 存在する．これを最高ウェイトベクトルという．
(2) v0 の固有値 (最高ウェイトという) を n とすると，n ∈ Z≥0 であり，dim V = n + 1 である．
［
］ sl2 の有限次元表現は完全可約．
[証明] [ ] は次の計算；
h(ev) = ([h, e] + eh)v = 2ev + cev = (c + 2)ev, h(f v) = ([h, f ] + f h)v = −2f v + cv = (c − 2)v ．
［
］を示す．
h の固有ベクトルをひとつ任意にとり，v とする．このとき，{v, ev, e2 v, · · · } は固有値が異なるので一
次独立であるが，V の有限次元性からどこかで 0 になる；ek+1 v = 0．そこで v0 := ek v とおく．これは
6
ev0 = 0 をみたす h の固有ベクトルである．その固有値を n とする．このとき，{v0 , f v0 , f 2 v0 , · · · } はやは
り固有値の相異なる固有ベクトルだから一次独立であり，有限次元性から，ある r が存在して f r+1 v0 = 0
かつ f r v0 6= 0 となる．{f i v|0 ≤ i ≤ r} は sl2 -不変部分空間をなすので V の既約性から V = ⊕ri=0 C(f i v0 )
となる．
さて，このとき vi = f i v0 とおくと
0 =
∵ f r+1 v9 = f vr = 0, ev0 = 0)
(ef r+1 − rr+1 e)v0 (°
= [e, f r+1 ]v0
∵ 一般に [e, f k ] = k(h − (k − 1))．
= (r + 1)(h − r)v0 (°
)
= (r + 1)(n − r)v0
となるが，v0 6= 0 より (r + 1)(n − r) = 0．さらに r ≥ 0 より r + 1 ≥ 1 だから n = r でなければならず，
従って dim V = r + 1 = n + 1 が従う．よって (1)(2) が共に示せた．
[ ] は重要だが証明の詳細はここでは省略する． ■
Remark 1.12.
なお，上記の証明で [e, f k ] = k(h − (k − 1)) を用いた．この証明は次のようにすれば
よい．まず hf = f (h − 2), (h + 2)f = f h であることに注意しておく．そこで次のような変形をすれば
よい；
[e, f n ] =
[e, f ]f n−1 + f [e, f ]f n−2 + · · · + f n−1 [e, f ]
= hf n−1 + f hf n−2 + · · · + f n−1 h
(∵ [e, f ] = h)
= hf n−1 + (h + 2)f n−1 + · · · + (h + 2(n − 1))f n−1
= (nh + n(n − 1))f
(∵ f を右に掃出す)
n−1
= nf n−1 (h − 2(n − 1) + (n − 1)) (∵ f を左に掃出す．
)
= nf n−1 (h − (n − 1))
sl2 の有限次元既約表現を模式的に表すと次図のようになる．
Remark 1.13.
h
e
Cv0
Cv1
···
Cv2
Cvr
f
fig. sl2 の有限次元既約表現の構造
Remark 1.14.
証明はしなかったが一般の有限次元表現を模式的に表すと次図のようになる．
7
km
e
m(奇数)
f
km
Vm
m(偶数)
k3
k2
3
2
1
0
−1
−2
−3
V3
V2
k1
k0
V [0]
V1
V0
V [1]
V [2]
V [3]
V [m]
V [m]
この図から直ちにわかるいくつかのことに注意しておこう．これはあとでルートの性質を証明するとき
に用いる．
まず
V =
⊕
Vm ,
V =
∞
⊕
V [m]
m=0
m∈Z
が成り立つ．前者は固有分解．後者は“ 標準分解 ”
（既約分解のうちで同型な表現をひとまとめにした分
解）であり，図で見れば，前者は“ 横で見たもの ”，後者は“ 縦で見たもの ”である．
（なお，V は有限次
元であるから，両者とも実際には有限和である．念のため．
）さらに，km = dim V [m] とすると，
dim V0 =
∑
km ,
dim V1 =
m:even
∑
km
m:odd
となる．実際，最高ウェイトが偶数なら 2 とびで固有値が落ちたとき必ず 0-固有値をとるが 1 は取らな
い．m が奇数の場合は逆となるからである．
§2
有限次元複素 (半) 単純 Lie 環のルート系
ここでは，有限次元複素単純 Lie 環のルート空間分解を軸に，その構造を明らかにする．
（重要なのは先
ほどから強調しているように）Killing 形式と sl2 の表現論である．
2.1
Cartan 部分環とルート空間分解
まず，(半) 単純 Lie 環の部分 Lie 環であって良い性質を持ったものを導入しよう．
定義 2.1.
g の部分 Lie 環 h がCartan 部分環であるとは，次の 2 条件を満たすことを言う；
(1) h は極大可換部分環である．
(2) g の線形変換 adH (H ∈ h) はすべて対角化可能である．
Remark 2.2.
Cartan 部分環の取り方は必ずしも一意的ではないが，2 つの Cartan 部分環 h1 , h2 に対
して，ある“ 内部6 ”自己同型 ϕ ∈ Inn(g) であって ϕ(h1 ) = h2 となるものが存在することが知られてい
る．特に，Cartan 部分環の次元は取り方によらずに一意的に定まる．これを g の階数という．
6 定義はしないが．
8
さて，ad(h) ⊂ gl(g) は対角化可能であり，しかも，互いに可換であるから，同時対角化可能である．
すなわち，g を ad(h) の元の 同時 固有空間に分解することができる．これをルート空間分解(root space
decomposition) という．
正確に述べれば次のようになる．
x ∈ g を ad(h) の同時固有ベクトルとすると，[h, x] = λh x であるから，λh = α(h) とおくことで，
α : h 3 h 7→ λh ∈ C が定まる．明らかにこれは線形写像であるから，α ∈ h∗ (h の双対空間) となってい
る．この α に対し，
gα = {x ∈ g|[h, x] = α(h)x ∀h ∈ h}
とおく．このとき，ルートおよびルート分解を次で定義する．
定義 2.3.
Φ = {α ∈ h∗ |α 6= 0, gα 6= {0}}
とする．α ∈ Φ を g のルートといい，gα を α に対応するルート空間と呼ぶ．さらに，g の ad(h) による
同時固有空間分解
(
g = g0 ⊕
⊕
)
gα
α∈Φ
をルート空間分解という．
Remark 2.4.
いま g0 を考える．すると X ∈ g に対して，[h, X] = 0 (∀h ∈ h) が成り立つから，h ⊂ g0 ．
しかも h が極大であることから，h = g0 が従う．よってルート空間分解は
(
)
⊕
g=h⊕
gα
α∈Φ
と書ける．
2.2
ルートの性質 ( ) ─ Killing 形式との関係─
ここでは Killing 形式との関係からルート分解に関してわかることを証明する．ここでの議論はやや形
式的ではあるが我慢してお付き合いいただきたい．
以下，g を複素半単純 Lie 代数とし，その Cartan 部分環をひとつ固定して h とする．このとき，g の
ルート空間分解を
(
g=h⊕
⊕
)
gα
α∈Φ
とかく．記号は前節までの通りである．
補題 2.5.
