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デリバティブ特論
内山朋規
2012 年 1 月
サブテキスト：
John Hull (2011) Options, Futures, and Other Derivatives,
International 8th Edition.
-2
目次
第1章
1.1
1.2
1.3
イントロダクション
証券とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
金利の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
プライシング理論の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
先物とフォワード
フォワード契約 . . . .
先物契約 . . . . . . . .
先物・フォワードの例
ヘッジ戦略 . . . . . .
第3章
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
スワップ
概要 . . . . . . . . . . . . .
金利スワップ . . . . . . . .
通貨スワップ . . . . . . . .
他の形態のスワップ取引 . .
カウンターパーティ・リスク
1
1
2
6
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12
12
15
18
21
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23
23
23
27
28
29
第4章
4.1
4.2
4.3
オプション
概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
オプション価格の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
オプションを用いた取引戦略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
33
36
第5章
5.1
5.2
5.3
二項モデル
復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二項ツリーモデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二項ツリーモデルの極限 –Black-Scholes モデルへの収束– . . . . . .
38
38
38
43
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第 6 章 連続時間モデル
45
6.1 ブラウン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 確率微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3
6.4
6.5
伊藤の補題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
確率測度の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
いくつかの確率微分方程式の解の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第7章
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
ブラック・ショールズモデル
ブラック・ショールズの公式 . . . . . .
導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
配当がある場合 . . . . . . . . . . . . . .
先物のオプション . . . . . . . . . . . . .
グリークス . . . . . . . . . . . . . . . .
ポートフォリオ・インシュアランス . . .
偏微分方程式とリスク中立評価法の関係
アメリカンオプション . . . . . . . . . .
BS モデルの拡張 . . . . . . . . . . . . .
第8章
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
エキゾチック・オプション
エキゾチック・オプションの評価式 . . . . . . .
静的ヘッジ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
クオント（クロスカレンシー・デリバティブ） .
コンベクシティ調整 . . . . . . . . . . . . . . .
タイミング調整 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第9章
9.1
9.2
9.3
9.4
ボラティリティ・スマイル
インプライド・ボラティリティ . . . .
IV がインプライする原資産の確率分布
BS 以外のモデル . . . . . . . . . . . .
バリアンス・スワップ . . . . . . . . .
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第 10 章 数値計算法
10.1 二項ツリー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 3 項ツリー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 インプライド・ツリー . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 有限差分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 モンテカルロ・シミュレーション . . . . . . . . . . .
10.6 アメリカンへのモンテカルロシミュレーションの適用
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55
55
56
59
59
60
63
63
64
66
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67
67
76
77
78
79
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82
82
83
85
90
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94
94
98
99
102
105
108
第 11 章 金利デリバティブ
11.1 マーケットモデル . . . . .
11.2 短期金利モデル . . . . . .
11.3 金利ツリー . . . . . . . .
11.4 カリブレーションとヘッジ
11.5 フォワードレートモデル .
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第 12 章 クレジットデリバティブ
12.1 クレジットリスクのモデル . . . . . . . . . .
12.2 クレジットデリバティブ . . . . . . . . . . .
12.3 クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）
12.4 CDS インデックス . . . . . . . . . . . . . .
12.5 フォワード CDS . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 CDS オプション . . . . . . . . . . . . . . . .
第 13 章 クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
13.1 デフォルト相関 . . . . . . . . . . . . .
13.2 デフォルト相関のモデル化 . . . . . . .
13.3 ポートフォリオのデフォルト損失分布
13.4 バスケット型クレジットデリバティブ
13.5 シンセティック CDO . . . . . . . . . .
付録
A
B
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111
. 111
. 117
. 124
. 128
. 129
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135
. 135
. 145
. 146
. 150
. 151
. 152
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155
. 155
. 157
. 164
. 167
. 171
178
金利の先物とフォワードの関係：コンベクシティ調整 . . . . . . . . 178
アフィンモデルと変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
課題
190
練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
課題 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
