格子QCDによるアプローチ

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格子QCDによるアプローチ

シンポジウム：核子構造の３次元的な理解に向けて
2011年9月16日、日本物理学会（弘前大学）
格子QCDによるアプローチ
佐々木勝一（東京大学）
このトークでは触れません
• フレーバー１重項に関連する物理量
• 核内クォーク軌道角運動量の寄与
• 一般化されたパートン分布関数
• 横方向運動量依存のパートン分布
このトークで触れる物理量
•
一般化されたパートン分布関数の前方極限 (t→0かつ
ξ→0)での振る舞い
•
非偏極、縦偏極パートン分布関数の低次モーメント：
平均クォーク運動量分布、平均クォークヘリシティ分布
•
核子の形状因子の零運動量移行近傍の振る舞い：
軸性電荷、異常磁気能率、荷電半径
アイソスピン対称な計算(mu=md)では、これらのアイソベクター成
分はいわゆるベンチマーク計算に相当する。
• 格子QCDのイロハ
• 格子QCDシミュレーションの現状
• 格子QCDによる核子構造研究
• 理研-BNL-コロンビア(RBC)の結果
• 問題点
• 現在進行中の計算
格子QCDのイロハ
格子上の場の理論
４次元ユークリッド空間上の格子点上で経路積
分を用いて場の理論を定義
•
格子間隔 a :紫外発散の有限化(−π/a < kµ ≤ π/a)
•
格子点(site)は４組の整数 n = (n1 , n2 , n3 , n4 )
•
微分は差分に置き換え
site ✲ �
�
�
link ✲ �
�
�
�
�
� �
� � ✻
� � L
� � ❄
✛
✲
a
フェルミオンの運動項の格子化
Scon =
d4 xΨ̄(x) (γµ ∂µ + m) Ψ(x)
Ψ(x) → Ψ(n)
格子化
差分
�
�
1�
�
∂µ Ψ(x) →
∆µ Ψ(n) + ∆µ Ψ(n)
2 前進差分
後進差分
1
=
(Ψ(n + µ̂) − Ψ(n − µ̂))
2a
Slat = a
4
�
� �
n
µ
中央差分エルミート性の保持
�
Ψ(n + µ̂) − Ψ(n − µ̂)
+ mΨ̄(n)Ψ(n)
Ψ̄(n)γµ
2a
格子上の自由なフェルミオン作用
ゲージ場の格子化リンク変数の導入
Ψ̄(n)∂µ Ψ(n) の差分化に伴う非局所項 Ψ̄(n)Ψ(n ± µ̂) は
ゲージ変換 Ψ(n) → V (n)Ψ(n) に対して不変でない。
Ψ̄(x)Ψ(y) に対してゲージ不変性を保つた
連続理論においても非局所的な †
めに、ゲージ変換に対して、 U (x, y) → V (x)U (x, y)V (y) と変換する関
数を Ψ̄(x)U (x, y)Ψ(y) のように挟んでゲージ不変な非局所演算子を作る。
U (x, y) はU(1)理論においてはなじみがあり、
このとき U (x, y) = e
ig
Rx
y
Aµ (z)dzµ
→ Pe
ig
Rx
y
a
Aa
µ (z)T dzµ
格子理論の運動項においても同様なゲージ不変な取り扱い
が考えられる。
Uµ (n) ≡ eiagAµ (n)
リンク変数
!
!
!
Ψ̄(n)Uµ (n)Ψ(n + µ̂)
! n !! !
Uµ (n)
!
!! µ
ゲージ場の運動項プラケット変数の導入
格子上でゲージ場の運動項はどのようになるべきか？
作用決定の指導原理として
•
ゲージ不変
•
a → ０で連続理論に帰着
•
ゲージ対称性以外の連続理論の持つべき対称性を最大限共有
※格子上の定義には任意性がある
リンク変数によるゲージ不変量は任意のループCに沿ってリンク変数
の積をとって、そのトレースをとればよい
イオンの質量がゼロになる κ が β の全ての領域で存在し、そのような
数として、強結合極限と連続極限の間 1/4 ≥ κc (β) ≥ 1/8 を単調に結
ている。
ゲージ場の運動項プラケット変数の導入
1.5.2
プラケット変数の導入
リンク変数によるゲージ不変量は任意の閉じたループ (C) に沿っ
リンク変数によるゲージ不変量は任意のループCに沿ってリンク変数
とって、そのトレースをとったもの, の積をとって、そのトレースをとればよい。
Tr (P Π U )
"
C
(3
"
Tr (P ΠC U )
ジ不変なことはリンク変数のゲージ変換
リンク変数のゲージ変換
変なことはリンク変数のゲージ変換
Uµ (n) → V (n)Uµ (n)V † (n + µ̂)
(34)
!
Uµ (n) → V (n)Uµ (n)V † (n + µ̂)
!
C
Uµ (n) → V (n)Uµ (n)V † (n + µ̂)
(35)
閉じたループとして一番簡単なものは、最小の正方形で
。閉じたループとして一番簡単なものは、最小の正方形で
11
じたループとして一番簡単なものは、最小の正方形で
! !!
#
= Uµ (n)Uν (n† + µ̂)Uµ (n
+ ν̂)U
! !!
"
! !$
†
#
=
n Uµ (n)Uν (n + µ̂)Uµ (n + ν̂)U (n)
"
! !$
†
†
(n)
(36)
(3
(3
n
に作用を構成するゲージ不変な要素としてプラケット変数
作用を構成するゲージ不変な要素としてプラケット変数を定義する
用を構成するゲージ不変な要素としてプラケット変数
! ! !! "
1
!
"
1(n) = ! !!Tr #
P
µν
"
! !$
Pµν (n) =
Tr "
#
N
!
!
$
c
Nc
(37)
(3
Uµ (n) → V (n)Uµ (n)V † (n + µ̂)
により明らか。閉じたループとして一番簡単なものは、最小
ゲージ場の運動項連続理論との整合性
! !!
†
#
=
U
(n)U
(n
+
µ̂)U
µ
ν
µ (n + ν̂)U
"
! $
!
n
ゲージ不変なプラケット変数で格子上のゲージ作用を記述する
これをベースに作用を構成するゲージ不変な要素としてプラ
! ! !! "
2Nc � �
1
Tr "
#
Slat = − 2
Pµν (n)
with Pµν (n) =
! !$
Nc
g
n µ>ν
を定義する。このゲージ不変なプラケットで格子上のゲージ
4
表されることが分かる。
a や a の項の係数 X3 ,X4 の具体的な計算は省くが、X3 、X4
一見すると連続理論のゲージ作用と似て非なるものの様であるが、
#
いづれも SU(3) の Rie 環の元であるので、トレースをとると Trλa = 0 で C
Tr{X
=
3 }#
S=− 2
Pµν (n)
{X4 }a→０の連続極限を考えると
= 0 となることを次で使う。
g" n µ!=ν
!
2
! !!
g 2� 4 3
g 2 a4
4
Tr{ "
#
=N
TrC 1−
+ iga Fµνa +Tr{F
a X3 +µν
aF
Xµν
Fµν Fµν + O(a5 )
4 +}
! !$} =
2
2
�
と与えられる。
a → 0 としたときに、この格子上のゲージ不
g 2 a4 a6
62
4 であ
6
= NC +Mills+
Tr{F
Fµν } + O(a
) + D 2 )F } + O(a8 ) (42)
µν
作用に一致すること、またそのためには
C
=
N
Tr{F
(D
+
O(g
a
)
c
µν
µν
2
µ
ν
3
12
算を見やすくするために
Bµ ≡ gaAµ とおく。プラケットは
辺一行目の第２項から４項までは、それぞれ Rie 環の元のトレースレスの性質から落
2
4
る。第５項のように、二つ以上の Rie 環の元の積は
Rie 環の元ではないのでトレースを
! !!
lat
con
2
4 eiBµ (n) eiBν (n+µ̂) e−iBµ (n+ν̂) e−
#
=
っても残る。物理に関係ない定数項を無視すれば a → 0 で "
! !$
n
#1#
lattice
artifact
4
S → −a
Tr{Fµν F
(43)
µν }
=S
+a S +a S +···
}
S
格子QCDにおけるパラメータ
•
クォーク質量(mu=md, ms)と格子間隔 a(g)
INPUT: π, K中間子の質量とΩバリオンの質量
u,d,s (2+1 ﬂavor)
u,d (2 ﬂavor)
quench approx.
