6 テイラーの定理の復習と陰関数の定理

6
6.1
テイラーの定理の復習と陰関数の定理
テイラーの定理の復習
例 6.1 次の関数を点 (1, 1) において 2 次までテイラー展開しよう。
p
f (x, y) = 1 + 2x2 + 3y 2
まず、テイラーの公式を 2 次までの展開と、その剰余項の形で書いてみると、
·
¸
© ∂
∂ ª
f (1 + h, 1 + k) = f (1, 1) + h
+k
f (1, 1)
∂x
∂y
·
¸
1 © ∂
∂ ª2
h
+k
f (1, 1)
+
2
∂x
∂y
·
¸
1 © ∂
∂ ª3
+
h
+k
f (1 + θh, 1 + θk)
3!
∂x
∂y
となる。各項を求めてみよう。
¸
·
© ∂
∂ ª
+k
f = hfx (x, y) + kfy (x, y)
h
∂x
∂y
2x
3y
= h√
+ kp
1 + 2x2 + 3x2
1 + 2x2 + 3y 2
この式に (x, y) = (1, 1) を代入して、
·
¸
© ∂
∂ ª
2h + 3k
h
+k
f (1, 1) = √
.
∂x
∂y
6
2 次の微分の項は
·
¸
1 © ∂
∂ ª2
h
+k
f
2
∂x
∂y
¤
1£ 2
h fxx + 2hkfxy + k 2 fyy
=
2·
1 2 2(1 + 2x2 + 3y 2 ) − (2x)2
6xy
p
=
− 2hk p
h
2
2
3
2
(1 + 2x + 3y )
(1 + 2x2 + 3y 2 )3
¸
3(1 + 2x2 + 3y 2 ) − (3y)2
+k 2 p
(1 + 2x2 + 3y 2 )3
であり、これに x = 1, y = 1 を代入して、
·
¸
1 © ∂
∂ ª2
8h2 − 12hk + 9k 2
√
+k
.
h
f (1, 1) =
2
∂x
∂y
12 6
20
最後の剰余項はよく R という記号で表される。とにかく 3 次の微分に関する項を
計算しよう
·
¸
© ∂
∂ ª3
h
+k
f = h3 fxxx + 3h2 kfxxy + 3hk 2 fxyy + k 3 fyyy
∂x
∂y
である。各 3 次微分は次のようになる。
fxxx
fxxy
fxyy
fyyy
= −12 p
x(1 + 3y 2 )
(1 + 2x2 + 3y 2 )5
y(1 − 4x2 + 3y 2 )
= −6 p
(1 + 2x2 + 3y 2 )5
x(1 + 2x2 − 6y 2 )
= −6 p
(1 + 2x2 + 3y 2 )5
y(1 + 2x2 )
= −27 p
(1 + 2x2 + 3y 2 )5
これらに x = 1 + θh, y = 1 + θk を代入してまとめることになるが、剰余項をこ
れ以上正確に書くのは大変なのでここで省略しておく。
6.2
陰関数の定理
x と y が f (x, y) = 0 を満たしながら動いているとき、y は x の関数になって
いることが多い。しかし、その形が具体的に求まるとはかぎらない。このような
関数を陰関数という。
定理 6.1 点 (x0 , y0 ) の近傍で関数 f (x, y) は C 1 -級とする。さらに、
1) f (x0 , y0 ) = 0,
2) fy (x0 , yo ) 6= 0
が成り立つならば、十分小さな a, b > 0 に対して、区間 |x − x0 | < a で定義され
た関数 ϕ(x) で、この区間において
• |ϕ(x) − y0 | < b,
• f (x, ϕ(x)) = 0
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を満たすものが存在する。この ϕ(x) はさらに |x − x0 | < a において微分可能で、
ϕ0 (x) = −
fx (x, ϕ(x))
fy (x, ϕ(x))
となる。
定理 6.2 (多変数の場合) 点 (x0 , y0 , z0 ) の近傍で f (x, y, z) は C 1 -級とする。
1) f (x0 , y0 , z0 ) = 0,
2) fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0
ならば、十分小さい a, b > 0 に対して |x − x0 | < a, |y − y0 | < a で定義された関
数 ψ(x, y) が存在してこの領域で
• |ψ(x, y) − z0 | < b,
• f (x, y, ψ(x, y)) = 0
を満たす。さらに、ψ は連続かつ偏微分可能で、
fx (x, y, ψ(x, y))
fz (x, y, ψ(x, y))
fy (x, y, ψ(x, y))
ψy (x, y) = −
fz (x, y, ψ(x, y))
ψx (x, y) = −
となる。
例 6.2 f (x, y) = y − xey を考える。fy = 1 − xey なので、fy 6= 0 (y 6= − log x)
となる点の近傍では f (x, y) = 0 をみたす x の陰関数 y = y(x) が存在する。この
とき、
ey
y
y 0 (x) = −fx (x, y)/fy (x, y) = −
=−
y
1 − xe
x(1 − y)
練習 6.1 次の方程式で表される陰関数 y = f (x) について y 0 =
1)x2 y − x3 (x + y) = 0,
3)Arcsin(xy) − (x + y)2 = 0
dy
dx
を求めよ。
2) log(x − y) − sin xy = 0
p
√
4) 3 x + y + x2 + y 2 − 1 = 0
宿題 6.1 次の方程式で表される陰関数 z = φ(x, y) について φx , φy を求めよ。
x2 + xy + y 2 + z 2 − 8 = 0
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