課題 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
1
第1章
1.1
イントロダクション
証券とは
• 保有するとキャッシュフロー（株式配当や債券のクーポン，預金金利，デリ
バティブのペイオフなど）を受け取ることができる取引可能な資産を証券と
呼ぶ．
– 証券の例：債券，株式，銀行預金（デフォルトリスクのない短期債），
デリバティブ，不動産，· · ·
– キャッシュフローの額は不確実な場合が多い．その受け取りタイミング
も不確実な場合がある
• 証券により，異時点間で資金を交換することができる．例えば，
– 得た給与を現時点ですべて消費せずに，証券に投資して，将来の消費に
持ち越す．
– 個人が借入れ（債券の空売りに相当）をして住宅を購入する．将来の給
与を先に消費する．
– 企業は株式や債券（借入れ）を発行して，生産機会に投資する．生産機
会が生み出す将来の利益から，株式や債券のキャッシュフローが支払わ
れる．
• また，リスクを交換することができる．
– 大規模な事業を行うために必要な資金を小口化し，分散投資を可能に
する．
– キャッシュフローを組み替えて不確実性に対処するためのリスクをコン
トロールすることができる．
1. イントロダクション
1.2
2
金利の復習
金利のタイプ
• 国債利回り：超長期（40 年など）までの期間の金利が観測可能．
• LIBOR (London Interbank Offered Rate，ロンドン銀行間貸出金利) ：AA
格程度の銀行間で提示する短期（12ヵ月まで）の貸出金利．
– LIBOR にリンクした多くの金利商品が取引されている（金利スワップ
など）．スワップレートは長期金利の指標に使われている．
– デリバティブ・プライシングの実務では，LIBOR をリスクフリーレー
トとして扱ってきた．金融機関の資金運用調達コストに近いため．しか
し，実際にはデフォルトフリーではない．
（Business Snapshot 4.1, p77）．
最近では OIS（overnight indexed swap）レートがリスクフリーレート
の代理指標として認識されつつある．
（§7.8, p164）
金利の計算
• 元本を A0 ，金利を定数 r（年率）とすると，n 年後の価値は
– 単利：A0 × (1 + nr)
– 年 1 回複利：A0 × (1 + r)n
– 年 2 回複利：A0 × (1 + r/2)2n
– 年 m 回複利：A0 × (1 + r/m)nm
– 連続複利：limm→∞ A0 × (1 + r/m)nm = A0 × enr
– Table 4.1（p78）
• したがって，現時点の価値が A0 で，時点 n 年後の価値が An となる場合の割
引計算は
– 単利：A0 =
1
A
(1+nr) n
– 年 1 回複利：A0 =
1
A
(1+r)n n
– 年 2 回複利：A0 =
1
A
(1+r/2)2n n
– 年 m 回複利：A0 =
1
A
(1+r/m)nm n
– 連続複利：A0 = e−nr An
1. イントロダクション
3
∗ A0 と An を所与とすると，複利の扱い方によって，金利の値は異
なる．
· Ex 4.1, Ex 4.2（p79,80）
∗ 通常，金利は年率で表示される．
割引債金利（イールド）
• t 年後に 1 単位を償還する割引債の現在の価格を P0 (t) とする．現時点から将
来時点 t までの期間をカバーする連続複利ベースでの金利 y(t) は
P0 (t) = e−y(t)t
1
y(t) = − log P0 (t)
t
∴
y(t) は連続複利イールド（あるいはゼロレート，スポットレート）と呼ばれる．
• y(t) を期間 t の関数としてみることができる（金利の期間構造，図 1.1）．金
利は時点や期間によって異なる．
• 実際には，任意の年限の割引債価格を観測することはできないので，金利の
期間構造は固定利付債から計算される（ブートストラップ，§4.5 p82）
図 1.1: 金利カーブ
3.5%
1998/12/30
3.0%
2.5%
2.0%
2008/12/30
1.5%
1.0%
0.5%
0.0%
1Y
3Y
5Y
7Y
9Y
11Y
13Y
15Y
17Y
19Y
（注）日本国債の価格から推定されたイールド．期間 1 年から 20 年まで
1. イントロダクション
4
• 満期 t1 ,t2（t1 ≤ t2 ）の割引債価格 P0 (t1 ), P0 (t2 ) は，それぞれ対応するイール
ドを用いて，
P0 (t1 ) = e−y(t1 )t1
(1.1)
P0 (t2 ) = e−y(t2 )t2
(1.2)
である．現時点では将来のイールドは不確実であるが，
P0 (t2 ) = e−(y(t1 )t1 +F (t1 ,t2 )(t2 −t1 ))
(1.3)
を満たす金利 F (t1 , t2 ) を現時点で観測することができる．F (t1 , t2 ) をフォワー
ドイールドという．(1.2)(1.3) から，
F (t1 , t2 ) = −
log P0 (t2 ) − log P0 (t1 )
y(t2 )t2 − y(t1 )t1
=
t2 − t1
t2 − t1
(1.4)
– F (t1 , t2 ) は現在時点からみて，時点 t1 から t2 までをカバーする金利で
ある．現在の金利カーブに反映されている将来の金利を表す．
（ただし，
期待値ではない！）
– Table 4.5（p85）
固定利付債
• ほとんどの債券は定期的に固定クーポンを支払う．固定利付債は割引債の
ポートフォリオとして看做すことができる．各クーポン c（ここでは年 2 回
を仮定）と満期償還（1 単位）を年限に対応するイールドで割り引くことで，
固定利付債の価格が得られる．連続複利べースで表すと，
c
c
P0 = e−y(t1 )t1 + · · · + e−y(tm )tm + e−y(tm )tm
2
2
• 所与の債券価格に一致する一律の割引率 y をこの債券の YTM（最終利回り，
yield to maturity）という
c
c
P0 = e−yt1 + · · · + e−ytm + e−ytm
(1.5)
2
2
– y は，解析的に計算することができない．数値計算により求められる
• イールドを所与にして，債券価格が額面に一致するようなクーポンをパー
イールドという．パーイールドは以下を満たす c である
c
c
1 = e−y(t1 )t1 + · · · + e−y(tm )tm + e−y(tm )tm
2
2
– 通常，債券の発行価格はおおよそパー（額面）に近いので，発行直後の
パーイールドはおおよそクーポンに近い
1. イントロダクション
5
債券の金利リスク
• 図 1.2，図 1.3 は割引債の価格と金利の関係を表す．
– 金利が上昇すると，債券価格は下落するが，関係は線形ではない．
– 満期が長いほど金利変化に対する感応度は高い．
図 1.2: 金利と債券価格
1
5 year bond
0.9
10 year bond
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
図 1.3: 金利変化と債券価格の変化率
80%
5 year bond
60%
10 year bond
40%
20%
0%
-20%
-40%
-5% -4% -3% -2% -1%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
1. イントロダクション
6
• 割引債価格を金利でテイラー展開1 をすると，
dP0
1 d2 P0
∆y +
(∆y)2 + · · ·
dy
2 dy 2
1
= −te−yt ∆y + t2 e−yt (∆y)2 + · · ·
2
∆P0
1 2
∴
= −t∆y + t (∆y)2 + · · ·
P0
2
∆P0 =
∆y が小さければ，2 次以降の項の値は比較的小さい．このとき，満期が倍の
長さならば，金利感応度も倍の大きさになる．2 次以降の項は非線形の要因
になる．
• 利付債の場合には，(1.5) から，
∆P0
1 dP0
1 d2 P0
=
∆y +
(∆y)2 + · · ·
2
P0
P0 dy
2P0 dy
1
= −D∆y + C(∆y)2 + · · ·
2
ただし，
[ 1 −yti ]
m
∑
ci e
,
D :=
ti 2
P
0
i=1
C :=
m
∑
i=1
[1
t2i
]
c e−yti
2 i
P0
で，D はデュレーション，C はコンベクシティと呼ばれる．
– 金利の微小な変化に対する価格変化率のおおよその感応度は，デュレー
ションとコンベクシティで把握できる．(Ex.4.5, p91)
• 金利リスクの管理は，ALM（資産・負債管理）においても重要である．資産
と負債の間で金利感応度が異なると，金利変化により損失が発生する可能性
がある．(Business Snapshot 6.3, p144)
1.3
プライシング理論の概要
• 証券の価格は，将来のキャッシュフローを「適切」な割引率で割り引いた期
待値に相当する．
1
a の近傍で連続可微分な関数 y = f (x) について，テイラー展開は以下で与えられる．
y=
∞
∑
f (n) (a)
f ′ (a)
f ′′ (a)
f ′′′ (a)
(x − a)n = f (a) +
(x − a) + +
(x − a)2 +
(x − a)3 + · · ·
n!
1!
2!
3!
n=0
1. イントロダクション
7
– 背景には，裁定，最適性，均衡の概念がある．このうち，デリバティブ
のプライシングでは，裁定が重要．
– ただし，証券価格が市場で如何に定まるのかについて経済学的なメカ
ニズムを理解するには，最適性や均衡の概念を知ることは有益である．
