数学的な思考力・表現力を育成する算数科授業の創造

数学的な思考力・表現力を育成する算数科授業の創造
－ 数学的な表現を使って説明し学び合う算数的活動を通して －
所 属 校 八代市立松高小学校
教科等教育 算数 西山 友一郎
Ⅰ
主題設定の理由
小学校学習指導要領解説算数編(2008)では，
算数教育の重要なねらいとして，発達段階に応
じて，算数的活動を一層充実させ，数学的な思
考力・表現力を育て，学ぶ意欲を高めるように
することが示されている。
また，平成25年に閣議決定された「第２期
教育振興基本計画」では，自ら課題を発見し解
決する力や他者と協働するためのコミュニケー
ション能力，物事を多様な観点から論理的に考
察する力などの育成を重視すると示されている。
さらに，平成26年に国立教育政策研究所か
ら出された「教育課程の編成に関する基礎的研
究報告書７」によると，個人として自立し他者
と協働しながら価値を創造する資質・能力の育
成が求められている。また，資質・能力の育成
のための授業づくりにおいて，他者と関わり合
いながら考えを高められる活動を設定する必要
があると示されている。
熊本県の児童の実態については，平成26年度
全国学力・学習状況調査や熊本県学力調査など
の結果から，「数学的な考え方」の観点におい
て正答率が低いことや，問題解決に向けて根拠
を明確にしながら筋道を立てて説明することが
課題として挙げられている。また，授業づくり
について，熊本県学力調査の質問紙調査（小学
校教師）や所属管内の小学校教諭の意識調査の
結果から「考えを表現させる学習活動を行うこ
と」「意見交換をする場を設けること」の教師
の意識は高いが，これらの活動を授業に取り入
れることに難しさを感じていることが分かった。
これまでの自身の実践を振り返ると，児童
が多様な考えができる課題設定と課題提示の仕
方，児童が考えを説明し合い深める活動におい
て考えるための視点を明確に示すことなどに課
題が見られた。
以上のことから，児童に数学的な思考力・表
現力を育むためには，算数的活動を充実させる
ことはもちろんのこと，他者と関わり合いなが
ら考えを高めていく活動を意図的に取り入れて
いくことが有効と考え，本研究主題を設定した。
Ⅱ
１
研究主題の分析
数学的な思考力・表現力について
本研究では数学的な思考力・表現力について，
小学校学習指導要領解説算数編(2008)及び中原
(2008)熊倉(2011)が示す数学的な思考力・表現
力を基に，次のように捉えた。
＜数学的な思考力＞
数学的な推論を使っ
て見通しを持ち，根拠
を明らかにし，筋道を
立てて考える力
２
＜数学的な表現力＞
数学的な表現を使っ
て自分の思考過程や結
果を表現し，他者の思
考過程や結果を解釈す
る力
数学的な思考力・表現力の育成について
小学校学習指導要領解説算数編(2008)では，
考える能力と表現する能力の関係について「互
いに補完し合う関係にあるといえる」と示され
ている。また，数学的な思考力・表現力の育成
について「自分が考えたことを表現したり，友
達に説明したりする学習活動を取り入れること
が重要である」と示されている。このことから，
数学的な思考力と表現力は，補完し合う関係に
あるからこそ，児童が自分の考えを持ち，説明
し合ったり，式などから他者の考えを解釈した
りする活動が必要と考える。児童が学び合いな
がら学習を進める授業づくりが必要と考える。
３ 学び合う算数的活動について
算数的活動について，小学校学習指導要領解
説算数編(2008)では，算数的活動は「児童が目
的意識をもって主体的に取り組む算数にかかわ
りのある様々な活動」と示されている。また，
中学校の数学的活動との関わりを考慮すること
が必要であることも示されている。そこで，中
学校学習指導要領解説数学編(2008)の数学的活
動で重視されている三つの活動と石井(2014)が
示した算数的活動の内容を基に，本研究におけ
