` = f` (x)

講義編　微分法（１）
今回から「微分法」に入っていきます。
理文共通範囲の微分積分については、予備知識（前提）とし
ます。
今回（１）の主なテーマは【微分係数（右側，左側含む）】・
【微分可能と連続】・【導関数（定義）】・【積，商の微分公式】・
【合成関数の微分公式】です。
■平均変化率 と 微分係数ーーここからーー（復習）ーー
1
A(3 , f(3))
B(move) B(3+h , f(3+h))
直線ABの傾き
A(stop)
y=f(x)
3
3+h
(固定)　(動く)
=
=
f(3+h)-f(3)
(3+h)-3
f(3+h)-f(3)
h
x=3からx=3+hまでの，関数 y=f(x)の平均変化率
ここで， hを限りなく0に近づけると，点 Bは限りなく点Aに
近づく｡　そして，
f(3+h)-f(3)
h
h→0
lim (直線ABの傾き) = lim
h→0
を，｢関数y=f(x)の，x=3における微分係数｣ または
｢関数y=f(x)の，x=3における接線の傾き｣ といい，
f' (3) で表す｡
（注　極限値が存在するときの話｡）
まとめると，
lim(直線ABの傾き) = lim
h→0
h→0
f(3+h)-f(3)
= f' (3)
h
= ｢関数y=f(x)の，x=3における微分係数｣
= ｢関数y=f(x)の，x=3における接線の傾き｣
-1-
2
注）図で， 3+h=x とかくと，
f(x)-f(3)
と書きかえることもできますね｡
x-3
x→3
lim
イメージ
傾きf' (3)
B
いくと……
→→直線が見えてきますね!!
dx
3
3
の近傍をどんどん拡大して
dy
A
曲線y=f(x)上の点A(x=3)
この直線を｢y=f(x)の，x=3における接線｣
と呼ぶわけです｡
dx……xの微分（微小増加分）
dy……yの微分（微小増加分）
dy
= f' (3)
dx
∴dy = f' (3)dx　（ただし，x=3の近傍で）
この式を見ると，｢微分係数｣という名前も納得ですね｡
さて，上の説明で，《 3の代わりに文字aを使う》と，
4
関数y=f(x)の，x=aにおける微分係数
f' (a) = lim f(a+h)-f(a)
h
h→0
B
f(x)-f(a)
x-a
x→a
=lim
C
(関数y=f(x)の，x=aにおける接線の傾き)
注）この極限値 f ' (a) が存在するとき，
f(x)はx=aにおいて微分可能であるという｡
■平均変化率 と 微分係数ーーここまでーー（復習）ーー
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-2-
■右側微分係数＆左側微分係数
f(a+h)-f(a)
f(a+h)-f(a)
, lim
が存在するとき，
h
h
h→+0
h→-0
lim
この極限値をそれぞれ，
f(x) の x=a における｢右側微分
係数｣，｢左側微分係数｣という。
B
f(a+h)-f(a)
h
h→0
f(x) が x=a で微分可能である f ' (a)=lim
C
が存在する ための必要十分条件は，f(x) の x=a にお
f(a+h)-f(a)
と左側微分係数
h
h→+0
B
C
f(a+h)-f(a)
lim
h
B
C がともに存在して，かつその値が等
ける右側微分係数 lim
h→-0
しいことである。
[例] f(x)=|x| について。
f(0+h)-f(0)
|h|
h
= lim
= lim = 1
h
h
h→+0
h→+0
h→+0 h
lim
f(0+h)-f(0)
|h|
-h
= lim
= lim
= -1 より
h
h
h→-0
h→-0
h→-0 h
lim
x=0 における右側微分係数，左側微
5
4
分係数がともに存在するが、その値
3
2
が等しくないから、 f(x) は x=0 で微
1
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
分可能でない。（ f ' (0)は存在しない｡）
[参考] 定性的に言うと，微分可能とは，グラフが｢ツナガ
ッテイテ｣（これを連続という），｢ナメラカ｣なことである。
（ex. y=|x|のグラフは， x=0 でナメラカでない。）
-3-
注）ただし，｢ナメラカ｣なのに微分可能でないこともある。
1
3
2
3
f(x)=x ( = x) のとき，
1
2
-3
-2
-1
1
0
2
1 -3 1 1
f ' (x) = x = ⋅ 3
であり， x=0
3
3
2
x
3
-1
で微分可能でないが，グラフは
2
｢ツナガッテイテ｣（連続）、｢ナメラカ｣である。
《接線が y軸に平行なとき、このようなことがおきる。》
■微分可能と連続
関数 f(x) が x=a で微分可能ならば、
f(x) は x=a で連続である。
注）この定理の逆は成り立たない｡（ ex. y=|x| (x=0)）
理由（証明）
f(x) が x=a で微分可能（i.e. f ' (a)が存在する）ならば
lim{ f(x)-f(a)} = lim
x→a
x→a
= f ' (a)⋅0 = 0
F
f(x)-f(a)
(x-a)
x-a ⋅
G
よって lim f(x) = f(a)
x→a
すなわち f(x) は x=a で連続である。 (fin)