CP-PACS collaboration
格子QCDにおける系統誤差
４つの起源
•
クォーク真空偏極：動的クォークの数
•
有限格子間隔 a :紫外発散の有限化
•
有限体積効果 L :格子点は有限
•
クォーク質量の物理点へのカイラル外挿
動的クォークの数
!
1
!O(U, ψ)" =
Dψ̄DψDU O(U, ψ)e−SG (U )−ψ̄M (U )ψ
Z
!
1
=
DU O(U, M −1 (U ))(det{M (U )})Nf e−SG (U )
Z
!
1
=
DU O(U, M −1 (U ))e−SG (U )+Nf TrLnM (U )
Z
det{M (U )} = 1 ⇐⇒ Nf = 0
シミュレーションの現状
格子QCDシミュレーションの現状
現実的な格子QCDシミュレーションの確立
ストレンジネスを含む動的クォーク効果を完全
に含んだシミュレーション（２＋１フレーバー）
厳密なカイラル対称性を持つ（JLQCD, RBC)
physical pointでの計算（PACS-CS）
数値計算の精密化
物理量によっては実験値との誤差が数%以下
Collaboration
MILC
MILC
MILC
MILC
MILC
MILC
RBC-UKQCD
PACS-CS
JLQCD
ETMC
•
Nf
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1
2+1+1
a (fm)
0.18
0.15
0.12
0.09
0.06
0.045
0.114
0.084
0.091
0.11
0.078, 0.086
La(fm)
2.9
2.9
3.8
2.4-5.8
2.9-3.8
2.9
2.7
3.1
3.0
1.8
2.8
mπ (MeV)
> 260
> 230
> 260
> 164
> 310
> 310
> 330
> 300
> 156
> 300
> 280
Fermion action
O(a2 )-improved Staggered
O(a2 )-improved Staggered
O(a2 )-improved Staggered
O(a2 )-improved Staggered
O(a2 )-improved Staggered
O(a2 )-improved Staggered
Domain wall fermion
Domain wall fermion
O(a)-improved Wilson
Overlap fermion
Twisted mass Wilson
Wilson-type fermion (Wilson, O(a)-improved Wilson)
No chiral symmetry
•
Staggered-type fermion (Staggered, Asqtad etc)
No ﬂavor symmetry
•
Chiral (Ginsparg-Wilson) fermion (Overlap, DWF)
Exact chiral symmetry and complete ﬂavor symmetry
格子QCDシミュレーションの現状
動的クォークの数
２＋１フレーバー（mu=md ms, mc,b,t= ）
格子間隔（カットオフ）
1.7 GeV 2.2 GeV
有限体積（空間のサイズ）
2.0 fm 3.0 fm
クォークの質量（π中間子の質量)
最も軽いπ中間子が350 MeV 以下
現実的シミュレーションの取り組み
日本における主な拠点
筑波大学（PACS-CS collaboration)
‣
Wilson形式による物理的クォーク質量近傍でのシミュレーション
KEK（JLQCD collaboration)
‣
Overlap形式による厳密なカイラル対称性を持つシミュレーション
理研BNL（RBC collaboration）
‣
DWF形式による現実的な対称性を持つシミュレーション
PACS-CS collaboration
Physical pointに向けて
CP-PACSからのアップグレード
PACS-CS collaboration
• Nf=2+1 simulations
mK [MeV]
simulation points
• O(a)-improved Wilson quark
1000
• 323 x 64 lattice
CP-PACS/JLQCD
PACS-CS
Physical Point
• a = 0.09 fm (a-1 = 2.2 GeV)
500
• V=(2.9 fm)3
0
500
m! [MeV]
1000
unitary points with mπ <
∼400MeV
Phys. Rev. D79 (2009) 034503
Phys. Rev. D81 (2010) 074503
PACS-CS collaboration
κud = 0.137785, κs = 0.13660
2
meson
octet baryon
decuplet baryon
1.5
∗
∗
m[GeV]
*
K
φ
Λ
PACS-CS collaboration
Ω
• Nf=2+1 simulations
Ξ
Σ
Ξ
1
27
Δ
Σ
• O(a)-improved Wilson quark
N
ρ
• 323 x 64 lattice
0.5
K
0
chpt fse ( mπ,mK,mΩ-input )
κ ud=0.137785
• a = 0.09 fm (a-1 = 2.2 GeV)
π
ChPT
experiment
κud = 0.137785
S
mM
ud [MeV]
2.53(5)
3.5(3)
S
mM
[MeV]
s
72.7(8)
−
fπ [MeV]
134.0(4.2)
fK [MeV]
159.4(3.1)
−
130.7 ± 0.1 ± 0.36
159.8 ± 1.4 ± 0.44
73.4(2)
129.0(5.4)
160.6(1.4)
• V=(2.9 fm)3
Phys. Rev. D79 (2009) 034503
Phys. Rev. D81 (2010) 074503
JLQCD collaboration
ᾁώᾃ ᾙᾛᾠᾒᾓἉἱἷἾὊἉἹὅ ᾉ ኽௐ
質量の起源 Phys. Rev. Lett. 104 (2010)
122002
ǫǤȩȫϹ጑
�0|qq|0� =
� 1961)
!"!0! "! z カイラル対称性の自発的破れ (Nambu,
! э ǫǤȩȫ‫ݣ‬ᆅࣱƷᐯႆႎᄊǕ ҤᢿŴ
厳密なカイラル対称性を持つシミュレーションで検証
౨ᚰ !""఍‫܇‬᳋ᲽᲾ Ქ ǪȸȐȸȩȃȗ
э #$%&'
‣
Dirac演算子の固有値分布#
‣
lim
F & "πρ(λ,
v ! !m) ∝ �q̄q�
Banks-Casher関係式
z ȈȝȭǸȸज़Ӗྙm→0
z ᳁᳇᳉᳌᧙̞ࡸ
#S " v ! !
%$
#
O
‣
z !Ʒ‫׍‬ஊ͌Ўࠋ
'
ε-regimeのパイオン相関関数
‣
トポロジカル感受率
χt /m ∝ �q̄q�
‣
GMOR関係式
఍‫܇‬ǵǤǺ
Mπ2 /m ∝ �q̄q�
z İ()*+,-*ƷႻ᧙᧙ૠ
᳸ ʌɶ᧓‫܇‬ƷǳȳȗȈȳඬᧈ
9
!"#$%&&!"'($ưᚡᡓ
9
᬴ܱɧӧ э ఍‫܇‬᳋ᲽᲾƷૠ᬴ܱ͌
�q̄q�
５つの異なる方法によるの測定
1
3
�0|qq|0�µ=2
GeV [MeV]
RBC collaboration
K meson physics
Precise fK / fπ
Strange quark mass
ε (indirect CP violation)
ε’(direct CP violation)
ΔI=1/2 rule
CKM matrix |Vus|
η’ mass problem
QCD thermodynamics
Nucleon structure
Charges gA, gT
Nucleon form factors
Nucleon structure function
Hyperon beta decay
Neutron EDM
Proton decay
Phase transition temperature Tc
Order of phase transition
Equation of state for QGP
Fate of J/ψ (heavy quarkonium)
Transport coefficients of QGP
Nucleon structure from 2+1f DWF QCD
Y. Aoki, T. Blum, H.-W. Lin, M.-F. Lin, S. Ohta, S. Sasaki, T. Yamazaki
R.J. Tweedie, J.M. Zanotti (RBC+UKQCD collaboration)
•
Nucleon axial charge (gA)
-
•
Isovector nucleon form factors (mean-squared radius)
-
•
Phys. Rev. Lett. 100 (08) 171602
Phys. Rev. D79 (09) 114505
Isovector nucleon structure function ( �x�u−d , �x�∆u−∆d )
-
Phys. Rev. D82 (09) 014501
β=2.13 (a-1=1.7 GeV),V=243 x 64 x 16
Hadron Spectrum
格子QCDのこれまでの成果は？
(measured at or extrapolated to the physical point)
2+1 ﬂavor staggered QCD
Dürr
et al. (BMW) Science 322 (2008) 1224
(HPQCD/MILC/UKQCD/Fermilab)
2+1 impr. Wilson fermions,
mPS ≥ 190 MeV
Aoki et al. (PACS-CS) Phys. Rev. D79(2009) 034503
2+1 impr. Wilson fermions,
mPS ≥ 160 MeV no systematic error incl.
