p!q!r!

二項定理
二項定理
(a + b)n = n C0 an +n C1 an−1 b +n C2 an−2 b2 + · · · +n Cr an−r br + · · · +n Cn bn
n−r br を一般項， C を二項係数という．
n Cr a
n r
証明 (a + b)n = (a + b)(a + b)(a + b) · · · (a + b) (n 個の (a+b) の積)
(a + b)n の展開式は，n 個のそれぞれのかっこから，a か b のどちらかを取って掛け合わせた積の
総和になる．展開式の一般項 an−r br の係数は，n 個の (a + b) から b を取る r 個を選ぶ組み合わせ
の総数 n Cr である．したがって，展開式は一般項の r を 0 から n まで変えた積の総和である．
Q.E.D.
多項定理
(a + b + c + · · · )n の展開式の一般項は，
n!
ap bq cr · · · ·
p!q!r! · · · ·
(p + q + r + · · · = n ; p, q, r, · · · = 0)
証明
(a + b + c + · · · )n の項は n 個のかっこのなかの p 個から a を，q 個から b を，r 個から c をとって
掛け合わせたものの和であるから，その係数は，
n Cp
·
n−p Cq
·
n−p−q Cr
··· =
n!
(n − p)!
n!
·
··· =
p!(n − p)!
q!r!
p!q!r! · · ·
(p + q + r + · · · = n)
Q.E.D.
例題
1 8
(1) (2x2 + 3x
) の展開式における x7 の係数を求めよ．
(2) (x − 2y + z)6 における x2 y 3 z の係数を求めよ．
解答
(1) 展開の一般式は 8 Cr (2x2 )8−r (
r = 3 のときだから
(2) x2 y 3 z の項は
28−3
C
33 8 3
6! 2
2!3!1!
=
1 r
28−r
) = r 8 Cr x16−3r ，ここで x7 の項は 16 − 3r = 7 すなわち
3x
3
1792
27
3
x (−2y) z = −480x2 y 3 z であるから求める係数は −480 である．
問題 1 8
) の展開式における x4 の係数を求めよ．
x
(2) (x2 − 2x + 3)4 の展開式における x5 の係数を求めよ．
(1) (x +
解答 (1) 展開における一般項は
8−r 1 r
( )
8 Cr x
x
http://kiyosihp.web.fc2.com
http://kiyosi38.blog.fc2.com.
1
=8 Cr x8−2r
2
二項定理
ゆえに，x4 の項は 8 − 2r = 4 より r = 2 で，その係数は
8×7
= 28
8 C2 =
1×2
¤
(2) 展開における一般項は
4!
4!
(x2 )p (−2x)q · 3r =
(−2)q · 3r · x2p+q
p!q!r!
p!q!r!
2p + q = 5 , p + q + r = 4 , (p , q , r = 0) を満たす p，q ，r の組は (2, 1, 1)，(1, 3, 0) の２組である
から，x5 の係数は
4!
4!
(−2) · 3 +
(−2)3 = −104
2!1!1!
1!3!
注意 最後で係数を足しているのは同類項をまとめているから．
つまり，(x2 )2 と (−2x)1 の積と (x2 )1 と (−2x)3 の積から x5 が出てくるので x5 の係数はそれらの
和になる．
¤