公式LIM

{
曲線 C
媒介変数表示の曲線と面積
(
x ＝ 2 c o sq
y ＝ si n 2q
0≦q ≦
π
2
)
y
1
曲線 C
π
q＝ 4
π
q＝ 2
と x 軸とで囲まれた図形の面積 S
q ＝0
√2
2
x
ヒント！ これも媒介変数表示された曲線 C と x 軸とで囲まれた図形の面積 S を
求める問題なので，公式： S ＝
∫
b
α
dx
y・ dq を使って求めよう !
dθ
{
曲線 C
x ＝ 2 c o s q ……①
y ＝ si n 2 q ……②
(0
)
π
2
≦q ≦
①，②より，
( x ，y )：( 2 ，0 )
曲線 C の y 座標が y ≧ 0 であることから，
2
∫
0
C
y dx ＝
S
0
2 x
∫
0
π
2
y・
π
4
( √ 2 ，1 )
q ： 0
と x 軸とで囲まれた図形の面積 S は，
S＝
積 分 法の応用
解答＆解説
( 2 c o s 0 ，s in 0 )
( 2 c o s π4 ，s in π2 )
dx
dq
dθ
π
2
( 0 ，0 )
( 2 c o s π2 ，s inπ )
これら 3 点を滑らかに結べば，曲線
C のグラフの概形が上図のようにな
ることが分かるんだね。
x ： 0 → 2 のとき，
π
θ ： 2 → 0 より
ここで， ① ，② より，
y ＝ s in 2 q ＝ 2 si n q c os q ，
dx
dθ
＝ ( 2 c o s q )´＝ − 2 s i n q よって，
2 倍角の公式
S＝
＝
∫
0
π
2
2 si n q c o s q・(− 2 s i n q ) dq ＝ 4
4
[ si n3q ] 0 ＝ 34
3
∴S＝
−
π
2
{ ( s i n π2 )
1
3
∫
π
2
0
−(sin 0)
0
∫
a
b
f (q ) dq ＜
s i n 2q c o s q dq
3
}
4 3
( 1 − 0 ) ＝ 4 ………………………………… ( 答 )
3
3
∫
b
a
f (q ) dq
・( s i n 3q )´
＝ 3 s i n 2q・co s q
より，
( 合成関数の微分 )
・ s i n 2q c o s q dq
∫
＝
積分法
0
を求めよ。
7
8
9
微分法の応用
初めからトライ！問題 118
1
s i n 3q ＋ C となる。
3
197
初めからトライ！問題 119
区分求積法
次の 極 限 を 定 積 分 で 表 し て ， そ の 値 を 求 め よ 。
(
1
π
im
I ＝ nl →
cos n
∞ n2
＋2cos
2π
n
＋3cos
3π
n
＋ … ＋ n・c o s
1
ヒント！
im n
①を変形して，区分求積法の公式： nl →∞
使える形にもち込めばいいんだね。頑張ろう !
nπ
n
) …… ①
(k) ∫
n
Σ f n
k 1
＝
＝
1
0
f (x) dx を
解答＆解説
①を 変 形 し て ，
(
1 1
π・1
π・2
π・3
π・n
im
I ＝ nl →
・n 1・c o s n ＋ 2・c o s n ＋ 3・c o s n ＋ … ＋ n・c o s n
∞ n
{ n1 c o s (π・n1 ) n2 ・c o s (π・n2 )
l i m 1 Σ k c o s (π・k )
n
n
n
＝ nl i m
→∞
＝n
1
n
＋
( )
3
3
n ・c o s π・ n
＋ …＋
( )}
n
n
n ・c o s π・n
n
→∞
k＝1
区分求積法の公式
( )
k
f n
＝
＋
)
1
∫
0
( ) ∫
k
1 n
lim n
Σf n ＝
k＝1
n →∞
0
1
f ( x ) dx
x・c o s π x d x
f ( x)
よっ て ， こ の 定 積 分を部分積分法を用いて計算 す る と ，
I＝
∫ x ( π1 si nπ x )´d x
1
部分積分法
0
1
1
1
＝ π [ x si n π x ] 0 − π
∫
0
1
1・s i n π x d x
∫
0
1
f・g´d x ＝ [ f・g ] 0 −
1
∫
0
1
f ´・g d x
1・s i n π − 0・s i n 0 ＝ 0 − 0 ＝ 0
＝
1
1
[ c o s π x ] 0 ＝ π12 ( c o s π − c o s 0 ) ＝ π12 ( −1 −1 ) ＝− π22 ……………… ( 答 )
π2
−1
198
1