また，流動性や取引コストといった市場の摩擦や，情報の非対称性，投
資家の行動バイアスも証券価格に影響を与える．
• キャッシュフローがすべての時点・状態で非負，かつ，ある時点・状態で正
となる取引戦略を裁定取引という
– 例えば，資金の元手なしに証券に投資して，将来時点で確実に非負の利
益をもたらし，かつ正の確率で正の利益をもたらす取引戦略は裁定取引
である．
– 例えば，全く同一のキャッシュフローをもたらす二つの証券の価格が異
なっている場合には裁定機会が存在する．割高の方をショート（空売
り）して，割高な方をロング（保有）すれば確実に正の利益を得ること
ができる
• 裁定取引の機会がないことと，同値マルチンゲール測度が存在することは同
値である．
（資産価格理論の第一基本定理）
– 同値マルチンゲール測度とは，観測確率測度（実測度）と同値2 な確率
測度で，正の確率過程をニューメレール（基準財）にして割り引かれた，
任意の証券の配当込み価格過程がマルチンゲール3 になる確率測度をい
う．同値マルチンゲール測度は実測度とは異なる確率測度である．
• 時点 T で支払われるキャッシュフロー XT の時点 t ≤ T における無裁定価格
St を考える（ST = XT である）．N をニューメレールとする同値マルチン
ゲール測度 QN のもとで，S/N は QN マルチンゲールなので，
]
]
[
[
St
QN XT
QN XT
= Et
∴ St = Nt Et
(1.6)
Nt
NT
NT
が成り立つ．問題の設定に応じて，扱いやすい証券の配当込み価格過程が
ニューメレールとして選択される．通常では，無リスク証券（バンクアカウ
2
確率測度 P と Q について，どの事象 A に対しても，P (A) > 0 であれば Q(A) > 0 となり，か
つその逆も成立するとき，P と Q は同値な測度であるという．
3
数学上の技術的な点をさておき，大まかにいえば，任意の時点 t と s > t に対して，Et [Xs ] = Xt
を満たす確率過程 X をマルチンゲールという．
1. イントロダクション
8
ント）の価格過程が用いられることが多い．この場合の同値マルチンゲール
測度はリスク中立測度4 と呼ばれる．
• 連続時間モデルの場合，瞬間的な無リスク金利
r を用いて，無リスク証券の
(∫
)
t
価格 B は，Bt = exp 0 ru du である．将来の r は不確実なので，一般的に
は確率過程として扱う．時点 t から時点 s > t までの割引率（ディスカウン
トファクター）を D(t, s) とすると，
(∫ t
)
D(0, t) = 1/Bt = exp
−ru du
0
の関係がある．
– 離散時間モデルの場合には，時点 ti から ti+1 までの 1 期間をカバーす
る短期金利を rti とすると，ディスカウントファクターは
∗ 1 期間モデル（1 期間を 1 年と仮定）
D(t0 , t1 ) =
1
1 + r t0
∗ 離散多期間モデル（1 期間を 1 年と仮定）
D(t0 , tn ) =
n−1
∏
i=0
1
1 + ri
• (1.6) において，ニューメレールに Bt = 1/D(0, t) を用いて，リスク中立測度
Q のもとで考えると，
St = EtQ [D(t, T )XT ]
(1.7)
になる．したがって，キャッシュフローを無リスク金利で割り引いて，リス
ク中立測度のもとで期待値をとることにより，証券の価格（無裁定価格）を
得ることができる．
– このことから，配当過程 δ を持つ証券の場合には，その無裁定価格 S は，
∗ 1 期間モデル（t0 < t1 ）
St0 = EtQ0 [D(t0 , t1 ) (δt1 + St1 )]
4
無リスク証券以外をニューメレールにしたものも含めて，同値マルチンゲール測度をリスク中
立測度と呼ぶこともあるが，混同を避けるために区別する．
1. イントロダクション
9
∗ 離散多期間モデル
St0 = EtQ0 [D(t0 , t1 )δt1 + D(t0 , t2 )δt2 + · · · + D(t0 , tn )(δtn + Stn )]
∗ 連続時間モデル
St =
[∫
EtQ
]
T
D(t, s)δs ds + D(t, T )ST
t
– リスク中立測度のもとでは，すべての取引可能な証券の瞬間的な期待収
益率（配当込み）は無リスク証券の瞬間的な収益率（= 短期金利）に等
しい．実測度のもとでは，リスクに応じて期待収益率が異なり，通常で
はリスクが高いほど期待収益率は高いのが自然である．
• ただし，無裁定価格が常に一意であるとは限らない．一意であるためには完
備性が必要になる
– 市場が完備であるとは，不確定な任意のキャッシュフローを取引可能な
証券によって複製できるこという．
– したがって，非完備の場合には，完全には複製できないキャッシュフロー
がある
• 市場が完備であることと，リスク中立測度が一意に定まることは同値である
（資産価格理論の第二基本定理）
– リスク中立測度が一意であれば，無裁定価格も一意に定まる
• 特にデリバティブの評価では，この無裁定アプローチをブラックボックスと
して扱えばよい．つまり，どのようにリスク中立測度が定まるのかを問わず，
最初からリスク中立測度のもとで考える．キャッシュフローを金利で割り引
いて，リスク中立測度のもとで期待値をとることにより，デリバティブの価
格（無裁定価格）を表現する．
測度変換
• リスク中立測度以外の同値マルチンゲール測度を用いた方が計算が簡単な場
合がある．N とは異なる M をニューメレールとする同値マルチンゲール測
度を QM とすると，(1.6) の代わりに
]
[
QM XT
(1.8)
St = Mt Et
MT
1. イントロダクション
10
になる．ここで，
dQM Nt MT
=
dQN Ft
NT Mt
(1.9)
の関係がある．
（これはラドン・ニコディム微分過程と呼ばれ，QN マルチン
ゲールである）
金利再説
• 前節の議論から，瞬間的な（つまり連続複利ベースの）短期金利過程 r を用
いて，満期 t に 1 単位を支払う割引債の現在価値 P0 (t) は
[
(∫ t
)]
Q
Q
P0 (t) = E [D(0, t)] = E exp
−ru du
(1.10)
0
になる．
• また，フォワードイールド F (t, s) は，(1.4) から
F (t, s) = −
log P0 (s) − log P0 (t)
s−t
であった．瞬間的なフォワードレート f (t) は
f (t) := lim F (t, s) = −
s↓t
d log P0 (t)
dt
(1.11)
で定義され，このことから
(∫
P0 (t) = exp
t
)
−f (u) du
0
として，フォワードレートにより割引債価格を表すこともできる．
• さらに，(1.11) の定義から
f (t) = −
1 dP0 (t)
P0 (t) dt
なので，(1.10) から以下を得る．
[
(∫ t
)]
1
Q
E rt exp
−ru du
f (t) =
P0 (t)
0
(1.12)
1. イントロダクション
11
ここで，(1.10) の割引債価格過程 P をニューメレールにする同値マルチン
ゲール測度（フォワード測度と呼ぶ）を T とおく．上式で T に測度変換す
ると，
[
(∫ t
)]
1
P0 (t) D(0, 0)
T
f (t) =
E
rt exp
−ru du
= E T [rt ]
P0 (t)
Pt (t) D(0, t)
0
になる．したがって，フォワードレートは，フォワード測度のもとでマルチ
ンゲールであり，フォワード測度のもとでの将来の短期金利の期待値を表す
ことが分かる．
12
第2章
2.1
先物とフォワード
フォワード契約
• フォワード（先渡）とは，定められた将来時点で，定められた価格で資産を
買う or 売る契約のこと
– 相対の個別契約として，OTC（店頭市場）で取引される
– 買う契約はロングと呼ばれる．相手方からみれば売る契約となり，売る
契約はショートと呼ばれる
– 外国通貨のフォワードの例：
∗ 企業の財務担当者が半年後にドル建て金額を支払うことが予定さ
れているとき，半年物のドルのロングのフォワード契約を締結すれ
ば，為替変動リスクをヘッジできる
∗ 同様に，ドル建て金額を受け取ることが予定されているとき，ドル
のショートのフォワード契約を締結すれば，為替変動リスクをヘッ
ジできる
∗ ドル建て資産（株式や債券など）を運用するファンドマネジャーが
ドル安を予想しているとする．ドルのショートのフォワード契約を
締結すれば，為替変動リスクをヘッジできる
– Table 1.1 (p.5)
フォワード契約のペイオフ
• 現在時点をゼロとする．価格過程を S とする原資産のフォワード契約につい
て，満期日（受渡日）を T ，フォワード価格（先渡価格）を K0 とする
– 契約時点ではペイオフは発生しない．契約時点におけるフォワード契約
の価値はゼロである
– 期中におけるペイオフも発生しない
2. 先物とフォワード
13
– 満期での損益は以下になる．
ロングの場合 :
ST − K0
ショートの場合 :
K0 − ST
– Fig. 1.2 (p6)
フォワード価格
• フォワード価格 K0 は，契約の当事者間の合意で決まる．どのように決まる
べきか？
– フォワード価格と先物価格は，それぞれフォワード契約や先物契約の価
値ではない．
– フォワード価格と先物価格は一般的に異なる．また，これらは実測度の
もとでの将来価格の期待値ではない．
配当がない場合
• 満期までの間に原資産には配当がないものとする．
• 時点 t から T までのディスカウントファクターを D(t, T )，満期 T の割引債
の時点 t における価格を Bt (T ) とする．すなわち，Bt (T ) = EtQ [D(t, T )] で