Lin et al. (HSC) Phys. Rev. D79 (2009) 034502
2+1 anistropic Clover fermions,
mPS ≥ 370 MeV no systematic error incl.
Alexandrou et al. (ETMC) Phys. Rev. D78 (2008)
014509
2 twisted mass fermions,
mPS ≥ 300 MeV
MILC prelim. arXiv:0903.3598[hep-lat],. . .
2+1 impr. staggered fermions,
mPS ≥ 240 MeV no systematic error incl.
LHPC Phys.Rev. D79 (2009) 054502
MA: 2+1 stagg. sea/DWF valence,
mPS ≥ 300 MeV
2+1 ﬂavor light hadron spectroscopy
1800
mH [MeV] From Scholz@lattice2010
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
BMW
PACS-CS
HSC
ETMC
MILC
LHPC
! K " # K$ % a0 a1 b1 N & ' ( ) '$ ($ *
現実的に近いシミュレーションによる計算結果の精密化
ただし、精密計算は主に、、、
クォーク質量やカイラル凝縮
結合定数αs
ハドロンの質量（基底状態）
π、K中間子などのweak matrix element
核子を含むバリオンの物理ではoctet, decuplet バリオンの質量のみ
格子QCDによる
核子構造理解の現状
Nucleon structure from 2+1f DWF QCD
Y. Aoki, T. Blum, H.-W. Lin, M.-F. Lin, S. Ohta, S. Sasaki, T. Yamazaki
R.J. Tweedie, J.M. Zanotti (RBC+UKQCD collaboration)
•
Nucleon axial charge (gA)
-
•
Isovector nucleon form factors (mean-squared radius)
-
•
Phys. Rev. Lett. 100 (08) 171602
Phys. Rev. D79 (09) 114505
Isovector nucleon structure function ( �x�u−d , �x�∆u−∆d )
-
Phys. Rev. D82 (09) 014501
β=2.13 (a-1=1.7 GeV),V=243 x 64 x 16
Diﬃculty for ﬂavor singlet quantity
!ψN (t)O(t! )ψ N (t!! )" possesses two types
of the Wick contraction
t’
t’
n
tio
la
u
lc
t
t’’
t
p
ex
e
e
v
i
ns
ca
t’’
connected contribution
disconnected contribution
Isovector (u-d)
(required for ﬂavor singlet quantity)
Calculation of Matrix Elements (1)
�ψN (t )O(t)ψ N (t )� =
�
��
t
t’
•
�
n,m
−En (t� −t)
e
−Em (t−t�� )
�ψN |n��n|O|m��m|ψ N �e
−EN (t� −t�� )
→ �ψN |N ��N |O|N ��N |ψ N �e
t’’
t� � t
and
t � t��
no dependence of t
Matrix element can be extracted from the following ratio
�ψN (t� )O(t)ψ N (t�� )�
�ψN (t� )ψ N (t�� )�
→ �N |O|N �
核子の構造に関しては
2+1 ﬂavor DWF
実験値
核子軸性電荷 gA
1.19(6)
1.2695(29)
核子異常磁気能率
2.75(28)
3.70589
核子平均２乗半径(Dirac)
0.584(23) fm
0.797(4) fm
核子平均２乗半径(Pauli)
0.636(57) fm
0.879(18) fm
平均クォーク運動量分布
0.218(19)
0.154(3)
平均クォークヘリシティ分布
0.256(23)
0.196(4)
実験値を再現できているとは言えない
大きな有限体積効果の問題
mπ=330MeVで有限体積効果を１％以下に押さえ
るためには3.5∼4.1 fmの空間サイズが必要
核子軸性電荷 gA
1.4
gA
1.3
DWF results
1.2
1.1
Nf=2+1(2.7fm)
Nf=2+1(1.8fm)
L"#
2.7fm
1.8fm
1
0.9
0.8
0.7
0
0.1
0.2
2
0.3
2
0.4
0.5
m! [GeV ]
T. Yamazaki et al., Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 171602.
大きな有限体積効果の問題
ただし、他の物理量ではそれほど問題なさそう。
● 2+1 ﬂavor DWF (2.7 fm)
■ 2+1 ﬂavor DWF (1.8 fm)
注： gA = �1�∆u−∆d
0.35
bare
〈x〉u-d
0.3
0.4
bare
2.7 fm
1.8 fm
0.35
0.25
0.3
0.2
0.25
平均クォーク運動量分布
0.15
〈x〉Δu-Δd
平均クォークヘリシティ分布
0.2
Not yet renormalized
0.1
0
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
2.7 fm
1.8 fm
Not yet renormalized
0.5
0.15
0
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
0.5
Y. Aoki et al., Phys. Rev. D82 (2010) 014501.
核子の大きさの問題
1.1
m!=0.33[GeV] (Nf=2+1 DWF)
experiment
1
dipole form:
0.8
F1 (q 2 ) =
0.7
F1 (0)
(1 + q 2 /M12 )2
2
FV(q )/FV(0)
0.9
0.6
0.5
平均自乗半径 �
0.4
1
�(r1 )2 � 2 =
0.3
0.2
0
0.1
0.2
12
M12
0.3
0.4
2
0.5
2
q [GeV ]
0.6
0.7
0.8
Form factor and Probability density
F and ρ are related through the three-dimensional Fourier integral
F (q2 ) =
!
d3 rρ(r) exp(iq · r)
(Breit frame)
1 2 2
= 1 − q "r # + · · ·
6
!r2 " : mean-square radius
Form factor F (q2 )
Probability density ρ(r)
1
δ(r)
ρ0
(1 + q2 a2 )−1
r exp(−r/a)
(1 + q2 a2 )−2 dipole form
ρ0 exp(−r/a)
exp(−q2 b2 /4)
ρ0 exp[−(r/b)2 ]
3[sin(|q|R)−|q|R cos(|q|R)]
ρ0 θ(R − r)
(|q|R)3
核子の大きさの問題
Dirac rms
1
experiment
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
2 1/2
0.9
(〈r1〉) [fm]
0.8
0.7
0.6
dipole form:
0.5
1
�(r1 )2 � 2 =
0.4
0.3
0
0.1
平均自乗半径
�
12
M12
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
0.5
T. Yamazaki et al., Phys. Rev. D79 (2009) 114505.
v
3
F
2 (0)
v 2
v 2
�(r1 ) � = �(rE ) � −
2
2 MN
核子の大きさの問題
Dirac rms
1
2 1/2
0.9
(〈r1〉) [fm]
0.8
experiment
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
LOHBChPT
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
T. Yamazaki et al., Phys. Rev. D79 (2009) 114505.
Baryon ChPT(LO)
�r12 �(mπ,lat ) = �r12 �exp −
0.5
2
1 + 5gA,exp
ln
2
(4πFπ,exp )
�
m2π,lat
µ2
�
Infrared divergence
核子の大きさの問題
Dirac rms
1
2 1/2
0.9
(〈r1〉) [fm]
0.8
0.7
experiment
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
HBChPT (LO)
0.6
0.5
Pion cloud eﬀect?
