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ロングメモリ・オシロスコープのFFT機能を 使用したスペクトラム
ロングメモリ・オシロスコープのFFT機能を 使用したスペクトラム解析 Infiniium 54830Bシリーズ・ロングメモリ・ オシロスコープで使用するために Application Note1383-1 はじめに 目次 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 FFTの基本 . . . . . . . . . . . . . . . . 離散フーリエ変換 . . . . . . . . . サンプリングの影響 . . . . . . . スペクトラム・リーケージと ウィンドウ関数. . . . . . . . . . . ....2 ....2 ....4 ....6 実用における注意事項. . . . . . . . . . . . 8 周波数スパンと分解能 . . . . . . . . . 8 ダイナミック・レンジ . . . . . . . . 10 アベレージング . . . . . . . . . . . . . 13 ウィンドウ関数の選択 . . . . . . . . 15 等価時間サンプリング . . . . . . . . 16 アプリケーション. . . . . . . . . . . AM信号の特性評価 . . . . . . . サンプリング・レートと メモリ長の選択 . . . . . . . . . . 時間と周波数のスケーリング FFTスペクトラムの結果. . . . . . . 17 . . . 17 . . . 18 . . . 18 . . . 19 サポート、サービスおよび アシスタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 現在の多くのデジタル・オシロスコー プには、周波数ドメイン解析用の高速 フーリエ変換（FFT）機能が備わってい ます。これは、これまで周波数ドメイ ンでの解析が必要であるにも関わら ず、スペクトラム・アナライザーが使 えないか、限られ時にしか使用できな いオシロスコープユーザーにとって、 特に有効な機能です。オシロスコープ のFFT機能は、費用効率が良く省スペ ースで、専用のスペクトラム・アナラ イザーの代わりにもなります。専用の スペクトラム・アナライザーはダイナ ミックレンジが広く歪みも少ないので すが、デジタル・オシロスコープの FFTにも様々な利点があります。 Agilent Infiniium 54800シリーズのデジ タル・オシロスコープには、振幅と位 相の両方を計算するFFT機能がありま す。また、下記の様々な便利な機能が お客様のスペクトラム解析を支援して くれます。 ● ● ● FFTのメモリ長、サンプリングレー ト、垂直軸スケール、水平軸スケー ルが調整できます。 自動測定とマーカー機能により、ス ペクトラム・ピークの周波数と振幅 やピーク間の差を求めることができ ます。 Infiniiumのオンラインヘルプシステ ムは、FFTの理論とアプリケーショ ンについての説明を日本語で提供い たします。 ご注意 2002 年 6 月 13 日より、製品のオプション構 成が変更されています。 カタログの記載と異なりますので、ご発注の 前にご確認をお願いします。 更に、オシロスコープのタイムドメ イン解析用に設計された機能はFFT解 析にとっても有効です。 ● ● ● ● 表示トレースには、注釈をつける ことができ、ファイルに保存でき ます。 オシロスコープの設定内容を保存 して、セットアップ・ファイルと して呼び出すことができます。 いくつかのFFTスペクトラムの平 均、最大、または最小を求める場 合などの複雑なタスクを実行する 場合は、複数の機能を組み合わせ て演算を実行することができます。 複数の捕捉データについての平均 と標準偏差を計算するためには、 測定統計機能を使用します。 これら全ての機能により、オシロス コープのFFT機能はスペクトラム解析 にとって非常に便利なツールになり ます。 ロングメモリのInfiniium 54830Bシリ ーズオシロスコープを使えば、FFT解 析に使用するデータが大幅に増加す るため、周波数スペクトラムの予測 値が向上いたします。データ量の増 加は、すなわち周波数分解能の向上 と、ダイナミックレンジが拡大を意 味します。強力なCPU搭載、FFTアル ゴリズムの効率化、そして次世代ロ ングメモリMegaZoomの採用により、 Infiniiumロングメモリオシロスコープ は大量のデータを扱うFFT変換を高速 に処理できるようになりました。 FFTの基本 このアプリケーション・ノートでは、 最初にFFTの基本について説明し、 FFTベースのスペクトラム解析を理解 するために重要となるFFTの性質に焦 点を当てます。続いて、実際にスペク トラム解析にオシロスコープのFFT機 能を使用する場合の注意事項と、ダイ ナミック・レンジを広げ確度を向上さ せるためのテクニックについて説明し ます。最後に、特定のアプリケーショ ンを例にして、高い周波数分解能のス ペクトラム測定を実行する上でのロン グメモリ・オシロスコープのFFT機能 の利点を説明します。 離散フーリエ変換 （Discrete Fourier Transform） オシロスコープのFFT機能をスペクト ラム解析に使用する上での制約をより 良く理解するには、離散フーリエ変換 （DFT）の基本的な性質とサンプリング の影響を理解することが重要です。こ こでは、簡単に概要を説明します。詳 細については、他の資料を参照してく ださい。 2 DFTは、有限長の時系列データの連続 フーリエ変換の離散サンプルを表わし ます 2 。ある時系列データx（nT）につ いてのDFTは次の式で表わされます3。 周波数ドメインのサンプル間隔、つま りDFTのビン （分割数）は次の式で求め ることができます。 式2 式1 N-1 X(kF) = ∑ x(nT)e-j2πkFnt F= 1 F = s NT N n=0 ここで、 N＝サンプル数 F＝周波数ドメインのサンプル間隔 T＝タイム・ドメインでのサンプル 周期 FFTは、DFTを計算するための効率的 なアルゴリズムにすぎません。実際に は、複数のFFTアルゴリズムがありま す。Infiniiumでは、基数2 FFTを使用 してDFT演算を行います。基数2 FFT では、2のべき乗に等しいポイント数 で計算します。FFTの効率は、複素乗 算の回数で表わされます。基数2 FFT では複素乗算の回数はNlog2Nです。