数学コンテスト

平成１７年度
群馬県高校生
数学コンテスト
注
１
意
事
項
問題は，１ページと２ページです。解答用紙は４枚あります。なお，問題４用の
解答用紙は，裏面に印刷してあります。
２
解答は，すべて解答用紙に記入してください。また，解答用紙の「問題番号」欄
に選択した問題番号を記入し，さらにコンテスト番号と氏名も記入してください。
３
必要があれば，電卓を用いてもかまいません。
４
作図をする場合は，定規，コンパスを用いてください。
５
制限時間は３時間です（13：00∼16：00）。６問中４問を選択して、別々の解答
用紙に解答してください。
６
トイレ等に行くときは監督の指示に従ってください。
１
あ る 条 件 を 満 た す よ う な ， す べ て 異 な る 数 字 か ら な る 10桁 の 自 然 数 を 作 る こ と を 考 え
た 。 次 の (1),(2)の 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 10桁 の 自 然 数 を abcdefghij と 表 す こ と に す る 。 次 の ① か ら ⑨ ま で の す べ て の 条 件
を 満 た す よ う な 10桁 の 自 然 数 は あ る か 。 あ れ ば す べ て 求 め ， 無 け れ ば そ の 理 由 を 述 べ
よ 。 た だ し ， a , b ,… , j は す べ て 異 な る 数 字 で あ り ， ab , bc ,… , ij は ２ つ の 数 字 の 積 で
は な く ， 10桁 か ら 取 り 出 し た ２ 桁 の 数 字 を 表 す も の と す る 。
<<条 件 >>
① ab は ２ の 倍 数 , ② bc は ３ の 倍 数 , ③ cd は ４ の 倍 数 ,
④ de は ５ の 倍 数 , ⑤ e f は ６ の 倍 数 , ⑥ f g は ７ の 倍 数 ,
⑦ gh は ８ の 倍 数 , ⑧ h i は ９ の 倍 数 , ⑨ i j は 10の 倍 数 ,
(2) 10桁 の 自 然 数 の う ち ，１ か ら 10ま で の す べ て の 自 然 数 で 割 り 切 れ る よ う な 自 然 数 を ，
次の倍数の判定法を利用して作ることにした。
<<９ 桁 の 自 然 数 に お け る ７ の 倍 数 の 判 定 法 >>
９ 桁 の 自 然 数 を ３ 桁 ず つ 区 切 っ て ， 左 か ら 順 に ３ 桁 の 数 字 を Ａ ,Ｂ ,Ｃ と す
る。Ａ−Ｂ＋Ｃが７の倍数であるならば，もとの９桁の自然数は７の倍数
である。
例 ： N= 123456879の と き ， 123− 456＋ 879＝ 546は ７ の 倍 数 だ か ら ， N も ７ の
倍数となる。
(ｱ) 上 記 の <<９ 桁 の 自 然 数 に お け る ７ の 倍 数 の 判 定 法 >>を 証 明 せ よ 。
(ｲ) 10桁 の 自 然 数 で ，１ か ら 10ま で の す べ て の 自 然 数 で 割 り 切 れ る 数 字 を １ つ 求 め よ 。
た だ し ， 10桁 の 自 然 数 の 各 桁 の 数 字 は す べ て 異 な る 数 字 と す る 。
２
自 然 数 Ｎ が ， Ｎ ＝ ｐi ｑj … ｔn
と素因数分解されるとき，自然数Ｎの約数の総和は
(１＋ｐ ＋ ｐ ＋ …＋ｐ )(１＋ｑ＋ｑ２ ＋…＋ｑ j )…(１＋ｔ＋ｔ２ ＋…＋ｔ n )
２
i
と求められる。
例 え ば ， Ｎ ＝ 60 ＝ ２２ ×３×５で あ る か ら ， 約 数 の 総 和 は
(１ ＋ ２ ＋ ２２ )(１ ＋ ３ )(１ ＋ ５ ) ＝ 168
と求められる。
こ の こ と を 利 用 し て ， 約 数 の 総 和 が 252 と な る よ う な 自 然 数 を す べ て 求 め よ 。 必 要
であれば下記の参考を利用してもよい。
<<参 考 ： 252以 下 の 素 数 >>
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101,103,107,109,113,127,131,
137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,
227,229,233,239,241,251,