0.4
0.3
0
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
T. Yamazaki et al., Phys. Rev. D79 (2009) 114505.
Baryon ChPT(LO)
�r12 �(mπ,lat ) = �r12 �exp −
0.5
2
1 + 5gA,exp
ln
2
(4πFπ,exp )
�
m2π,lat
µ2
�
Infrared divergence
! 2"
#
$
1
13
6
M!
r
þ
6Nl
hr2 iS ¼
ln
;
$
$
4
2
2
2
2
NF
NF
"
(40)
radius, the one-loop formula fails to reprod
hr2 iS as indicated by the quite large value o
the data have a mild quark mass dependenc
the 6 times enhanced chiral logarithm com
This failure of the NLO fits is not due to o
If F is treated as a free parameter, the fit to
an unacceptably large value F ’ 200 MeV
π中間子の大きさにも同様の問題が
where N ¼ ð4!Þ2 , and F is the decay constant in the chiral
limit. We adopt the normalization of the decay constant
F! ¼ 92 MeV at the physical quark mass. The renormal0.5
Expt.
expr’t (PDG)
Phys. Rev. 80 (2009) 034508
<r >S [fm ]
0.4
2
2
2
2
<r >V [fm ]
JLQCD
collaboration,
0.8
expr’t (Nf=2 ChPT)
0.3
0.6
2-ﬂavor dynamical
0.4
overlap
simulations
→ exact chiral symmetry
0.2
0.2
0.0
0.1
0.2
2
2
Mπ [GeV ]
0.3
Volume L 1.9 fm
m
0.0 π ＞290 MeV
0.0
0.1
0.2
2
2
Mπ [GeV ]
�
�formulas. Filled squares are th
FIG. 15. Chiral fit of hr2 iV (left panel) and hr2 iS (right panel) using one-loop
ChPT
1 we also plot
mthe
π,lat
2
the value extrapolated to the physical
point.
In
the
left
panel,
experimental value hr2 iV ¼ 0:437ð
�rπ �(mπ,lat ) =
Infrared divergence
22
2
0:452ð11Þ
fm
quoted
by
Particle
Data
Group [49] (star). The s
analysis based on Nf ¼ 2 ChPT [16] (open circle) and(4πF
µ
π,exp )
right panel represents hr2 i ¼ 0:61ð4Þ fm2 obtained from an indirect determination through !! scattering [51].
ChPT(LO)
もっと強い赤外発散の例：パウリ半径
Pauli rms
1.1
2 1/2
(〈r2〉) [fm]
1
0.9
0.8
experiment
0.7
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
HBChPT (LO)
0.6
Pion cloud eﬀect?
0.5
0.4
0.3
0
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
0.5
Baryon ChPT(LO)
2
g
MN,exp
A,exp
2
�r2 �(mπ,lat ) = C0 +
2
8πFπ,exp
κV,exp mπ,exp
Infrared divergence
他の物理量もchiral logが必要？
Y. Aoki et al., Phys. Rev. D82 (2010) 014501.
0.4
0.35
MS at µ = 2.0 GeV
〈x〉u-d
0.3
0.35
0.3
0.25
0.2
0.25
Nf=2+1 DWF (2.7 fm)
Nf=0 DWF (2.4 fm)
LO HBChPT
0.15
0.1
MS at µ = 2.0 GeV
〈x〉Δu-Δd
experiment
0
0.1
�x�u−d
experiment
0.2
平均クォーク運動量分布
0.2
0.3
0.4
2
2
mπ[GeV ]
0.5
0.6
Nf=2+1 DWF (2.7 fm)
Nf=0 DWF (2.4fm)
LO HBChPT
平均クォークヘリシティ分布
0.7
0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
2
mπ[GeV ]
0.5
0.6
注：青点線はフィットではありません
�
�
�
�
2
2
2
2
1 + 3gA
1
+
2g
M
M
A
= C0 1 −
�x�∆u−∆d = C˜0 1 −
Mπ2 ln 2π
Mπ2 ln 2π
2
2
(4πFπ )
µ
(4πFπ )
µ
gA = 1.26, Fπ = 92.8MeV
µ = MN = 940MeV
Chen & Ji, PLB523, 171 (2001)
Detmold-Melnitchouk-Thomas, PRD66, 054501 (2002)
0.7
ref = 500 MeV eliminates Z factors
ing by �x�ref
at
m
π
u−d
1.2
<x>u-d / <x>u-d
ref
1
0.8
0.6
RBC NF=2+1 DWF
RBC NF=2 DWF
LHPC NF=2+1 DWF/MILC
ETMC NF=2 TMF
QCDSF NF=2 IWF
CTEQ6.6C and QCDSF
0.4
0.2
0
0.1
0.2
2
2
0.3
0.4
0.5
m! [GeV ]
but suggests the groups might agree on the shape (up to no
Figure from D. Renner (Lat09)
ref
by �x�ref
u−d at mπ = 500 MeV eliminates Z factors
1.2
<x>u-d / <x>u-d
ref
1
0.8
masses, BChPT predicts v2 to become larger when th
mPS ! 250 MeV we do not see any indication for a
pion mass. It thus does not seem that a lack of re
explain the large discrepancy between the phenome
are some indications that part of the discrepancy ca
[8].
QCDSF results (updated)
0.6
RBC NF=2+1 DWF
RBC NF=2 DWF
LHPC NF=2+1 DWF/MILC
ETMC NF=2 TMF
QCDSF NF=2 IWF
CTEQ6.6C and QCDSF
0.4
0.2
0
0.1
0.2
2
2
0.3
0.4
0.3
0.5
v2 (2 GeV)
m! [GeV ]
0.25
suggests the groups might agree on the shape (up to norm.)
‣ N =2 NP O(a) improved Wilson
fermions
0.2
7/22
‣ mπ > 180 MeV
MRST06
0.15
‣ Max volume: 2.9 fm (lightest 3pts.)
0.1
‣ Four lattice spacings (1/a=2.4-3.3 GeV)
‣ non-relativistic nucleon
!=5.20
!=5.25
!=5.29
!=5.40
MS
ion, amongf other systematics, must be checked
<x>u-d
0
0.1
0.2
2
0.3
0.4
2
mPS [GeV ]
(a)
From Pleiter@Lattice2010
operatorFigure 4: The left
and right panel show results for
(arXiv:1101.2326)
scalar unpolarized PDFs, respectively, as a functio
異常磁気能率
6
F2(0)
5
4
experiment
3
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
2
1
0
‣
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
Y. Aoki et al., Phys. Rev. D82 (2010) 014501
mπ依存性が弱く、重いmπの計算では実験値をよく再現している
-
‣
SU(6)クォーク模型における核子異常磁気能率の説明の成功と関係？
mπが軽くなると実験値の下方へシフトー軸性電荷と似ている
-
有限体積効果を示唆か？
)
adius
ChPT
ChPT
ol is
sults
hus,
tics,
is is
パウリ形状因子
qν
γµ F1 (q ) + iσµν
F2 (q 2 )
2MN
2
PHYSICAL REVIEW D 79, 114505 (2009)
TAKESHI PHYSICAL
YAMAZAKIREVIEW
et al.