こ れは、およそN2となるDFTの演算回数 にくらべ、大幅に向上しています。た とえば、ポイント数が1,000,000の場合、 FFTではDFTの演算時間の約0.002％の 時間しかかかりません2。 ここで、 Fs＝サンプリング周波数 したがって、Nを増やすかFsを下げるこ とにより、周波数分解能は上がります。 DFTは、N/2についての対称性がありま す。DFTの振幅は偶関数で、位相は奇 関数です。Infiniiumでは、後ろ半分の ポイントからは追加の情報が提供され ないため、前半分のFFTポイントだけ をプロットします。特定のFFTポイン トkの周波数は次の式で表わされます。 式3 Fk = kFs N プロットされる最大周波数はF s /2（こ こで、k＝N/2）です。 FFTの基本 離散フーリエ変換のつづき DFTは、振幅と位相の両方が計算でき る複素指数関数です。Infiniiumには、 振幅と位相の両方を計算する機能があ ります。位相は度単位で、振幅はdBm 単位で計算されます3。dBmの電圧形式 は次のようになります。 式4 P(dBm) = 20log(VRMS / VREF) ここで、 VREF = √0.001 W * 50 Ω = 0.2236 V です。 基準電圧V REF は、50Ωの負荷に1mW の電力が発生するときの電圧として定 義されています。たとえば、1V DC が Infiniiumに接続されると、周波数が 0HzのときのFFTの結果は約13dBmに なります。 Infiniiumの捕捉された波形のレコード 長は通常は2のべき乗ではありません。 しかし、基数2 FFTでは2のべき乗とな るポイント数が要求されます。このた め、Infiniiumでは波形の最後にゼロを 詰めて次に大きい2のべき乗の時系列 データ長にして処理しています。 ゼロを詰めることによりポイント数は 増えますが、X（F）の形状は変わりま せん。DFTでのポイント数を単に増や すだけです。たとえば、2のべき乗に なるようにゼロを詰めて時系列データ 長を拡張した場合、このDFTでゼロを 詰めた時系列データ以外の各ポイント は、ゼロを詰めない時系列データの DFTと同じ値を持ちます。このように、 ゼロを詰めることには補間と同じ効果 があります。つまり、周波数サンプル 間にポイントを埋め、連続フーリエ変 換の視覚効果を良くします。 20log(1.0 / 0.2236) = 13.0 dBm 3 FFTの基本 サンプリングの影響 Xa（F） のフーリエ変換は アナログ信号x（t） a 次の式で定義されます2。 1 式5 （a） ∞ -j2πFt Xa(F) = ∫xa(t)e −Fo dt Fo -∞ X（F） のデジタル表示x （n） アナログ信号x（t） a を求めるために、デジタル・オシロス コープでは信号を一定の間隔Tでサン プリングします。 x(n) = xa(t) −Fs −Fs/2 Fs/2 Fs 2Fs t=nT X（F） 1/T （c） −2Fs −Fs −Fs/2 Fs/2 Fs 2Fs 図1 連続信号のフーリエ変換（a）、重なり合う部分のある離散時間信号（b）、 重なり合う部分のない離散時間信号（c） 式7 1 1 ∞ (FT + k) ∑ Xa T k = -∞ T [ ] 式7は、連続信号のフーリエ変換Xa（F） と離散時系列データのフーリエ変換X （F） との間の関係を示しています。X （F） は、X （ F） を振幅でスケーリングし、 a 周波数でスケーリングして、変換され たものの和です。 4 （b） | 式6では、電圧の量子化もその他の歪 みもない理想的なサンプリング処理を 仮定しています。この理想的な離散時 系列データのフーリエ変換は次の式で 表わされます2。 X(F) = 1/T −2Fs 式6 重なり合う領域でX（F）が未知の部分 図1の（a）は、連続信号のフーリエ変換 X（F） を示しています。図1の（b）と（c） a は、周期的なサンプリングにより求め られた2つの離散時間信号のフーリエ 変換X（F）を示しています。（b）と（c） で注意することは、X（F）に1/Tつまり Fsの周期性があることです。また、 （b） のようにF o がF s /2より大きい場合は、 連続時間変換の周期的な繰り返しが重 なり合い、X（F）からX（ への復元 a F） が不可能であることに注意してくださ い。重なり合いが生じた場合、X（ a F） の高い周波数成分は、X（F）で低い周 波数に折り返されます。この影響をエ リアジング と呼びます。エリアジング が発生する周波数Fs/2を折返し周波数と 呼びます。X（ の最大周波数をナイ a F） キ ス ト 周 波 数 と呼びます。 ナ イ キ ス ト・レート は、エリアジングを防ぐた めに要求される最小のサンプリング・ レートで、ナイキスト周波数の2倍で す2。 FFTの基本 サンプリングの影響のつづき タイム・ドメインの観点からエリアジ ングを考察することにより理解を深め ることができます。正弦波信号を一様 にサンプリングする場合を考えます。 1周期あたりのサンプリング数が2より 小さい場合は、連続正弦波信号の周波 数をサンプリングしたデータから求め ることはできません。この場合、サン プリングしたデータは、実際よりも低 い周波数の正弦波として表示されます。 式8は、元の周波数Fからエリアス周波 数F'を求めるために使用する式です。 式8 F' = Fs 2 | FをFsで割ったときの余り - Fs 2 | この式を使用すると、F＝3.3MHzのエ イリアス周波数は1.7MHz、F＝6.1MHz のエリアス周波数は1.1MHzとなりま す。図2のスペクトル線と計算結果が 一致することがわかります。 サンプリング・レートをアナログ信号 の最高周波数成分の少なくとも2倍に すると、エリアジングは発生せず、サ ンプリングした時系列データのDFTに より、アナログ信号をフーリエ変換し た場合に近い値が得られます。 しかし、折返し周波数を超える周波数 成分がある場合、この高い周波数成分 についてエリアジングが生じます。図2 にこ の 影 響 を 示 し ま す 。 3 . 3 M H z と 6.1MHzの周波数成分を持つ2つの正弦 波を、Infiniiumで5MS/sのサンプリン グ・レートでデジタイズしたときの、 デジタル波形のFFT振幅が示されてい ます。2つの正弦波周波数が折返し周 波数の2.5MHzを超えるため、折返し 周波数よりも低い周波数にエリアス応 答が生じています。 