(1) [gα , gβ ] ⊂ gα+β ．
(2) dim gα = dim g−α ．
(3) Killing 形式 B に関する gα の直交空間
g⊥
α := {x ∈ g|B(x, y) = 0 ∀y ∈ gα }
を考える．このとき，
g⊥
α =
⊕
β6=−α
(4) B の h への制限 B|h×h は非退化．
9
gβ ．
[証明] (1) は形式的な計算．特に B の不変性に注意せよ；h ∈ h, x ∈ gα , y ∈ gβ に対し，
[h, [x, y]] =
[[h, x], y] + [x, [h, y]] (∵ Jacobi 恒等式)
= [α(x)x, y] + [x, β(h)y] (∵ x ∈ gα , y ∈ gβ )
= (α(h) + β(h))[x, y]
= (α + β)(h)[x, y]
となって成立．
(2),(3) は同時に示される．まず (1) から，x ∈ gα , y ∈ gβ に対して，
ad(x) ad(y)gγ = [x, [y, gγ ]] ⊂ gα+β+γ
であることに注意する．g の基底をルート分解に即して取っておけば，このことは，この基底に関する
ad(x) ad(y) の行列表示を考えると，α + β 6= 0 のとき，対角成分がすべて 0 であることを意味している．
従って，β 6= −α であるとき，
B(x, y) = tr(ad(x) ad(y)) = 0
⊥
となり，gβ ⊂ g⊥
α が従う．このことから，求める等号のうち gα ⊃
⊕
β6=−α
gβ が従う．
逆向きの包含関係を示すためにルート空間の次元に着目する．
dim g = n であるとすると，B の非退化性から
dim g⊥
α = n − dim gα ．
一方，g⊥
α ⊃
⊕
β6=−α
gβ から
dim g⊥
α ≥
∑
dim gβ = n − dim g−α
β6=−α
が成り立っているので，
dim gα ≤ dim g−α
が従う．α と −α の役割を入れ替えることで逆向きの不等号も従うので結局 (2) の主張が従う．特に上の
不等号はすべて等号なので
∑
dim g⊥
α =
dim gβ ．
β6=−α
よって (3) の主張も従う．
(4) は，(3) において α = 0 とすると
h⊥ =
⊕
gα
α∈Φ
が成り立つので，h ∩ h⊥ = {0}．これは (4) の主張に他ならない． ■
Remark 2.6.
(1) では，α, β ∈ Φ であったとしても α + β ∈ Φ であるということは主張していないこ
とに注意．gα+β = 0 ということも有り得る．
次に双対空間と非退化双線形形式の関係について注意しよう．一般に，
Hom(V × V, C) ∼
= Hom(V, V ∗ )
であることから，特に
{V 上の非退化双線形形式 } ↔ {V ∼
= V ∗ なる同型写像 }
10
なる一対一対応が成り立つ．ここでの状況に即して述べると，B|h×h の非退化性から，∀φ ∈ h∗ に対して，
∃1 tφ ∈ h であって
B(tφ , h) = φ(h)
をみたす．
このとき，Killing 形式との関係から次の定理で述べるようなルートの性質が導かれる．特にルート分
解に即して自然に sl2 が現れることが重要である．
定理 2.7. ［ルートの基本性質
］
∗
(1) Φ は h を生成する．特に，dim h = j とすれば，Φ は j 個の 1 次独立な元を含む．
(2) α ∈ Φ ならば −α ∈ Φ．
(3) α ∈ Φ, x ∈ gα , y ∈ g−α ならば [x, y] = B(x, y)tα ．
(4) α ∈ Φ ならば dim([gα , gα ]) = 1 であり，tα で生成される．
(5) α ∈ Φ に対し，α(tα ) = B(tα , tα ) 6= 0．
(6) α ∈ Φ に対して，0 6= xα ∈ gα とすると，ある yα ∈ g−α が存在して，xα , yα , hα = [xα , yα ] が 3 次元
の Lie 代数 sl2 (C) に同型な Lie 代数を生成する．
2tα
(7) hα =
, tα = −t−α が成り立つ．特に，α(hα ) = 2 である．
B(tα , tα )
[証明] (1) Φ が h∗ を生成しないとする．このとき，g の中心に属するような非自明元 C が存在して
しまう．g は半単純であるので可換なイデアルは自明なものに限ることから，これは矛盾である．
実際，次のようにして C を構成しよう．Φ によって張られる部分空間の基底を β1 , · · · , βk とし，この
双対基底 h1 , · · · , hk を拡張して h の基底 h1 , · · · , hj をつくると，連立一次方程式
x1 βi (h1 ) + · · · + xj βi (hj ) = 0
(1 ≤ i ≤ k)
の係数行列の階数が k(< j) であることから，非自明な解 x1 , · · · , xj が存在する．そこで，C = x1 h1 +
· · · + xj hj とおけば，0 6= C ∈ h かつ α(C) = 0 (∀α ∈ Φ) とできる．g のルート分解に即して ∀g ∈ g を
∑
g = h + α∈Φ gα とかくと，
∑
∑
[C, g] = [C, h] +
[C, gα ] = [C, h] +
α(C)gα = 0
α
α
となって，[C, g] = 0．すなわち，H は g の中心に属する非自明な元となる．
(2) 前の補題から dim gα = dim g−α だった．α ∈ Φ ならば dim gα 6= 0．よって dim g−α 6= 0．これは
−α ∈ Φ を意味する．
(3) α ∈ Φ, x ∈ gα , y ∈ g−α とし，∀h ∈ h を取る．
B(h, [x, y])
= B([h, x], y) (∵ B の不変性．
)
= α(h)B(x, y) (∵ x ∈ gα )
= B(tα , h)B(x, y) (∵ tα の定義)
= B(B(x, y)tα , h)
である．いま [x, y] ∈ g0 = h, B(x, y)tα ∈ h より，[x, y] − B(x, y)tα ∈ h は h のすべての元と直交してい
る．B|h×h の非退化性より [x, y] = B(x, y)tα となる．
(4) (3) より，[gα , g−α ] を tα が生成するのは良い．そこで，[gα , g−α ] 6= 0 を示せばよい．実際，0 6= x ∈ gα
に対し，B(x, g−α ) = 0 とすると，B(x, g) = 0 だから B が非退化であることに矛盾するから B(x, y) 6= 0
なる y ∈ g−α がとれる．よって，[x, y] = B(x, y)tα 6= 0．
(5) α(tα ) = 0 だとすると，∀x ∈ gα , ∀y ∈ g−α に対して，
[tα , x] = α(tα )x = 0,
[tα , y] = α(tα )y = 0
である．ここで x, y を (4) でしたように B(x, y) 6= 0 となるように選び，必要ならスカラー倍で調整して
B(x, y) = 1 とできる．このとき [x, y] = tα ．このとき，S = hx, y, tα i ⊂ g は 3 次元 Lie 代数．ここで
11
[S, S] = htα i であることから，[g, DS] = 0 となり S は巾零 Lie 代数．従って ad(tα ) は巾零一次変換とな
る．tα ∈ h であるから Cartan 部分環の定義により ad(tα ) は対角化可能．よって ad(tα ) = 0，すなわち
tα = 0．これは α = 0 を意味し矛盾．
(6) 0 6= xα ∈ gα に対して，y ∈ g−α を
B(xα , yα ) =
2
B(tα , tα )
となるように取る．
（(5) から B(tα , tα ) 6= 0 であり，(4) で B(x, y) 6= 0 となるように取れるので，あとは
スカラー倍で調整すればよい．
）そこで，
hα =
2tα
B(tα , tα )
