分野：二項定理

分野：二項定理
例題
(
)組 (
)番 氏 名 (
二項定理を用いて次の式を展開せよ。
(a＋ 2b) 4
(1)
(3x－ y) 5
(2)
解説
二項定理
(a＋ b ) n ＝ n Ｃ 0 a n ＋ n Ｃ 1 a n - 1 b＋ n Ｃ 2 a n - 2 b 2 ＋ ･･････＋ n Ｃ n b n
(1)
(a＋ 2b) 4 ＝ 4 Ｃ 0 a 4 ＋ 4 Ｃ 1 a 3 2b＋ 4 Ｃ 2 a 2 (2b) 2 ＋ 4 Ｃ 3 a(2b) 3 ＋ 4 Ｃ 4 (2b) 4
＝ a 4 ＋ 8a 3 b＋ 24a 2 b 2 ＋ 32ab 3 ＋ 16b 4
(2)
(3x－ y) 5 ＝ 5 Ｃ 0 (3x) 5 ＋ 5 Ｃ 1 (3x) 4 (－ y)＋ 5 Ｃ 2 (3x) 3 (－ y) 2 ＋ 5 Ｃ 3 (3x) 2 (－ y) 3
＋ 5 Ｃ 4 3x(－ y) 4 ＋ 5 Ｃ 5 (－ y) 5
＝ 243x 5 － 405x 4 y＋ 270x 3 y 2 － 90x 2 y 3 ＋ 15xy 4 － y 5
)
演習問題
(
)組 (
)番 氏 名 (
１
(3x－ 2) 6 の 展 開 式 に お け る x ４ の 係 数 を 求 め よ 。
２
(3x
３
(2x－ 3y＋ z) ６ の 展 開 式 に お け る x ３ y ２ z の 係 数 を 求 め よ 。
2
－ 2x) 6 の 展 開 式 に お け る x ８ の 係 数 を 求 め よ 。
)
解説
二項定理
(a＋ b ) n ＝ n Ｃ 0 a n ＋ n Ｃ 1 a n - 1 b＋ n Ｃ 2 a n - 2 b 2 ＋ ･･･＋ n Ｃ r a n - r b r ＋ ･･･＋ n Ｃ n b n
一般項
１
(3x－ 2) 6 の 一 般 項 は
６
Ｃ r (3x) ６ - r (－ 2) r
x の次数部分は
6－ r
であるので
6－ r＝ 4 を 解 く
r＝ 2
したがって 係数は
２
６
(３ x ２ － ２ x) 6 の 一 般 項 は
Ｃ ２ ･3 ４ ・ (－ 2) ２ ＝ 4860
６
x の次数部分は
Ｃ r (3x 2 ) ６ - r (－ 2x) r
2(6－ r)＋ r
＝ － r＋ 12
であるので
－ r＋ 12＝ 8
を解く
r＝ 4
したがって 係数は
３
６
(2x－ 3y＋ z) ６ の 一 般 項 は
Ｃ ４ ･3 ２ ・ (－ 2) ４ ＝
６
Ｃ r (2x－ 3y) ６ - r z
2160
r
･･･＊
と な る 。 こ こ で z の 次 数 に 着 目 す る と x ３ y ２ z が 現 れ る の は r =１ の と き だ け で あ る 。
こ の と き ＊ は ， ６ Ｃ １ (2x－ 3y) ５ z と な る 。
(2x－ 3y) ５ を 展 開 し た と き に x ３ y ２ が 現 れ る の は ５ Ｃ ２ (2x) ３ (－ 3y) ２
を 計 算 し た と き で あ り 、 係 数 は ５ Ｃ ２ ･2 ３ ・ (－ 3) ２ と な る 。
し た が っ て x ３ y ２ z の 係 数 は ６ Ｃ １ ・ ５ Ｃ ２ ･2 ３ ・ (－ 3) ２ ＝ 4320