Acquisition Sampling mode real time Normal Configuration 4GSa/s Memory depth manual Memory depth 65536pts Sampling rate manual Sampling rate 5.00 MSa/s Averaging off Interpolation on Channel 1 Scale 1.00 V/div Offset 0.0 V BW limit off Coupling DC Impedance 1 M Ohm Attenuation 1.000 : 1 Atten units ratio Skew 0.0 s Ext adapter None Ext coupler None Ext gain 1.00 Ext offset 0.0 Time base Scale 2.00 ms/ Postion 0.0 s Reference center Trigger Mode edge Sweep auto Hysteresis normal Holdoff time 80 ns Coupling DC Source channel 1 Trigger level 10 mV Slope rising Function 2 FFT magnitude channel 1 Vertical scale 20.0 dBm/div Offset −13.0000 dBm Horizontal scale 250 kHz/div Position 1.25000 MHz Window Hanning Resolution 76.2939 Hz 図2 3.3MHzと6.1MHzの正弦波を入力した場合のInfiniium FFT振幅のプロット 5 FFTの基本 スペクトラム・リーケージと ウィンドウ関数 方形、ハニング、フラットトップ・ウィンドウ関数 DFTは有限長の時系列データを計算し ます。連続フーリエ変換（CFT）を近似 するために全時間に対して積分されま す。DFTは、有限の時系列データを無 限回繰り返すことにより形成される、 無限の時系列データのCFTをサンプリ ングしたものです。 0.8 0.6 ハニング 0.4 フラットトップ 0.2 0 −0.2 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 TIME (x=t/T) 方形、ハニング、フラットトップでの周波数スペクトラム 0 方形 ハニング フラットトップ N＝1000 pts、fs＝20 Hz −20 方形 −40 −60 振幅（dB） 別の見方として、元の時系列データと ウィンドウ関数の時系列データの、2つ の無限長の時系列データの積として、 有限の時系列データを考えることによ り、スペクトラム・リーケージについ て説明することができます。ウィンド ウ関数の時系列データは有限個のサン プルについてはゼロではなく、それ以 外ではゼロとなります。無限長の時系 列データにウィンドウ関数の時系列デ ータを掛けることによって、ウィンド ウ関数は無限長の時系列データの有限 な部分を抽出します。タイム・ドメイ ンでの乗算は周波数ドメインでの畳み 込み積分に対応します。有限長の時系 列データのフーリエ変換の結果は、ち ょうどウィンドウ関数の時系列データ のフーリエ変換で畳み込まれた無限長 の時系列データのフーリエ変換です。 方形 ハニング フラットトップ 方形 1 w(x)/w(0) 有限の時系列データの両端の点が一致 しない場合、無限の時系列データで、 各有限の時系列データが隣接する部分 に不連続部が生じます。タイム・ドメ インでのこの不連続部は周波数ドメイ ンでの スペクトラム・リーケージ の原 因となります。通常、デジタル・オシ ロスコープで信号を捕捉する場合、周 期が完全に切り取られるようには捕捉 されず、周期的に拡張された信号に不 連続部が生じます。このため、デジタ ル・オシロスコープで計算されたFFT には、ほとんどすべてにスペクトラ ム・リーケージが見られます。スペク トラム・リーケージは、細いスペクト ル線を広いローブに広げる原因となり ます。 1.2 フラットトップ −80 −100 ハニング −120 −140 −160 −180 −200 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 周波数（Hz） 図3 Infiniiumのウィンドウ関数（上図）と対応する周波数スペクトラム（下図） 6 0.5 FFTの基本 スペクトラム・リーケージと ウィンドウ関数のつづき この畳み込み積分により、X（F）の各 スペクトル線が、ウィンドウ関数の時 系列データのフーリエ変換の形状とな ります。 ウィンドウ関数の形状により、フーリ エ変換でのスペクトラム・ローブの形 状が決まります。方形ウィンドウのフ ーリエ変換はsinc関数になります 2 。 方形の場合、有限長の時系列データの 周期的な拡張による不連続部は減少し ません。しかし、他のウィンドウの場 合は、両端でゼロ値に滑らかに近づく ように定義されています。 Infiniiumでは、 方形 、 ハニング 、 フラ ットトップ の3種類のウィンドウ関数 を選択できます。図3に、これらのウ ィンドウ関数とそれぞれに対応するフ ーリエ変換を示します。方形ウィンド ウではメイン・ローブの幅はもっとも 狭くなっていますが、サイド・ローブ は緩慢に減衰します。メイン・ローブ の両端のゼロの間隔は2ビンで、最初 のサイド・ローブはメイン・ローブよ りも13.3dB減衰しています。これらの サイド・ローブは隣接するスペクトラ ムを見えなくします。ハニング・ウィ ンドウではメイン・ローブの幅は広が りますが、サイド・ローブは急激に減 衰します。メイン・ローブの幅は4ビ ンで、最初のサイド・ローブはメイ ン・ローブよりも31.5dB減衰していま す。フラットトップ・ウィンドウでは メイン・ローブの幅は8ビンで、サイ ド・ローブは最も急激に減衰します。 最初のサイド・ローブはメイン・ロー ブよりも70.4dB減衰しています。 DFTは、離散時系列データの連続フー リエ変換X（F）の離散サンプルを表わ します。DFTの周波数ビンの間隔は式 2で求めることができます。連続時間 信号の周期の整数倍が離散時系列デー タとして捕捉された場合、DFTでの周 波数ビンの中心はメイン・ローブの中 心と一致し、サイド・ローブ・リーケ ージが消滅します。ゼロを詰めること により時系列データが拡張された場合 は、DFTのビン間隔は小さくなり、真 のウィンドウ関数の形状がより明らか になります。前述したように、ゼロを 詰めてもX（F）の形状は変化せず、単 にDFTのサンプルが増えX（F）がより 明瞭になります。 