とおくと，(3) より
[xα , yα ] = B(xα , yα )tα = hα
となる．更に，
[hα , xα ] =
2
2
[tα , xα ] =
α(tα )xα = 2xα
α(tα )
α(tα )
であり，同様に [hα , yα ] = −2yα も導かれる．以上より，Sα = hxα , yα , hα i ∼
= sl2 ．
(7) hα の式はすでに導いた．また，
α(hα ) =
2
α(tα ) = 2
α(tα )
も出る．更に，任意の h ∈ h に対して，B(tα , h) = α(h) だから，
B(tα + t−α , h) = α(h) − α(h) = 0
と B の非退化性より tα = −t−α が従う． ■
2.3
ルートの性質 ( ) ─ sl2 の表現論で解析─
前節で g にはルート分解に即して sl2 が含まれていることがわかった．ここではそのことを利用して
ルートの性質をさらに調べよう．次の定理を示す．
定理 2.8. ［ルートの性質 ］
ここでは，Sα = hxα , yα , hα i ∼
= sl2 とかく．
(1) α ∈ Φ ならば dim gα = 1 であり，従って，0 6= xα なる xα の決めかたはスカラー倍を除き一意的に
定まるので，xα を固定すれば，[xα , yα ] = hα なる yα ∈ g−α は一意的に定まる．
(2) α ∈ φ のとき，cα ∈ Φ ⇔ c = ±1．
(3) α, β ∈ Φ ならば β(hα ) ∈ Z．さらに β − β(hα ) は再び Φ に属す．
(4) α, β, α + β ∈ Φ ならば [gα , gβ ] = gα+β ．
(5) α, β ∈ Φ であって，β 6= ±α とするとき，p, q ∈ Z を，β − pα, β + qα ∈ Φ なる最大の自然数とすれ
ば，−p ≤ i ≤ q なる任意の i に対して β + iα ∈ Φ であって，β(hα ) = p − q となる．
(6) g は Lie 代数として {gα }α∈Φ で生成される．
[証明] (1),(2) を同時に，(3)∼(6) を同時に示す．それぞれ sl2 の有限次元表現を構成することによっ
て示す．
(1),(2) の証明
STEP.1 sl2 の表現 M の構成．
12
⊕
M = h ⊕ c6=0 gcα とし，xα , yα , hα を固定して Sα ∼
= sl2 を考える．このとき，X, Y, H ∈ sl2 の作用を
それぞれ adxα , adyα , adhα の作用と見ることによって g 自身を sl2 -加群とみる．このとき，M ⊂ g は sl2 ∑
不変部分空間であることが次の計算から従う；m ∈ M は，m = j mj (mj ∈ gcj α cj = 0 のときは h の
元) とかけるから
∑
∑
ad(hα )(m) = [hα , m] =
[hα , mj ] =
cj α(hα )mj ∈ M ，
j
j
ad(xα )(m) = [xα , m] =
∑
∑
[xα , mj ] ∈
gα+cj α ，
j
∑
∑
ad(yα )(m) = [yα , m] =
[yα , mj ] ∈
g−α+cj α ．
j
こうして M が sl2 の有限次元表現と思える．
STEP.2 2c ∈ Z．
実際，有限次元表現において adhα の固有値は整数でなければならない．いま v ∈ gcα に対して
ad(hα )(v) = [hα , v] = cα(hα )v = 2cv
であることから 2c ∈ Z が従う．
STEP.3 (1),(2) の証明．
このとき，Vm , V [m] , km を M に対して Remark1.14 のように定める．このとき，
（h の極大性から）V0 = h
であり，gk/2 = Vk である．
（特に，V±2 = g±α ．
）
また，hhα i⊥ ∩ h ⊂ V [0] である．実際，h ∈ hhα i⊥ ∩ h とすると，tα が hα のスカラー倍であることに
注意して，α(h) = B(tα , h) = 0 となり，α(h) = 0．よって [xα , h] = α(h)xα = 0，[yα , h] = 0 となり h を
含む既約成分は 1 次元．すなわち h ∈ V [0] ．
dim h = ` とすると，hα ∈ h からグラム-シュミットの直交化法によって ` − 1 個の hhα i⊥ ∩ h の元が構
成できる．こうして
` − 1 ≤ |V [0] | = k0
が従う．
一方で hhα , xα , yα i = Sα ⊂ V [2] であることに注意すると
1 ≤ |V [2] | = k2
が成り立つ．ところが
` = dim h = dim V0 =
∑
km
m:even
であることから，結局等号が成立して
k0 = ` − 1, k2 = 1, km = 0 (m : even, m ≥ 4)
であることが従う．すると
dim gα = dim V2 = k2 + k4 + · · · = 1
dim g2α = dim V4 = k4 + k6 + · · · = 0
dim g3α = dim V6 = k6 + k8 + · · · = 0
···
となって，2α, 3α, · · · はルートではない．よって −2α, −3α, · · · もルートではない．
次に
1
2α
を考える．これがルートであるとすると，その 2 倍である α がルートであることに注意すれ
ば，上の結果に矛盾する．従って， 12 α はルートではない．このことから
∑
km
0 = dim g(1/2)α = dim V1 =
m:odd
13
となるので，
km = 0 (m : odd)
が従う．これによって (1),(2) が証明された．
(3)∼(6) の証明
前段とは別の sl2 の表現をつくる．β 6= ±α とするとき，
K=
⊕
gβ+iα
i∈Z
とおく．前段と同様にこれも sl2 -加群であるとみなせる．
このとき，gβ+iα 6= {0} であるような i に対しては dim gβ+iα = 1 であることが前段の (1) から従う．
このとき gβ+iα の 0 でない元は，β(hα ) + 2i なる固有値を持つ固有ベクトルである．i ∈ Z を走るとき，0
または 1 になる i は高々1 個だけである．
（i を増減しても固有値は 2 とびでしかかわらないことに注意．
）
従ってこれは有限次元 既約 表現となっている．このことから adhα の固有値は，m, m − 2, · · · , −m の形
に限られる．題意のように p, q をとれば，β + iα の形のものでルートとなるのは，β − pα, · · · , β + qα に
限られる．また
−(β(hα ) + 2q) = β(hα ) − 2p
であることから，β(hα ) = p − q が従う．よって (5) の主張が示された．また，−p ≤ q − p ≤ q である
ことから，β − β(hα )α = β − (p − q)α もルート．これで (3) が従う．(4) は dim gα+β = 1 であることと
adxα (gβ ) 6= {0} より従う．
(6) は，ルートが h∗ を生成することと [xα , yα ] = hα より明らか． ■
2.4
内積の導入とルート系
g を複素半単純 Lie 代数，h をその Cartan 部分代数とし，g のルート空間分解を
(
)
⊕
gα
g=h⊕
α∈Φ
とする．Φ が h∗ を張ることから，α1 , · · · , αr ∈ Φ を h∗ の基底とする．ここで，g の Killing form を B と
すれば，
(α, β) := B(tα , tβ )
によって，h∗ 上に対称双一次形式 ( , ) を導入できる．
（ここで tα は，α(h) = B(tα , h) (∀h ∈ h) として一
意的に定まる h の元である．
）
このとき，∀β ∈ Φ は，
β=
k
∑
ci αi
i=1
とかける．この係数について次の補題が成り立つ．
補題 2.9.
