8. 戦略のためのExcel

第 VIII 部 戦略
第 8 部 戦略
製品開発や営業などの企業活動や一般社会活動において、さまざまな戦略が取られます。戦いに勝
つためには、古来「空間的・時間的に兵力を１点に集中せよ」といわれます。有名な戦略として「ラ
ンチェスターの法則」があります。イギリスの航空工学のエンジニアであった Frederick William
Lanchester（1868-1946）が発見した法則で、コロンビア大学の数学教授 Bernard Osgood Koopman
とアメリカ海軍作戦研究班が軍事目的のランチェスター戦略として展開し、日本の田岡信夫
（1927-1984）が販売戦略として確立したものです。
ランチェスター戦略には、第一の法則と第二の法則があり、組織の販売能力を「１人あたりの販売
能力」×人数に分解した場合、第一の法則は、
「人数が同じ場合には、１人あたりの能力が高い方が勝
つ」
、第二の法則は、
「１人あたりの能力が変わらなければ、人数が多い方が勝つ」というものです。
さらに、１次法則と 2 次法則にわけると、前者は「一騎打ちで勝つ」ための法則、後者は「集団戦で
勝つ」ための法則ということができます。ここでは、Excel の機能を用いて数学モデルをビジュアル
に表現して知見を得ます。
1. ランチェスターの１次法則
1.1 数学モデル
X 軍と Y 軍が一騎打ちで戦う場合を考えます。今、Y 軍の兵士 1 人は X 軍の兵士を E 人倒すとす
ると、E が高ければ高いほど、能力が高いことになります。この能力を表す係数 E を交換比といいま
す。
このような場合、X 軍の生存者を x、Y 軍の生存者を y とすると、次式が成立します：
(式 1)
E(y0－y)＝(x0－x)
ここで、y0、x0 は Y 軍、X 軍の最初の人数（初期値）です。したがって、(y0－y)、(x0－x)は Y 軍、
X 軍それぞれの戦死者の数です。
（式１）を変形します。
𝟏
𝒚＝𝒚𝟎 − (𝒙𝟎 − 𝒙)
(式 2)
𝑬
表 1 式 2 から考えられる状況
ケース
条件
y0、x0
状況
E
1
y0 ＞ x0
E ＞ 1
Y は兵士数が多く、能力も高い
2
y0 ＞ x0
E ＜ 1
Y は兵士数が多いが、能力は低い ：Y が勝つか不明
3
y0 ＜ x0
E ＞ 1
Y は兵士数が少ないが、能力が高い：Y が勝つか不明
4
y0 ＜ x0
E ＜ 1
Y は兵士数が少なく、能力も低い
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：Y が勝つ
：Y は負ける
第 VIII 部 戦略
式 2 から考えられる状況は表 1 のとおりです。ケース 1、4 は、勝負は明らかです。では、ケ
ース 2，3 で Y が勝つためにはどうしたら良いのでしょうか？
1.1 Excel の利用
まず、ケース 3 の場合を検討します。x0＝300、y0＝100 （y0＜x0）とします。交換比 E の値
を変えながら、
（式 2）の x と y の関係を数表（図 1）とグラフ化（図 2）します。
図 1 交換比 E の値を変えて式 2 を計算する（初期値 y0＝100、x0＝300）
y：Y軍の人数
ランチェスター1次法則
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
100
200
x :X軍の人数
300
y2
y3
y4
y1
図 2 ランチェスターの 1 次法則のグラフ化
Y 軍の人数 y、または X 軍の人数 x が 0 になった時点で戦いは終わりです。図 2 から、y1、
y2 は Y 軍の負け、y3 は引き分け、y4 は Y の勝ち、であることがわかります。
9-2
第 VIII 部 戦略
Y 軍が勝つためには、𝐸
> 𝑦𝑥00
でなければならないことがわかります。
【個人戦で少数軍が勝利するためには、人数比より高い能力（交換比）が必要】
2．ランチェスターの 2 次法則
2.1 数学モデル
X 軍と Y 軍が集団で戦う場合を考えます。X 軍の生存者を x、Y 軍の生存者を y とし、Y 軍の死亡
者数は、X 軍の生存者数 x に比例すると仮定します。同様に、X 軍の死亡者数は Y 軍の生存者数 y に
比例するとします。ここで、k は、比例定数です。
－dy ＝ k1x
－dx = k2y
これら 2 式から、式 3 を得ます。
𝐝𝒚
𝐝𝒙
=
𝒙
𝑬𝑬
(式 3)
X 軍と Y 軍の初期値を x0、y0 として（式 3）を解くと、
𝐸(y0 2 − y 2 ) = x0 2 − x 2
𝐲 𝟐 = 𝐲𝟎 𝟐 − 𝑬𝟏(𝐱 𝟎 𝟐 − 𝐱 𝟐 )
(式 4)
2.2 Excel の利用（１次と２次の比較）
x0＝300、y0＝300 （y0＝x0）とします。交換比 E＝2 とし、式 2 と式 4 により両軍の生存者
を計算し、グラフ化します。
図 3 ランチェスターの 1 次・２次法則の比較
9-3
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2.3 Excel の利用（交換比の違い）
x0＝200、y0＝100 （y0 ＜ x0）とします。交換比 E を変化させ、(式 4)にしたがって 2 次法
則に従うグラフを作成します。両軍が同時に 0（相打ち）になる場合の E 値を限界交換比と言い
ます。
図 4 ランチェスタの 2 次法則：限界交換比は 4 以上
限界交換比は、E＝(x0/y0)2 になります。
2.3 勝者の損害
勝敗だけでなく、損害の大きさを予測します。損害の目安として、軍隊では 30%の戦死者をもって
全滅とします。戦死者 1 人に対して 2 倍以上の負傷者がいると考えるからです。
図 5 では、x0＝70、y0＝100 （y0 ＜ x0）とし、交換比 E=1 と 2 において計算をしています。
実戦では、交換比は 1 に近い値です。
9-4
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図 5 勝者の損害
[問題]
1． アメリカ軍は、敵の 3 倍の数で攻撃するのを原則としています。１次法則を適用し、損害を予
測してください。E=1 とします。
2． アメリカ軍は、敵の 3 倍の数で攻撃するのを原則としています。2 次法則を適用し、損害を予測
してください。E=1 とします。
[発展問題]
1．M コンビニエンスストアは、K コンビニエンスストアとライバルです。そこで、M コンビニは、
出店数を K の 5 倍とし、広告も K の 2 倍の効果が出るようにしました。
ここでは、1 次法則と 2 次法則の中間であるという仮定で、勝敗の様子を示しなさい。
＜ヒント：𝐲 α
= 𝐲𝟎 α − 𝑬𝟏(𝐱 𝟎 α − 𝐱 α )
を利用する。ここで、α=1.5＞
9-5