006ヒント

演習プリント 005 ヒント
文系数学
氏名
006bunH.tex
1. シンプルに見えますが、なかなかの難問です。
まずは図示することが必要です。A, B, C の位置関係が下図のようになることは、自力で考え、示さねばなりません。（点 C が、△ABC の内
部にあることはありえないことなど）
y
B(0,b)
C(1,c)
O
x
A(a,0)
数式だけで解くのは、なかなかに大変です。（理系なら、それでも「複素数平面」という道具があって、それを用いるとなんとかなるのです
が...）ここは、図形的なアプローチが必要です。
「円に内接する四角形」がキーワードです。O, A, C, B の外接円を考えることになります。
c の値が出たあとは、AB の長さを a だけで表すことを考えます。また、a に変域があることにも注意が必要です。（最後に AB の最小値を
出すときには、相加相乗平均を用います）
1
3
なお、答えを一部書くと、c = √ です。
2. 見かけよりずっと簡単です。
(
25
（1）ゲームのルールをしっかり把握することです。例えば、A が 3 回目に勝つ確率は、
36
)2
·
1
であることが分かれば、k 回目に勝つ確率
6
を求めることも、容易いはずです。
（2）A が勝つ確率とは、
「A が 1 回目で勝つ確率」＋「A が 2 回目で勝つ確率」＋「A が 3 回目で勝つ確率」＋ · · · · · · ＋「A が n 回目で勝つ確率」
ですから、(1) を利用して解くことができますね。
（3）(2) から立式は簡単に出来ます。あとは、どのタイミングで両辺の対数を取るか、です。
1
演習プリント 005 ヒント
文系数学
氏名
3. （以下より、ずっとシンプルに解く方法もあるのですが、ここでは工夫なしで解く方法を示します）
（1）まず、分母にあたる数（すべての事象の数）ですが、N 枚から k 枚を取り出す順列（順序を区別する数え方）ですから、N Pk です。
分子は、条件を満たす事象の数です。例えば、引かれるカードが「1, 4, 8, 9」だとすると、この並び替えは 4! = 24 通りありますが、この
うち条件を満たすのは 1 通りだけですね。つまり、「引かれるカードのパターン 1 通りにつき、条件を満たすものは 1 通り」ということに
なります。よって、「引かれるカードの数の組み合わせの数＝条件を満たす事象の数」になります。
（2）これも、ルールをしっかりと把握することです。
• 最初の i 枚は、ずっと増え続ける。
• i − 1 枚目は、i 枚目よりも小さい数になる。
• 残りは、なんでも OK
です。このようなカードの並び方の場合の数を数えることになります。
4.（1）準備体操です。場合分けも 2 通りだけですし、簡単ですね。
（2）f (x) は絶対値記号を外すと、x ≦ a のときと x ≧ a のとき、2 通りになります。
(


 x+
f (x) = (


 x−
)2
1
− a2 + 2a −
2
)2
1
− a2 + 4a −
2
1
(x < a)
4
1
(x < a)
4
問題はこれをどう図示するかですが、a という文字が含まれているので、「これだ」と
いう確定したグラフを描くことはできません。a の値によって、グラフが移動してしまうので、当然ですね。
そこで、上記の 2 つの関数の交点の x 座標を求めます。これは、実は計算しなくても分かるのですが、まぁ分からない方は計算してみ
ましょう。
すると、
「交点の x 座標の位置」によって、y = f (x) のグラフのパターンはいくつかあることが分かります。具体的に書けば、a の値に
よる場合分け、です。
（3）(2) ができれば、あとは作業です。
2