係数 ci ∈ Q が成り立つ．
Proof ．
(β, αj ) =
k
∑
ci (αi , αj )
i=1
14
(j = 1, 2, · · · , k)
であることから，
2(β, αj ) ∑ 2(αi , αj )
=
ci
(αj , αj )
(αj , αj )
i=1
k
(j = 1, 2, · · · , k)
· · · · · · (∗)
が成り立つ．β(hα ) ∈ Z より，
2(β, α)
2β(tα )
=
= β(hα ) ∈ Z
(α, α)
B(tα , tα )
であるから，(∗) は整数係数の連立一次方程式である．B が非退化であることと α1 , · · · , αk が h∗ を張る
ので，係数行列は正則となり，連立一次方程式 (∗) は解けて ci ∈ Q が従う． ■
さて，ここで ad h は h 上では 0-固有値，gα 上では α(h) を固有値としてもつから，ルート分解に即し
て基底を並べて表現行列を考えることで，
∑
B(h, h0 ) = tr(ad h · ad h0 ) =
α(h)α(h0 )
α∈Φ
∗
となる．よって，γ, δ ∈ h に対して，
(γ, δ) =
∑
α(tγ )α(tδ ) =
∑
(α, γ)(α, δ)
α∈Φ
α∈φ
となり，特に β ∈ Φ に対して，
(β, β) =
∑
(α, β)2 ≥ 0
α∈Φ
となる．
ここで E = hα1 , · · · , αk iR なる実́ 線型空間を考える．
このとき (γ, γ) ≥ 0 (∀γ ∈ E) であり，(γ, γ) = 0 とすると，∀α ∈ Φ に対して (α, γ) = 0 だから，B の
非退化性によって γ = 0 となる．
以上のことから，k 次元実́ 線型空間 E に対して正値対称双一次形式，すなわち内積( , ) が導入できた
ことになる．しかも，α1 , · · · , αk はその基底であり，補題から Φ ⊂ E である．
2.5
まとめ
かなり形式的な議論と少し長い証明が続いた．ここまでの結果をまとめておこう．
g を (半) 単純 Lie 環とするとき，g には Cartan 部分環 h が存在し，かつ ad(h) によって g を同時固有
分解することができる．それをルート分解といい
g=h⊕
⊕
gα
α∈Φ
となる．ここで gα = {x ∈ g|[h, x] = α(h)x ∀h ∈ h}．
（特に g0 = h．
）また，
Φ = {α ∈ h∗ |α 6= 0, gα 6= {0}} ⊂ h∗
を g のルートと呼ぶのであった．g の有限次元性から Φ は有限集合であることも従う．
一方，g には Killing 形式とよばれる非退化対称双線形形式が存在し，これを h に制限したものもやは
り非退化であった．これを利用して，h∗ に対称双線形形式を導入することができるが，特に，h の基底
{α1 , · · · , α` } に対し，その実線形結合全体で得られる実ベクトル空間 h∗R 上の正値対称双線形形式，すな
わち内積を誘導することがわかった．しかも Φ ⊂ h∗R であって，
Cαβ =
2(β, α)
(α, α)
15
とおくと，Cαβ = β(hα ) であることから
Cαβ ∈ Z， β − Cαβ α ∈ Φ
であることもわかった．Cαβ の形に注意すると，後者は α に直交する超平面に関する鏡映変換 σα で Φ が
保たれていることを示している．以上をまとめると，内積空間 h∗R の部分集合 Φ が次の 4 つの性質を満た
していることが示されたことになる．
(R1) Φ は有限集合であって，0 ∈
/ Φ．
(R2) α ∈ Φ, c ∈ R とするとき，cα ∈ Φ ⇔ c = ±1．
(R3) α, β ∈ Φ に対し，
Cαβ = hα, βi :=
2(α, β)
∈Z
(α, α)
かつ，∀α ∈ Φ に対して，σα は Φ を保つ．
(R4) E は R 上 Φ で生成される．
一般に，ユークリッド空間 E の部分集合 Φ であって上の 4 条件をみたすものを抽象ルート系と呼ぶ．
この章では，(半) 単純 Lie 環 g とその Cartan 部分環 h を決めるごとに，抽象ルート系 Φ が定まることを
見たわけである．
次章以降では，まず抽象ルート系の構造を調べ，さらに抽象ルート系の分類（Dynkin 図形の分類）を
行い，抽象ルート系からもとの Lie 環を復元する方法について述べる．
§3
3.1
（抽象）ルート系の構造
ルート系の定義と例
以下，E はユークリッド空間，すなわち R` 上に通常の内積 ( , ) を導入してえられる計量ベクトル空
間であるとし，` を E の階数と呼ぶことにする．
E の (抽象7 ) ルート系とは，次で定義される．
定義 3.1.
E の部分集合 Φ が E の (抽象) ルート系であるとは，以下の条件を満たすことを言う；
(R1) Φ は有限集合であって，0 ∈
/ Φ．
(R2) α ∈ Φ, c ∈ R とするとき，cα ∈ Φ ⇔ c = ±1．
(R3) α, β ∈ Φ に対し，
Cαβ = hα, βi :=
2(α, β)
∈Z
(α, α)
かつ，∀α ∈ Φ に対して，σα は Φ を保つ．
(R4) E は R 上 Φ で生成される．
Remark 3.2.
ここで，計量ベクトル空間における鏡映変換について注意しておこう．E を内積 ( , )
の与えられた計量ベクトル空間であるとし，0 6= α ∈ E であるとする．このとき，α に直交する E の超
平面を Pα とかくことにする．β ∈ E の超平面 Pα に関する鏡映を σα (β) と書くことにすると，
σα (β) = β −
2(α, β)
α = β − Cαβ α
(α, α)
と具体的に表示できる．実際，E = Rα ⊕ Pα と分解できるので，この分解に即して β = cα + γ と書くこ
とにすると，σα (β) = −cα + γ = β − 2cα となる．一方，(α, β) = c(α, α) であるから c = (α, β)/(α, α)．
よって求める式がえられる．
上の公理で導入した Cαβ の幾何的な意味は上記のように鏡映を用いて明らかにすることができる． □
7 わざわざ「抽象」という言葉を書いたのは，Lie 環の理論から離れて，単に E 内の集合として定義するからである．以後，
「抽
象ルート系」とは書かずに単にルート系と書いてしまう．
16
この 4 つの公理から実はかなり多くのことがわかる．この節では，それを明らかにすることが目標であ
るが，その前に，ルート系の例をいくつか見ておこう．
階数 1 のルート系
まず，階数が 1（つまり E = R）のルート系は上図の形に限られることは明らかである．
“ 面白い ”例が
登場するのは，階数が 2（つまり，E = R2 ）の場合である．例えば，すぐに思いつくのは，A1 × A1 の
ような形であるが，これは“ 面白くない ”．
A1 × A1
階数 2 のルート系の“ 面白くない ”例
なぜなら，互いに直交するような 2 つの部分集合に分解してしまう例だからである．こうしたものを可約
であるといい，そうでないものを既約であるという．正確には次のように定義する．
定義 3.3.
E のルート系 Φ が可約であるとは，Φ の部分集合 Φ1 , Φ2 が存在して，
Φ1 ∩ Φ2 = φ, Φ1 ∪ Φ2 = Φ, Φ1 ⊥Φ2
が成り立つことを言う．可約でないルート系を既約であるという．
われわれの興味があるのは，
（後でもわかるように）既約ルート系である．階数 2 の既約なルート系と
してどのようなものがあるだろうか．これは，少し考えてみないとわからない8 が，現れる例は綺麗な図
形である．
A2
B2 (= C2 )
G2
階数 2 の既約なルート系の例
階数 2 の場合の既約なルート系は実はこの 3 つに限られる．この章の目標は，既約なルート系の分類を
Dynkin 図形の分類と絡めて行うことにある．この節では，そのための基礎的な事実を証明する．
8 かなり前に京都大学理学部の大学入学試験で，いくつかの条件を満たす図形の例として（実は一意的に決まってしまうような
条件がついていたのだが）図の G2 型ルート系を答えさせる問題が出たことがある．
17
3.2
ルート系の構造
α, β を Φ の一次独立な元であるとし，特に 直交していない（すなわち (α, β) 6= 0）であると仮定しよ
う．このとき，α, β の長さの比およびなす角が次のようにして限定されてしまう．
まず，必要ならば α, β を入れ替えて
kαk ≤ kβk · · · · · · (∗)
であると仮定してよく，また，さらに必要ならば α を −α に置き換えて
(α, β) > 0 · · · · · · (∗∗)
であると仮定してよい．
ここで，(α, β) = kαkβk cos θ であることから，
(cos θ)2 =
(α, β)2
Cαβ Cβα
=
kαk2 kβk2
4
が成り立つことに注意する．Cαβ , Cβα が整数であることと 0 ≤ cos θ ≤ 1 とから，
Cαβ Cβα = 1, 2, 3
でなければならない．仮定 (∗), (∗∗) から Cαβ ≥ Cβα であるから，それぞれの場合に α, β の長さの比とな
す角 θ が決定される．
それをまとめると次表となる．
Cαβ Cβα
(cos θ)2
θ
Cαβ
Cβα
kβk/kαk
1
1/4
π/3
1
1
2
1/2
π/4
2
1
3
3/4
π/6
3
1
1
√
2
√
3
これを図示すれば次図のようになる．
β
β
π/3
β
π/4
α
π/6
α
α
さらに次の補題によってルート系の形がさらに具体的に判明してくる．
補題 3.4.