7 実用における注意事項 周波数スパンと分解能 これまでのセクションで、周波数スペ クトラムの近似値に影響を与えるFFT とサンプリングの性質と特性について 説明しました。このセクションでは、 スペクトラム解析でのInfiniiumのロン グメモリ・オシロスコープの使用につ いて実用的な面に焦点を当てます。 FFTの分解能とダイナミック・レンジ に対する、ロングメモリの利点を詳細 に説明します。オシロスコープのいく つかの特性がダイナミック・レンジに 影響を与えます。これらについての要 因とダイナミック・レンジを向上させ るためのアベレージングの使用、およ び特定の解析に対する適切なウィンド ウ関数の選択方法を説明します。また、 このセクションでは、必要なFFT周波 数のスパン、分解能、更新レートを得 るための、オシロスコープの時間レン ジ、サンプリング・レート、メモリ長 の設定方法を説明します。 Infiniiumロングメモリ・オシロスコー プで現在可能な最高サンプリング・レ ートは、4GS/sです。このため、最高 2GHzまでのFFTベースのスペクトラ ム解析ができます。現在、メモリ長は 最大で16Mサンプル使用できます。最 高のサンプリング・レートで最大のメ モリ長を使用した場合、周波数スパン は2GHzで周波数分解能が250Hzとな ります。 Infiniiumでは、画面に表示されている だけのタイム・ドメインのサンプルに 対してしかFFT演算は行なわれないの で注意してください。つまり、画面に 表示されていないサンプルは無視され ます。手動設定の場合にすべてのデー タでFFT演算を行うには、水平軸スケ ールを調整してすべてのデータが画面 に表示されるようにしてください。 8 サンプリング・レートとメモリ長の両 方を手動で制御できます。通常モード では、メモリ長は、現在のタイムレン ジに対して最高のサンプリング・レー トになるように調節されます。これは タイム・ドメイン解析にとっては便利 な機能ですが、周波数解析をしたいユ ーザに合うとは限りません。多くの場 合、周波数分解能を上げるために、ユ ーザはサンプリング・レートを意図的 に下げることになります。また、FFT の更新レートを上げるためにメモリ長 を減らしたりもします。 式2で示されるように、FFTの周波数 分解能はサンプリング・レートとポイ ント数の両方で決まります。ポイント 数を増やすか、サンプリング・レート を下げるかして、分解能を高くするこ とができます。しかし、サンプリン グ・レートを下げると、計算される最 高周波数が低くなり、エリアジングを 招くことになります。FFTの周波数分 解能は、次の式で示されるように、オ シロスコープの時間レンジ設定から容 易に求めることができます。 式9 F= 1 = NT 1 時間レンジ 前述した情報から、特定のサンプリン グ・レートとレコード長について、 Infiniium FFTの周波数分解能とスパン を求めることができます。 たとえば、サンプリング・レートが 4GS/s、メモリ長が100,000ポイントに 設定された場合を考えます。このとき、 Infiniiumでは、次に大きな2のべき乗の ポイント数つまり131,072ポイントに なるまで0を詰めます。表示される周 波数スパンは、サンプリング周波数の 半分つまり2GHzです。周波数分解能 は、4GS/sを131,072で割って、 30.5176kHzとなります。FFTは画面に 表示されるポイントについてのみ計算 されるので、画面上にすべてのポイン トを確保するには、水平軸を2.5µs/div 以上に設定する必要があります。特定 のサンプリング・レートとメモリ長に ついて、全データを画面に表示するた めに必要な水平軸スケールの設定は、 次の式で示されます。 式10 水平軸スケール ≧ N s / div 10Fs 通常は、この式を適用する必要は実際 にはありません。ユーザは全データが 画面に表示されるまで、時間レンジを 単に調整しています。画面の上端に表 示されるメモリ・バーにより、簡単に 調整できます。 実用における注意事項 周波数スパンと分解能のつづき 図4に、FFTスペクトラムの分解能に 影響を与えるメモリ長を示します。表 示されたスペクトラムは、ほとんど同 じ周波数のF1とF2の2つの正弦波を含 む信号から生成されています。F1は 75.000273MHz、F2は75.001546MHzで す。F1とF2の周波数の差は1.273kHz です。 サンプリング・レートは200MS/sに設 定され、ナイキスト・レートの 150.003092 MHzよりも大きくなってい ます。サンプリング・レートは、FFT 分解能を上げるために可能な限り低く 選択されていますが、エリアジングを 防ぐためには十分高くなっています。 また、ハニング・ウィンドウを使用し て、サイド・ローブ干渉を減少させて います。 現在、Infiniium大容量メモリ・オシロ スコープは1秒間に1,000,000ポイント のFFTを計算し表示できます。しかし、 16,000,000ポイントのFFTでは20秒か かります。通常メモリ長モードのとき、 InfiniiumではFFT演算のポイント数を 1,000,000に制限しているため、更新レ ートは1秒あたり1回より遅くはなりま せん。特定の状況に対してメモリ長を 最適化するためには、手動でメモリ長 を選択してください。 メモリ長を256kポイントとした場合に は、FFT分解能は762.9Hzとなり、スペ クトラム・リーケージのために2つの信 号を十分に識別することはできません。 しかし、4Mポイントにすると、FFT分 解能は47.7Hzとなり、2つの信号のスペ クトラムは明確に識別できます。 ロングメモリが原因で、制限が加えら れることもあります。メモリ長を増や すと、FFTの更新レートが下がります。 前に述べたように、NポイントFFTの 演算では、Nlog 2（ N）回の複素乗算を 行なう必要があります。これが、計算 時間の大部分を占めます。 図4 大容量メモリがFFT分解能の改善に及ぼす影響を示すInfiniium FFTスペクトラム 9 実用における注意事項 ダイナミック・レンジ 周波数ドメイン測定でのダイナミッ ク・レンジとは、より大きな信号が存 在する状態で識別可能な最小の信号の 指標です。つまり、フルスケール入力 の基本波スペクトラムとノイズ・フロ ア間の振幅の差を示します。 デジタル・オシロスコープで生成され るFFTスペクトラムのダイナミック・ レンジは、A/Dコンバータ（ADC）の量 子化やオシロスコープ内部のノイズ源 などにより制限を受けます。また、フ ロント・エンドの増幅器やADCの非線 形応答は、高調波歪みを生成し、歪み としてFFTスペクトラムに表示されま す3。