る算数的活動を以下の活動と整理した。
ア 数や図形の性質などを見いだす活動
イ 日常生活で算数を利用する活動
ウ 算数的な表現を用いて自分なりに説明
し合う活動
これらの活動には，それぞれに学び合いが関
与してくるものと考える。特に，「自分なりに
説明し合う活動」は，学び合いの要素を多く含
む活動と考える。また，中村(2008)は「学び合
いが成立するためには，自分の考えを表現し伝
え合う力が前提となる。(中略)また，他者が数
学的に表現した思考過程を解釈する力も重要で
ある」と述べている。この「自分なりに説明し
合う活動」を充実させるためには，自分の考え
をしっかり持ち，相手意識を持って自分の考え
を表現したり，相手の考えを読み取ったりする
視点が必要であると考える。
これらのことから，学び合う算数的活動を，
「算数的な表現を用いて，自分なりに説明し合
う活動」に，相手意識を持ってより分かりやす
く説明しようとしたり，相手の考えを解釈し理
解して自分の考えを深めようとしたりする視点
を加えた活動と捉える。算数的活動に，これら
の視点を加えることで，児童は互いの考えを高
め合うことができるようになり，数学的な思考
力・表現力の育成につながると考える。
本研究では，学び合う算数的活動の内容を
下のように整理した(表1)。これらの活動を問
題解決の過程に意図的に設定し，全ての児童が
取り組むことを目指す。
表１ 学び合う算数的活動の内容
学び合う算数的活動
再現する活動
相談する活動
解釈する活動
説明する活動
活動内容
友達の考えや発言内容を他の児
童が再現する活動
ペアや班などで自分の考え等を
確認し合う活動
図や式，キーワードから他者の
考えを読み取る活動
考えをお互いに説明し合う活動
Ⅲ
研究の目的
算数科の授業において，数学的な表現を使っ
て説明し，学び合う算数的活動を授業の中に意
図的に取り入れた指導の工夫を行うことが，児
童の数学的な思考力・表現力の育成に有効であ
るかについて，実践を通して検証し，授業改善
を図ることを目的とする。
Ⅳ
１
研究の構想
研究の仮説
問題解決の過程において，学び合う算数的活
動を意図的に位置付け，数や図形の性質を見い
だしたり，日常生活で算数を利用したりする活
動と関連させる工夫を行えば，児童の数学的な
思考力・表現力を高めることができるであろう。
２ 仮説検証の方法
検証授業を行い，以下の三つの項目で研究の
仮説について検証を行う。
１ 数学的推論につながる考え方の高まりが見られる
かについて，意識の変容を検証授業前後の実態調査
結果を比較することと，ワークシートの記述による
分析を行う。
２ 算数的な表現を使い，自分の考えを相手に分かり
やすく筋道を立てて表現しようとする意識の変容に
ついて，検証授業前後の実態調査結果を比較するこ
とにより分析を行う。
３ 児童の数学的な思考力・表現力を高めることがで
きているかについて検証授業前後の実態調査結果を
比較することと，県学力調査問題を参考に作成した
評価問題で所属校と当時の県の定着率を比較するこ
とにより分析を行う。
Ⅴ
研究の実際
所属校第５学年２学級，第６学年２学級を対
象に以下の内容で検証授業を実施した。
検証授業１
検証授業２
期間
９月下旬
10月中旬
対象学年
６年
５年
単元
「比例と反比例」
「面積」
１
学び合う算数的活動の意図的な位置付けに
ついて
(1) 単元指導計画について
各時間で，児童に身に付けさせたい数学的な
思考力・表現力や，ねらい達成に向けた「数や
図形の性質を見いだす活動」「学び合う算数的
活動」を示し，それらを「関連させるための手
立て」を単元指導計画に明記した(表２)。
表２ 第６学年検証授業の単元指導計画の抜粋
学び合う
算数的活動
関連させる
手立て
伴って変わる二
つの数量を動画で
示し，変化の様子
をとらえる活動。
再現する活動
説明する活動
解釈する活動
表から見いだし
た気付きをペアで
の伝え合いから全
体に広げるように
する。