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例題１
関数 f(x) =
F
2
x +2 (x≦2)
2
-2x +ax+b (x>2)
が x=2 で
微分可能であるとき、定数a , b の値を求めよ。
解 まず，微分可能であるためには、連続であることが
必要なので lim f(x) = lim f(x) = f(2)
x→2+0
⇔ 2a+b-8 = 6 = 6
x→2-0
⇔
2a+b=14 ……①
①の下で，（x=2で）微分可能であるための条件は
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0
-1
-2
《右側微分係数》＝《左側微分係数》
f(2+h)-f(2)
h
h→+0
⇔ lim
1
2
3
4
5
6
f(2+h)-f(2)
h
h→-0
= lim
-4-
2
注）左辺（のf(2+h)）に f(x)=-2x +ax+b ,
2
右辺（のf(2+h)）に f(x)=x +2 を適用して極限計算
をしてもよいのだが，次のようにする方がラク。
⇔ lim f ' (x) = lim f ' (x)
x→2+0
x→2-0
2
左辺では 2<x なので f(x)=-2x +ax+b より
f ' (x)=-4x+a
2
右辺では x<2 なので f(x)=x +2 より f ' (x)=2x
⇔ lim (-4x+a) = lim (2x)
x→2+0
x→2-0
⇔ a-8=4 ⇔ a=12 ……②
①②より a=12 , b=-10 (ans)
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■導関数　（復習）
aの値を１つ決めると， f ' (a) の値が唯１つ決まる｡
つまり，｢f' (a)は , aの関数｣なので
aの代わりに x とかくと，新しい関数 f' (x)が得られる｡
これを y=f(x) の導関数といい，
f ' (x) , y' ,
dy
d
,
f(x) などと表す｡
dx
dx
f' (x) = lim f(x+h)-f(x)
h
h→0
（導関数の定義）
注） f(x)が与えられたとき，｢f ' (x)を求める｣ことを，
｢f(x)を微分する｣という｡
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関数 f(x) = x を（導関数の定義を用いて）
例題２
微分せよ。
解
x+h - x
f(x+h)-f(x)
= lim
h
h
h→0
h→0
f ' (x) = lim
= lim
h→0
B
x+h - x x+h + x
⋅
h
x+h + x
C
-5-
(x+h)-x
1
1
= lim
=
(ans)
h→0 h( x+h + x )
h→0 x+h + x
2 x
= lim
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■線型性・線形性　(証明は略)　（復習）
・ { c⋅f(x)} ' = c⋅f'(x) (cは定数)
・ { f(x)+g(x)} ' = f'(x) + g'(x)
■積の微分公式
{ f(x)⋅g(x)} ' = f' (x)⋅g(x)+f(x)⋅g' (x)
理由（証明）
f(x+h)-f(x)
g(x+h)-g(x)
= f ' (x) , lim
= g ' (x)
lim
h
h
h→0
h→0
であることに注意して、
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)
h
h→0
{ f(x)⋅g(x)} ' = lim
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)
h
h→0
=lim
=lim
h→0
F
f(x+h)-f(x)
g(x+h)-g(x)
g(x+h) + f(x)⋅
⋅
h
h
= f ' (x)g(x) + f(x)g ' (x)
G
(fin)
■商の微分公式
F
f(x) ' f' (x)⋅g(x)-f(x)⋅g' (x)
2
g(x) =
{ g(x)}
G
理由（証明）
f(x) '
1 '
1
1 '
= f(x)⋅
= f ' (x)⋅
+f(x)⋅
g(x)
g(x)
g(x)
g(x) …①
F G F
G
F G
1
1
g(x+h) g(x)
1 '
ここで g(x) = lim
h
h→0
F G
= lim
h→0
1 g(x)-g(x+h)
-1
g(x+h)-g(x)
= lim
⋅
⋅
h g(x+h)g(x)
h
h→0 g(x+h)g(x)
-6-
=
-1
g ' (x)
2 ⋅g ' (x) = 2 であるので
{ g(x)}
{ g(x)}
g ' (x)
1
① = f ' (x)⋅ g(x) + f(x)⋅ 2
{ g(x)}
H
=
f ' (x)⋅g(x)-f(x)⋅g ' (x)
2
{ g(x)}
I
(fin)
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次の関数を（ xで）微分せよ。
例題３
2
3
(1) y=(3x-7)(2x +x-4)
2