D 79, 114505 (2009)
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
2
2
F2(q ) F2(q )
0
0.1 0 0.2 0.10.3
mf=0.01(2.7fm)
mf=0.005
mf=0.02(2.7fm)
mf=0.01
mf=0.03(2.7fm)
m =0.02
mf=0.01(1.8fm) f
m =0.03
mf=0.02(1.8fm) f
experiment
mf=0.03(1.8fm)
2
F2(q )
5
2
2
GM(q )/GE(q )-1
experiment
4
3
2
1
0.20.4
2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.5
0.6
2
2
2
q [GeV ]
0.6
0.8
0.7
0.9
0.8
q [GeV ]
FIG. 16 (color online). The Pauli form factor, F ðq2 Þ, renorFIG. 20 (color online). Comparison of F2 with larger 2and
malized by ZV ¼ 1=F1 ð0Þ. The dashed curve is a fit to experismaller volumes
denoted by closed and open symbols, respec2
mental
data.
tively, at each quark mass.
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
0.5
0.6
0.7
0.8
2
q [GeV ]
FIG. 17 (color online). Dipole fit with F2 ðq2 Þ and linear fit
2 and magnetic form factors
with the ratio of electric
GM ðq2 Þ=GE ðq2 Þ % 1 at mf ¼ 0:01. The result of the ratio at
q2 ¼ 0 is shifted to the minus direction in the x-axis.
‣ F (0)は直接計算できないため(運動学的な制限) q の外挿を行う
rithmic effects are to be seen in lattice results of the Dirac
the experimental values. We need further light quark mass2
radius.
calculation with better statistics to test the prediction in the
lattice QCD calculation.
2. Pauli form factor F2 ðq2 Þ
C.2Form
of the
currentdependence of
Figurefactors
16 shows
the axial-vector
momentum-transfer
our results for the Pauli form factor at each quark mass.
‣ 有限体積でアクセスできるq は制限されている(q=2π/L*n)
Table V, together with some other lattice QCD calculations
and the experimental value. Our present results slightly
decrease with the pion mass, in agreement with previous
lattice calculations [1,23]. They extrapolate well linearly in
the pion mass squared and result in a value 26% smaller
‣ F (0) の有限体積効果の有無を判断するのは難しい
)
adius
ChPT
ChPT
ol is
sults
hus,
tics,
is is
パウリ形状因子
qν
γµ F1 (q ) + iσµν
F2 (q 2 )
2MN
2
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TAKESHI PHYSICAL
YAMAZAKIREVIEW
et al.
D 79, 114505 (2009)
4
4
3.5
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
2
2
F2(q ) F2(q )
0
0.1 0 0.2 0.10.3
mf=0.01(2.7fm)
mf=0.005
mf=0.02(2.7fm)
mf=0.01
mf=0.03(2.7fm)
m =0.02
mf=0.01(1.8fm) f
m =0.03
mf=0.02(1.8fm) f
experiment
mf=0.03(1.8fm)
2
F2(q )
5
2
2
GM(q )/GE(q )-1
experiment
4
3
2
1
0.20.4
2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.5
0.6
2
2
2
q [GeV ]
0.6
0.8
0.7
0.9
0.8
0
0
0.1
0.2
0.4
2
q [GeV ]
FIG. 16 (color online). The Pauli form factor, F ðq2 Þ, renorFIG. 20 (color online). Comparison of F2 with larger 2and
malized by ZV ¼ 1=F1 ð0Þ. The dashed curve is a fit to experismaller volumes denoted
by closed and
2 open symbols, respecmental data.
tively, at each quark mass.
0.3
0.5
0.6
0.7
0.8
2
q [GeV ]
FIG. 17 (color online). Dipole fit with F2 ðq2 Þ and linear fit
with the ratio of electric and magnetic form factors
GM ðq2 Þ=GE ðq2 Þ % 1 at mf ¼ 0:01. The result of the ratio at
q2 ¼ 0 is shifted to the minus direction in the x-axis.
๏ 異常磁気能率 κ=F (0)を計算するためのトリック
rithmic effects are to be seen in lattice results of the Dirac
2~0のデータにアクセスする
experimental values. We need further light quark mass
✓ theツイストした周期境界条件を使ってq
radius.
calculation with better statistics to test the prediction in the
lattice QCD calculation.
2. Pauli form factor F2 ðq2 Þ
C. Form
of the
currentdependence of
Figurefactors
16 shows
the axial-vector
momentum-transfer
our results for the Pauli form factor at each quark mass.
Table V, together with some other lattice QCD calculations
and the experimental value. Our present results slightly
decrease with the pion mass, in agreement with previous
lattice calculations [1,23]. They extrapolate well linearly in
the pion mass squared and result in a value 26% smaller
✓ 外磁場を掛けて(Background method)、核子の質量変化を測る
異常磁気能率（続き）
QCDSF plot
RBC plot
6
5
4
"v
F2(0)
5
4
experiment
3
3
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
2
1
0
experiment
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
2
1
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
こちらの量でChPT-typeフィットを行っている
(mN )phys
κv =
× F2 (0)
mN
カイラル領域でのπ中間子のループ効果によるエンハンスメントを期待？
One-loopのカイラル摂動論は不充分
2
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2+1 Asqtad+DWF (2.5fm)
Nf=2+1 Asqtad+DWF (3.5fm)
HBChPT (One-loop)
1.5
experiment
Two-loop ChPT for gA(ver.1.0)
1
Shoichi Sasaki
HBChPT (Two-loop)
0.5
0
Mar. 14, 2008
0.2
0.4
m![GeV]
HBChPT formula
gA
where
�
�
0.6
gA
0.8
�
One loop: Kambor-Mojzis
α2
Mπ
2
3
= g0 1 +
ln
+ β2 Mπ + α3 Mπ
JHEP 9904, 031 (99)
(4πF )2
λ
�
�
�
α4
M
γ
M
π
4
π
+
ln2
+
ln
+ β4 Mπ4 + α5 Mπ5 + O(Mπ6 )
(1)
4
2
(4πF )
λ
(4πF )
λ
Two loop: Bernard-Meissner PLB639, 278 (06)
格子QCDによる
核子構造の最新計算
QCDSF Collaboration, arXiv:1106.3580
• Nf=2 NP O(a) improved Wilson fermions
• mπ > 180 MeV
• Max volume: 2.9 fm
• Two lattice spacings: (a=0.06, 0.072 fm)
ETM Collaboration, Phys. Rev. D83 (2011) 045010
• Nf=2 twisted mass fermions
• mπ > 260 MeV
• Max volume: 2.8 fm
• Three lattice spacings: (a=0.056, 0.070, 0.089 fm)
• Continuum limit
核子の大きさの問題（未だ解決せず）
1
2 1/2
"r1# [fm]
0.9
0.8
0.7
experiment
Nf=2+1 DWF (RBC-UKQCD)
Nf=2 Clover (QCDSF)
Nf=2 Clover (QCDSF)
Nf=2 tmWilson (ETMC)
0.6
0.5
0.4
0.3
0
0.1
Volume L 2.9 fm
mπ = 180 MeV
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
異常磁気能率も小さい
5
"v
4
experiment
Nf=2+1 DWF (RBC-UKQCD)
Nf=2 Clover (QCDSF)
Nf=2 Clover (QCDSF)
Nf=2 tmWilson (ETMC)
3
2
QCDSF plot
1
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
ETMC collaboration, Phys. Rev. D83 (2011) 094502
PHYSICAL REVIEW D 83, 094502 (2011) C. ALEXANDROU et al.