α, β ∈ Φ を一次独立な元であるとする．このとき，次が成り立つ．
(1) (α, β) > 0 ならば α − β ∈ Φ．
(2) (α, β) < 0 ならば α + β ∈ Φ．
(3) Z 3 p, q ≥ 0 が存在して，
β + iα ∈ Φ ⇔ −q ≤ i ≤ p
が成り立つ．
[証明] (1) (α, β) > 0 であるとする．kαk ≥ kβk であるとすれば，Cβα = 1 である．このとき (R3)
に注意すれば
Φ 3 σβ (α) = α − Cβα β = α − β
18
となる．kαk > kβk のときは，同様に β − α ∈ Φ．(R2) により α − β = −(β − α) ∈ Φ．
(2) (1) で β を −β に置き換えて直ちに出る．
(3) I = {i ∈ Z|β + iα ∈ Φ} とおく．Φ が E の有限部分集合であることから I は有限集合．従ってその
最大元，最小限をそれぞれ p, −q とする．β ∈ Φ に注意すれば 0 ∈ I であるから p, q ≥ 0 が成り立つ．こ
の p, q に対して，主張の ⇒ は p, q の取り方から自明．逆を示そう．
背理法で示すために，I 0 = {i ∈ Z| − q ≤ i ≤ p, β + iα ∈
/ Φ} とおく．っこれも有限集合だから最大元，
最小元をそれぞれ r, s とおく．すると
−q < s ≤ r < p,
β + rα ∈
/ Φ, β + (r + 1)α ∈ Φ,
β + sα ∈
/ Φ, β + (s − 1)α ∈ Φ
である．β + rα = (β + (r + 1)α) − α, β + sα = (β + (s − 1)α) + α であることに注意して，(1)(2) の結
果を使うと，
(α, β + (r + 1)α) ≤ 0, (α, β + (s − 1)α) ≥ 0
でなければならない．辺々引き算すると
(r − s + 2)(α, α) ≥ 0
となるが，r − s + 2 > 0, (α, α) > 0 であることから，これは矛盾である． ■
この補題の {β + iα| − q ≤ i ≤ p} のことをβ の α-列という．さらに次の補題が成り立つ．
補題 3.5.
(1) Cαβ = q − p．
(2) β の α-列の長さは高々4 以下．
[証明] (1) α に関する鏡映 σα は Φ を保つので，β を含む α-列を全体としてそれ自身に移すから，
σα (β + pα) = β − qα が成り立つ．σα (α) = −α に注意すれば，−Cαβ − p = −q でなければならない．
従って，Cαβ = q − p．
(2) β 0 = β + pα とおけば，Cαβ 0 = Cαβ + 2p = p + q であるから，Cαβ 0 ≤ 3 であることに注意すると，
α-列の長さ p + q + 1 について
p + q + 1 = Cαβ 0 + 1 ≤ 4
が従う． ■
上の補題は，先ほどの分類と前の補題に注意すれば，kαk ≤ kβk のとき，可能な α-列は具体的に次図
に限られることからも明らかに従う．
β0 − α
β 0 − 2α
β0
β0 − α
β0
β
α
β 0 − 3α
α
β 0 − 2α
β0 − α
α
19
β0
3.3
ルートの基本系と単純ルート
(E, Φ) をユークリッド空間とそのルート系とする．このとき，ルート系の基底が定まる．それが基本系
である．
定義 3.6.
v ∈ V がすべての α ∈ Φ に対して (v, α) 6= 0 をみたすとき，v は正則元であるという．
Remark 3.7.
正則元の全体を具体的に書けば
(
E\
)
∪
Pα
α∈Φ
である．Φ は有限集合であるから，上の集合は空ではなく，正則元は必ず存在する．
ここで (E, Φ) と正則元 v をひとつ固定しよう．
定義 3.8.
(1) Φ+ = Φ+ (v) := {α ∈ Φ|(v, α) > 0} と定義し，Φ の半系という．Φ− = −Φ+ とおくと，Φ = Φ+ ∪ Φ−
が成り立ち，Φ+ , Φ− の元をそれぞれ正のルート，負のルートという．
(2) α ∈ Φ+ が α = β1 + β2 (βi ∈ Φ+ ) とかけないとき，α を基本ルートという．
（あるいは単純ルートと
+
いうこともある．
）Φ の基本ルート全体を Π = Π(Π) とかく．
(3) Φ の部分集合 Π がある半系 Φ+ に対して Π = Π(Φ+ ) となるとき，Π をルート系 Φ の基本系 という．
この定義だけからでは，ルートの基本系がどのようなものか良く分からない．しかし，ルートの基本系
は次のように特徴付けられる．
定理 3.9.
S ⊂ Φ が Φ の基本系となるための必要十分条件は，次の 2 条件を満たすことである．
(i) S は E の基底．
(ii) ∀β ∈ Φ は
β=
∑
mα α
α∈S
とかけて，mα ∈ Z，かつすべての mα ≥ 0 であるか，すべての mα ≤ 0 であるかのいずれかが成り立つ．
定理を証明するために，簡単な補題を準備しよう．
補題 3.10.
(1) Π を Φ の基本系とするとき，α 6= β ∈ Π に対して，(α, β) ≤ 0．
(2) S ⊂ Φ+ とし，すべての α 6= β ∈ S に対して (α, β) ≤ 0 が成り立つと仮定する．このとき，S の元は
すべて一次独立である．
[証明] (1) (α, β) > 0 とする．このとき，ルート系の性質から α − β, −(α − β) = β − α ∈ Φ であ
る．(α, v) = (β, v) であるとすると (α − β, v) = 0 であり，α − β ∈ Φ であるから v が正則元であるこ
とに反する．よって，(α, v) 6= (β, v) である．また，v の取り方から (α, v) > 0, (β, v) > 0 であるから，
(α − β, v) = (α, v) − (β, v), (β − α, v) = (β, v) − (α, v) であることに注意すると，(α, v), (β, v) の大小関係
に応じて α − β ∈ Φ+ あるいは β − α ∈ Φ+ が成り立つ．いずれにしても α = (α − β) + β, β = α + (β − α)
なる正のルートによる分解が成り立つ．これは α, β ∈ Π であることに反する．
∑
∑
∑
(2)
α∈S Cα α = 0 (Cα ∈ Q) であるとする．そこで λ =
Cα ≥0 Cα α, µ =
Cα ≤0 Cα α とおくと，
∑
λ + µ = α∈S Cα α = 0 となる．
一方で
∑
0 ≤ (λ, λ) = (λ, −µ) =
Cα (−Cα0 )(α, α0 ) ≤ 0
Cα ≥0,Cα0 ≤0
20
である．
（最後の等号は，Cα 6= Cα0 より α 6= α0 であることに注意すれば，(α, α0 ) ≤ 0 であることを用い
た．
）従って，(λ, λ) = 0．すなわち λ = µ = 0 となる．
そこで Φ+ = Φ+ (v) とすると
∑
∑
Cα (v, α) = (v, λ) = 0 = (v, µ) =
Cα ≥0
Cα (v, α)
Cα ≤0
となる．ところが α ∈ S ⊂ Φ+ であるから (v, α) > 0．よって ∀α ∈ S に対して Cα = 0 が従う． ■
[定理 3.9 の証明] まず Π を正則元 v に関する基本系 Π(Φ+ (v)) とする．前の補題から Π は一次独立で
ある．β ∈ Φ+ に対して，β 6= Π であるとすると，β = β1 + β2 (βi ∈ Φ+ (v)) と分解できる．このとき
(v, β) = (v, β1 ) + (v, β2 ) > (v, βi ) (i = 1, 2)
である．
（最後の不等号は (v, βi ) > 0 であることに注意．
）従って，帰納的に
β=
∑
mα α (0 ≤ mα ∈ Z)
α∈Π
とかける．β ∈ Φ− であるときは −β ∈ Φ+ に上記の操作をすればよい．
また，ルート系の公理 (R1) から Φ は E を張る．いま Φ の元が Π の元の整数係数一次結合でかけるこ
とがいえたので Π は E を張ることが従う．以上で (i) と (ii) が成り立つことが言えた．
逆に，S ⊂ Φ が (i),(ii) をみたすと仮定する．このとき，E における S の dual な基底 S 0 をとり，
∑
v = u∈S 0 u とおくと，∀α ∈ S に対して (v, α) > 0 となる．さらに (ii) の条件を用いると，すべての
β ∈ Φ に対して
(v, β) =
∑
mα (v, α) 6= 0
α∈S
であるから v は正則元となっている．
さらに (ii) の条件を用いると，Φ+ (v) = {β ∈ Φ|β =
∑
Mα α mα ≥ 0} であり，しかも S はそれ自身
Φ (v) に属している．このことから S の元はすべて基本ルートであることが従う．実際，α = β1 +β2 (βi ∈
α∈S
+
Φ+ ) とかけたとする．β1 , β2 をそれぞれ S の元の一次結合として表したとき，α = β1 + β2 なので α 以外
の係数は 0．α の係数は正整数でその和が 1 だからどちらかが 1 で他方は 0．すなわち βi のどちらか一方
は α で他方は 0 であるから矛盾である．
以上により S ⊂ Π(Φ+ (v)) が従うが，両辺の次元はともに dim E に等しいので，S = Π(Φ+ (v)) とな
る． ■
§4
4.1
Dynkin 図形とその分類
ルート系から Dynkin 図形へ
Φ をルート系とし，Π = {α1 , · · · , α` } をその基本系とする．このとき，ルート系の公理 (R3) から
Cij =
2(αi , αj )
∈Z
(αi , αi )
である．これを (i, j)-成分とする ` 次正方行列を C と書く．これをCartan 行列という．
ルート系の構造を分析した箇所でみたことから，Cartan 行列が次の性質を満たすことがわかる．
(C1) Cii = 2．
(C2) i 6= j のとき，Cij = 0, −1, −2, −3 のいずれか．
(C3) Cij = 0 ⇔ Cji = 0．
(さらに Cij = −2 なら Cji = −1．また Cij = −3 なら Cji = −1 も成り立つ．)
21
このとき，Cartan 行列から次の規則に従ってえられる図形をDynkin 図形という．
(D1) ` 個の頂点を用意して α1 , · · · , α` と名付ける．
(D2) i =
6 j について αi と αj を max(|Cij |, |Cji |) 重の線で結ぶ．
(D3) i 6= j かつ |Cij | ≥ 2 (すなわち Cij ≤ −2) のとき，αi と αj を結んだ線分に αj から αi の方向へ矢
印をつける．
こうしてできる Dynkin 図形を分類することによって，単純 Lie 環の分類ができる．
4.2
既約基本系の分類
既約な基本系 ∆ = {α1 , · · · , α` } ⊂ E を分類したい．問題を簡略化するために，
[∆] := {ε1 , · · · , ε` } (εi = αi /kαi k)
を考える．
定義 4.1.