これらの要因により、ユーザは スペクトラム情報を信号内から検出し たり、オシロスコープ内部からの信号 と区別したりすることが制限されま す。次のセクションでは、アベレージ ングによっていかにダイナミック・レ ンジを向上できるかを説明します。 図5は、純粋な470MHzの正弦波入力を InfiniiumでFFT演算を行って生成され た周波数スペクトラムを示します。基 本波周波数の470MHz以外の周波数で 示されるすべてのスペクトル線に注目 してください。470MHzの高調波が 940MHz、1410MHzおよび1880MHzに 見られ、折返し周波数の2GHzを超え る高調波がエリアジングしてより低い 周波数のスペクトラムとなっていま す。1650MHzのスペクトル線は、 470MHzの高調波のエリアス応答の1つ を示しています。125MHzの内部クロ ックの歪み成分も表示されています。 470MHzの基本波周波数と最大の歪み 成分間のダイナミック・レンジは 51dBです。 メモリ長を増やすと、非同期ノイズ源 のノイズ・フロアは減衰し、ダイナミ ック・レンジが向上します。これは、 FFTのポイント数が増加しても全ノイ ズ・パワーは変化しないためです。 たとえば、全ノイズ・パワーは一定な ので、FFTのポイント数を2倍にする と非同期のノイズ成分の振幅は1/2に 減衰します。対数目盛りでは、FFTの ポイント数が2倍になるとノイズ・フ ロアは3dB減衰します。ただし、レコ ード長を長くすることで期待される改 善は、FFT演算の丸め誤差のために、 幾分落ちます。 サンプリング・レート＝4 GS/s メモリ長＝8 Mポイント X軸スケール＝200 MHz/div Y軸スケール＝20 dBm/div 470 MHz 940 MHz 125 MHz 1410 MHz 1880 MHz 1650 MHz 図5 純粋な470MHzを入力したときのInfiniium FFTのスペクトラム 10 実用における注意事項 ダイナミック・レンジのつづき デジタル・オシロスコープでは、仕様 に有効ビット が含まれる場合がありま す。有効ビットとは、S/N比 （SNR）の 指標です。SNRは全ノイズ・パワーに 対する信号パワーの比です。一般的に は、正弦波カーブ・フィッティングを 使用してタイム・ドメインで計算され ます4。SNRは、次の式を使用して、有 効ビットから求めることができます5。 図6に、FFTレコード長の増加がダイ ナミック・レンジに与える影響を示し ます。青色のFFTトレースは、メモリ 長を1024ポイントにしたときに Infiniiumで捕捉されたものです。緑色 のFFTトレースは、メモリ長を 16,400,000ポイントにしたときに捕捉 されたものです。いずれも、4GS/sで 捕捉しています。ロングメモリのFFT 式11 の場合、ノイズ・フロアが約30dB低 下し、1024ポイントだけでは覆い隠さ SNR=有効ビット * 6.02+1.8 dB れていたスペクトラム・データが現れ ていることに注目してください。残念 なことに、メモリ長を大きくした場合、 一般的に立ち上がりの速い入力信号で は有効ビット測定が悪くなるため、多 信号の中に実際には存在しない、オシ くの場合、高周波と低周波の両方で仕 ロスコープ自身に起因するいくつかの 様化されます。Infiniiumは8ビット 付加的なスペクトル線が表示されてい ADCを使用しています。式11より、理 ます。 想的な8ビットADCのSNRは50dBです。 サンプリング・レート＝4 GS/s Y軸スケール＝20 dBm/div メモリ長＝1024 ポイント メモリ長＝16,400,000 ポイント 250 MHz 図6 長いメモリ長がノイズ・レベルを減少させることを示すInfiniiumの FFTスペクトラム 11 実用における注意事項 ダイナミック・レンジのつづき −10 −20 −30 振幅（dB） 図7に、フルスケール入力した場合の理 想的な8ビットADCについての1024ポ イントのFFTスペクトラムを示しま す。1024ポイントで50dBのSNRの場 合、ダイナミック・レンジは約70dB になることに注目してください。これ とは対称的に、図6の1024ポイントの FFTでは、250MHzのフルスケール正 弦波入力に対してInfiniiumは約50dBの ダイナミック・レンジであることがわ かります。この理想からの20dBの減 少は、オシロスコープ自身のノイズ源 と非線形性による影響が原因となって います。 理想的な8ビットADCでの1024ポイントFFTスペクトラム 0 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 周波数（Hz） 図7 上図の理想的な8ビットADCの1024ポイントFFTスペクトラムと 図6の1024ポイントFFTを比べてください。 12 0.45 0.5 実用における注意事項 アベレージング このセクションでは、Infiniiumで実行 できる2つのタイプのアベレージング について説明します。1つは、FFT演算 を実行する前のタイム・ドメインの波 形に適用されるアベレージングです。 これはノイズを低減させてダイナミッ ク・レンジを向上させるために有用で す。もう1つのタイプのアベレージン グは、FFTの振幅に適用されスペクト ラムの近似値の変動を低減させます。 タイム・ドメインのアベレージングで は、複数回のトリガで捕捉されるタイ ム・ドメイン波形をアベレージングす ることにより、非同期のノイズ源を低 減させます。信号の帯域幅には影響を 与えません。このタイプのアベレージ ングの利点を活かすには、信号が周期 的であることが必要です。ノイズ変動 は、アベレージング回数に等しい割合 で減少します。デシベル単位での、タ イム・ドメイン・アベレージングによ るノイズ・フロアの減少は式12で表わ されます。 タイム・ドメインのアベレージング は、信号のノイズを低減させるためだ けでなく、オシロスコープ自身を原因 とする内部の非同期ノイズ源を低減さ せるためにも有用です。図8に、タイ ム・ドメイン・アベレージングがダイ ナミック・レンジに与える影響を示し ます。青色のトレースはアベレージン グをしていない状態のFFTスペクトラ ム、緑色のトレースは256回アベレー ジングした場合のFFTスペクトラムで す。黒色の部分は、2つのトレースが 重なり合った部分です。いずれのスペ クトラムも、サンプリング・レート は4GS/s、メモリ長は64kポイントに しています。垂直軸スケールは 20dB/divです。 DFTスペクトラムのアベレージング値 は、ポイント数が増加するにつれて真 の値に収束します。