荷電半径
異常磁気能率
TA
int
co
3:9
va
the
lin
r0
1.1
1.0
0.9
0.8
0.6
0.6
ar
sq
pe
W
an
sq
連続極限（a→0）
連続極限（a→0）
us
an
そもそもの疑問
有限体積中でカイラル摂動論はどれだけ正しいか？
典型的な空間サイズ L ∼ 2 - 3 fm
最小の有限な運動量：
-
¦p¦
2π/ L = 0.6 , 0.4 GeV
cf: Λχ∼４πFπ∼１ GeV
‣
低エネルギー有効理論が成り立つ条件があいまい
有効理論・カイラル摂動論のアプローチ
•
低エネルギー(長波長)では複合粒子であるハド
ロンも場の理論(点粒子)で記述できる
•
カイラル対称性の自発的な破れに伴う擬南
部・ゴールドストン粒子(パイ中間子など)は長
波長極限で最も意味のある自由度
•
ただし、擬南部・ゴールドストン粒子の相互作
用は対称性によって強い制約がかかる
先の疑問に答えるには
その疑問に答えるには
少なくともmπが250 MeV以下で空間サイズ
が4-5 fm程度(¦pmin¦ mπ)の規模で、且つカ
イラル対称性を保持した数値計算が必要。
例）RBC-UKQCDの取り組み
核子の大きさ
1
2+1 f DWF simulations
0.9
β=1.75 (a-1 1.4 GeV),
0.7
2 1/2
(〈r1〉) [fm]
0.8
experiment
Nf=2+1 DWF (2.7fm)
Nf=2 DWF (1.9fm)
Nf=0 DWF (3.6fm)
Nf=2 Wilson (1.9fm)
Nf=0 Wilson (3.0fm)
HBChPT (LO)
0.6
323x64x32 lattice
La 4.6 fm
mπ＝250 and 170 MeV
0.5
0.4
0.3
0
ターゲット領域
0.1
0.2
0.3
2
2
mπ[GeV ]
0.4
0.5
RBC-UKQCDの最近の取り組み
核子質量
M. Lin, Y. Aoki, T. Blum, C. Dawson, T. Izubuchi,
C. Jung, S. Ohta, S. Sasaki, T. Yamazaki
1.3
空間サイズ： 4.6 fm
π中間子の質量： 170, 250 MeV
mN[GeV]
1.2
1.1
1
mπ = 250 MeV
mπ = 170 MeV
0.9 experiment
Nf=2+1 DWF (L=2.8fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 DWF (L=2.8fm, 1/a=2.3GeV)
Nf=2+1 DWF (L=4.6fm, 1/a=1.4GeV)
preliminary
0.8
0
2
0.1
2
m![GeV ]
0.2
RICC@理研和光
RIKEN Integrated Cluster of Clusters
荷電半径、異常磁気能率など
只今、計測中
もうしばらく
お待ち下さい
軸性電荷：gA/gV
1.3
gA
experiment
1.2
1.1
1
Nf=2+1 DWF (L=2.7fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 DWF (L=1.8fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 DWF (L=4.6fm, 1/a=1.4GeV)
0.9
0.8
0.7
preliminary
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
Summary from lattice 2011
軸性電荷 gA
Expt.
2+1 flavor
Collaboration
RBC-UKQCD
CLS/Mainz
ETMC
Nf
2+1
2
2
}
ison
2 flavor
a (fm)
0.14
0.05, 0.07, 0.08
0.056, 0.070, 0.089
La(fm)
4.6
3.3
2.8
mπ (MeV)
> 170
> 290
> 260
from H. Wittig’s talk
Fermion action
Domain wall fermion
O(a)-improved Wilson
Twisted mass Wilson
CLS/Mainz (Brandt et al.), arXiv:1105.1554
III-8
ETMC (Alexandrou et al.), arXiv: 1012.0857
まだ体積が足りないのか？
gA vs
gA vs mπ L
2
mπ
1.4
1.3
1.4
gA
experiment
1.3
1.2
1.2
1.1
1.1
1
1
Nf=2+1 DWF (L=2.7fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 DWF (L=1.8fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 DWF (L=4.6fm, 1/a=1.4GeV)
0.9
0.8
0.7
preliminary
0
0.1
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
experiment
Nf=2+1 (L=2.7fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 (L=1.8fm, 1/a=1.7GeV)
Nf=2+1 (L=4.6fm, 1/a=1.4GeV)
0.9
0.8
gA(DWF)
0.7
2
3
4
5
preliminary
6
7
m! L
8
9
10
11
12
Scaling in mπL
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
T. Yamazaki et al, (RBC+UKQCD)
PRL100, 171602 (08)
Nf=2+1(2.7fm)
Nf=2+1(1.8fm)
Nf=2(1.9fm)
Nf=0(2.4fm)
Nf=2+1 Mix(2.5fm)
gA (DWF)
gA (Wilson)
Nf=2 Imp. Wilson β=5.20
Nf=2 Imp. Wilson β=5.25
Nf=2 Wilson β=5.50
Nf=2 Imp. Wilson β=5.29
Nf=2 Wilson β=5.60
Nf=2 Imp. Wilson β=5.40
Wilson:
Wilson:
Clover:
D. Dolgov et al., (LHPC-SESAM) PRD66, 034506 (2002)
C. Alexandrou et al., (MIT-Cyprus) PRD76, 094511 (2007)
A. Khan et al., (QCDSF) PRD74, 094508 (2006)
クォーク運動量分布とヘリシティ分布の比
1
preliminary
0.9
0.8
experiment
0.7
"x#u-d
"x#$u-$d
0.6
0.5
0
0.1
Nf=2+1 DWF (L=4.8 fm)
Nf=2+1 DWF
Nf=2+1 Asqtad+DWF (LHPC)
0.2
0.3
2
2
m![GeV ]
0.4
0.5
‣
個々のmπ依存性を議論できるほど統計が溜まっていない
‣
非摂動論的手法による繰り込み定数の計算も別途必要
簡単なまとめ
物理点に近づいたシミュレーションができ
るが、充分に大きい体積で計算できている
か？：e.g. ４x(1/mπ) 5.8 fm
核子の大きさの問題： π中間子の雲の効
果は見えるか？
他の物理量にもカイラルlogの効果が現れる
か？
格子QCDアプローチによる
核子構造の理解の現状を例えるなら
ご清聴ありがとうございました。
Backup slides
dG
CHANNEL
hðrM Þ iv #1$6
!
!
M2ðq ÞVECTOR
v
2
!
!
v
2
v
first of
takt
tion:
the
proton
and
neutron
are
summarized.
Using
these ex2 ¼0
hðr
Þ
i
#
$6
ations [4,8]:
!
!
v !
2 q!
G
dq
ðq
Þ
where
F
(F
)
denotes
the
isovector
combination
M
!
!
M
v
2
2
1
dG
ðq
Þ
1G which
v 2 weak
2
p iso!q2 ¼0
In
Table
I, the
electric
charge
and
magnetization
radii
E
v2 2 values,
2
nfor
2
is $6
a dq
consequence
of
the!
axial
Ward-Takahashi
id
SHOICHIof
SASAKI
AND
TAKESHI
YAMAZAKI
PHYSICAL
R
!
ðq
Þ
x elements
perimental
the
isovector
electric
charge
and
Fthe
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ;
(9)
hðr
Þ
i
#
¼
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
!
M
V
1!
E
E
E
!
v
2
2
Dirac (Pauli)
form
factors
of
the
proton
and neutron,
whi
!
!
!Þ nmay
the
proton
and
neutron
are
summarized.
Using
these
exGEradii
ðq
dq
pThis
v 2 !
pexpression
tity.
be
referred
as
the
generali
q2 ¼0 to by
vector
magnetization
can
evaluated
the
2
n
2
!
1
dG
ðq
Þ
TABLE I.
Experimental
values
of
magnetic
moments,
electric
mbination
of
the
vector
!
p
!
¼
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
i;
(A2)
E
!
n 2 p
argued
withincharge
heavy-baryo
lim
!
perimental
isovector
electric
and isopGoldberger-Treiman
nvalues,
M that
M [4,8]:
2relations
n!the
2relation
6 v 2
¼ hðrE Þ2 i $
hðr
Þ
i;
!
are
defined
by
following
[24].
