掲載問題解説

掲載問題解説
－出題例① 整数 A タイプ【2009 年度出題】－
4 種の異なる自然数がある。次のことがわかっているとき、大きいほうから 2 番目の
数はどれか。
・4 つの数の和は 70 である。
・一番小さい数で、他の 3 つの数を割るとその余りはそれぞれ 4，5，6 である。
・一番大きい数は奇数である。
1． 15
2． 16
3． 17
4． 18
5． 19
－解説－
最も使えそうな条件は、やはり 2 つ目の条件でしょう。これについてまず考えます。
一番小さい数で、他の 3 つの数を割るということですので、この一番小さい数をｘと
します。ｘで割り切れる数は｢ｘの倍数｣ですから、ｘで割って 4 余る数は｢ｘの倍数＋
4｣と表せますね。同様に、5 余る数は｢ｘの倍数＋5｣、6 余る数は｢ｘの倍数＋6｣となり
ます。
これより、ｘ以外の 3 つの数を次のように①～③として、4 つの数の合計(④としま
す)を表すと次のようになります。
最小 ｘ
合計
① ｘの倍数＋4
② ｘの倍数＋5
ｘの倍数＋4＋5＋6
＝ｘの倍数＋15
…④
③ ｘの倍数＋6
よって、1 つ目の条件より、④の「ｘの倍数＋15」が 70 になるわけですから、この
「ｘの倍数」に当たる数は、70－15＝55 とわかります。
これより、ｘは 55 の約数になりますが、55 の約数は、1，5，11，55 の 4 つですか
ら、ｘはこの中のいずれかです。
しかし、｢ｘで割って 6 余る数｣があるわけですから、ｘは 6 より大きい数となり、11
または 55 ですが、4 つの数の合計が 70 なのに、一番小さい数が 55 になるわけはあり
ませんので、ｘ＝11 に確定します。
よって、④の｢ｘの倍数＋15｣の｢ｘの倍数｣の部分は「11×5」とわかり、合計は 11
×5＋15＝70 ですから、①～③の合計は 11×4＋15 となります。
ここで、｢11×4｣に着目します。①～③の数の中に、｢11｣は 4 個含まれているわけで
すが、どの数も 11 より大きいので、
「11」を少なくとも 1 個は含みます。そうすると、
4 個を、1 個，1 個，2 個に分けることになり、この｢2 個｣を含む数が当然、最も大きい
数となります。
では、①～③それぞれについて「11」を 1 個含む数と 2 個含む数を確認し、3 つ目の
条件を満たす数を探すと次のようになります。
1 個含む数
2 個含む数
↓
↓
①11 で割って 4 余る数
⇒ 11×1＋4＝15
11×2＋4＝26
②11 で割って 5 余る数
⇒ 11×1＋5＝16
11×2＋5＝27 ←奇数
③11 で割って 6 余る数
⇒ 11×1＋6＝17
11×2＋6＝28
よって、一番大きい数は②の 27、あとの 2 数は、①の 15 と③の 17 とわかり、4 つ
の数は大きいほうから並べると、27，17、15，11 となります。
これより、大きいほうから 2 番目の数は 17 となり、正解は肢 3 です。
正解 3
－出題例②
整数 B タイプ【2011 年度出題】－
あるクラスの生徒全員が輪になって並んでおり、先生がそれぞれの生徒に９本以下の
本数の鉛筆を配った。次のことがわかっているとき、このクラスの生徒の人数は何人か。
・先生が配った鉛筆の本数は全部で 91 本であった。
・隣り合って並ぶ 3 人の生徒に配られた鉛筆の本数を合計すると、どの 3 人を取って
も同じであった。
・ある生徒 X には 3 本が配られ、X から時計回りに 4 番目の生徒である Y には 6 本
が配られた。
1.
20 人
2.
21 人
3. 22 人
4. 23 人
5.
