2012年度 大学 学部入試 解答

2016 年度 慶應義塾大学 経済学部 （数学） 解答
[1]
(1)
（1） 
（2） 2
（3） 0
（4） 6
(2)
（6） 1
（7） 
（8） 7
（9） 2
(3)
（10） 2
（11） 1
（12） 0
[2]
(1)
（13） 3
（14） 2
（15） 2
（20） 1
（21） 2
（22） 2
(2)
（23） 0
（24） 1
（25） 
(3)
（31） 2
（32） 0
（33） 2
(1)
(2)
（34） 5
（38） 0
（35） 2
（39） 1
(3)
(4)
（46） 6
（50） 1
（47） 8
（51） 1
(5） 6
（16） 1
（17） 1
（18） 
（19） 1
（26） 1
（27） 0
（28） 2
（29） 2
（30） 2
（36） 7
（40） 3
（37） 4
（41） 5
（42） 6
（43） 6
（44） 8
（45） 2
（48） 4
（49） 9
[3]
[4]
(1)
log 2 t  k とおく
x 2  2 (k 2  1) x  6k 2  1  0 …①
実数解が存在しないとき
D
2
2
2
＝ (k  1)  (6k  1)  0
4
k 4  4k 2  0
k 2 (k 2  4)  0
t  1 のとき k  0 不適
t  1 のとき k 2  0
k2 4  0 ∴ 2  k  2
l o g2 2 2  l o g2 t  l o g2 2 2
1
t 4 , t 1
4
(2)
実数解がただ 1 つ存在するのは
D
1
＝ 0 のときで，(1)より t  , 4 , 1
4
4
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t
1
, t  4 のとき
4
k  l o g2 t  2
このとき ①は
x 2  10 x  25  0
( x  5) 2  0
x5
1
f    5 ， f (4)  5
4
t  1 のとき
k  l o g2 t  0
このとき ①は
x 2  2x  1  0
( x  1) 2  0
x 1
f (1)  1
以上より， f (t ) の最大値 5 ， 最小値 1
(3)
1≦
log 2 t
3
≦ ， 2 ≦ log 2 t ≦ 3
log 2 4 2
∴ 2 ≦k ≦ 3
①→ (6  2 x)k  x  2 x  1  0
2
2
(2 x  6)k 2  x 2  2 x  1
x  3 は解ではないから
x 2  2x  1
k2 
2x  6
2 ≦k ≦ 3 より 4 ≦k 2 ≦ 9
x 2  2x  1
4≦
≦ 9 …①
2x  6
(ⅰ) x  3 のとき 2 x  6  0
4 (2 x  6) ≦ x 2  2 x  1≦ 9 (2 x  6)
x 2  10 x  25 ≧ 0 かつ
( x  5) 2 ≧ 0
かつ
x 2  20 x  55 ≦ 0
10  3 5 ≦ x ≦10  3 5
(10  3 5 )  3  7  3 5  0
x  3 を満たす
(∵) 7  49 ， (3 5 )  45
2
2
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(ⅱ) x  3 のとき 2 x  6  0
4 (2 x  6) ≧ x 2  2 x  1≧ 9 (2 x  6)
( x  5) 2 ≦ 0 かつ
x　≦10  3 5 , 10  3 5 ≦ x
2  5  3 より
1  10  3 5  4
これらを満たす実数 x は存在しない
(ⅰ)(ⅱ) より
10  3 5 ≦ x ≦10  3 5
f (t ) の最小値は 10  3 5
(2)より，これは重解ではない
O
[5]
OA  a ， OB  b ， OC  c とする
4
4
1
| a | | b | | c |  2
a  b  b  c  2  2  cos
AOC 

2

3
P
1
より c  a  0
R
D
1
Q
1
A
C
r
B
(1)
1
4
b a
1 r
5
4
1
QR  OR  OQ  c 
b
5
1 r
PQ  OQ  OP 
4  4
1 
 1
PQ  QR ＝ 
b  a c 
b
5  5
1 r 
1 r
＝
＝
＝
O
2
A
2
2
C
1
{5b  4 (1  r ) a }  { 4 (1  r ) c  5b }
25 (1  r ) 2
1
{  25 | b |2 20 (1  r ) b  c  20 (1  r ) b  a }
2
25 (1  r )
（∵） a  c  0
1
{  50  20 (1  r )  20 (1  r ) }
25 (1  r )2
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＝
8r  2
40r  10
＝
2
25 (1  r )
5 (1  r )2
PR  OR  OP 
OQ 
4
(c  a )
5
1
b
1 r
PR  OQ 
4
(b  c  a  b) ＝ 0
5 (1  r )
(2)
1
2
2
OP  OR  a  c
2
5
5
2
2
1
QM  OM  OQ  a  c 
b
5
5
1 r
OM 
OD  OA  AD  a  BC  a  c  b
QM // OD のとき QM  k OD となる実数 k が存在する
2
2
1
a c
b  k ( a  c  b)
5
5
1 r
a , b , c は 1 次独立
2
1
 k かつ
k
5
1 r
1
2
3
∴ r