E
!
(A
2!
2
!
¼the proton
hðrMand
Þvector
$ magnetization
hðrM Þv i;
(A2)
and
radii
of
2 Þ;
vineutron.
qthe
GEcharge,
ðqlet
Þ usdq
whic
Here,
introduce
theN F
radii
can
be
evaluated
by
¼0 2M
the
finite
pion
mass
correction
o
F2vmagnetization
ðq!2 Þq2¼
ðq
(10)
T
^
Here, we
discuss the!
case
where
the
limits
m
!
0
!v
!
!
v
!
v [4,8]:
2 value
tity.
relations
!
2following
may
resolve
this
discrepa
アイソベクトル要素
1
dG
ðq
Þ
(A1)
which
are
expressed
in
!
p
p
E
v
2
2
n
2
q
!
0
are
taken
on
Eq.
(B2).
Of
course,
the
left-hand
Observable
Experimental
value
Reference
N
0
em
0
2
whs
v
n !
2¼ F
hðr2EÞ!Þ ¼
iðxÞjNðPÞi
#G
$6thevðq22¼
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
i;
!
Gold
!
hNðP
Þjj
u
ðP
Þ
"
ðq
Þ
!
where G
ðq
Þ
$
G
ðq
Þ
and
!
¼
E
E
!
e F1v (F2v ) denotes the Tisovector
combination
of
2
! !the
!
v in
1 vaxial
2value
!q2v1
translate
dipole
mass
EðMÞ
G
Þ (B2)
dqN2yields
!
which
r
¼0a 2nonzero
!
v
2 EðMÞ p
2 EðMÞ
nq
(l.h.s.)
of
Eq.
the
dou
dG
ðq
Þ
ark fields
¼
ðu;
dÞ
E ðq
!
!
ch
M
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
p
H
1
dG
ðq
Þ
v
2
where
G
ðq
Þ
¼
G
ðq
Þ
$
G
ðq
Þ
and
!
¼
!
!
p
þ2:792
847
351ð28Þ
[22]
!
E 2 ! v
v 2hðr EðMÞ
2
n 2
Þ i#
$6
!
(Pauli)p form factors of theEðMÞ
proton and neutron,
which
EðMÞlimit.
hðr
Þffiffiffiiffiffi#
¼
Þ(A1)
i chiral
$ hðr
Þlim
!
M$6
2i;
vthe
2case
2 hðr!
"
First,
we
consider
where
the
v
2
!
E
Eq
E
!
hðr
Þ
i
¼
0:67ð1Þ
fm,
which
!
v
2
2
2
chiral
li!
q
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
G
dq
ðq
Þ
!
A
!
v
2
2
q
¼0
!
$
!
.
Then,
one
obtains
hðr
Þ
i
¼
0:939ð5Þ
fm
and
G
ðq
Þ
dq
M q% 2 q ¼0
%1:91
304
273ð45Þ
[22]
!by
!
p
n
E
1
dG
ðq
Þ
a
n
E
the
!
efined
M (2)!
2Þ u
tvM Þ2 iðxÞ;
v before
2
first taken
the
limit ofquasi-elastic
qfm
!Nand
0.
(l.h.s
p 2 1=2
from
neutrino
s
q
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
#
!
F
ðq
ðPÞ;
(1
þ
$
!
!
!
$
!
.
Then,
one
obtains
hðr
Þ
i
¼
0:939ð5Þ
!
Þ
i
0.8750(68)
fm
[22]
hðr$6
v
2
2
p
!%
N
(A1)
p
n
2
p
n
2
n
2
!
E
E G ðq Þ
the l.h.s
! qv2 ¼02
aft
limit
!
¼ charged
hðrM2M
Þ i$
hðr
Þ i;the
(A
M qffiffiffiffiffiffiffiffiffidq
!
pion
electroproduction
n
2
2
M
v
2
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
N
Þ
i
¼
0:862ð14Þ
fm.
Similarly,
the
rms
radii
for
hðr
!
Þ
i
%0:1161ð22Þ
fm
[22]
hðr
1
dG
ðq
Þ
!v 2 M
!v 2
M
!
em ðxÞjNðPÞi
E
2 ÞÞ; first
v Þ2 i # $6
!
!
after
the
hðr
2ðP0nÞ 2"! F1N ðq2 Þ
!
!
P0 Þjj
u
lim
ðlim
2M
F
ðq
ÞÞ
¼
lim
ðq
lim
F
ðq
(
p p2 1=2p 2 ¼v!
n
p
N
A
P
M
N
On
the
other
hand,
the
induce
!
a !¼
vrms
2 radii
2 for
v
2
2
n
2
Þ
i
¼
0:862ð14Þ
fm.
Similarly,
the
the
hðr
!
2
2
2
Þ
i
0.855(35)
fm
[27]
hðr
!
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
i;
(A2)
G
dq
ðq
Þ
^
^
m!0
m!0
t
ðxÞ;
(3)
qv$
¼0 2F!
M
q
!0 the F
q !0Þ
M
isovector
Dirac
form
factor
F2121 ðq
Þ
M Þp ¼ mass,
M
M
5
denotes
which
is
defined
where
M
12 ðq
12ðq
dG
Þ!
v
2nucleon
n ðq
!
!
!
N
n
2
1=2
M
F
ðq
Þ
is
less
well
known
v
v
v
!
p
where GvEðMÞ
ðq
ÞÞ ¼
ðq
Þ22$
G
Þ and exp
!v
p
P2v!
0.873(11)form
fm "factor
[28]
hðrM Þ i isovector Dirac
2hðr
n
2 ðq!
!
iF
#G2$6
2
p
EðMÞ
EðMÞ
p
n
M
!
v
2
n
2
F
ðq
Þ
¼
ðq
Þ
$
F
ðq
Þ
and qthe
isovector
Pauli
form
factor
F
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
$
!
2
q
ffiÞffiffiMffiffiffiÞinformation
ffi1ffiffii;dq
ffiffiffiffiffi 2andqN
ðq
hðrM
Þ1 isource
$G
hðr
(A2)
of
neutron
proton
% theN average
1 ¼ and
¼0represen
2 Mmasses,
of
onðqF
2 lim
2 Þ u ðPÞ;
P ðq
ices
to
p
p
which
requires
the
massless
pion
pole
in
F
Þ
inan
!
!
F
ðq
(11)
þ
$
2 normalized
2
nobey
2
v
2
v
2
2
n
2
v
v
P
!%
N
2
Þ $the
GEðMÞ
ðqðq
Þ
and
!
¼
!
$
!
.
Then,
one
obtains
hðr
Þ
i
¼
0:939ð5Þ
fm
%
!
!
and
isovector
Pauli
form
factor
F
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
$
Þ
can
be
given
through
the
following
relations
[4,8]:
F
v
p
n
^
m!0
p
E
p
n
MÞ ðq Þ ¼ GEðMÞ ðq
1
2
nffiffiffiffiffi(neutron).
Experimental
data
from
elas
proton,
pnfor
!
"! þ n.
O
2 2MNp (proton)qffior
2as¼
chiral
limit
[36]
lim
F
q
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
hðrM
ÞP22ðq
i!
$2Þ /þhðr
Þ2 i;nonvanishin
(A2)
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
on matrix elements
are
2 M
^
m!0
p
q
whic
v
2
2
n
2v 2
!pseudoscalar
!
wherehðrGvthe
Þ0:862ð14Þ
¼ GEðMÞ ðqisrelations
Þ usually
Þ vthe
and rms
!v radii
¼gPterms
2 ðq
v$ GEðMÞ ðqpresented
Þ
can
be
given
through
following
[4,8]:
F2n ðq
wh
¼
m
coupling
electron-nucleon
scattering
in
EðMÞ
hen, one
obtains
hðr
Þ
i
¼
0:939ð5Þ
fm
and
Þ
i
¼
fm.
