第11章 振動(6/29)

第１１章
振動
振動と波動
車の振動
波
分子の振動
心臓の鼓動
波紋
振動の種類
単振動： ばねで重りを吊し、これを
引いて放すと正弦波様の往復運動
を始める。この運動や，柱時計よう
な単振り子による運動を総じて単振
動という。
2A
減衰振動： ばねや単振り子の振動 A
は復元力，摩擦力，空気の抵抗が
働くので次第に振幅が小さくなる。こ
の振幅が小さくなる振動を減衰振動 0
という。
2A
x
Aebt
x = Aebtsin(t + )
t
Aebt
振動の種類
強制振動： 振動体が固有の振動数で
自由振動をするとき，外から周期的な力
を加えると２つの振動を重ね合わせたよ
うな振動をする。自由振動は減衰する
が，外からの力による振動はいつまでも
続く。これを強制振動という。
r/m=2b
r:抵抗係数
m:質量
共鳴（共振）： 強制振動における外力
の振動数を，振動体の固有振動数に近
づけると，振動体の振幅が極めて大きく
なる。この現象を共振または共鳴という。
外力の振動数 p と振幅 C の
関係を示すと，p が 0 に近づ
くにつれて振幅は急激に大きく
なる。この現象を共振(共鳴)と
いう。
強制振動
ブランコをこぐ
弦楽器を弾く
ブランコを押す
鐘を鳴らす
共鳴
一方を動かすと他方も動く
Ａの音叉を鳴らすと，Ｂも鳴り始める
パイプオルガンの音はなぜ響くか？
Ａの音叉を止めても，Ｂは鳴り続ける
正弦曲線，余弦曲線
x  Asin
dx
 Acos
d
d2x
  Asin   x
2
d
x  Acos
dx
  Asin
d
d2x
  Acos   x
2
d
※２回微分す
ると，符号が
逆で同じ形に
なる。
  t を代入して，tで微分すると
d
  なので，
dt
x  Asint
dx
 A cost
dt
d2x
2 sin t   2 x


A

dt 2
x  Acost
dx
  A sint
dt
d2x
2 cost   2 x


A

dt 2
※どちらも，
d2x
2x



dt 2
の形になる。
正弦波の一般式
周期T
x
振幅A
t
0
位相0
実際には，t = 0 のときに x = 0 とは限らない。t = 0 のときの初期値 x0 =
Asin0 とすると，あたかも 0 から正弦波が始まっているように見える。こ
の 0 を初期位相と言う。
正弦波の基本式
x  Asin(t  0 )
なお，角速度  は周期 T，または振動数（周
波数） f を用いて，
  2 / T  2f
と表すことができる。
dx
 A cos(t  0 )
dt
d2x
2 sin(t  )



A
0
2
dt
  2 x
バネと波
フックの法則と単振動
バネなどの弾性体を，つり合いの位置からずらすと，
弾性限界以下の変位 x に対して，復元力 F は，
F  kx
x
つり合いの
位置
F
m
（変位xと復元力 F が逆方向成分なので，負になる）と
なり，これをフックの法則という。なお，k はバネ定数
を示す。
質量 m の物体が原点Oから進行方向に x 軸をとり，
一定の加速度を a で動くとき，ニュートンの運動の第
２法則(F = ma)から次に運動方程式が得られる。
2x
d
m 2  ma
dt
これらの式から，ばねの先端につけられた質量 mの
物体が単振動の運動をするとき，その運動方程式は
次の式となる。
2x
d
m 2  kx
dt
フックの法則と単振動
+
前の式を変形すると，
d2x
dt 2

k
x
m
となり，正弦波 x = Asin(t + 0)
の２階微分と同じなのがわかる。
d 2 x   k x   2 x
dt 2
m
より，
2
k

m
k

m
また，t = 0 のとき x0 = A とすると，
Asin0 = A より，0 = /2となり，
このバネの振動は，
x  Asin( k t   )  Acos k t
m 2
m
と表せることがわかる。
v=0
a
x
変位
b
d
e
f
a b c
g h
i
t
c
v
d
e
v=0
速度
b
c
d e
f
a
i
t
i
t
g h
f
f
g
a b
h
i
弾性力
h
c
v=0
d
e
f
g
単振動と回転
単振動も回転
運動も横から見
ると同じ周期的
な運動。
単振動の周期
T，角速度  と
すると，
T  2
なので，
T
2

 2
m
k
また，振動数（周
波数） f は，
f
1 1

T 2
となる。
k
m
振動のエネルギー
運動エネルギー
1
K  mv 2
2
位置（弾性）エネルギー
1
U  kx 2
2
振動の端 振動中心
にいるとき にいるとき
※振動の途中の状態でも，エネルギー
保存の法則は成り立つため，常にE
= K + Uとなる。
変位 x
xm（最大）
0
速度 v
0
vm（最大）
E=
K+U
1 2
kxm
2
1 2
mv m
2
エネルギー保存の法則より，
1 2 1 2
kxm  mv m
2
2
練習問題
図のように 2[kg] の重りをつるすと
5[cm] 伸びるバネがある。このバネに
1[kg] の重りをつけて振動させると，その
周期はいくらになるか。ただし，重力加
速度を g = 10[m/s2] とする。
質量mの物体の単振動の周期 T は，
T  2
m
k
で求められる。バネ定数 k は F = mg = kx より，
となり，
mg 2[kg]10[m/s 2 ]

k
 400[N/m]
2
x
510 [m]
T  2
となる。
1
2

 0.314[s]
400 20
5cm
2kg
練習問題
バネ定数がk1 のバネAと，バネ定数がk2 の
バネBの間に，質量mの物体Cをつなぎ，(a)図
のように滑らかな水平面上におき，バネが自
然長の状態で壁に固定した。(b)図のように物
体Cを左方へ少しずらしてはなしたところ，物
体は振動をはじめた。その振動数を求めよ。
物体Cを釣合の位置から左方にxだけずらせ
て放したとする。物体がxだけ左方にずれたと
き，物体Cに働く力は -k1x ，-k2x であり，物体
Cの加速度を a とすると，
ma  k1 x  k2 x  (k1  k2 ) x
したがって，角速度  は，
  (k1  k2 ) m
よって，振動数 f は，
となる。
 1 (k1  k2 )

f
2 2
m
C
A
A
C
B
B
(a)
(b)
x
O
A
A
k1x
C
C
B
B
x k x
2
O
(a)
(b)
振り子の運動
図のように鉛直方向から角度  のとき，振り子の
振れる接線方向には質量 m のおもりに働く重力に
より，
Ft  mg sin
の力が働く。また，振り子の振れ幅 x はひもの長さを
l とすると，x = l·sin となるので，Ft は x を用いて，
mg
x
Ft  
l
と表すことができる。これはばね定数
l

T
Ft

mg
k 
l
mg
のばねに対応するので，この振り子の周期 T は，
T  2
m
l
 2
k
g
と求めることができる。これより，振り子の周期と振り
子の長さを測れば重力加速度の値を求めることがで
きる。
x