24 人
－解説－
X と Y の位置関係を図に示し、その近辺の生徒を、図 1 のように、A～D とおきます。
条件より、隣り合って並ぶ 3 人は、いずれも鉛筆の合計が等しいので、次のようにわ
かります。
X＋A＋B ＝ A＋B＋C
A＋B＋C ＝ B＋C＋Y
B＋C＋Y ＝ C＋Y＋D
⇒
⇒
⇒
X＝C
A＝Y
B＝D
よって、条件より、X と C には 3 本、A と Y には 6 本が配られ、B と D にも同じ本
数が配られており、この先も同様に考えると、ある生徒とそこから 3 番目の生徒には同
じ本数が配られていることがわかります。
これより、B と D に配られた本数を k とすると、図 2 のように、鉛筆の本数は 3→6
→k→3→6→k→…と輪になって並びますから、3 種類の本数（3，6，k）は同じ数だけ
ありますので、生徒の人数は 3 の倍数とわかります（ここで肢 2，5 に絞られます）
。
図1
図2
X
A
k
6
B
C
Y
D
3
6
k
3
6
k
次に、隣り合う 3 人ずつを 1 グループとして考えます。各グループに配られた鉛筆は、
3＋6＋k（本）なので、グループの数を n とすると、鉛筆の総数は（3＋6＋k）×n（本）
となり、条件より、これが 91 本となります。
91 を素因数分解すると、91＝7×13 なので、
（3＋6＋k）と n が、7 と 13 のいずれ
かになりますが、3＋6＋k＞7 ですから、次のようにわかります。
3＋6＋k＝13
⇒
k＝4
グループの数
⇒
7
これより、配られた鉛筆の本数は、3→6→4→3→6→4→…となり、生徒の人数は、3
×7＝21（人）とわかり、正解は肢 2 です。
正解 2
－出題例③
比・割合【2011 年度出題】－
ある会場では、たくさんの椅子が並んでおり、そのうちちょうど 1 割の椅子に人が座
っている。ここから、毎分 5 脚の椅子を並べていき、毎分 7 人が椅子に座っていったと
ころ、10 分後には全体のちょうど 6 割の椅子に人が座った状態になった。このとき、
残りの椅子すべてに人が座った状態になるまで、あと何分かかるか。
1.
14 分
2,
18 分
3, 22 分
4, 26 分
5,
30 分
－解説－
初めの椅子の数をｘとすると、初めに人が座っていたのは、その１割ですから、0.1ｘ
と表せます。
その後 10 分間で、並べられた椅子は、5×10＝50（脚）、椅子に座った人は、7×10
＝70（人）ですから、その時点での椅子の数は、ｘ＋50、人が座っているのは、0.1ｘ
＋70 と表せ、その割合について、次のような方程式が立ちます。
0.1ｘ＋70
ｘ＋50
＝ 0.6
両辺に（ｘ＋50）をかけて、 0.1ｘ＋70 ＝ 0.6(ｘ＋50)
両辺に 10 をかけて、
ｘ＋700 ＝ 6ｘ＋300
－5ｘ ＝ －400
∴ｘ＝80
これより、初めの椅子の数は 80 脚、人が座っている椅子は 8 脚となり、10 分後には
それぞれ、80＋50＝130（脚）、8＋70＝78（脚）となりますので、この時点で、人が
座っていない椅子は、130－78＝52（脚）とわかります。
1 分間に並べられる椅子は 5 脚、座っていく人は 7 人ですから、毎分 2 脚ずつ空席が
減っていくことになりますので、52 席の空席が埋まるのにかかる時間は、52÷2＝26
（分）となり、正解は肢 4 です。
正解 4
－出題例④
速さ【2010 年度出題】－
毎時 60 ㎞で走ると、1L のガソリンで 12 ㎞走り、毎時 100 ㎞で走ると、1L のガソ
リンで 10 ㎞走る自動車がある。いま、この自動車で、A 地点から B 地点へ向かうのに、
途中まで毎時 60 ㎞で走り、
そこから毎時 100 ㎞で走ったところ、
全部で 5 時間かかり、
30L のガソリンを使用した。このとき、AB 間の距離はいくらか。
1．340 ㎞
2．350 ㎞
3．360 ㎞
4．370 ㎞
5．380 ㎞
－解説－
毎時 60 ㎞で走った距離をｘ㎞、毎時 100 ㎞で走った距離をｙ㎞とすると、次のよう
に方程式が立ちます。
かかった時間について ⇒
ｘ
60
＋
使用したガソリンの量について ⇒
y
100
ｘ
12
＝ 5
y
＋
10
①の両辺に 300 をかけて 5ｘ＋3ｙ＝1500
②の両辺に 60 をかけて
…①
＝ 30 …②
…①’
5ｘ＋6ｙ＝1800 …②’
②’－ ①’より 3ｙ＝300
∴ｙ＝100
ｙ＝100 を①’に代入して
5ｘ＋300＝1500
5ｘ＝1200
∴ｘ＝240
これより、A 地点から毎時 60 ㎞で 240 ㎞、毎時 100 ㎞で 100 ㎞走って B 地点に着
いたので、AB 間の距離は 340 ㎞とわかり、正解は肢 1 です。
正解 1