Similarly,
for
paper.
Recent
reviews
on
the
experimental
situation
can
be
E
M
the
l.h.s.
of
Eq.
(B3).
Secondly,
the
chiral
limit
is
tat
chira
q
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
e MN denotes the nucleon mass, which is defined as2 2
v
v 2 2 transfer
pð0Þ
Fmentum
v0:939ð5Þ
2n ðq2for
2 muon
n
2¼!
v2and
23
2 p ðq
the
lim
!p $
!
.where
Then,
one
obtains
hðr
Þ
i
¼
fm
and
the
electric
ðq
Þ
magnetic
G
Þ
2
which
rcl
isovector
Dirac
form
factor
F
ðq
Þ
¼
F
Þ $!Fthe
ðq
v
2
v
found
in
Ref.
[27].
The
slopes
of
the
form
factors
at
q
¼
0
G
ðq
Þ
G
ðq
Þ
$
G
ðq
Þ Sachs
and
¼
after
the
limit
of
q
0:
nG
E
E
M
v1fo
1
1
EðMÞ
EðMÞ
EðMÞ
verage
of neutron
and proton
N
represents
0:862ð14Þ
fm. Similarly,
the rmsmasses,
radii forand
the
hðr
Þ
i
¼
hðr
Þ
i
$
;
(A3)
qffiffiffiffiffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffi
p 2 p
ffi0:88m
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi F2 v.ðq
E
v ð0Þ
2Þ ¼
2 2 ¼q
as
q
The
induced
and
the
isovector
Pauli
form
factor
F
ðq
Þ
!
3
F
v
2
determine
mean-squared
radii,
which
can
be
related
to
2
M
0
p 2 factors,
which
are
related
to
the
Dirac
and
Pauli
fo
v
2
2after
lim
2
2
v
2
n
2
Eq
Þn vi !
¼
0:862ð14Þ
fm.
Similarly,
the
rms
radii
for
the
hðr
2
N
2data
2
$
!
.
Then,
one
obtains
hðr
Þ
i
¼
0:939ð5Þ
fm
and
q
!0
oton)
or nfactor
(neutron).
from
elastic
M
racディラック平均自乗半径
form
F1 ðq Experimental
Þ2¼ F1 ðq hðr
Þ $2vF
ðq
Þ
p
n
E(A3)
%
2 ÞÞ
2 ÞÞ;
=
0.797(4)
fm
Þ 12¼
i¼
hðr
Þq2 Þin
ilim
$
; ðq
þ
also
measured
in
RMC,
!
ðq
can
be
given
through
the
following
relations
[4,8
F
p
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
ffi
^
ð
lim
2M
F
¼
lim
ð2
m
lim
G
ðq
(
E
1
v
2
2
n
2
dipole
masses
as
hr
i
¼
12=M
(i
E
or
M)
the
dipole
p
2
N
A
P
2
v
2
factors
[8,27]
iFusually
i ðq Þ $
isovector
Dirac
form
factor
F
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
$
F
ðq
Þ
pio
2
2
2
M
vector
Pauli
form
factor
ðq
Þ
¼
F
on-nucleon
scattering
is
presented
in
terms
of
v
2
^
^
m!0
m!0
1
1
1
q !0
Eq.experi
2
2 2
N
jNðPÞi;
(4)
¼ val0:862ð14Þ
fm. Similarly,
the
rms
for(B4
the
hðrM Þ qi !0
2 Þ ¼ G ð0Þ=ð1
2 =M
p OMC
v ðqSaclay
2Þ ¼
2 Þradii
2006,
the
ðq
þ
q
Þ.
The
experimental
form
G
2m
and
the
isovector
Pauli
form
factor
F
F
ðq
$
2
2
i
i
i Þ Sachs form
2 v 2 v 2p 2
e given through
following
relations
[4,8]:
n q2
lectric
GE ðq Þthe
and
magnetic
GM ðq
2
isovector
Dirac
form
factor
F
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
$
F
ðq
Þ
3
F
ð0Þ
n 2
pion-po
1 relations
1
1 [4,8]:
recent
2 experiment
ðq Þ 1
can
be given
through
following
F2(rms)
v 2 the
v 2q OMC
ues of the electric root mean-squared
radius
for
the
2
2
p
hðr
¼
(A
v
2 Þ¼
Nform
2 isovector
NÞ2 i1=
2m
N
2P;2ðq
^hðr
which
requires
singularity
in
G
ÞF
at
q
v Þ2 iand
v 1the
EvÞ i2 $
s, パウリ平均自乗半径
which are related to
the
Dirac
Pauli
are
and
the
Pauli
form
factor
F
Þ
¼
ðq
$
2 ðq
2
OMC
G
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
(
F
ðq
Þ;
(1
2
2
=
0.879(18)
fm
ð!
¼
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
iÞ;
(A4)
hðr
2
M
whic
ðg
Þ
¼
8:7
&
1:9
v
q
[36].
a
iq&x
E
1
2
v
1
1
2
proton
and
the
magnetic
rms
radii
of
the
proton
and
neuM
N
2
2
1
Saclay;original
P
n
2
3
F
ð0Þ
qÞÞt
/ m^ )through
for
of the[4,8]:
l.h.s
vnonvanishing
2(5)
the
following relations
vu2N ðPÞe v 2 ;
!vlim
$Fq212ðq
P ðqbeÞ given
!0ÞGcan
s hðr
[8,27]
F
ð0Þ
m2$ 3 4M
1
vic
N
lim
Þ
i
¼
hðr
Þ
i
$
;
(A3)
2
v
2
v
2
q
E
older
OMC
experiments
includ
1
v
2
v
2
v
2
2
tron
are compiled
in
Table
I.
These
rms
radii
are
all
equal
are
des
hðr
Þ
i
¼
hðr
Þ
i
$
;
(A3)
2
2
E
2 hðr
1
MN2 Þ i ¼
ð!Eq.
hðr
Þ
i
$
hðr
Þ
iÞ;
(A4)
2
As a result,
FP2ðqMÞNand GvP ðq Þ must have
v (B4).
M
1 surements,
Eq.
2
the
world
average
3
F
ð0Þ
within
errors
and
are
in
agreement
with
the
empirical
!
$
1
um transfer
between
the
q
2
v
vicinity
v 2
pion-pole
at
1v1 ÞN2which
N 2
N 2
N 2
i ¼2OMC
hðrshould
Þ vi $2N become
; 2dominant
(A3)
Nv 2structure,
pion
2 Þ ¼hðrF
2
v
E
2
G
ðq
Þ
¼
F
ðq
Þ
(
F
ðq
Þ;
(12)
G
ðq
ðq
Þ
þ
F
ðq
Þ:
(1
ðgð!
ÞoldAve
¼
8:79
&2 Þ1:92,
Þ iof¼the 1one
iÞ;
hðr
2 slope
dipole
On 4M
the2 other
Mhðr
EN parameter
1 !.the
2 hand, the
2(A
P v hðr
M2 Therefore,
M Þ 2i2$
1 ÞP ðq
NF
P0 ) and
represents
q
[36].
can
deduce
that
and
G
q
[3ð
P
!v $ 1Refs. [9,29]. Surprisingly, this
N n 2
1
1
neutronð!electric
GE ðq
Þ is determined
with
v Þ2described
v following
v Þ2 i form
vfactor
2 iÞ;
are
by
forms, at
least,are
in
ð!2vthe
i
¼
hðr
Þ2 i are
$ hðrv1given
Þ2 iÞ;
(A4)
hðr
i ¼nÞT . Four
hðr
$
hðr
Þ
(A4)
p;
form
factors
M0
v
2
014510-28
M
1
Their normalization
at
q
¼
by
the
prot
retically2 predicted
2 value by hea
! $1
ディラック／パウリ平均自乗半径