2. 極限と微分 -関数の極限の計算-

2010 年度 数学 I (機械工学科/建築系学科・1 年) 演習問題-4
2010/6/10
若狭 徹
2. 極限と微分 -関数の極限の計算問題 2.18 (0/0 の不定形).
次の関数の極限を求めよ.
x3 − 1
x→1 x2 − 4x + 3
√
x+3−2
lim
x→1
x−1
sin 3x
lim
x→0 sin 2x
x − sin x
lim
x→0
x3
Arcsin2x
lim
x→0
x
x3 + 8
x→−2 x5 + 32
√
√
3
1+x− 31−x
(4) lim
x→0
x
1 − cos 2x
(6) lim
x→0
x2
x
e − e−x
(8) lim
x→0 tan 2x
π − 2Arcsinx
(10) lim √
x→1
1 − x2
(1) lim
(3)
(5)
(7)
(9)
(2) lim
問題 2.19 (∞/∞ の不定形, ∞ · 0 の不定形).
x3
x→+∞ x2 + 1
(1) lim
(3) lim xe−x
2
(5) lim x log x
x→+0
x→π−0
log 2x
√
x→+∞
x
(π
)
(6) lim x
− Arctan x
x→+∞
2
x−1
(8) lim x log
x→+∞
x+1
(4) lim
x→+∞
(7) lim (π − x) tan
次の関数の極限を求めよ.
√ x
e +1−1
(2) lim √ x
x→+∞
e +1+1
x
2
問題 2.20 (∞ − ∞ の不定形). 次の関数の極限を求めよ.
√
(2) lim (log(2x − 1) − log x)
(1) lim ( x2 + x + 1 − x)
x→+∞
x→+∞
(
(3) lim (x − log x)
(4) lim
x→+∞
問題 2.21 (はさみうちの原理).
(1) lim
x→+∞
sin x
x
√
x − x sin x1
(3) lim √
x→0
x + x sin x1
x→0
1
1
−
x sin x
)
次の関数の極限を求めよ.
(2) lim
x→−∞
1 − cos x
x2
(4) lim (x3 + ax2 + bx + c) (a, b, c は定数)
x→−∞
問題 2.22(自然対数の底).
(
1 )x
(1) lim 1 +
x→∞
2x
e に関する極限の公式を利用して次の極限を求めよ.
(
1 )2x
(2) lim 1 −
x→∞
x
1
1
(4) lim (1 − 2h) h
(3) lim (1 + 2h) h
h→0
h→0
log(1 + h) − log(1 − h)
h→0
h
ah − 1
(a > 1)
h→0
h
(5) lim
(6) lim
(1
1 )
−
は ∞ − ∞ の不定形である.
x→0 x2
sin2 x
(i) 与えられた関数を通分して上の極限を 0/0 の不定形の形に直せ.
問題 2.23∗ .
lim
(ii) (i) を利用して上の極限値を求めよ.
(
)1
lim 1 + ex x は ∞0 の不定形である.
x→+∞
[(
)1 ]
(i) g(x) = log 1 + ex x とおく. このとき lim g(x) を求めよ.
問題 2.24∗ .
x→+∞
(ii) (i) を利用して元の極限値を計算せよ.
e に関する極限公式 定義を含め, e に関わる有名な公式を挙げておく.
(
)
1 n
(0) 定義: e = lim 1 +
.
n→∞
n
右辺の数列は「有界な単調増加数列」であり, この数列の極限を持って e が定められる. e
は無理数であり, 特に e ∼ 2.718 · · · であることが知られている.
1
1
1
1
1
+ + + + ··· + ··· .
1! 2! 3! 4!
n!
実際に e の近似値を計算するのに有効. ex の Taylor 展開より得られる (テキスト p.80 を
参照).
(
)
1 x
(2) 関数の極限公式: lim
1+
= e.
x→±∞
x
e の定義式とはさみうちの原理から得られる (テキスト p.41-42 を参照).
(1) e の展開公式: e = 1 +
1
(3) 導関数を導くための公式: lim (1 + h) h = e.
h→0
1
(2) を h = として書き換えたもの. これよりさらに
x
log(1 + h)
= 1,
h→0
h
lim
eh − 1
= 1.
h→0
h
lim
(4) 指数・対数関数 v.s. 多項式関数.
x
= 0,
x→+∞ ex
lim
log x
= 0,
x→+∞ x
lim
lim x log x = lim
x→+0
x→+0
log x
1
x
= 0.