しかし、変動は一 定で残っています 6 。変動について改 善するために、複数のDFTスペクトラ ムを一緒にアベレージングすることが できます。変動は、アベレージング回 数に等しい割合で減少します。 FFT振幅機能にアベレージング機能を 組み合わせることにより、Infiniiumは FFTスペクトラムをアベレージングす る方法を提供しています。アベレージ ングはデシベル振幅値について実行さ れます。アベレージング回数は2から 4096までから設定できます。 式12から予想されるように、アベレー ジング回数が256の場合、ノイズ・フ ロアが約24dB減少していることがわ かります。オシロスコープには信号を 入力していないため、表示されている ものはオシロスコープの内部ノイズ源 によるものです。 式12 ノイズ・フロアの減少＝ 3 dB * log2(Navg) メモリ長＝64 kポイント サンプリング・レート＝4 GS/s アベレージングなし 256回のアベレージング ここで、 Navgはアベレージング回数です。 Infiniiumの場合、アベレージング回数 は、2から4096までから選択できます。 アベレージング可能な最大メモリ長は 64kポイントです。より長いメモリ長 が必要な場合も、タイム・ドメイン波 形にアベレージング機能を適用できま すが、処理はかなり低速になります。 図8 ダイナミック・レンジを増加させるための、タイム・ドメイン 波形のアベレージングの効果を示すInfiniium FFTスペクトラム 13 実用における注意事項 アベレージングのつづき 図9に、FFTスペクトラムをアベレー ジングしたときの効果を示します。フ ァンクション2の緑色のスペクトラ ム・トレースはアベレージングされて いません。ファンクション3の紫色の スペクトラム・トレースはファンクシ ョン2を16回アベレージングした結果 です。黒色の部分は、ファンクション 2とファンクション3が重なり合った部 分を示します。図9から、このタイプ のアベレージングではFFTスペクトラ ムの変動は低減するが、ダイナミッ ク・レンジは向上しないことがわかり ます。 メモリ長＝32 kポイント アベレージングなしのFFT振幅 16回アベレージングしたFFT振幅 図9 アベレージングされたFFTスペクトラムにより、変動が低減しています。 14 実用における注意事項 ウィンドウ関数の選択 Infiniiumでは、方形、ハニング、フラ ットトップ（図3を参照）の3つからウ ィンドウ関数を選択できます。適切な ウィンドウ関数を選択すると、より有 用な情報をFFTスペクトラムから得る ことができます。 方形ウィンドウは、メイン・ローブは もっとも狭くなりますが、サイド・ロ ーブが緩慢に減衰するので、隣接する スペクトラムが不明瞭になるため、通 常は使用されません。ハニング・ウィ ンドウはスペクトラム成分を表示する ためにもっともよく使用されるウィン ドウです。メイン・ローブの幅は、方 形ウィンドウの2倍ですが、サイド・ ローブは急激に減衰します。 スペクトラム・データについて振幅測 定をする場合は、フラットトップ・ウ ィンドウが最適です。周波数ドメイン でフラットトップの幅が広いため、ス ペクトラム・ピークの振幅は非常に正 確です。フラットトップ・ウィンドウ を使用すると、スペクトラム・リーケ ージに起因する最大振幅誤差は0.1dB となります。これは、最大振幅誤差が 1.5dBのハニング・ウィンドウよりも はるかに良くなっています3。最大振幅 誤差は、メイン・ローブの中心が2つ の周波数ビン間のちょうど中間点に低 下したときに生じます。しかし、メイ ン・ローブの幅が広いので、隣接スペ クトル線を分解したい場合には必ずし も良い選択ではありません。 メモリ長の増加により、周波数スパン を狭くしなくてもFFTの周波数分解能 は上がります（式2を参照）。周波数ビ ンの観点からは、ウィンドウ関数のロ ーブ幅は一定です。しかし、各ビンの 周波数幅は、ポイント数に反比例しま す。このように、ポイント数の増加に より、スペクトル線のローブの幅は減 少し、隣接スペクトル線を分解する能 力が上がります。たとえば、フラット トップ・ウィンドウでメモリ長を2倍 にすると、その半分のメモリ長のハニ ング・ウィンドウと同じ分解能となり ます。 15 実用における注意事項 等価時間サンプリング ディジタル・オシロスコープにとって エリアジングは常に潜在的な問題で す。ディジタル・オシロスコープは全 周波数成分を特定のアナログ帯域に通 します。ロールオフがシャープである 必要はなく、帯域以外の周波数もADC を経由します。 ローパス・カットオフ・フィルタがな い場合、折返し周波数を超える周波数 はエイリアス応答として周波数スペク トラムに反映されます。サンプリン グ・レートが下がると、問題はより深 刻になります。理想的には、スペクト ラム解析では、折返し周波数を超える すべての周波数を減衰させるためにロ ーパス・アナログ・フィルタが取り付 けられます。しかし、これはディジタ ル・オシロスコープでは実用的ではあ りません。 等価時間サンプリング を使用して、実 効サンプリング・レートを上げて、エ リアジングを減少させることができま す。Infiniiumで使用される等価時間サ ンプリングの方式は、ランダム繰り返 しサンプリング と呼ばれます。このサ ンプリング方式が適切に機能するに は、信号が周期的であることが必要で す。ランダム繰り返しレコードは、複 数の捕捉から構成されます。サンプリ ング・クロックとトリガ・イベントの 間の時間が慎重に測定され、各捕捉か らのサンプルを配置するために使用さ れます。この時間測定の確度により、 サンプルの間隔をいかに狭くできるか が決まります。サンプル間隔の逆数が 実効サンプリング・レートです。 Infiniiumの等価時間サンプリングに は、スペクトラム解析に使用する上で の有用性を制限する面がいくつかあり ます。まず、ユーザが実効サンプリン グ・レートを直接制御できないことで す。また、最大メモリ長が32kポイン トに制限されていることです。そして、 サンプリング間隔が一様でないため に、周波数スペクトラムに付加的なノ イズが入ることです。1つの タイム・ バケット内のどこにでもサンプルは落 ちますが、FFT演算では、サンプルは 等間隔であると仮定されます。 図10に、純粋な470MHz正弦波の入力 を等価時間サンプリングした場合の FFTスペクトラムを示します。実効サ ンプリング・レートが高くメモリ長が 制限されているために、7.63MHzとい う周波数分解能が大き過ぎて隣接スペ クトル線を識別できません。また、基 本波スペクトラムと最大のスペクトラ ム高調波間のダイナミック・レンジは わずか38dBです。 