ある1 ．
• 以下の 2 種類の取引を考える
– 1 単位のフォワード契約をショートすると同時に，S0 の金額を借り入れ
て，原資産を 1 単位購入する．このとき，満期 T でのペイオフは，
(K0 − ST ) + (ST − S0 /B0 (T )) = K0 − S0 /B0 (T )
– 1 単位のフォワード契約をロングすると同時に，原資産 1 単位を空売り
して，得た資金を割引債で運用する．このとき，満期でのペイオフは，
(ST − K0 ) + (S0 /B0 (T ) − ST ) = S0 /B0 (T ) − K0
∫T
rt とすると，D(t, T ) = e t −rs ds ，Bt (T ) =
[連続複利ベースの瞬間的な短期金利を
]
∫T
Q
Et e t −rs ds と書ける．時点 t において T までをカバーするイールドを yt (T ) とすると，
1
Bt (T ) = e−yt (T ) である．
2. 先物とフォワード
14
• いずれも契約時点でのペイオフはゼロで，満期でのペイオフも事前に確定し
ている．期中でのキャッシュフローはない．無裁定であるためには，満期で
のペイオフもゼロでなくてはならない．したがって，
S0
K0 =
(2.1)
B0 (T )
が成り立つ．もし K0 ̸= S0 /B0 (T ) であれば，裁定機会が存在する．
– もし，短期金利 r が一定ならば，
K0 = S0 erT
(2.2)
一般化
• フォワード契約の契約時点における価値はゼロなので，リスク中立確率 Q を
用いて，
0 = E Q [D(0, T )(K0 − ST )]
∴
K0 =
E Q [D(0, T )ST ]
B0 (T )
(2.3)
(2.4)
– もし，金利と原資産が独立ならば，
K0 = E Q [ST ]
(2.5)
フォワード価格は，リスク中立測度のもとでの将来の原資産価格の期待
値に一致する．
– あるいは，原資産に配当がない場合には，
S0 = E Q [D(0, T )ST ]
(2.6)
が成り立つことに注意すると，(2.4) から (2.1) が成り立つ．
∗ フォワード価格 K0 は，原資産の現時点での価格 S0 よりも金利分
だけ高い．
∗ Example 5.1 (p.105), Business Snapshot 5.1 (p.106)
• 割引債価格 Bt (T ) をニューメレールとする同値マルチンゲール測度（フォワー
ド測度）を T とおく．これを用いて，(2.4) から
K0 =
1
B0 (T )E T [ST ] = E T [ST ]
B0 (T )
(2.7)
となる．したがって，一般的にフォワード価格は，フォワード測度のもとで
の将来の原資産価格の期待値を表す．
2. 先物とフォワード
15
• 原資産の累積配当を δ と書くと，(2.6) の代わりに
[
]
∫ T
Q
S0 = E D(0, T )ST +
D(0, s) dδs
0
が成り立つことから，(2.4) に代入して
(
[∫ T
])
1
Q
S0 − E
D(0, s) dδs
K0 =
B(0, T )
0
|
{z
}
配当の現在価値
– Example 5.2 (p.108)
– 特別な場合として，一定の配当利回り q で配当を連続的に支払うものと
する．つまり，dδt = qSt dt と仮定する．さらに，金利 r が定数ならば，
K0 = S0 e(r−q)T
(2.8)
になる．
∗ Example 5.3 (p.109)
フォワード契約の価値
• 契約時点でのフォワード契約の価値はゼロであるが，その後，原資産価格の
変動により，契約の価値は変動し，正にも負にもなる．
• 時点ゼロにおいてフォワード価格 K0 で契約した，フォワード契約の価値過
程 V は，ショートのサイドからみて
Vt = EtQ [D(t, T )(K0 − ST )] ,
V0 = 0
(2.9)
である．時点 t におけるフォワード価格 Kt を用いて，(2.4) から
Vt = Bt (T )(K0 − Kt )
(2.10)
と書くこともできる．
2.2
先物契約
• 先物（フューチャー）はフォワードに似ているが，以下の点で異なる．
2. 先物とフォワード
16
2. 先物とフォワード
17
– 通常，先物は取引所で取引される．例：日経 225 先物（大証），TOPIX
先物（東証），国債先物（東証）．
– 証拠金の値洗い：先物契約の評価損益は日々決済される
• 株式先物の例：
– 1ヵ月後に追加資金の入金が予定されている株式ポートフォリオを運用
するファンドマネジャーは，今が市場の底値で，1ヵ月後には上昇して
いる可能性が高いという見通しを持っている．この場合，株式先物をロ
ングすれば，少ない資金と取引コストで市場全体の変動に追随できる
（買いヘッジ）
– 銀行の財務担当者は営業政策上，売却できない政策保有株を持ってい
る．いま以上の価格上昇を逃してもよいが，今後の一段の価格低下は避
けたいと考えている．この場合，株式先物をショートすれば，株式を売
却せずに，市場全体の価格変動をヘッジすることができる
先物契約のペイオフ
• 価格過程を S とする原資産の先物契約について，満期を T ，先物価格を F と
する
• 契約時点ではペイオフは発生しない．契約時点における先物契約の価値はゼ
ロである．
（フォワード契約と同じ）
• その後，先物価格の変動に伴い，契約の価値は変動する．フォワードと異な
るのは，日々値洗いして評価損益を証拠金として差し入れる点である．前日
よりも評価益が減少（評価損が拡大）すれば証拠金を差し入れ，評価益が拡
大（評価損が減少）すれば証拠金を受け取れる．日々決済をするのと実質的
に同じである．
– 例：c 単位の先物取引を行っているものとする．契約した先物価格を F0 ，
前日の先物価格を Ft−1 ，当日の先物価格を Ft とする．この場合，前日
時点での評価損益は c(Ft−1 − F0 ) で，この評価損益の受渡しは済んでい
る．当日は c(Ft−1 − Ft ) の評価損益の受渡しを行う．
– 実際の取引では，証拠金の計算方法は単純ではなく，複雑に定められて
いる
2. 先物とフォワード
18
先物価格
• 先物価格は市場参加者の取引の結果として，観測可能である．しかし，原資産
とは一定の関係がある．また多くの場合，フォワード価格におおよそ等しい
• 値洗いを連続的に行うものとする．1 単位の先物契約を保有する場合，各時
点で dFt のキャッシュフローが発生する．先物契約の価値はゼロなので，
[∫ T
]
Q
0=E
D(0, t) dFt
(2.11)
0
である．これは，Ft がマルチンゲールであることを意味する．つまり，先物
価格は以下になる．
（満期に原資産価格 ST と一致する（ST = FT ））
F0 = E Q [FT ] = E Q [ST ]
(2.12)
– 一般的に，先物価格はリスク中立測度のもとでの原資産価格の期待値を
表す．
– (2.4) と (2.12) から，フォワード価格 K0 と先物価格 F0 は厳密には一致
しない
– Business Snapshot 5.2 (p111)
– 金利と原資産が独立ならば，(2.5) から，フォワード価格と先物価格は
一致する
∗ 原資産が株式ならば，金利と原資産は独立なものとして扱えるかも
しれない．
∗ 原資産が債券ならば，独立として扱うのは妥当とはいえないだろう．
2.3
先物・フォワードの例
• 株価指数先物
– 短期金利 r を一定と仮定する．連続的に配当を支払うものとし2 ，配当
利回り q （定数）とする．このとき，先物価格は
F0 = S0 e(r−q)T
(2.13)
∗ Example 5.5 (p.113)
2
TOPIX 先物や日経 225 先物のように，株価指数は配当を含まない指数として計算されている
ものとする．
2. 先物とフォワード
19
∗ Index Arbitrage (p.113), Business Snapshot 5.4 (p.114)
• 通貨のフォワード／先物
– 短期金利 r を一定と仮定する．外国金利（定数）を rf ，外国通貨 1 単位
に対する自国通貨建ての価格（為替レート）を S0 とする．
– 外国通貨は，保有すると連続的に rf を支払う証券としてみなせる．し
たがって，先物／フォワード価格 F0 は
F0 = S0 e(r−rf )T
(2.14)
∗ Figure 5.1 (p.115), Example 5.6 (p.115)
• 国債先物
– 満期に現物決済が行われる．受渡適格債（長期国債先物では残存期間 7
年以上，11 年未満の上場国債）の中から売り手が選択して，受渡し代
金3 と引き換えに買い手に渡す．売り方に銘柄選択権があるために，最
割安銘柄で受渡しされ，先物価格は最割安銘柄に連動する．
• コモディティ（商品）先物
– 株式や債券，金利，通貨といった証券のほかに，農作物（とうもろこし，
大豆，小麦など）や食肉，木材，原油，ガス，金属（金や銀など），電
力の先物が取引されている．
– コモディティの場合には，現物資産を貯蔵するにはコストがかかる．電
力は貯蔵することすらできない．したがって，裁定取引を行うには摩擦
があり，現物価格と先物価格は乖離する傾向がある．
金利のフォワードと先物
• FRA (Foward rate agreement）
– 将来の金利支払額に関するフォワード契約のこと．時点ゼロで定まる
フォワードレート F0 (t1 , t2 ) を用いて，元本を 1 単位とする FRA は将来
の 2 時点で以下のキャッシュフローを持つ．
時点 t1 : − 1
3
クーポンや残存期間の違いによって価格が銘柄間で異なるために，銘柄ごとに変換係数（コン
バージョンファクター）が定められている．
