変態DBZ

学籍番号
名
1.
科目名
前
課
電気電子工学科（電子光情報）
：物理学1
題
ベクトル a, b の外積 a × b について，以下の性質を証
宿題 2
2.
ベクトル外積の微分公式
明しなさい．
( i ) 三角形の 2 辺を a, b とすると，三角形の面積はそれら
のベクトル外積の大きさの半分である．
d
da
db
(a × b) =
×b+a×
dt
dt
dt
が成立することを，デカルト座標系の成分表示を用いて証
明しなさい．
【解答例】 三角形の 2 辺 a, b が挟むを θ とおくと，面
積は底辺を a とすれば，図のように高さ h = b sin θ で
あるから
【解答例】デカルト座標による成分表示
a = (ax , ay , az ),
S=
1
1
ah = ab sin θ
2
2
となり，ベクトル a, b の外積の大きさ ab sin θ の半分で
ある．
h = bsinθ
b
θ
a
( ii ) 空間の一点を始点とする平行でないベクトル a, b が形
成する平面 S 上の任意の点は
[
]
r = λa + µb
λ, µ : 任意の実数
a × b = (ay bz − ax by , az bx − ax bz , ax by − ay bx )
を用いると，以下のように示される．
)
d
d(
(a × b) =
ay bz − ax by , az bx − ax bz , ax by − ay bx
dt
dt
(
]
d[
ay bz − az by ,
=
dt
)
] d[
]
d[
az bx − ax bz ,
ax by − ay bx
dt
dt
(
day
dbz
daz
dby
=
bz + ay
−
by − az
,
dt
dt
dt
dt
(
と表現できる．a, b の外積ベクトル n = a × b はこの
平面の法線ベクトルである，すなわち n は S 上の任意
=
の変位ベクトル r と垂直であることを示しなさい．
【解答例】外積の定義（a × b は a, b と直交する）より，
n · a = n · b = 0 に注意して，n と r の内積を計算す
ると，
(
day
daz
bz −
by ,
dt
dt
daz
dax
dax
day
bx −
bz ,
by −
bx
dt
dt
dt
dt
dbz
dby
− az
,
dt
dt
dbz
dby
dbx
dbx
− ax
, ax
− ay
az
dt
dt
dt
dt
= λ0 + µ0 = 0
交することが示された．
dbx
dax
dbz
daz
bx + az
−
bz − ax
,
dt
dt
dt
dt )
dax
dby
day
dbx
by + ax
−
bx − ay
dt
dt
dt
dt
ay
n · r = n · (λa + µb) = λ(n · a) + µ(n · b)
すなわち，n は平面 S 上の任意の変位ベクトル r と直
b = (bx , by , bz )
=
db
da
×b+a×
dt
dt
)
+
)