中学校数学科 第3学年 6 三平方の定理

第３学年
６
三平 方 の 定 理
中学校数学科
第３学年
６ 三平方の定理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
中学校
年
組
号 氏名
第３学年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題
年
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題①
下 の 三 平 方 の 定 理 の 証 明 の 方 法 に つ い て ，太 郎 さ ん と 花 子 さ ん が 考 え て い ま す 。あ と の (1)，
(2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
●三平方の定理●
Ａ
直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む ２ 辺 の 長 さ を a， b，
c
b
斜辺の長さを c とすると，次の関係が成り立つ。
a ２＋ b
(1)
２
＝c
Ｂ
２
Ｃ
a
太郎さんは，次のように考えて証明をしました。アからウの
を答えなさい。
にあてはまる式
証明
Ａ
直角三角形ＡＢＣと，直角三角形ＡＢＣと合同な三角形を
c
右の図のように並べると，１辺の長さが c である正方形の
内側に，１辺の長さが
である正方形ＣＤＥＦがで
ア
b
a
Ｄ
Ｂ
Ｃ
きる。４つの直角三角形と正方形ＣＤＥＦの面積の和は，
１辺の長さが c である正方形の面積に等しいから，
４×
イ
＋(
)
ア
左辺を整理すると，
２
a ＋b
２
２
＝
ウ
＝
ウ
Ｅ
Ｆ
【解答】
ア
(2)
イ
ウ
右のように直角三角形ＡＢＣの頂点Ｃから斜辺ＡＢに垂線
Ｃ
ＣＤをひくと，△ＡＢＣ，△ＡＣＤ，△ＣＢＤはすべて相似に
なります。このことを利用して，花子さんは，次のように
a
b
証明をしました。証明の①の部分を参考にして，②の部分
にあてはまる比例式と等式を答えなさい。また，③にあて
y
x
Ａ
Ｄ
Ｂ
c
はまる等式を答えなさい。
証明
Ａ Ｄ ＝ x， Ｂ Ｄ ＝ y と す る と ，
△ Ａ Ｂ Ｃ ∽ △ Ａ Ｃ Ｄ だ か ら ， b： x ＝ c： b
b ２＝ c x
△ＡＢＣ∽△ＣＢＤだから，
よって，
：
＝
＝
【解答】
：
②
②
a ＋b ＝cy＋cx
２
①
２
：
＝
＝
：
＝ c ( x ＋ y)
③
＝
だ か ら ， a ２＋ b ２＝ c
２
③
＝
第３学年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題
年
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題②
１
○
右のような∠Ａ＝∠Ｃ＝９０ である四角形ＡＢＣＤ
において，辺ＡＤの長さを求めなさい。
Ｄ
Ａ
４ｃｍ
３ｃｍ
Ｂ
Ｃ
５ｃｍ
【解答】
ｃｍ
２
Ａ
右のような△ＡＢＣの面積を求めなさい。
１０ｃｍ
３０°
【解答】
Ｂ
ｃｍ
３
Ｃ
６ｃｍ
２
右のような１辺の長さが４ｃｍである正四面体ＡＢＣＤ
において，辺ＡＤ，ＢＣの中点をそれぞれＥ，Ｆとする
と き ， 次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。
(1)
Ａ
４ｃｍ
Ｅ
線分ＥＦの長さを求めなさい。
Ｂ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
【解答】
ｃｍ
すい
(2)
正四面体ＡＢＣＤの体積は，三角 錐 ＣＡＦＤの体積の２倍になります。このことを利用し
て，正四面体ＡＢＣＤの体積を求めなさい。
【解答】
ｃｍ３
第３学年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題
年
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題③