2. 先物とフォワード
20
時点 t2 : eF0 (t1 ,t2 )(t2 −t1 )
F0 (t1 , t2 ) は以下のように定まる．
– 時点ゼロにおける価値 V0 は以下になる．
[
]
V0 = E Q D(0, t2 )eF0 (t1 ,t2 )(t2 −t1 ) − D(0, t1 )
= B0 (t2 )eF0 (t1 ,t2 )(t2 −t1 ) − B0 (t1 )
(2.15)
V0 = 0 であることから，
F0 (t1 , t2 ) =
log B0 (t1 ) − log B0 (t2 )
t2 − t1
(2.16)
すなわち，F0 (t1 , t2 ) は通常のフォワードイールドに一致する．
• 金利先物
– 実質的に，将来の金利支払額に関する先物契約とみなすことができる．
時点 t1 から t2 までの金利（イールド）yt1 (t2 ) の支払額は，時点 t1 にお
いて，
1
− 1 = eyt1 (t2 )(t2 −t1 ) − 1
(2.17)
Bt1 (t2 )
として定まる．
[
]
– 金利先物の時点ゼロにおける価格は E Q eyt1 (t2 )(t2 −t1 ) − 1 である．これ
に対応する金利 Fb0 (t1 , t2 )，すなわち，
[
]
b
E Q eyt1 (t2 )(t2 −t1 ) − 1 = eF0 (t1 ,t2 )(t2 −t1 ) − 1
(2.18)
を満たす Fb0 (t1 , t2 ) が先物レートに相当する．
• コンベクシティ調整
– このように先物レート Fb0 (t1 , t2 ) とフォワードレート F0 (t1 , t2 ) は，厳密
には異なる．両者の間には以下の近似的な調整式が知られている．
1
F0 (t1 , t2 ) = Fb0 (t1 , t2 ) − σ 2 t1 t2
2
σ は短期金利のボラティリティを表す．導出方法は付録参照．
– 満期 t1 までの期間が長いと，両者の違いは大きくなる．
– Example 6.4 (p140)
(2.19)
2. 先物とフォワード
2.4
2.4.1
21
ヘッジ戦略
クロスヘッジ
• ヘッジしたい証券に対して，ヘッジに利用できるフォワード／先物の原資産
が常に一致するとは限らない．この場合でも，ある程度に似通っている（相
関が高い）原資産のフォワード／先物の取引が可能ならば，ヘッジに利用す
ることが考えられる
• ヘッジ比率＝証券の金額に対するヘッジ取引金額の割合
– 証券と同じ原資産のフォワード／先物が取引可能ならば，ヘッジ比率を
1 とすることで，価格変動リスクを（ほぼ）完全にヘッジできる
– 証券と同じ原資産のフォワード／先物が取引できない場合には，将来の
価格変動リスクをなるべく小さくしたい．
• 最小分散ヘッジ比率
– ヘッジしたい証券のリターンを RS ，標準偏差を σS ，ヘッジに用いる先物
価格のリターンを RF ，標準偏差を σF とし，両者のリターンの相関を ρ
とする．ヘッジ比率を h とすると，ヘッジポジションの誤差は RS − hRF
なので，その分散は
Var(RS − hRF ) = σS2 + h2 σF2 − 2hρσS σF
(2.20)
になる．これを最小にするヘッジ比率 h∗ は以下になる．
h∗ = ρ
σS
σH
(2.21)
∗ これは，RS に対する RF の回帰係数に等しい．
2.4.2
金利リスクのヘッジ
• 債券ポートフォリオ
– 債券ポートフォリオの金利感応度と，金利先物（あるいは国債先物）と
の金利感応度の違いを考慮する．
2. 先物とフォワード
22
– 債券ポートフォリオの価値を P ，そのデュレーションを DP ，イールド
を y とすると，
∆P ≈ −P DP ∆y
(2.22)
同様にして，金利先物（あるいは国債先物）の先物価格を F ，そのデュ
レーションを DF とすると，
∆F ≈ −F DF ∆y
(2.23)
– したがって，ヘッジ比率は
P DP
F DF
(2.24)
– デュレーションの考慮のみでは，パラレルシフトによる金利変化しか
ヘッジできない
• ALM (Asset-Liability Management)
– 金融機関などでは，金利リスクは主要なリスクの一つ．負債（預金な
ど）と資産（債券や貸付など）がともに金利に影響を受ける．
– 両者の金利感応度を管理する．
– Business Snapshot 6.3 (p144)
23
第3章
3.1
スワップ
概要
• スワップとは，将来発生するキャッシュフローを 2 つの当事者（カウンター
パーティ）間で交換すること．
• 例： 金利スワップ，通貨スワップ，クレジットスワップ，· · ·
3.2
金利スワップ
• 変動金利と固定金利を交換する契約．
固定金利
カウンターパーティ A
-
カウンターパーティ B
変動金利
• 固定金利は契約時に定まる．一方，将来の変動金利は不確実．参照金利（通
常，LIBOR）が指定され，LIBOR + α の変動金利を支払う．α は固定スプ
レッドで，契約時に定まり，互いの信用リスクを反映する．
• 例：半年毎に，満期まで以下のキャッシュフローを交換する
– L(t) を半年前時点で定まる期間半年の金利，R を固定金利，N を想定
元本とする．
– 変動金利のレシーバーは，変動金利 N × (L(t) + α)/2 を受け取り，固
定金利 N × R/2 を支払う．
– 変動金利のペイヤーは，この逆．
3. スワップ
24
固定金利
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
-
スタート
?
?
?
?
?
?
?
?
時間
?
? 満期
変動金利
– レシーバーは，固定利付債をショートし，変動利付債をロングしている
状態．ペイヤーはこの逆．
– キャッシュフローの例：Table 7.1 (p150)
金利スワップの使用例
• 負債の変換
– 固定金利で借入れをしている企業は，固定受け・変動払いの金利スワッ
プにより，変動金利の借入れに変換できる．
– 金利の支払額は不確実になる．一方で，短期金利は長期金利よりも低い
ことが多いので，平均的な金利支払い額は減るかもしれない．また，負
債の現在価値は，金利の変動に依存しなくなる
– 逆に，変動金利で借入れをしている企業は，変動受け・固定払いの金利
スワップにより，固定金利の借入れに変換できる．
• 資産の変換
– 固定利付債を保有している投資家は，変動受け・固定払いの金利スワッ
プにより，変動利付債に変換できる．
– 逆に，変動利付債を保有している投資家は，固定受け・変動払いの金利
スワップにより，固定利付債に変換できる．
• 比較優位の議論
– The Comparative-Advantage Argument (p156)
3. スワップ
25
金利スワップの評価
• スワップ契約の価値
– 以下では，α ≡ 0 の場合を扱う．
– 固定レグと変動レグのキャッシュフローの現在価値をそれぞれ Bfix ，Bfl
とおく．
– 変動金利のレシーバーからみた契約の価値は，B fl − B fix
– 変動金利のペイヤーからみた契約の価値は，B fix − B fl
– 通常，契約時点で両者の価値は等価である．すなわち B fl = B fix となる
ように固定金利（スワップレート）が定まる．
• LIBOR
– 実務において LIBOR はデフォルトフリーの金利のように扱われている．
– ti−1 から ti までカバーする LIBOR を L(ti ) とする（時点 ti−1 で決まる）．
δi := ti − ti−1 とすると，L(ti ) は以下のように単利ベースで定まる．
1
Bti−1 (ti )
= 1 + δi L(ti )
∴ L(ti ) =
1 − Bti−1 (ti )
δi Bti−1 (ti )
(3.1)
Bt (s) は，満期 s の割引債の時点 t での価格を表す．
• スワップレート
– 変動金利 LIBOR と交換する固定金利をスワップレートという．
– スワップのスタート日を t，満期を tn とし，t1 , t2 , . . . , tn にキャッシュフ
ローを交換するものとする．t = t0 とおく．契約の想定元本を 1 とする．
– t から tn までの期間をカバーするスワップレートを Ct (tn ) とすると，時
点 t における固定レグの価値は
Btfix
=
n
∑
i=1
EtQ [D(t, ti )δi Ct (tn )]
= Ct (tn )
n
∑
δi Bt (ti )
(3.2)
i=1
– もう一方の変動レグの価値を求めるために，以下のキャッシュフローを
複製する取引を考える．
1. 時点 t = t0 で 1 単位の資金を用意する．この資金は，tn に 1 単位を
返済する資金 Bt (tn ) の借り入れと，自己資金 1 − Bt (tn ) により調達
する．この資金を LIBOR L(t1 ) で運用する．
3. スワップ
26
2. 時点 t1 で 1 + δ1 L(t1 ) を受け取り，再度 1 単位の資金を LIBOR L(t2 )
で運用する．これを tn−1 まで繰り返す．
3. tn−1 では，1 + δn L(tn ) を受け取り，借り入れ（1 単位）を返済する．
この取引の期中でのキャッシュフローは，δ1 L(t1 ), δ2 L(t2 ), . . . , δn L(tn ) に
等しい．期初 t で必要な資金は 1 − Bt (tn ) であった．したがって，変動
レグの t における価値は，1 − Bt (tn ) に等しい．
Btfl = 1 − Bt (tn )
(3.3)
– したがって，スワップレートは，時点 t で以下のように定まる．
1 − Bt (tn )
Ct (tn ) = ∑n
i=1 δi Bt (ti )