(2) y=(x +1)
(3) y=ax(bx+1)(cx-1) （a , b , cは定数）
解 (1) F(3x-7)(2x2+x-4)G '
2
2
= (3x-7)'⋅(2x +x-4) + (3x-7)⋅(2x +x-4)'
2
2
= 3(2x +x-4) + (3x-7)(4x+1) = 18x -22x-19 (ans)
3
2
3
3
(2) F(x +1) G ' = F(x +1)(x +1)G '
3
3
3
3
3
3
= (x +1)'⋅(x +1) + (x +1)⋅(x +1)' = 2(x +1)⋅(x +1)'
3
2
2
3
= 2⋅(x +1)⋅3x = 6x (x +1)
(ans)
参考）今回後で学ぶ｢合成関数の微分公式｣を用いると
3
2
3
3
一気に F(x +1) G ' = 2(x +1)⋅(x +1)' と計算できます。
2
(3) { ax(bx+1)(cx-1)} ' = F(abx +ax)⋅(cx-1)G '
2
2
= (abx +ax)'⋅(cx-1) + (abx +ax)⋅(cx-1)'
2
= (2abx+a)⋅(cx-1) + (abx +ax)⋅c
2
= 3abc⋅x -2a(b-c)⋅x-a
(ans)
参考）もちろん｢展開してから微分｣しても OKです。
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例題４
次の関数を（ xで）微分せよ。
2
1
3x -6x+1
(2) y=
(1) y=
2
2
(x+3)
x +1
2
2
解
1
' 0⋅(x+3) - 1⋅ F(x+3) G '
=
(1)
2
2 2
(x+3)
F(x+3) G
F
=
G
-2(x+3)
-2
4 =
3
(x+3)
(x+3)
(ans)
-7-
2
2
2
2
2
3x -6x+1 ' (3x -6x+1)'(x +1)-(3x -6x+1)(x +1)'
(2)
=
2
2
2
x +1
(x +1)
F
G
2
2
2
(6x-6)⋅(x +1) - (3x -6x+1)⋅(2x) 6x +4x-6
=
(ans)
=
2
2
2
2
(x +1)
(x +1)
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■合成関数の微分公式
y=f(u)
F u=g(x) のとき
[イメージ]
dy dy du
=
!!
dx du ⋅ dx (分数のように扱える )
g
f
x →→→→→ u →→→→→ y
dy
注） dx = [xy平面における接線の傾き]
dy
= uy
du [ 平面における接線の傾き]
du
= xu
dx [ 平面における接線の傾き] であることに注意
dy dy du
すると、 dx = du ⋅ dx を直感的に理解できるでしょう。
y
y
x
u
u
x
dy
注） dx , ⌠ などは ライプニッツ（ Gottfried Wilhelm
⌡
Leibniz , 1646-1716）の考え出した記号である。
彼はつねづね｢適切な記号は思考を助ける｣と言ってい
て，微積分におけるこの記号化は，彼の傑作といえるだ
ろう。
注）｢導関数の定義｣からの説明は省略する。
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次の関数を（ xで）微分せよ。
例題５
2
4
(1) y=(5x -3)
x
(2) y=
x+1
B C
3
-8-
解
2
4
(1) y=(5x -3)
F
⇔
4
y=u
2
u=5x -3
dy dy du
3
2
3
∴ dx = du ⋅ dx = 4u ×10x = 4(5x -3) ×10x
2
3
= 40x(5x -3)
(ans)
参考）慣れてきたら，いちいち置き換えずに
n
n-1
(□ ) ' = n⋅□ ⋅□'
x
(2) y=
x+1
B C
F
3
⇔
という感じで計算すればよろしい。
3
y=u
u=
x
x+1
dy dy du
2 1⋅(x+1)-x⋅1
∴ dx = du ⋅ dx = 3u ×
2
(x+1)
=3
x
x+1
B C
2
2
×
1
3x
2 =
4
(x+1)
(x+1)
(ans)
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■逆関数の微分公式
dy
1
=
dx
dx
dy
（分数のように扱える）
■媒介変数（パラメータ）で表された曲線の微分公式
x=f(t) , y=g(t) のとき
dy
dt
dy
g ' (t)
=
=
dx
f ' (t)
dx
dt
dx
B dt ≠0のときC
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【◇…スタンダード、◇◇…ハイレベル】
（◇）次の関数を（xで）微分せよ。
演習１
2
2
(1) y=(3x +3x-1)(2x +2x+3)
3
2
(2) y=(2x +x+1)
(3) y=
x
x +1
2
-9-
演習２
F
2
x +1 （x≦1）
について、
（◇）f(x)=
2
-2x +ax+b （x>1）
f(x) が x=1 で微分可能となるように，定数a , b の値を定
めよ。
- 10 -