右のような底面の半径が４ｃｍで，母線であるＯＡの長さが１２ｃｍ
すい
の 円 錐 が あ り ま す 。 Ｏ Ａ の 中 点 を Ｍ と す る と き ， 次 の (1)か ら (3)ま
Ｏ
での各問いに答えなさい。
(1)
円錐の側面積を求めなさい。
Ｍ
１２ｃｍ
【解答】
Ａ
４ｃｍ
ｃｍ２
そ
(2)
右のように，点Ａから円錐の側面に沿って１周して点Ａまで
糸を張るとき，最も短くなるときの糸の長さを求めなさい。
Ｏ
Ｍ
１２ｃｍ
【解答】
糸
Ａ
ｃｍ
(3)
４ｃｍ
右のように，点Ａから円錐の側面に沿って１周して点Ｍまで
糸を張るとき，最も短くなるときの糸の長さを求めなさい。
Ｏ
Ｍ
１２ｃｍ
糸
Ａ
【解答】
４ｃｍ
ｃｍ
第３学年
６
三平 方 の 定 理
中学校数学科
第３学年
６ 三平方の定理
[思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 を 育 む 問 題 ]
[解 答 例 ]
中学校
年
組
号 氏名
第３学年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］
年
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題①
(1)
ア
a－b
１
ab
２
イ
ウ
c
２
【ポイント】
右の図のように，正方形ＣＤＥＦの１辺の長さは
a － b となるね。また，式の左辺については，次
のように整理することができるね。
２ １
４×
a b ＋（ a － b ）２ ＝ c ２
２
Ａ
c
b
a
Ｂ
Ｄa－b
b
Ｅ
２ a b ＋ ( a ２－ ２ a b ＋ b ２ ) ＝ c ２
２ a b ＋ a ２－ ２ a b ＋ b ２ ＝ c ２
a ２＋ b ２ ＝ c ２
Ｃ
Ｆ
(2)
②
③
a： y ＝ c： a
a２ ＝cy
y： a ＝ a： c
c： a ＝ a： y
２
a ＝cy ， cy＝a２
など，同値な式は正答とする。
x＋y＝c
【ポイント】
(② に つ い て )
Ｃ
a
△ＡＢＣ∽△ＣＢＤで，右の図のようにそれぞれ
b
△ＡＢＣの辺ＢＣに対し，△ＣＢＤの辺ＢＤ，
△ＡＢＣの辺ＡＢに対し，△ＣＢＤの辺ＣＢ
y
x
Ａ
Ｄ
Ｂ
c
が対応している辺になっているね。
だから，ＢＣ：ＢＤ＝ＡＢ：ＣＢとなり，
Ｄ
比例式の外側の項の積と内側の項の積は等しい
か ら ， a： y ＝ c： a
a
２
＝cy
y
となるね。
Ｃ
(③ に つ い て )
Ａ Ｂ ＝ c で ， Ａ Ｄ ＝ x， Ｂ Ｄ ＝ y と し て い る の で ，
x ＋ y ＝ c はいえることだね。
x ＋ y ＝ c よ り ， c ( x ＋ y )＝ c
a ２＋ b
２
＝c
２
が導けるね。
２
がいえるので，
a
Ｂ
第３学年
年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題②
１
４ ２ ｃｍ
【ポイント】
次のように求めるといいね。
△ＢＣＤにおいて，∠Ｃ＝９０
だから，三平方の定理より，
Ｂ Ｄ ２＝ ５ ２＋ ４ ２＝ ４ １
ＢＤ＞０より，
Ｂ Ｄ ＝ ４１ (ｃ ｍ )
○
２
Ｄ
○
Ａ
△ＡＢＤにおいて，∠Ａ＝９０
だから，三平方の定理より，
３ｃｍ
Ａ Ｄ ２ ＋ ３ ２ ＝ ( ４１ ) ２
２
ＡＤ ＝４１－９＝３２
Ｂ
Ａ Ｄ ＞ ０ よ り ， Ａ Ｄ ＝ ４ ２ (ｃ ｍ )
４ｃｍ
４１ ｃｍ
Ｃ
５ｃｍ
１５ ｃｍ２
【ポイント】
右の図のように，点Ａから直線ＢＣに垂線をひいて，
∠ＡＤＢ＝９０ となる直角三角形ＡＢＤをつくると，
∠Ｂ＝３０ より，ＡＤ：ＢＤ：ＡＢ＝１： ３ ：２となるね。
Ａ Ｂ ＝ １ ０ (ｃ ｍ )だ か ら ， Ａ Ｄ ＝ ５ (ｃ ｍ )と な り ，
１
３
△ＡＢＣ＝
× ６ × ５ ＝ １ ５ (ｃ ｍ ２ )と な る ね 。
２
Ａ
１０ｃｍ
○
５ｃｍ
○
３ (1)
６ｃｍ
Ｄ
Ｃ
２ ２ ｃｍ
【ポイント】