(A1)
(A2)
次の条件をみたす E の有限部分集合 Γ を ε-系と呼ぶ；
{ε1 , · · · , ε` } は一次独立な単位ベクトル．
√
√
hεi , εj i = 0, −1/2, −1/ 2, − 3/2，
すなわち，
εi , εj (i 6= j) のなす角はπ(1 − 1/mij ) (mij = 2, 3, 4, 6) のいずれかである．
ε-系 Γ には，矢印のない Dynkin 図形（ε-図形と呼ぶ）を対応させることが可能である．特に，Γ = [∆]
に対しては，∆ の Dynkin 図形から矢印を取り去ったものになる．
以下，既約な ε-系を分類することを考える．主定理は以下で与えられる．
定理 4.2.
既約な ε-系は次にあげるもので尽くされる；
◦
◦······◦
◦
◦
[A` ] ◦
[B` ] = [C` ]
[D` ]
[E6 ]
◦
◦
◦
◦
◦
◦······◦
◦······◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
[E7 ]
◦
◦
◦
◦
[E8 ]
◦
◦
◦
◦
◦
[F4 ]
◦
◦
◦
◦
◦
[G2 ]
◦
◦
◦
◦
上記の定理の証明をいくつかの補題を通じて行おう．
補題 4.3.
(1) Γ を ε-系とすると，Γ0 ⊂ Γ ならば Γ0 も ε-系になる．
22
◦
(2) Γ = {ε1 , · · · , εn } を ε-系とすると，hεi , εj i 6= 0 (i 6= j) となるような (i, j) の組は n より小さい．
(3) ε-系はサイクルを含まない．すなわち，Γ0 = hη1 , · · · , ηm } であって hηi , ηi+1 i =
6 0 (1 ≤ i ≤ m −
1), hηm , η1 i 6= 0 となるような部分系を含まない．
［証明］
：(1) は定義から明らか．
n
∑
εi とおけば，
(2) ε =
i=1
0 < kεk = n + 2
∑
hεi , εj i
i<j
が成り立つ．
（最初の不等号で等号がないのは定義 (A1) の一次独立性から．
）もし hεi , εj i 6= 0 であるとす
ると hεi , εj i ≤ −1/2 でなければならない（定義 (A2) より）．hεi , εj i 6= 0 なる (i, j) (i < j) の組の総数を
n0 とすると，上式右辺は，n − n0 でおさえられる．従って n0 < n が従う．
(3) まず (2) からサイクルは ε-系にはなりえない．
（サイクルにおいては，hεi , εj i 6= 0 なる (i, j) (i < j)
の組が丁度頂点数に等しいから (2) に矛盾する．
）(1) から ε-系の部分系はすべて ε-系であるから，ε-系は
サイクルを含まない． ■
補題 4.4.
(1) Γ を ε-系とすれば，任意の ε ∈ Γ に対し，ε から出る線分の総数は（重複度も入れて）3 を超えない．
(2) ε を ε-図形の分岐点とすれば，ε には 3 本の単純線分が集まる．
(3) 既約な ε-図形 Γ が三重線を含めば Γ = [G2 ] である．
［証明］ 与えられた ε ∈ Γ に対し，
{η ∈ Γ|hε, ηi 6= 0, ε 6= η} = {η1 , · · · , ηk }
とすると，前の補題の (3) からサイクルを持たないので，hηi , ηj i = 0 (i 6= j) でなければならない．
（そう
でなければ ε, ηi , ηj で三頂点のサイクルができる．
）
よって，{η1 , · · · , ηk } は正規直交系をなす．ここで，
ci = hηi , εi,
ε0 = ε −
k
∑
ci ηi
i=1
とおくと，hηi , ε0 i = 0 (1 ≤ i ≤ k)．また定義 (A1) の一次独立性から ε0 6= 0．よって，
1 = kεk2 = kε0 k2 +
k
∑
c2i
i=1
が成り立つ．そこで ε-図形の作り方から，ηi と ε を結ぶ線分の重複度は 4c2i であり，その総和は
4
k
∑
c2i = 4(1 − kε0 k2 ) < 4
i=1
なる評価ができる．よって (1) の主張が従う．
ここまでのことから，ε-図形において，ひとつの頂点に集まる線分の可能性は以下の 6 通りに限られる．
◦
◦
◦
◦
◦
このことから (2),(3) は明らか． ■
補題 4.5.
ε-系 Γ が [Ak ] 型の部分系
0 ε1
◦
Γ：
ε◦2
······
23
ε◦k
◦
を含むとき，
ε=
k
∑
εi ， Γ00 = Γ − Γ0
i=1
とおけば，Γ00 ∪ {ε} も ε-系である．
（すなわち，ε-図形に含まれる [Ak ] 型の部分を 1 点に縮約したものも
再び ε-図形となる．
）
［証明］ まず
∑
kεk2 = k + 2
hεi , εj i = k − (k − 1) = 1
1≤i<j≤k
であるから ε は単位ベクトル．Γ00 ∪ {ε} が一次独立なのは明らか．よって定義 (A1) は成立．次に，η ∈ Γ00
とするとき，hη, εi i =
6 0 となる i (1 ≤ i ≤ k) は高々ひとつしかない．
（もし 2 つ以上あると，その 2 点と
η で 3 頂点のサイクルができる．
）よって
{
0
hη, εi i =
hη, εi i ∃i
となって定義 (A2) も成立する． ■
以下，分類に移る．
まず，三重線を含めば [G2 ] に限られることはすでに示していたので，既約 ε-系 Γ が三重線を含まない
と仮定する．
Γ が二重線を含む場合を考えよう．
このとき二重線を取り除くことで Γ は 2 つの ε-系 Γ0 , Γ00 にわかれる．
（Γ がサイクルを含まないことに
注意せよ．
）もし Γ0 が二重線あるいは分岐点を含むとすると，すでに示した補題から Γ が以下の部分系を
含む9 ．
◦
◦
······
◦
◦
◦
◦
······
◦
◦
◦
ところが前の補題から [Ak ] 型部分を縮約した
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
も ε-図形とならなければならないが，これは頂点に集まる辺の数が多すぎるので矛盾である．
この考察から Γ0 , Γ00 はともに [Ak ] 型でなければならない．つまり Γ は
◦
······
◦
◦
······
◦
の形をしていなければならない．
補題 4.6.