1 r 5
2
(3)
 により切り口は五角形 QRSTP
3
のとき OQ : QB  2 : 3
2
4
2
2
QP  a  b  (2a  b)
5
5
5
4
| QP | 2  { 4 | a | 2  4a  b  | b | 2 }
25
4
24
{ 4  2  4  1  2 }　
＝
25
25
4
2
2
QR  c  b  (2c  b)
5
5
5
4
24
| QR | 2  { 4 | c | 2  4b  c  | b | 2 } 
25
25
2
2
QP  QR  (2a  b)  (2c  b)
5
5
O
r
2
Q
R
M
3
S
P
D
B
N
T
A
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4
{| b | 2  2a  b  2b  c  4a  c }
25
4
8
＝
{ 2  2  2  0 }　
25
25
1
△ QRP ＝
| QP | 2 | QR | 2  (QP  QR) 2
2
＝
＝
1
2
24 24  8 

  
25 25  25 
2
O
1 8
8 2
＝ 
3 3 1 
2 25
25
4
R
4
8
AC 
5
5
DN : NB  2 : 3  4 : 6
DH  HB
∴ DN : NH  4 : 1
PR 
1
1
NH  HM  DH 
5
5
P
1
1
C
A
2
O
2
∴ MN 
5
M
D
HN : ND  1 : 4 より
4
8
ST  AC 
5
5
PR // ST に注意して
長方形 PRST ＝
4
2
Q
3


4
4
4
N 1 H
H
C
B
A
1
8
2 8 2


5 5
25
切り口の図形の面積は
N
S
T
4
D
△ QRP ＋長方形 PRST ＝
8 2 8 2 16 2
＝

25
25
25
2
2
( 2 a  b)  b  ( 2a  b  | b | 2 )
5
5
2
＝ (2  1  2)  0
∴ QP  OB
5
よって，   OB
QM  OB
QP  OB 
OQ 
2
2 2
OB 
5
5
1 16 2 2 2

3
25
5
すい体 O  QRSTP ＝ 
＝
64
375
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DT  DS 
4
 2
5
2
1 4 2
16
 
△ DTS＝  


2  5 
25
OH  1 ， OH  △ DTS
1 16
16
すい体 O－DTS ＝ 
1 
3 25
75
△ ODH において
求める体積は 2 つをあわせて
V＝
64 16 64  80 144
＝
 ＝
375 75
375
375
[6]
(1)
a  1 のとき
2
f ( x)  3x 2  x  {  f (t ) dt }2
0

2
0
f (t ) dt  A とおくと
f (x) ＝  3x 2  x  A2
2
A ＝  {  3t 2  t  A 2 } dt
0
2
 3 t2

 A2t 
＝  t 
2

0
＝  8  2  2A
2
∴ 2A  A  6  0
2
( A  2)(2 A  3)  0
3
A2, 
2
f ( x )  3 x 2  x  4 ，
f ( x )  3 x 2  x 
9
4
(2)

2
0
f (t ) dt  A とおくと
f (x) ＝
3 2 1
x  x  A2
a
a
2 3
1

A ＝   t 2  t  A 2 dt
0
a
a

2
1 3 1 2

t  A2t 
＝ t 
2a
a
0
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8 2
6
  2 A2 ＝  2 A2
a a
a
6
2 A2  A   0
a
これを満たす A がただ 1 つであればよいから
6
∴ a  48
D  1 8  0
a
＝
(3)
f ( x)  f (b) 
＝
2
2
3 2 1
1
3

x  x  {  f (t ) dt }2   b 2  b  {  f (t ) dt }2 
0
0
a
a
a
a

3 2 1
1 
3
x  x   b2  b
a
a
a 
a
b
1 3 1 2  3 3 b  
0{ f ( x)  f (b)} dx ＝  a x  2a x   a b  a  x 0
b
＝
b3 1 2  3 2 b 
 b   b  b
a 2a
a
a
b 3 b 2 3b 3 b 2



a 2a
a
a
3
2
2b
b
＝
…（※）

a
2a
＝
これが a の値によらないから
1
のときも値は同じ
2
1
 2b 3  b 2  4b 3  b 2
2
1
2b 3  b 2  0
2
a 1 , a 
1

b 2  2b    0
2

b  0 より
b
1
4
2 1
1 1
 

a 64 2a 16
1
1

 0 （一定）
＝
32a 32a
逆にこのとき （※）＝ 
b
1
4
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(4)
a  48 のとき (2)より
6
2 A2  A 
0
48
1
3
A2  A 
0
2
48
1
1
A2  A 
0
2
16
2
1

A   0
4

∴ A
1
4
3 2 1
1
x 
x
48
48
16
1 2 1
1
＝
x 
x
16
48
16
1
＝
(3x 2  x  3)
48
f (x) ＝

2
1
4
2
f ( x) dx ＝  1
4
1
(3x 2  x  3) dx
48
2

1  3 x2
 3x 
＝
x 
48 
2
1
4
＝
1 
1 3 
 1
 
8 2 6 
48 
 64 32 4  
＝
1 721

48 64
＝
721
3072
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