第1−2節 微分の定義と基本公式

第１−２節 微分の定義と基本公式
関数 y = f (x) のグラフ上の一点 (a, f (a)) における接線の傾きを微分係数とよび、f ′ (a)
と記す。数学的には、次のように定義される。
微分係数
関数 y = f (x) が x = a で微分可能であるとは、極限値
f (a + h) − f (a)
h→0
h
lim
が存在することであり、その極限値を x = a における微分係数とよび、f ′ (a) と記す。
定理
f (x) が x = a で微分可能ならば、f (x) は x = a で連続である。
(∵) f (x) は x = a で微分可能であるから、微分係数の定義式
f (a + h) − f (a)
h→0
h
f ′ (a) = lim
における右辺の極限が存在する。ここで、右辺の分母は極限で 0 に収束するから、
右辺全体の極限が存在するためには右辺の分子の極限も存在しなければならない。
すなわち、
lim {f (a + h) − f (a)} = 0.
h→0
よって、
lim f (a + h) = lim f (x) = f (a).
x→a
h→0
□
したがって、f (x) は x = a で連続である。
注
連続な関数は必ずしも微分可能ではない。
例（連続だが微分不可能な関数
関数 f (x) = |x| は原点 x = 0 において、連続だが微分不
可能である。
(∵) f (0) = 0 であり、 lim f (x) = lim x = 0, lim f (x) = lim (−x) = 0 より、
x→+0
x→+0
x→−0
lim f (x) = 0 = f (0). よって、f (x) は x = 0 で連続。
x→0
1
x→−0
f (h) − f (0)
h
f (h) − f (0)
−h
= lim
= 1. 一方、 lim
= lim
= −1. よっ
h→+0
h→+0 h
h→−0
h→−0 h
h
h
て、f (x) は x = 0 で微分不可能である。
□
lim
導関数
関数 y = f (x) が定義域全体で微分可能であるとき、定義域の各点 x とその微分係数
を対応させる『関数』を導関数とよぶ。すなわち、
f (x + h) − f (x)
.
h→0
h
f ′ (x) = lim
なお、y = f (x) の導関数を f ′ (x) の他に
y′,
dy
,
dx
d
f (x)
dx
などとも記す。
例
次の関数の x = 1 における微分係数と導関数を求めよ。
(1) f (x) = c（定数関数）のとき、
f (1 + h) − f (1)
c−c
f ′ (1) = lim
= lim
= 0.
h→0
h→0
h
h
f (x + h) − f (x)
c−c
f ′ (x) = lim
= lim
= 0.
h→0
h→0
h
h
(2) f (x) = x のとき、
f (1 + h) − f (1)
(1 + h) − 1
f ′ (1) = lim
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h
f (x + h) − f (x)
(x + h) − x
f ′ (x) = lim
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h
(3) f (x) = x2 のとき、
(1 + h)2 − 1
(1 + 2h + h2 ) − 1
f (1 + h) − f (1)
f ′ (1) = lim
= lim
= lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
= lim (2 + h) = 2.
h→0
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
(x2 + 2xh + h2 ) − x2
= lim
= lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
f ′ (x) = lim
= lim (2x + h) = 2x.
h→0
(4) f (x) = x3 のとき、
(1 + h)3 − 1
(1 + 3h + 3h2 + h3 ) − 1
f (1 + h) − f (1)
= lim
= lim
f ′ (1) = lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
= lim (3 + 3h + h2 ) = 3.
h→0
2
f (x + h) − f (x)
(x + h)3 − x3
= lim
h→0
h→0
h
h
f ′ (x) = lim
(x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 ) − x2
= lim (3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2 .
h→0
h→0
h
= lim
1
のとき、
x
1
−1
f (1 + h) − f (1)
−1
f ′ (1) = lim
= lim 1+h
= lim
= −1.
h→0
h→0
h→0 1 + h
h
h
1
− x1
f (x + h) − f (x)
−1
1
x+h
′
f (x) = lim
= lim
= lim
= − 2.
h→0
h→0
h→0 x(x + h)
h
h
x
√
(6) f (x) = x のとき、
√
f (1 + h) − f (1)
1+h−1
h
′
f (1) = lim
= lim
= lim √
h→0
h→0
h→0 h( 1 + h + 1)
h
h
(5) f (x) =
= lim √
h→0
1
1
= .
2
1+h+1
f (x + h) − f (x)
f (x) = lim
= lim
h→0
h→0
h
′
= lim √
h→0
√
√
x+h− x
h
= lim √
√
h→0
h
h( x + h + x)
1
1
√ = √ .
2 x
x+h+ x
以上の結果をまとめると
(x0 )′ = 0,
(x1 )′ = 1,
(x2 )′ = 2x1 ,
(x3 )′ = 3x2 ,
(x−1 )′ = −x−2 .
べき関数の導関数
(1) 自然数 n に対し、
(xn )′ = nxn−1 ,
(−∞ < x < ∞)
が成り立つ。特に、定数関数の導関数は 0 である。
(2) 整数 p に対し、
(xp )′ = pxp−1 ,
(x ̸= 0)
が成り立つ。特に、定数関数の導関数は 0 である。
(3) 実数 α に対し、
(xα )′ = αxα−1 ,
(x > 0)
が成り立つ。
3
証明
(1) のみ示す。(2) は (1) と微分の基本公式を用いて示す。(3) は対数微分法を用い
て示す。
２項定理を用いて、
(
xn + nxn−1 h +
n(n−1) n−2 2
x h
2
(x + h) − x
= lim
h→0
h→0
h
h
)
(
n(n − 1) n−2
x h + · · · + hn−1 = nxn−1 .