二重線を含む既約 ε-系 Γ は [B` ] (` ≥ 2), [F4 ] に限る．
［証明］ Γ を
◦
······
◦
◦
9 ちょっと微妙？
？
24
······
◦
ε1
εp
ηq
η1
の形とする．
ε=
p
∑
iεi ,
η=
i=1
q
∑
iηi
i=1
とおく．このとき，
kεk =
p
∑
i2 −
i=1
p
∑
i(i + 1) =
i=1
1
p(p + 1)
2
となる．同様に，
kηk =
1
q(q + 1)．
2
また，
pq
hε, ηi = hpεp , qηq i = − √
2
が成り立つ．シュワルツの不等式から
p2 q 2
p(p + 1)q(q + 1)
= hε, ηi2 < kεk2 kηk2 =
2
4
となる．
（ここで等号が成立するとすると ε = η でなければならないので，一次独立性に矛盾する．
）従っ
て，2pq < (p + 1)(q + 1) なる評価が成り立つ．これを移項して両辺に 2 を加えることで
(p − 1)(q − 1) < 2
なる評価が成り立つ．このことから，
{
p または q = 2
p=q=2
でなければならない．前者は [B` ] 型，後者は [F4 ] 型である． ■
さて，最後に Γ が二重線および三重線を含まない場合を分類しよう．これは Γ が単純線分からなる既
約 ε-系であることを意味する．
まず分岐点を持たなければ，サイクルを含まないので [A` ] 型である．一方，Γ が 2 つ以上の分岐点を
持つとすると，サイクルを含まないことから，次のような部分系を含む；
···
しかし，真ん中の [Ak ] 型部分系を縮約すると次数 4 の頂点ができるので矛盾である．よって，分岐点が
存在するとすればただ 1 つであり，枝はすべて [Ak ] 型でなければならない．
補題 4.7.
分岐点を含み単純線分のみからなる既約 ε-系は [D` ] (` ≤ 4), [E` ] (` = 6, 7, 8) に限る．
［証明］ 上の考察から Γ は次の形であるとしてよい．
η1
ηq−1
ψ
ε1
εp−1
ξr−1
ξ1
25
ここで
ε=
p−1
∑
iεi ,
η=
i=1
q−1
∑
iηi , ξ =
r−1
∑
iξi
i=1
i=1
とおく．ε, η, ξ は直交し，従って一次独立である．正規化するために，
ε0 = ε/kεk, η 0 = η/kηk, ξ 0 = ξ/kξk,
c1 = hε, ψi, c2 = hη, ψi, c3 = hξ, ψi,
ψ 0 = ψ − c1 ε0 − c2 η 0 − c3 ξ 0
とおく．このとき ε0 , η 0 , ξ 0 , ψ 0 は直交し，kε0 k = kη 0 k = kξ 0 k = 1 であることから，
1 = kψk2 = kψ 0 k2 + c21 + c22 + c23
となる．前の補題と同様にして，
kεk2 =
p−1
∑
i2 −
i=1
p−2
∑
i(i + 1) =
i=1
1
p(p − 1)
2
1
hε, ψi = h(p − 1)εp−1 , ψi = − (p − 1)
2
となる．よって，
c21
hε, ψi2
1
=
=
2
kεk
2
(
)
1
1−
p
となる．同様にして，
c22
1
=
2
(
)
(
)
1
1
1
2
1−
，c3 =
1−
q
2
r
もわかる．従って，
1
2
{(
1−
1
p
)
(
) (
)
}
1
1
+ 1−
+ 1−
<1
q
r
となる．移項して
1 1 1
+ + >1
p q
r
なる評価が成り立つ．p ≥ q ≥ r(≥ 2) と仮定すると，左辺は 3/r でおさえられるので r < 3 となる．よっ
て r = 2 でなければならない．よって，
1 1
2
1
< + ≥
2
p q
q
となり，q < 4．従って q = 2, 3 となる．
q = 2 ならば p はどんな整数でもよく，この場合 Γ は [D` ] 型 (` = p + 2) となる．
q = 3 のとき，1/p > 1/6 であるから p < 6．つまり p = 3, 4, 5 でなければならない．従って，
(p, q, r) = (3, 3, 2), (4, 3, 2), (5, 3, 2)
が可能．それぞれ [E6 ], [E7 ], [E8 ] 型となる． ■
Dynkin 図形とみる場合には，矢印を入れる必要があるが，[B` ], [F4 ], [G2 ] 以外は単純線分のみなので，
それ自身が Dynkin 図形である．[B` ] については 2 通りの矢印の入れ方があり，B` , C` 型の Dynkin 図形
を与える．(B2 = C2 などに注意せよ．)[F4 ], [G2 ] についてはどの向きに矢印を入れても同じ Dynkin 図形
である．
26
§ 5 証明していないこと．誤魔化したこと．詳しく説明していない
概念．
ここでは，前節までの議論では正確に証明していないこと，および詳しく説明していない概念について
補足的に説明する．
5.1
ルート系，基本系，Dynkin 図形に関すること
この節の書き方はひどい！書き直したいが面倒くさい・
・
・．
Cartan 部分環とルート系
半単純 Lie 環 g の Cartan 部分環 h をひとつ固定することで，同時固有分解としてのルート分解を得た．
ここで Cartan 部分環の取り方には任意性があったわけだが，そのルート系が“ その取り方によらずに ”
定まるかどうかについては言及していなかった．
ルート系と半単純 Lie 環の復元
半単純 Lie 環 g の Cartan 部分環 h をひとつ固定することで，同時固有分解としてのルート分解を得た．
このときルート系が定まったわけだが，ルート系に対して，もとの半単純 Lie 環が一意的に復元できるか
どうかについては言及していなかった．これについては，次の定理が成り立つ．
定理 5.1.
任意のルート系 ∆ に対して，∆ をルート系にもつ k 上の半単純 Lie 代数 g(∆) が同型を除い
てただひとつ存在する．
ルート系と基本系
ルート系が与えられたとき，正則元の“ 取り方によらずに ”基本系が定まるかどうかについて言及して
いなかった．これはあとで述べる Weyl 群の作用を考えることで従う．
またルート系，基本系の既約性ともとの Lie 環あるいは Dynkin 図形との関係についても明確にしてい
なかった．
定理 5.2.
次は同値．
(1) g は単純 Lie 環．
(2) g のルート系は既約．
(3) g のルート系の基本系が既約．
(4) Dynkin 図形が連結．
基本系と Dynkin 図形
Cartan 行列から Dynkin 図形を作ったが，Dynkin 図形だけを見てもとの Cartan 行列が復元されるか
どうかについて言及しなかった．これは，Killing 形式の正定値性から，
（有限型）Cartan 行列の場合には
可能である．
Dynkin 図形を見るとわかること
Dynkin 図形を見ればルートの長さの比や角度は復元できることが前段のことから従うが，Dynkin 図
形を見るとさらに次のようなことがわかる．
定理 5.3.
Dynkin 図形の持つ対称性がもとの Lie 環の外部自己同型群に一致する．
27
Serre の構成法
5.2
ルート系と基本系からもとの Lie 環を具体的に復元する方法として Serre の構成法と呼ばれているもの
がある．
定理 5.4. 基本系を Π = {α1 , · · · , α` } とするとき，hi := α∨ ∈ h とする．このとき，[ei , fi ] = hi をみた
すように ei ∈ gαi , fi ∈ g−αi を取ると，もとの Lie 環 g は次の生成元と基本関係式で与えられる．これ
をSerre の構成法という；g は，{hi , ei , fi |1 ≤ i ≤ `} で生成され，以下の基本関係式を満たす；
[hi , hj ] = 0，
(5.1)
[hi , fj ] = −aij fj ，
[hi , ej ] = aij ej ,
[ei , fj ] = δij hi ，
(5.2)
(5.3)
(adei )−aij +1 (ej ) = 0,
(adfi )−aij +1 (fj ) = 0 (i 6= j)．
(5.4)
最後の 2 つの関係式をSerre 関係式という．
Weyl 群
5.3
定義 5.5.