このFFTスペクトラムを、図5のリア ルタイム・サンプリングしたときの FFTスペクトラムと比較すると、リア ルタイム・サンプリングの方がダイナ ミック・レンジと周波数分解能が良い ことがわかります。 等価時間サンプリングで周波数分解能 を上げるには、時間レンジを広げるこ とにより実効サンプリング周期を長く します。しかし、サンプリングが一様 でないために、サンプル間にジッタが 生じて、ダイナミック・レンジがさら に損なわれます。タイム・ドメイン・ アベレージングを使用すると、ジッタ を減らしダイナミック・レンジを上げ ることができます。 等価時間 実効サンプリング・レート＝250 GS/s メモリ長＝32768ポイント 周波数分解能＝7.63 MHz 周波数スパン＝2 GHz Y軸スケール＝20 dBm/div 470 MHz Infiniiumロングメモリ・オシロスコー プでは、等価時間での最小サンプリン グ間隔は4psなので、最大実効サンプ リング・レートは250GS/sです。 図10 実効サンプリング・レートを上げエリアジングを減少させるために、等価時間 サンプリングを使用した470MHzの正弦波のInfiniium FFTスペクトラム 16 アプリケーション AM信号の特性評価 このセクションでは、ロングメモリ・ オシロスコープのFFTの、実際のアプ リケーションを説明します。アプリケ ーションは、振幅変調（AM）信号の特 性の測定に関するものです。対象とな る特性は、搬送波周波数f0、変調周波 数fm、変調指数aです3。 AM信号のスペクトラムには、これら のパラメータの計算に必要な情報がす べて含まれています。図11に、正弦波 変調された一般的なAM信号のスペク トラムを示します。中心スペクトル線 は搬送波を表わし、側帯波は変調の結 果を表わします。変調周波数は、搬送 波周波数と一方の側帯波周波数との差 です。変調指数は、搬送波信号と変調 信号間の振幅差です。変調指数は、搬 送波と変調側帯波の間の振幅差A dBか ら、次の式を用いて計算で求めること ができます。 式13 a = 2x10(AdB / 20) AM信号スペクトラム f fo−fm fo＋fm 図11 正弦波変調がかけられたAM信号のスペクトラム この例では、Agilentの33250Aファン クション・ジェネレータを使用して、 次のパラメータのAM信号を発生させ ています。 ● 変調周波数が搬送波周波数のわずかな パーセントのとき、側帯波と搬送波を 区別するには高分解能なFFTスペクト ラムが必要です。 fo ● ● ● 搬送波周波数＝77MHz 変調周波数＝1kHz AM変調度＝2％ 形状＝正弦波 上記のAM変調度は変調指数と同じも のです。変調周波数は搬送波周波数の 0.0013％であることがわかります。搬 送波を変調波と識別するには、高分解 能の周波数スペクトラムが必要です。 17 アプリケーション サンプリング・レートとメモリ長の 選択 オシロスコープを設定する際、最初に することは、サンプリング・レートと メモリ長の選択です。エリアジングを 防ぐには、サンプリング・レートFsを ナイキスト周波数である77MHz＋ 1kHzの2倍以上の値に設定します。ま た、分解能を良くするために、この基 準を満たす設定可能な最低サンプリン グ・レートに設定します。Infiniiumで は、ナイキスト周波数の2倍以上で、 次に設定可能なサンプリング・レート は200MS/sです。 変調指数をもっとも正確に測定するに は、フラットトップ・ウィンドウを使 用します。フラットトップ・ウィンド ウは幅が8ビンあるので、変調側帯波 を明確にするには1kHzを8で割った周 波数分解能が必要です。この事実と、 周波数分解能を求める式2により、最 低限必要なポイント数を求めるために 次の式が導き出されます。 式14 N≧ Fs F Fs ƒm ＝ ＝ 200 MS/s 1 kHz W ＝ 8 1.6 Mポイント ここで、 Fは周波数分解能、Wはビンを単位 としたメイン・ローブの幅です。 18 たとえば、ここではFFTの更新レート は問題ではないので、メモリ長を8M ポイントに設定します。これは、最低 要求事項を満たし、周波数分解能は 23.8Hzとなります。 時間と周波数のスケーリング 次にすることは、オシロスコープの時 間軸と周波数軸のスケーリングです。 FFTでは画面上のポイントを演算する だけであることを思い出してくださ い。捕捉されたデータすべてが画面に 表示されるように、画面の一番上に表 示されるメモリ・バーを使用して時間 レンジを設定します。式10を使用して、 time/divを4ms/div以上になるように設 定します。 水平軸≧ 8 Mポイント 10 x 200 MS/s ＝4ms / div この例では、time/divは5ms/divに設定 されています。周波数軸は搬送波周波 数が中央になり側帯波が搬送波周波数 から1目盛り離れるように、周波数軸 はスケーリングされています。 アプリケーション FFTスペクトラムの結果 図12に、Infiniiumで捕捉したAM信号 のFFTスペクトラムを示します。側帯 波が搬送波と明確に識別できることが わかります。また、変調指数は2％と 小さいが、ダイナミック・レンジは側 帯波をノイズ・フロアと区別するため に十分であることがわかります。画面 表示の下のリストは、設定情報と測定 結果です。デルタ・ピーク周波数測定 は変調周波数を求めるために使用しま す。搬送波周波数は、中心ピークのマ ーカから直接読み取ることができま す。デルタ・ピーク振幅測定は、搬送 波ピークと右側の側帯波の振幅差を求 めるために使用します。測定結果 は、−40.17dBです。この値を式13に 代入すると、変調指数が求まります。 この結果を先に示した信号発生器の設 定と比べてみると、測定誤差はわずか で優れた結果であることがわかりま す。この例では、1回の捕捉で測定さ れています。Infiniiumでは、各測定の 平均と標準偏差の記録をとっているの で、複数回捕捉することにより測定結 果はさらに向上します。 AM信号 搬送波周波数＝77 MHz 変調周波数＝1 kHz AM変調度＝2 ％ a = 2x10(-40.17 dB / 20) = 1.96% FFTスペクトラムから測定されるAM 信号のパラメータを、次にまとめて示 します。 ● ● ● 搬送波周波数＝77.0002MHz 変調周波数＝1.001kHz 変調度＝1.96％ Acquisition Sampling mode real time Normal Configuration 4GSa/s Memory depth manual Memory depth 8200000pts Sampling rate manual Sampling rate 200 MSa/s Averaging off Interpolation on Channel 1 Scale 20 mV/div Offset 2 mV BW limit off Coupling DC Impedance 50 Ohms Attenuation 1.000 : 1 Atten units ratio Skew 0.0 s Ext adapter None Ext coupler None Ext gain 1.00 Ext offset 0.0 Time base Scale 5.00 ms/ Postion 0.0 s Reference center Trigger Mode edge Sweep auto Hysteresis normal Holdoff time 80 ns Coupling DC Source channel 1 Trigger level 1.6 mV Slope rising Function 2 FFT magnitude channel 1 Vertical scale 20.0 dBm/div Offset −51.0000 dBm Horizontal scale 1.00 kHz/div Position 77.0000 MHz Window flattop Resolution 23.8419 Hz Measure current FFT ∆freq（f2） 1.001 kHz FFT ∆mag（f2） −40.17 dB mean 1.001 kHz −40.17 dB Marker current FFT ∆freq（f2） 1.001 kHz FFT ∆mag（f2） −40.17 dB mean 1.001 kHz −40.17 dB std dev 0 Hz 0.0 dB min 1.001 kHz −40.17 dB max 1.001 kHz −40.17 dB A−（f2）＝ B−（f2）＝ ∆＝ 1/∆X＝ X 77.000189 MHz 77.001191 MHz 1.001 kHz 999 µs Y −13.27 dBm −53.44 dBm −40.17 dB 図12 正弦波変調されたAM信号のInfiniiumでのFFTスペクトラム 19 サポート、サービス、およびアシスタンス アジレント・テクノロジーが、サービスおよびサポートにおいてお約束できることは明確です。リス クを最小限に抑え、さまざまな問題の解決を図りながら、お客様の利益を最大限に高めることにあり ます。アジレント・テクノロジーは、お客様が納得できる計測機能の提供、お客様のニーズに応じた サポート体制の確立に努めています。アジレント・テクノロジーの多種多様なサポート・リソースと サービスを利用すれば、用途に合ったアジレント・テクノロジーの製品を選択し、製品を十分に活用 することができます。アジレント・テクノロジーのすべての測定器およびシステムには、グローバル 保証が付いています。製品の製造終了後、最低5年間はサポートを提供します。アジレント・テクノロ ジーのサポート政策全体を貫く2つの理念が、「アジレント・テクノロジーのプロミス」と「お客様の アドバンテージ」です。 アジレント・テクノロジーのプロミス お客様が新たに製品の購入をお考えの時、アジレント・テクノロジーの経験豊富なテスト・エンジニ アが現実的な性能や実用的な製品の推奨を含む製品情報をお届けします。お客様がアジレント・テク ノロジーの製品をお使いになる時、アジレント・テクノロジーは製品が約束どおりの性能を発揮する ことを保証します。それらは以下のようなことです。 ● 機器が正しく動作するか動作確認を行います。 ● 機器操作のサポートを行います。 ● データシートに載っている基本的な測定に係わるアシストを提供します。 ● セルフヘルプ・ツールの提供。 ● 世界中のアジレント・テクノロジー・サービス・センタでサービスが受けられるグローバル保証。 お客様のアドバンテージ お客様は、アジレント・テクノロジーが提供する多様な専門的テストおよび測定サービスを利用する ことができます。こうしたサービスは、お客様それぞれの技術的ニーズおよびビジネス・ニーズに応 じて購入することが可能です。お客様は、設計、システム統合、プロジェクト管理、その他の専門的 なサービスのほか、校正、追加料金によるアップグレード、保証期間終了後の修理、オンサイトの教 育およびトレーニングなどのサービスを購入することにより、問題を効率良く解決して、市場のきび しい競争に勝ち抜くことができます。世界各地の経験豊富なアジレント・テクノロジーのエンジニア が、お客様の生産性の向上、設備投資の回収率の最大化、製品の測定確度の維持をお手伝いします。 Copyright 2002 アジレント・テクノロジー株式会社 参照資料 1 Allen Montijo, "Weigh the Alternatives for Spectral Analysis," Test & Measurement World, November 1999, Vol. 19, No. 14 2 Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Digital Signal Processing, Prentice-Hall, Inc., 1975 3 Robert A. Witte, Spectrum & Network Measurements, Noble Publishing, 2001 4 "Dynamic Performance Testing of A to D Converters," Hewlett Packard Product Note 5180A-2 5 Martin B. Grove, "Measuring Frequency Response and Effective Bits Using Digital Signal Processing Techniques," Hewlett Packard Journal, February 1992, Vol. 43, No.1 6 Steven M. Kay, Modern Spectral Estimation, Prentice Hall, 1988 テストおよび測定のニーズに対する支援、および最寄りのアジレント・テクノロ ジーのオフィスについては、次のサイトを参照してください。 www.agilent.com/find/assist April 8, 2002 5988-4368JA 0000-00DEP