(3.4)
• 実際には LIBOR ベースの割引債価格 Bt (ti ) は未知．一方で，LIBOR とス
ワップレートは観測可能．手前の期間から順に計算して，Bt (ti ) を求める．
これにより，LIBOR/スワップのイールドカーブ（ゼロレート）が得られる．
– Example 7.1 (p160)
• スワップレート Ct (tn ) の変動とともに，スワップ契約の価値は変動する．
– ペイヤーからみて，スワップレートが上昇（下落）すると，契約の価値
は低下（上昇）する．
– 契約上のスワップレートを C̄ ，現在のスワップレートを Ct (tn ) とする．
ペイヤーからみたスワップ契約の価値 V は
Vt =
Btfix −Btfl
= C̄
n
∑
i=1
δi Bt (ti )−(1−Bt (tn )) =
n
∑
(
)
δi Bt (ti ) C̄ − Ct (tn )
|i=1 {z
}
PV01
(3.5)
になる．
∗ PV01 は，満期まで定期的に支払われる 1 単位のキャッシュフロー
の現在価値を表す．スワップレートの変化に対する価格感応度は，
おおよそ PV01 の負の値に等しい．
3. スワップ
27
金利の期待仮説
• (3.1) の LIBOR に対して，時点 t で将来の期間 [ti , ti+1 ] をカバーするフォワー
ド LIBOR Lt (ti , ti+1 ) は
Lt (ti , ti+1 ) =
1 Bt (ti ) − Bt (ti+1 )
δi
Bt (ti+1 )
(3.6)
となる．この分子は割引債価格から構成されているため，満期 ti+1 の割引債価
格 Bt (ti+1 ) をニューメレールとするフォワード測度 Ti+1 のもとで，Lt (ti , ti+1 )
はマルチンゲールとなる．したがって，
T
T
Lt (ti , ti+1 ) = Et i+1 [Lti (ti , ti+1 )] = Et i+1 [L(ti )]
(3.7)
となり，フォワード LIBOR Lt (ti , ti+1 ) は，時点 ti で定まる LIBOR L(ti ) に
関する，フォワード測度 Ti+1 のもとでの期待値を表す．
• (3.4) のスワップレートに対して，時点 t からみて将来スタートのスワップ
レート Ct (t0 , tn ) は
Bt (t0 ) − Bt (tn )
(3.8)
Ct (t0 , tn ) = ∑n
i=1 δi Bt (ti )
∑n
になる．割引債ポートフォリオ i=1 δi Bt (ti ) をニューメレールとするマル
チンゲール測度（スワップ測度と呼ばれる）のもとで，Ct (t0 , tn ) はマルチン
ゲールである．したがって，現時点で定まる将来スタートのスワップレート
は，将来時点で定まる通常のスワップレートに関する，スワップ測度のもと
での期待値を表す．
3.3
通貨スワップ
概要
• 金利スワップと同様に，元本に対する金利を交換するが，異なる通貨の金利
を交換する．
• 金利スワップと異なり，期初と満期で元本交換があるが，通常では契約締結
時の為替レートで固定される．
• 固定–固定の通貨スワップの場合の例：
– 金利は契約時に定まる．
– 米ドル建て 6%の借り入れを英ポンド建て 5%の借り入れに変換する．
Table 7.7 (p166)
3. スワップ
28
通貨スワップの評価
• 米ドル金利を受け取り，円金利を支払う通貨スワップの場合を考える．
• 米ドル建て固定利付債のロングと円建て固定利付債のショートの組み合わせ
として考えることができる．
• 為替レートを S0 ，米ドル建てキャッシュフローの米ドル建てでみた価値を
BF ，円建てキャッシュフローの円建てでみた価値を BD とすると，円建てで
みたスワップ契約の価値は
S0 BF − BD
(3.9)
– Table 7.4 (p167)
• 通常では，契約時における価値がゼロになるように金利が定められる
3.4
他の形態のスワップ取引
• この他，さまざまな形態のスワップ取引がある．
• 金利スワップ
– アモチ／ステップアップスワップ
∗ 想定元本が減少（アモチ），増加（アクレス）するスワップ
– フォワードスワップ
∗ スワップのフォワード契約．将来時点からスワップが開始する
– コンスタントマチュリティースワップ（CMS）
∗ 短期金利（例えば，6ヶ月 LIBOR）と長期金利（例えば，10 年ス
ワップレートや 10 年国債金利）を交換する．したがって，スワッ
プの両レグの金利が変動する．
– ゼロクーポンスワップ
∗ 一方が定期的に金利を支払い，他方は期末に一括して支払う
– オフマーケットスワップ
∗ 市場金利と異なる金利で設定されたスワップ．契約時点での価値が
ゼロではないので，この差額を期初もしくは期末に受け渡しする
– アリアースワップ
3. スワップ
29
∗ 通常の金利スワップと異なり，利払い日に変動金利の値が定まる
– ベーシススワップ
∗ 二つの異なる変動金利を交換する．たとえば，長期変動金利と短期
変動金利の交換
• 通貨スワップ
– 固定-変動スワップ
∗ ある通貨の変動金利（通常，LIBOR）と別の通貨の固定金利を交
換する
– 変動-変動スワップ
∗ ある通貨の変動金利（通常，LIBOR）と別の通貨の変動金利（通
常，LIBOR）を交換する
– クオントスワップ (ディファレンシャルスワップ）
∗ 元本と金利の通貨が異なるスワップ．例えば，ドル建ての 3ヶ月 LIBOR と円建ての 3ヶ月 LIBOR を交換するが，元本はともにドル建
てで計算される．
• エクイティスワップ
– 株式インデックスのリターンを固定金利や変動金利と交換する
• オプション
– 将来の時点でスワップを終了できるものや，スタートできるもの，変動
金利に上限，下限がついているものなど
3.5
カウンターパーティ・リスク
• 取引相手方（カウンターパーティ）がデフォルトをすると，債権の一部しか回
収できず，デフォルト損失が発生する可能性がある．これをカウンターパー
ティ・リスクと呼ぶ．
• スワップなどの場合には，契約の価値が正にも負にもなるので，カウンター
パーティ・リスクの評価は複雑である．価値が正の際にカウンターパーティ
がデフォルトすると，正の価値をすべて回収できない可能性がある．価値が
負の場合には，債務としてそのまま残るので影響はない．
3. スワップ
30
• このリスクを和らげるために，ネッティング（複数ポジションの損益の合算）
や担保契約（CSA）が利用されている．
• カウンターパーティーのデフォルト時刻を τ c ，カウンターパーティーがデフォ
ルトした場合の損失率（loss given default）を Lc ，カウンターパーティーと
の契約全体の価値を V ，デフォルトの際に差し入れられていた担保価値を F
とする．カウンターパーティーがデフォルトした場合におけるデフォルト損
失額は，
Lc max(Vτ c − F, 0)
になる．
• したがって，カウンターパーティのデフォルトに伴う損失の現在価値 L は，
L0 = E Q [D(0, τ c )Lc max(Vτ c − F, 0)]
(3.10)
になる．これを評価するには，V のボラティリティや，V と τ c の相関など
を考慮する必要がある．
– 金利スワップのみの取引であれば，満期における元本の交換がないた
め，カウンターパーティリスクは比較的小さい．
– 通貨スワップでは，満期における元本の交換があるため，カウンター
パーティリスクは比較的大きい．
– クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）では，CDS 契約の参照組
織のデフォルトと，カウンターパーティのデフォルトとの間にある程度
の正の相関があると考えることが自然であるため，プロテクションの買
い手からみたカウンターパーティリスクは比較的大きい．
31
第4章
4.1
オプション
概要
• コール／プット
– コールオプションは，将来のある時点で，ある価格により，原資産を買
うことができる権利
– プットオプションは，将来のある時点で，ある価格により，原資産を売
ることができる権利
– 契約上の価格は行使価格（exercise price, strike price）と呼ばれる
– 契約上の時点は行使日（expriration date）や満期（maturity）と呼ば
れる
• ヨーロピアン／アメリカン
– ヨーロピアンオプションは，満期でのみ行使することができる．
– アメリカンオプションは，満期までの間にいつでも行使することが可能．
• 原資産
– 株式，株価指数，通貨，債券，金利，コモディティなど．インデックス
（指数）や先物を原資産とすることもできる
• 取引所（上場）と店頭（OTC）の双方で取引されている
– 株価指数オプション（TOPIX や日経平均）や，債券先物オプションな
どが上場されている
• オプションは義務ではなく権利．したがって，行使しなくてもよい．
– フォワードや先物では，原資産を買う／売ることをしなくてはならない．
– フォワードや先物では，契約時点で通常コストは発生しないが，オプ
ションでは発生する
4. オプション
32
• 満期時のおける原資産価格を ST ，行使価格を K とすると，満期におけるペ
イオフは
– コールオプションのロング max(ST − K, 0) = (ST − K)+
– プットオプションのロング max(K − ST , 0) = (K − ST )+
– コールオプションのショート − max(ST − K, 0) = min(K − ST , 0)
– プットオプションのショート − max(K − ST , 0) = min(ST − K, 0)
– Fig 9.5 (p198). 損益は Fig 9.1–9.4.