(E, Φ) をルート系とするとき，W = W (Φ) := hσα |α ∈ Φi を Φ のWeyl 群という．
定理 5.6.
Weyl 群について次が成り立つ．
(1) W は正のルートの集合に可移に作用する．
(2) W (Π) = Φ．
（特に E における W の作用の基本領域を“ Weyl のお部屋 ”という．
）
(3) W = hσαi |αi ∈ Πi．
(4) W は E の内積を保つ有限群．
§6
古典型の場合の具体的な計算
単純 Lie 代数は 4 つの無限系列 A` , B` , C` , D` と 5 個 E6 , E7 , E8 , F4 , G2 と分類される．前者を古典型
単純 Lie 代数，後者を例外型単純 Lie 代数という．古典型は，
A`
B`
sl`+1 (k)
so2`+1 (k)
C`
D`
sp2` (k)
so2` (k)
によって代表される．例外型も Caylay 代数，Jordan 代数を用いて実現できる．
ここではそれらについていくつかの計算を通して見てみることにしよう．
6.0
階数が小さい場合に何が起きているか．
まず，階数が小さい場合にそれぞれどのような事が起きているのかを少し眺めておこう．
階数が 1 のとき
` = 1 とすると，A1 は sl2 であり Dynkin 図形は 1 頂点のみからなる．
D1 は so2 (C) = {X ∈ M2 (R)|t X + X = 0} である．これは C と同型な 2 次元 Lie 環であり，1 次元の
可換な部分環をイデアルとして持つ．従って半単純ではない．つまり D1 型 Dynkin 図形は“ 退化 ”して
しまって存在しない．
B1 ,C1 にはそれぞれ so3 , sp2 が対応する．
ところが上に現れる 3 つは実はすべて同型である；
sl2 ∼
= so3 ∼
= sp2 ．
28
階数が 2 のとき
D2 型に相当するのは so4 であるが，これは
so4 ∼
= sl2 × sl2
なる同型が成り立ってしまうことから，2 つの頂点に分裂してしまう．
（この同型は単純ではない半単純環
の単純分解の最も簡単な例である．
）すなわち，D2 = A1 × A1 ．
B2 , C2 にはそれぞれ so5 , sp4 が対応するが，これも同型である；
so5 , sp4 ．
Dynkin 図形で書くならば
◦ ks
◦ ∼
= ◦
+3 ◦
というわけである．
階数が 3 のとき
D3 に対応するのは so6 であるが，
so6 ∼
= sl4
なる同型が成り立つので，A3 型となる．これも Dynkin 図形でかけば，
∼
=
というわけである．
これで階数の小さなところの様子も判明した．
6.1
An−1 型：sln
A 型単純 Lie 環は，単純 Lie 環の中でも綺麗な構造をしており，ルート分解やルート系などの計算も比
較的楽である．また今まで議論してきたことのプロトタイプとしてみることも出来るので，理解を深める
のに役立つだろう10 ．
以下，An−1 型単純 Lie 環である
sln = {X ∈ Mn (C)| tr X = 0}
を考えよう．さらに（Cartan 部分環となるべきものとして）
h = {X ∈ sln |X は対角行列 }
とおく．また Eij で (i, j)-行列単位を表すとする．このとき，h = diag(h1 , · · · , hn ) とする．
（trh = 0 な
ので h1 + · · · + hn = 0 であることに念のため注意しておく．
）このとき次の計算が成り立つ；
[h, Eij ] = (hi − hj )Eij ．(i 6= j)
そこで i 6= j に対し，αij ∈ h∗ を
αij : h 3 h = diag(h1 , · · · , hn ) 7→ hi − hj ∈ C
10 少なくとも現時点での私は，B,C,D
型がわかりやすいとはとても思えないでいる．
29
によって定義する．このとき上の計算は
hEij iC ⊂ gαij
を示している．また，h は可換であるから h ⊂ g0 も明らかである．ところが，sln 自身が直和分解


⊕
sln = h ⊕ 
hEij iC 
i6=j
を持つから，上の包含関係はそのまま等号である；h = g0 , gαij = hEij iC ．従って，
Φ = {αij |i 6= j}
が An−1 型ルート系を与える．
各ルート空間
Cartan 部分環
fig. Cartan 部分環と各ルート空間が見えやすい？
次に，Killing 形式を具体的に計算してみよう．h = diag(h1 , · · · , hn ), h0 = diag(h01 , · · · , h0n ) とすると
B(h, h0 )
=
tr(adh adh0 )
∑
=
(hi − hj )(h0i − h0j ) (∵ ルート分解に即して基底を取れば上の計算より従う．
)
i6=j
=
2(n − 1)
n
∑
hi h0i − 2
i=1
=
=
2n
2n
n
∑
i=1
n
∑
hi h0i
−2
( n
∑
i=1
∑
hi h0j
i6=j
)(
hi
n
∑
)
h0i
i=1
hi h0i (∵ tr h = tr h0 = 0 に注意．
)
i=1
となる．
さて，αij (h) = hi − hj であった．したがって αij に対応する h の元 tαij は Killing 形式を用いて
hi − hj = αij (h) = B(tαij , h) = 2n
n
∑
(tαij )k hk
k=1
であるから
tαij =
1
diag(0, · · · , 1, · · · , −1, · · · , 0)
2n
の形になる．以下前の定義に従って計算すると
(αij , αij ) = B(tαij , tαij ) =
30
1
1
(2n · · · 2) =
4n2
n
となるし，
hαij =
2tαij
1
= 2n ·
diag(0, · · · , 1, · · · , −1, · · · , 0) = diag(0, · · · , 1, · · · , −1, · · · , 0)
B(tαij , tαij )
2n
である．
次に基本系を求めよう．そのために
εi = αi,i+1
とおく．このとき，
Π = {εi |1 ≤ i ≤ n − 1}
は基本系である．そのためには，基本系に関する必要十分条件をチェックすればよい．実際，Π が h∗ の
基底なのは作り方から明らかである．また，i < j とするとき
αij = εi + εi+1 + · · · + εj−1
であり，i < j ならすべての係数は負になる．こうして基本系であることの条件が満たされた．しかも
Φ+ = {αij |i < j}
が正のルートを与えている．Cartan 行列を計算してみよう．
(εi , εj ) =
B(αi,i+1 , αj,j+1 )
1
= 2n · 2 [diag(Eii − Ei+1,i+1 ) · diag(Ejj − Ej+1,j+1 )]
4n
([ ] 内の·は列ベクトルとみたときの内積を表す．
)

i=j
 2
1 
=
·
−1 i = j ± 1
2n 

0
otherwise
となる．このとき
となるので，Cartan 行列は

 2
2(εi , εj ) 
Cij =
=
−1

(εi , εi )

0

2
となり，Dynkin 図形は確かに An−1 型となる．
Bn 型：so2n+1
6.3
Cn 型：sp2n
6.4
Dn 型：so2n
6.5
例外型 G2
6.6
例外型 E6 , E7 , E8 , F4
otherwise

−1

 −1 2 −1


.

−1 . .




6.2
i=j
i=j±1
31







..
. −1 

−1 2
第 II 部
Dynkin 図形の親戚筋─拡大 Dynkin 図形・佐竹
図形─
第 III 部
正多面体と Dynkin 図形
§7
SO(3) の有限部分群
第 IV 部
特異点理論と Dynkin 図形
第V部
Quiver の表現論と Dynkin 図形
第 VI 部
Painlevé 方程式と Dynkin 図形
32