表を用いること
により，伴って変
わる二つの数量の
関係を調べる活
動。
相談する活動
説明する活動
式，表，グラフの
いずれかの方法を選
択させ説明させるよ
うにする。その際，
お互いのよさを伝え
合うようにする。
時
目標
見いだす活動
１
伴って変
わる数量に
ついて調
べ，関数的
な見方に関
心を持つ。
表，式，
グラフを使っ
て比例してい
ることを判断
し説明する。
８
(2) 一単位時間における学び合う算数的活動の
設定の工夫について
第６学年の目標は「伴って変わる二つの数量
の関係について，表，式，グラフを使って調べ，
比例している根拠を説明することができる。ま
た，比例関係を使い問題解決ができる」である。
第５学年の目標は「三角形や平行四辺形の
面積の公式を理解し，面積を求めることができ
る」である。
ア 相談する活動
検証授業１の第３時では，次に示すように，
小数と整数が含まれる表から，二つの数量が比
例しているかを判断させる問題を設定した。
問題：針金の長さと重さの関係を調べたら次のような表になりまし
た。針金の重さは長さに比例しているか調べましょう。
長さ(m)
0.5
１
1.5
２
2.5
重さ(g)
60
120
180
240
300
問題提示後の「比例と判断できそうだ」とい
う児童のつぶやきを拾い上げた。そのつぶやき
を基に，自分なりに比例していることを確かめ
る方法について，ペアで相談する活動を取り入
れた。
相談する活動は，問題内容の理解度を 児童
自身が確認したり，解決の見通しについて確か
めたり補足したりすることを意図して行った。
イ 説明する活動
検証授業１の第８時では，長方形の横の長さ
と面積が比例の関係にあるかを調べる方法につ
いて，表，式，グラフの中から選択し，根拠を
示しながら比例している理由を説明する学習を
行った。児童に表，式，グラフから説明しやす
い方法を選択するようにした。また，説明する
活動を「①ペアで説明し合う。②複数の友達と
説明し合う。③学級全体で確かめ合う。」とい
う一連の流れで取り組むようにした。
説明する活動は，他者と考えを比較し自分の
考えを深めることと，学習内容の定着を図るこ
と，発言する機会を増やし説明し表現する力を
育成することを意図して行った。
ウ 再現する活動
検証授業２の第２時では，前時で学習した
直角三角形の面積が，元の長方形の面積の半分
になった考え方を基に，一般的な三角形の面積
の求め方を考える学習を行った。代表児童が等
積変形の方法を説明した後，ペアで再現し，説
明し合う活動を取り入れた。
再現する活動は，問題内容や，他者の発言
内容の理解度を確認することや，数学的な内容
の理解を深めることを意図して行った。
エ 解釈する活動
検証授業２の第５時では，三角形や長方形の
面積の求め方を基に，平行四辺形の面積の求め
方を考え説明する学習を行った。見通しを持つ
過程で，代表児童に考えをキーワードで出して
もらい，そのキーワードから代表児童がどのよ
うに考えたのかを読み取るようにした(図１)。
解釈する活動は，自分の見通しや考えを補足し
たり，学習内容の理解を深めたりすることを意
図して行った。
解決の見通しをキーワ
ードで発表させ，他の児
童の見通しを補助できる
ようにした。
式やキーワードを示し，
これを基に考えを読み取っ
ていった。
図１ 解釈する活動の板書例
２ 算数的活動を充実させる工夫について
(1) 数や図形の性質を見いだす活動と学び合う
算数的活動を関連させる工夫について
検証授業２は，面積の求め方を考える学習が
中心である。教科書では，前時の学習で学んだ
考え方を生かして，新しい図形の面積の求め方
を考える展開となっている。そこで，代表児童
が示した式から面積の求め方を解釈し，説明し
合う活動を行った。このことにより，既習事項
を生かして求積方法を考えたり，公式につなが
る考え方に気付いたりする児童の姿が見られた。
(2) 日常生活で算数を利用する活動と学び合う