３
ｎ国からなる共和国があり，どの２国も１本の道路のみによってつながっているとす
る 。ま た ，そ の 道 路 は す べ て 一 方 通 行 で あ る 。他 の 国 に 直 接 移 動 す る 移 動 を「 直 接 移 動 」
と 呼 び ， １ 回 だ け 他 の 国 を 経 由 す る 移 動 を 「 間 接 移 動 」 と 呼 ぶ こ と に す る 。 次 の (1),(2)
の問いに答えなさい。ただし，ｎは２以上の自然数とする。
(1) ｎ ＝ ３ の と き （ す な わ ち 、 Ａ ,Ｂ ,Ｃ の ３ つ の 共 和 国 が あ る と き ）， 通 行 可 能 な 道 路
の向きがどのように設定されていたとしても，少なくとも１つの国は，他のすべての
国に「直接移動」または「間接移動」のいずれかの方法で移動できることを示せ。
(2 ）任 意 の ｎ 国 に つ い て ，通 行 可 能 な 道 路 の 向 き が ど の よ う に 設 定 さ れ て い た と し て も ，
少なくとも１つの国は，他のすべての国に「直接移動」または「間接移動」のいずれ
かの方法で移動できることを証明せよ。
- 1 -
４
下図のように、ＡＢを直径とする半径１の円板 O が点Ａで直線と接している。この
円板 O を直線上で滑らないように回転させて，点Ｂが初めて直線に重なる点を点
Ｂ 'と し た 。 そ の 結 果 Ａ Ｂ 'の 長 さ は π と な っ た 。
この状態から，定規やコンパスのみを使い，この円板と同じ面積を持つ正方形を作図
し，その手順をできるだけ詳しく説明しなさい。ただし，図をかくのに用いた線は消さ
ないこと。
Ｂ
O
１
１
直線
Ａ
π
Ｂ'
５
次 の (1),(2),(3)の 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 2 2005 を ７ で 割 っ た と き の 余 り を 求 め よ 。
(2) 3 2006 ＋ 4 2007 を ７ で 割 っ た と き の 余 り を 求 め よ 。
(3) ｎ を 正 の 整 数 と す る と き ， 2 n ＋ 3 n+ 1 ＋ 4 n+ 2 ＋ 5 n+ 3 ＋ 6 n+ 4 が ７ で 割 り 切 れ る よ う に ， 正 の
整数ｎの値を求めよ。
６
１からｎまでの自然数がそれぞれ書かれたカードがｎ枚ある。これらのカードの順番
を任意に並べ替え，左から一列に並べてある。このとき，次のような手順１∼３に従う
ことにより，左から小さい順に並べ替える操作を行う。ただし，ｎ≧２とする。
手順１：ⅰ＝１とする。
手順２：左からⅰ枚目のカードを見て，そこに書かれた数字をｍとする。
このとき，ｍ＝ⅰならば手順３へ進み，ｍ≠ⅰならばそのカードと
左からｍ枚目のカードを交換し，手順２をもう一度行う。
手順３：ⅰ＜ｎならば，ⅰに１を加えて，それを新たにⅰとし手順２に戻る。
ⅰ＝ｎならば，操作は終了する。
例：ｎ＝５のとき，カードの操作を図示すると以下のようになる。
<<操 作 の 説 明 >>
３ ５ １ ４ ２ → ⅰ＝１であるから，左端のカードの数字を見る。
ｍ＝３であるから，３と１のカードを入れ替える。
１
５
３
４
２
→ ｍ＝ⅰ＝１となったのでⅰ＝２とし，２枚目のカードを
見 る 。ｍ ＝ ５ で あ る か ら ，５ と ２ の カ ー ド を 入 れ 替 え る 。
１
２
３
４
５
→ 並 べ 替 え が 完 成 し ， 操 作 が 終 了 す る （ ⅰ ＝ ｎ ＝ ５ ）。
次 の (1),(2),(3)の 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 例 に な ら っ て ， ６ ４
１ ５ ２ ３ の順に並んでいるカードを，左から小
さい順に並べ替える操作を図示せよ。
(2) す べ て の 操 作 を 行 う な か で ， 手 順 ２ で 行 わ れ る 「 カ ー ド の 交 換 」 の 総 回 数 を ｋ と す
る。ｋの最大値をｎの式で表し，その理由も示せ。
(3) ｋ を 最 大 に す る よ う な 「 最 初 の 並 び 方 」 は 何 通 り あ る か 。 ｎ を 用 い て 表 し ， そ の 理
由も示せ。
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