次のように求めるといいね。
△ＡＢＣは正三角形で，
ＢＦ＝２ｃｍ，∠ＡＦＢ＝９０
と な る か ら ， Ａ Ｆ ２＋ ２ ２＝ ４ ２
Ａ Ｆ ２＝ １ ６ － ４ ＝ １ ２
ＡＦ＞０より，
Ａ Ｆ ＝ ２ ３ (ｃ ｍ )
○
(2)
３０°
Ｂ
１６
３
２
Ａ
△ＦＡＤは，ＡＦ＝ＦＤの二等辺
２ｃｍ
４ｃｍ
三角形で，ＡＥ＝２ｃｍ，
∠ＡＦＢ＝９０ となるから，
Ｂ
Ｅ Ｆ ２＋ ２ ２＝ ( ２ ３ )２
２ｃｍ
Ｅ Ｆ ２＝ １ ２ － ４ ＝ ８
Ｆ
Ｅ Ｆ ＞ ０ よ り ， Ｅ Ｆ ＝ ２ ２ (ｃ ｍ )
Ｅ
○
Ｄ
Ｃ
ｃｍ３
【ポイント】
すい
三角 錐 ＣＡＦＤの底面を△ＡＦＤと考えると，高さはＦＣとなるから，
三角錐ＣＡＦＤの体積は，
２ ２ ｃｍ
１
×△ＡＦＤ×ＦＣ
正四面体ＡＢＣＤの体積は，
３
三角錐ＣＡＦＤの体積の２倍
１
１
＝
×
× ４ ×２ ２ × ２
Ｂ
だから，
３
２
Ｆ
１６ ２
８ ２
２ｃｍ
３
３
＝
(ｃ ｍ )と な る ね 。
(ｃ ｍ )と な る ね 。
３
３
Ａ
４ｃｍ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
第３学年
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題［解答］
年
組
６
三平 方 の 定 理
号 氏名
■練習問題③
(1)
２４πｃｍ２
【ポイント】
円錐の展開図
すい
円 錐 の側面は，展開図のおうぎ形の部分だから，次のように，
Ｏ
すい
円 錐 の展開図のおうぎ形の面積を求めるといいね。
x°（１２０°）
(求 め 方 ① )
(求 め 方 ② )
１２ｃｍ
おうぎ形の中心角を x とすると， おうぎ形の弧の長さは，底面の
x
円周の長さに等しく，８πｃｍ。
２π×１２×
＝２π×４
３６０
また，半径が１２ｃｍの円周の長 Ａ
８πｃｍ
これを解いて，x ＝１２０
さは，２４πｃｍ。
よって，求める側面積は，
よって，求める側面積は，
４ｃｍ
１２０
８π
π × １ ２ ２×
＝ ４ ８ π (ｃ ｍ ２ )
π × １ ２ ２×
＝ ４ ８ π (ｃ ｍ ２ )
３６０
２４π
○
(2)
１２
３ ｃｍ
【ポイント】
(1)か ら ， 円 錐 の 側 面 は 右 図 よ う な 中 心 角 が １ ２ ０ の お う ぎ 形
になるね。
(1)を (求 め 方 ② )で 求 め た 場 合 ，中 心 角 は ，
８π
３６０×
＝１２０（ ) と求められるね。
２４π
Ｏ
○
１２０°
１２ｃｍ
６０°
○
求める糸の長さは，右図の点Ａと点Ａ′を結ぶ最短の長さ，
つ ま り ，弦 Ａ Ａ ′の 長 さ に な る ね。
Ａ
Ｂ
求める糸の長さ
点 Ｏ か ら弦 Ａ Ａ ′に 垂 線 を ひ き ，そ の 交 点 を Ｂ とす る と ， ∠ ＡＯ Ｂ ＝ ６ ０ とな る か ら ，
○
△ＯＡＢは，３辺の比が１：
３ ：２の直角三角形になるね。
ＯＡ＝１２ｃｍだから，ＡＢ＝６ ３ ｃｍとなり，求める糸の長さは， １ ２
４
６
３ ｃｍとなるね。
７ ｃｍ
【ポイント】
求める糸の長さは，右図のおうぎ形の点Ａと点Ｍを結
ぶ最短の長さ，つまり，線分ＡＭの長さになるね。
右 図 の よ う に，直 角 三 角 形 で あ る △ Ｏ Ａ Ｃ を つ く る と ，
∠ Ｃ Ｏ Ａ ＝ ６ ０ ( )だ か ら ， △ Ｏ Ａ Ｃ の ３ 辺 の 比 は ，
１２ｃｍ
Ｏ
Ｃ
○
１ ： ３ ： ２ と な る ね 。 Ａ Ｏ ＝ １ ２ (ｃ ｍ )よ り ，
６ ３ ｃｍ
Ａ Ｃ ＝ ６ ３ (ｃ ｍ )， Ｃ Ｍ ＝ Ｃ Ｏ ＋ Ｍ Ｏ ＝ ６ ＋ ６ ＝ １ ２ (ｃ ｍ )
となるので
Ａ
Ａ Ｍ ２＝ １ ２ ２＋ ( ６ ３ )２＝ １ ４ ４ ＋ １ ０ ８ ＝ ２ ５ ２
Ａ Ｍ ＞ ０ よ り ， Ａ Ｍ ＝ ２５２ ＝ ６ ７ (ｃ ｍ )と な る ね 。
６０°
１２０°
１２ｃｍ
求める糸の長さ
Ｍ
Ａ′
(Ａ )