算数的活動を関連させる工夫
検証授業２の第４時では，前時までに学習
した三角形の面積の求め方を活用して四角形
の面積を求める学習を行った(図２)。
学習のまとめで，本時の
学習の考え方が生活の中で
使われているか，話合いを
行った。児童から「長方形
でない土地の広さを求める
図２ 問題の四角形 ときに使える」等の考えが
出た後に資料を提示し，本時の考え方は実生
活の中では三角測量という方法に生かされて
いることを示した。以下に示した授業後の感
想から，生活との関連に気付いた様子がうか
がえる。
今日の学習で，普通の四角形の面積を求めました。そのままでは
計算できないので，線を引いて三角形に分けて計算することが分
かりました。この考え方は，土地の面積を測るのに使われている
ことを知りました。
３
数学的な思考力・表現力を見取る評価問題
本研究では，熊本県学力調査問題を利用した
評価問題を作成し，検証授業後に実施した。こ
れにより，児童に身に付けさせなければならな
い数学的な思考力や表現力を具体的に把握する
ことができた。また，評価問題を作成する際に
過去10年分の熊本県学力調査問題の分析を通し
て，数学的な思考力・表現力を育成するための
視点を得ることができた。
Ⅵ 研究の分析・考察
１ 数学的な思考力・表現力に関する意識の変容
(1) 解決の見通しを持つことについて
児童に解決の見通しを持たせるために，見通
しを持つ過程において，相談する活動や解釈す
る活動を意図的に取り入れた。「見通しを持っ
て問題を解こうとしているか」の質問に対して
意識の伸びが見られた(表３)。これは，解決の
見通しを代表児童の式や言葉を基に，他の児童
とかかわり合いながら考える場を設定したこと
が要因と考える。また，解決の見通しを持つこ
とが難しい児童においても，友達と相談するこ
とで自分の考えを基に，自分なりの見通しを持
つことにつながったと考える。
表３ 解決の見通しに関する意識
学
年
第 ５ 学 年 (N=86)
第 ６ 学 年 (N=71)
事 前
3.12
3.14
事 後
3.36*
3.11
(４件法 有意確率 **:p<0.01 *<0.05)
(2) 根拠を明確にする意識について
児童が根拠を明確に持つようにするために，
共同解決の過程において，解釈する活動や再現
する活動を取り入れた。「根拠を明らかにしよ
うとしているか」の質問に対して意識の伸びが
見られた(表４)。これは，式から友達の思考過
程を読み取ることや，友達に代わって考えを説
明する場を設定したことが要因だと考える。
表４ 根拠を明確にすることに関する意識
学
年
第 ５ 学 年 (N=86)
第 ６ 学 年 (N=71)
事 前
2.93
2.51
事 後
3.24**
2.93**
(４件法 有意確率 **:p<0.01 *<0.05)
(3) 筋道を立てて説明する意識について
児童が筋道を立てて相手に分かりやすく説明
できるようになるために，共同解決の過程で，
主に説明する活動や再現する活動を取り入れた。
「理由を明らかにして順序よく説明しているか」
の質問に対して意識の伸びが見られた(表５)。
これは，説明する活動で代表児童の説明を同じ
ように再現することで，筋道の通った説明の仕
方を身に付けさせることを意図して，ペア，班，
学級全体と児童に考えを表現させる場を設けた
り，説明する活動の後に，相互に説明内容に対
して評価をする手立てを行ったりしたことが意
識を高めた要因と考える。
表５ 筋道を立てて説明することに関する意識
学
年
第 ５ 学 年 (N=86)
第 ６ 学 年 (N=71)
事 前
2.75
2.42
事 後
3.50**
3.24**
(４件法 有意確率 **:p<0.01 *<0.05)
２ 数学的な思考力・表現力の能力の向上について
(1) 単元テストの結果より
児童の数学的な思考力・表現力を見取る手
立てとして単元テストに熊本県学力調査問題を
利用した。その評価基準を参考にして，児童の