= lim nxn−1 +
h→0
2
n
(xn )′ = lim
n
)
+ · · · + hn − xn
□
例
x > 0 のとき、
√
1
1
(1) ( x)′ = (x1/2 )′ = x−1/2 = √ .
2
2 x
(
)′
(
)′
1
1
= x−1/3 = − x−4/3 .
(2) √
3
3
x
(3) (xe )′ = exe−1 .
)′
(
1
3
3
√
(4)
= (x−3/2 )′ = − x−5/2 = − 2 √ .
2
x x
2x x
対数関数の導関数
(1) (log x)′ =
1
x
(2) (log |x|)′ =
1
x
(x > 0).
(x ̸= 0).
証明
(2) のみ示す。
h
1
log |x + h| − log |x|
= lim log 1 + (log |x|) = lim
h→0 h
h→0
h
x
(
) (
(
)
)
1
h
h
= lim log 1 +
∵ h が十分小さいとき， 1 +
>0
h→0 h
x
x
(
)1/h
h
= lim log(1 + t)1/tx = lim log{(1 + t)1/t }1/x
= lim log 1 +
t→0
t→0
h→0
x
1
1
1
= lim log{(1 + t)1/t } = log e = .
t→0 x
x
x
′
ここで，t =
h
という変数変換を行った．
x
□
4
指数関数の導関数
(ex )′ = ex .
証明
ex+h − ex
eh − 1
= ex lim
h→0
h→0
h
h
(ex )′ = lim
· · · (∗)
ここで，t = eh − 1 とおくと，h = log(1 + t) かつ h → 0 のとき，t → 0 であるから，
t
1
1
= ex lim
= ex
= ex .
1/t
t→0 log(1 + t)
t→0 log(1 + t)
log e
(∗) = ex lim
微分の基本公式
(1) {af (x) + bg(x)}′ = af ′ (x) + bg ′ (x). （線形性）
(2) {f (x)g(x)}′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x).
{
}′
1
f ′ (x)
(3)
=−
.
f (x)
{f (x)}2
{
}′
g(x)
g ′ (x)f (x) − g(x)f ′ (x)
(4)
=
.
f (x)
{f (x)}2
証明
af (x + h) + bg(x + h) − af (x) − bg(x)
h→0
h
}
{
g(x + h) − g(x)
f (x + h) − f (x)
+b×
= af ′ (x) + bg ′ (x).
= lim a ×
h→0
h
h
(1) {af (x) + bg(x)}′ = lim
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x)
h→0
h
(2) {f (x)g(x)}′ = lim
f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x)
h
{
}
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
= lim
× g(x + h) + f (x) ×
h→0
h
h
= lim
h→0
= f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x).
5
{
(3)
1
f (x)
}′
1
1
−
1 f (x) − f (x + h)
f (x + h) f (x)
= lim
= lim ×
h→0
h→0 h
h
f (x + h)f (x)
1
f ′ (x)
f (x + h) − f (x)
×
=−
.
h→0
h
f (x + h)f (x)
{f (x)}2
= − lim
(4) (2) と (3) より、
{
}′ {
}′
{
}′
g(x)
1
1
1
′
= g(x) ·
= g (x) ·
+ g(x) ·
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
=
g ′ (x)f (x) − g(x)f ′ (x)
g ′ (x) g(x)f ′ (x)
−
=
.
f (x)
{f (x)}2
{f (x)}2
□
例
(1) (x2 + 3x − 5)′ = (x2 )′ + 3(x)′ + (−5)′ = 2x + 3.
√
√
√
√
x2
5 √
(2) (x2 x)′ = (x2 )′ x + x2 ( x)′ = 2x x + √ = x x.
2
2 x
(
)′
x+1
(x + 1)′ (2x − 1) − (x + 1)(2x − 1)′
(3)
=
2x − 1
(2x − 1)2
(
(4)
3x + 2
x2 + 1
=
−3
2x − 1 − 2(x + 1)
=
.
2
(2x − 1)
(2x − 1)2
=
(3x + 2)′ (x2 + 1) − (3x + 2)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
=
−3x2 − 4x + 3
3(x2 + 1) − 2x(3x + 2)
=
.
(x2 + 1)2
(x2 + 1)2
)′
べき関数の導関数 (2) の証明
すでに証明した公式 1 (1) を用いて示す。すなわち、自然数 n に対し、
(xn )′ = nxn−1
が成り立つことを用いて、整数 p に対し、
(xp )′ = pxp−1
が成り立つことを示す。
p = −n,（n は自然数）の場合のみ示せば良い。公式 2 (3) より、
6
(
p ′
−n ′
(x ) = (x
例
) =
1
xn
)′
=−
(xn )′
nxn−1
=
−
= −nx−n−1 = pxp−1
(xn )2
x2n
(1) (x·log x)′ = log x+1,
(4) (e2x )′ = (ex · ex )′ = 2e2x
1
(2) (log 3x)′ = (log 3+log x)′ = .
x
ex
x
′
x
(5) (e log x) = e log x +
x
{log(3x + 1)}′ は、今の方法では計算できない。
7
□
(3) (xex )′ = ex +xex