利用方法
• ヘッジ
– 先物やフォワードと同様に，オプションでもヘッジをすることができる．
– ある水準以下になる価格下落をヘッジするには，プットオプションをロ
ングすればよい．価格下落リスクをヘッジすると同時に，価格上昇を享
受することができる
– 先物やフォワードとは異なり，ヘッジするにはコストが掛かる（オプ
ション価格を支払う）．また，価格変動に対して中立にはならず，下落
時のリスクがヘッジされる．
• 投資の代替
– 先物やフォワードと同様に，オプションも投資の代替になる．
– 現物を買う代わりに，コールオプションをロングすることで，将来の価
格上昇を享受できる一方，損失を限定できる．
• アービトラージ（裁定）
– 現物，先物やフォワード，オプションの間の価格の乖離を捕捉する．金
融市場は競争的であり，乖離が生じたとしても，すぐさま裁定される．
流動性の高い市場には，裁定機会はさほどない．
4. オプション
33
日経 225 オプションの例
• 大証に上場されている．原資産は日経平均株価（株価インデックス）．ヨー
ロピアンで，満期で現金決済され，現物の引渡しはない．取引最終日の翌日
において，特別清算指数（SQ 値）で決済が行われる．SQ 値は構成銘柄の始
値に基づいて算出される
• 満期日は毎月第 2 金曜日．15 個の満期（限月）が異なるオプションが上場さ
れている．ただし，活発に取引されるのは最も満期が短いもの．
• 行使価格は基本的に 500 円刻みで，ATM を中心に上下 8 本ずつ (合計 17 本)
が常に存在するように設定される．ただし，一度設定された権利行使価格は
必ず満期まで残るので，日経平均株価が変動すると新規設定分が増えて 17
本より多くなる．また，残存期間が 3ヶ月をきると，ATM を中心に 250 円刻
みで連続して上下 8 本ずつが常に存在するように追加設定される．
• 取引開始時には，オプション料を支払う（ロングの場合）／受け取る（ショー
トの場合）．その後，ショートの場合には，損失が発生すると，証拠金（マー
ジン）を差し入れる必要がある．ロングの場合には損失は当初のオプション
料に限定されるので，証拠金を差し入れる必要はない．
• 満期前に反対売買によりポジションを手仕舞うことができる．
4.2
オプション価格の特徴
• オプション価格に影響を与える要素
– 現在の原資産価格 S0
– 行使価格 K
– 満期までの残存期間 T
– 原資産価格のボラティリティσ
– 無リスク金利 r
– オプション満期までの原資産の配当
• オプション価格
– 以下では，金利 r を定数と仮定する．
4. オプション
34
– ヨーロピアンの場合
[
]
(コール) c0 = E Q e−rT max(ST − K, 0)
[
]
(プット) p0 = E Q e−rT max(K − ST , 0)
(4.1)
– アメリカンの場合
[
]
(コール) ca0 = max E Q e−rτ max(Sτ − K, 0)
τ ∈T
[
]
a
(プット) p0 = max E Q e−rτ max(K − Sτ , 0)
(4.2)
τ ∈T
ただし，T は [0, T ] に値をとる停止時刻の集合
∗ 最適行使時刻 τ は状態に依存する．定数ではない．
– アメリカンの価格 ≥ ヨーロピアンの価格
• オプション価格と変数の関係
– Table 10.1 (p215)，Figure 10.1 (p216)，Figure 10.2 (p217)
• オプション価格の上限
– 無裁定であれば（裁定機会がなければ），アメリカンでもヨーロピアン
でもコールオプションの価格は，原資産価格 S0 以下．
∗ これが満たされない場合には，原資産をロングして，オプションを
ショートすれば，裁定利益を得ることができる．
– アメリカンでもヨーロピアンでもプットオプションの価格は，行使価格
K 以下
∗ これが満たされない場合には，オプションをショートして，その代
金を割引債で運用すれば，裁定利益を得ることができる．
• オプション価格の下限
– 原資産に配当がなければ，ヨーロピアン・コールオプションの価格 c0
は，S0 − Ke−rt 以上である．
ST ≤ max(ST , K) ⇐⇒ e−rT ST ≤ e−rT max(ST , K)
]
[
]
[
⇐⇒ E Q e−rT ST ≤ E Q e−rT max(ST , K)
[
]
]
[
⇐⇒ E Q e−rT ST ≤ E Q e−rT (max(ST − K, 0) + K)
⇐⇒ S0 ≤ c0 + Ke−rT
(4.3)
4. オプション
35
– 同様にして，原資産に配当がなければ，ヨーロピアン・プットオプショ
ンの価格 p0 は，Ke−rt − S0 以上である．
• プット・コール・パリティ
– 配当がない場合のヨーロピアンオプションにおけるコールとプットの間
の関係式：
c0 + Ke−rT = p0 + S0
(4.4)
証明
以下の二つのポートフォリオの満期における価値は，いずれも max(ST , K)
になる
∗ 期初において 1 単位のコールオプションと Ke−rT の現金
→ 満期では max(ST − K, 0) + K = max(ST , K) を得る．
∗ 期初において 1 単位のプットオプションと 1 単位の株式
→ 満期では max(K − ST , 0) + ST = max(ST , K) を得る．
したがって，無裁定であれば，期初において二つのポートフォリオの価
値は等しい．
– ヨーロピアンでさえあれば，プット・コール・パリティは一般的な設定
で成り立つ．
– 満期までの間に，原資産に配当がある場合，その現在価値を D0 とする
と，プット・コール・パリティは
c0 + Ke−rT = p0 + S0 − D0
(4.5)
と書ける．
• アメリカンオプション：満期前の行使は最適か？
– アメリカンコールの満期 T でのペイオフは max(ST − K, 0) で，τ ≤ T
に行使した場合のペイオフは max(Sτ − K, 0)
∗ したがって，アメリカンコールの価値は常に max(St − K, 0) 以上
∗ 同様に，アメリカンプットの価値は常に max(K − St , 0) 以上
4. オプション
36
– 原資産に配当がない場合には，アメリカンコールは満期まで行使しない
のが最適．なぜならば，
[
]
[
]
E Q e−rτ (Sτ − K)+ = E Q (e−rτ Sτ − e−rτ K)+
[
]
≤ E Q (e−rT ST − e−rτ K)+
(4.6)
[
]
≤ E Q (e−rT ST − e−rT K)+
[
]
= E Q e−rT (ST − K)+
2 行目の不等式は Jensen の不等式と重複期待値の法則による1 ．
– アメリカンプットや，配当がある場合のアメリカンコールでは，期前行
使が最適になる場合がある．
• 配当がない場合，アメリカンのコールとプットのそれぞれの価格 ca0 , pa0 の間
には，以下の関係が成り立つ．(Problem 10.18, p232)
S0 − K ≤ ca0 − pa0 ≤ S0 − Ke−rT
(4.7)
(4.7) の証明は，練習問題とする．
– 配当がある場合には，以下になる．
S0 − K − D0 ≤ ca0 − pa0 ≤ S0 − Ke−rT
4.3
(4.8)
オプションを用いた取引戦略
• ヨーロピアンオプションと原資産株式の組み合わせのペイオフ：Fig 11.1
(p237)
– 例えば，株式ロング＋コールショートは，プットショートと同様の損益
になる．
（プットコールパリティ）
• スプレッド：ヨーロピアンのコール（またはプット）同士の組み合わせ
– ブルスプレッド
∗ ある行使価格のコールをロングし，それより高い行使価格のコール
をショートする．Fig 11.2 (p238)
X をマルチンゲールとする．凸関数 f : R×R → R について，Jensen の不等式から f (Xτ , Yτ ) ≤
Eτ [f (XT , Yτ )] が成り立つ．さらに，重複期待値の法則から E[f (Xτ , Yτ )] ≤ E[f (XT , Yτ )] が成立