解答を分析し，一人一人の学習状況を的確に把
握するようにした。
検証授業において，熊本県学力調査解答及
び配点一覧を基に，所属校の定着率と当時の県
の定着率の比較を行った(表６)。実施した集団
や実施時期が異なるので単純に比較することは
できないが，全ての問題で，所属校の定着率は
当時の県の定着率を上回った。
表６ 所属校と県との定着率の比較
問題内容
６年（平成25年度熊本県学力調
査第６学年大問 ６）
５年（平成24年度熊本県学力調
査第５学年大問 ２のア）
５年（平成24年度熊本県学力調
査第５学年大問 ２のイ）
めるための思考過程を筋道を立てて説明するこ
とができた（図３）。
所属校
熊本県
83.8％
68.5％
86.9％
57.8％
82.6％
67.0％
(2) ワークシート等の記述より
検証授業では，自分の思考過程を図や表で示
し，式と言葉と関連付けやすいようにワークシ
ートの上部に図や表，下部に自分の考えや説明
を記述できるよう工夫した。これにより，第６
学年では比例している根拠を明確に示ながら説
明することができた。第５学年でも，面積を求
図３
第６学年児童のワークシート記述例
Ⅶ
１
研究のまとめ
研究の成果
児童に数学的な思考力・表現力を育むため，
学び合う算数的活動を意図的に設定した授業を
行った結果，数学的な推論の類比的な考え，帰
納的な考え，演繹的な考えに関する意識につい
て次のような成果が得られた。検証授業前後で
比較すると，全ての項目で意識の高まりが見ら
れた(表７）。
表７ 数学的な推論に関する児童の意識の変容
質問項目
学年
平均値
事前
事後
3.21
3.46**
3.08
3.31*
様々な場合を考えきまり
3.03
3.36**
を見つけようとするか
2.81
3.26**
見つけたきまりを使
3.24
3.43*
って説明しているか
3.36
3.37
（４件法 有意確率 **:p＜0.01 *:p＜0.05）
「見通しを持って問題解決を図ろうとするこ
と」「筋道を立てて説明しようとすること」「数
学的な推論を使って問題を解決すること」につ
いての意識の高まりが見られた。また，過年度
の熊本県学力調査の定着率が，当時の県の定着
率を上回ったことや，ワークシートの記述内容
の高まりが見られたことから児童の数学的な思
考力・表現力が高まったと考える。
２ 研究の課題
(1) 単元指導計画について
単元指導計画に児童に身に付けさせたい力を
明示したが，教師がねらい達成のための複数の
手立ての中で，児童の実態に応じた手立てを絞
りきれないという課題が見られた。
(2) 学び合う算数的活動について
学び合う算数的活動に取り組むための時間確
保の工夫が必要であった。また，数学的な思考
力・表現力の高まりと学び合う算数的活動の関
連を明確にする必要があった。
(3) 評価問題について
評価問題を作成するに当たり，数学的な思考
力・表現力をどの程度育成できたかを見取る問
題の開発や，その評価基準の精度を高めるなど，
十分に検討する必要がある。
以前の学習を生かし
て問題を解くか。
5年(N=86)
6年(N=71)
5年(N=86)
6年(N=71)
5年(N=86)
6年(N=71)
【引用文献・Web ページ】
〇文部科学省中央教育審議会：幼稚園，小学
校，中学校，高等学校及び特別支援学校
の学習指導要領等の改善について（答
申），
http://www.mext.go.jp/b_menu/shingi/
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〇学校教育法第30条第２項
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http://www.mext.go.jp/a_menu/keikaku
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