する．
1
4. オプション
37
∗ ある行使価格のプットをロングし，それより高い行使価格のプット
をショートする．Fig 11.3 (p239)
∗ 株価上昇の一部を放棄する代わりに，下落リスクは限定される．
– ベアスプレッド
∗ ブルスプレッドとは逆に，株価の下落を予想している場合．
∗ ある行使価格のプットをロングし，それより低い行使価格のプット
をショートする．Fig 11.4 (p240)
∗ ある行使価格のコールをロングし，それより低い行使価格のコール
をショートする．Fig 11.5 (p241)
– バタフライスプレッド
∗ 行使価格の異なる 3 つのオプションから構成．低い行使価格と高い
行使価格のコールをそれぞれ 1 単位ロングし，中間のコールを 2 単
位ショートする．Figure 11.6 (p242)
∗ プットでも構築可能．Figure 11.7 (p243)
∗ 株価に大きな変動がなければ，収益を生む
– カレンダースプレッド
∗ 満期の異なるオプションの組み合わせ．Figure 11.8, 11.9 (p245-6)
• コンビネーション：ヨーロピアンのコールとプットの組み合わせ
– ストラドル
∗ 同じ行使価格のコールとプットのロング．Figure 11.10 (p230)
∗ 原資産価格が大きく動けば，収益を生む
– ストラングル
∗ 高い行使価格のコールのロングと，低い行使価格のプットのロング．
Figure 11.12 (p246)
∗ ストラドル以上に原資産価格が大きく動かなければ，収益にはなら
ない．一方で，原資産価格が大きく動かない場合の損失はストラド
ルよりも限定される．
– Business Snapshot 11.2 (p248)
38
第5章
5.1
二項モデル
復習
• 裁定機会がない（無裁定） ⇐⇒ リスク中立測度が存在
• リスク中立測度のもとでは，すべての証券（資産）の配当込み短期リターン
は，短期金利に等しい
• キャッシュフローを無リスク金利で割り引いて，リスク中立測度で期待値を
とると，証券の価格（無裁定価格）を得ることができる．
5.2
5.2.1
二項ツリーモデル
1 期間モデル
• 1 期間モデルにおいて，無リスク証券（債券）と株式，コールオプションの 3
証券からなる経済を考える．期末に実現する状態の数を 2 個（状態 1 と状態
2）とし，期初における債券の価格を B0 ，株式の価格をそれぞれ S0 とする．
– グロスの無リスク収益率を R とおくと（つまりグロスの割引率は R−1
である），期末における債券の価格は状態にかかわらず B0 R となる．
– グロスの株価収益率について，状態 1 の場合を U ，状態 2 の場合を D と
おく．つまり，期末において，状態 1 が実現した場合の株価は S0 U ，状
態 2 が実現した場合の株価は S0 D である．ただし，U > R > D > 0 と
する．
– コールオプションの行使価格を K とする．したがって，状態 1 が実現
した場合のコールオプションのペイオフは (S0 U − K)+ ，状態 2 が実現
した場合のコールオプションのペイオフは (S0 D − K)+ となる．期初に
おけるコールオプションの価格を C0 とする．
5. 二項モデル
39
* B0 R
B0 H
HH
HH
H
j
* S0 U
S0 H
HH
HH
j
H
B0 R
S0 D
債券
+
* (S0 U − K)
C0 H
HH
HH
H
j
+
株式
(S0 D − K)
コールオプション
• 問題
1. 無裁定である場合のコールオプションの価格 C0 を求めよ．
（ヒント）期初にそれぞれ何単位の債券と株式を購入すれば，コール
オプションのペイオフを複製できるか求めればよい．裁定機会がないの
で，C0 は複製ポートフォリオの価値に等しい．
2. 1 の結果からリスク中立確率を求めなさい．
3. 求めたリスク中立確率を用いて，債券と株式の期初における価格がそれ
ぞれ B0 , S0 に等しいことを確かめなさい．
4. リスク中立確率のもとでの株式やコールの期待リターンが R に等しい
ことを確かめなさい．
• 答え 期初における債券と株式の購入単位をそれぞれ x, y とおく．コールオ
プションのペイオフを複製するには，
xB0 R + yS0 U = (S0 U − K)+
xB0 R + yS0 D = (S0 D − K)+
(5.1)
を満たす (x, y) を見つければよい．したがって，
(S0 D − K)+ U − (S0 U − K)+ D
(U − D)B0 R
(S0 U − K)+ − (S0 D − K)+
y=
(U − D)S0
x=
(5.2)
を得る．y はデルタと呼ばれる．無裁定ならば，複製ポートフォリオとコー
ルオプションの価値は一致するので，コールの価格は
C0 = xB0 + yS0 =
1 (R − D)(S0 U − K)+ + (U − R)(S0 D − K)+
R
(U − D)
(5.3)
5. 二項モデル
40
となる．このことから，リスク中立確率はそれぞれ以下である
qu =
R−D
,
U −D
qd =
U −R
U −D
• リスク中立確率のもとで，株価の期待リターンは，
[
]
Q S1
E
− 1 = qu (U − 1) + qd (D − 1) = R − 1
S0
(5.4)
(5.5)
となる．同様に，コールの期待リターンも R − 1 である．したがって，すべ
ての資産（株式，無リスク資産，コール）の期待リターンは無リスク金利に
等しい．
• 表面上，実確率や，実確率のもとでの証券の期待リターンは，オプション価
格やリスク中立確率に影響を与えない．
– 例えば，株価の上昇確率が増しても，コールの価格は変わらない
– これは，現在の株価にすでに織り込まれているため．
• プットの場合も同様に計算できる
• U > R > D > 0 という条件がなければ，裁定機会が生じる．
• 状態が 3 つ以上の場合には，複製戦略を構築することはできない．無限個の
無裁定価格が存在する．
• 数値例：Figure 12.1 (p254)
– リスク中立確率は
R−D
e0.12×3/12 − 18/20
=
= 0.6523
U −D
22/20 − 18/20
22/20 − e0.12×3/12
U −R
=
= 0.3477
qd =
U −D
22/20 − 18/20
qu =
(5.6)
なので，コールの価格は
C0 = e−0.12×3/12 (0.6523 × 1 + 0.3477 × 0) = 0.633
(5.7)
5. 二項モデル
5.2.2
41
2 期間モデル
• 2 期間の場合にも 1 期間と同様に考えることができる．株価リターンの分布や
金利は時点にかかわらず一定と仮定する．この場合，リスク中立確率は (5.4)
であり，時点によらず定数になる．
1 S0 U 2
(2, 2)
S0 U
P
1
PP
PP
(1, 1)
PP
S0 PP
q S0 U D
PP
1
(0, 0) PP
PP S D
(2, 1)
PP0 qP
P
P
(1, 0) PPP
PP
PP
q S0 D 2
(2, 0)
ヨーロピアンオプション
• 行使価格 K の満期（2 期間後）におけるコールのペイオフは C2 = (S2 − K)+
• 1 期間後におけるコールの価格は
(1,1)
ノード (1, 1)
C1
ノード (1, 0)
C1
(1,0)
(
)
[
]
(2,2)
(2,1)
= E Q R−1 C2 | (1, 1) = R−1 qu C2 + qd C2
(
)
[
]
(2,1)
(2,0)
= E Q R−1 C2 | (1, 0) = R−1 qu C2 + qd C2
(5.8)
• 時点 0 における価格は
[
]
[
]
C0 = E Q R−2 C2 = E Q R−1 C1
)
)
(
(
(2,1)
(1,1)
(1,0)
−2
2 (2,2)
2 (2,0)
−1
=R
qu C2 + 2qu qd C2 + qu C2
=R
qu C1 + qd C1
(5.9)
• プットの場合も同様
5. 二項モデル
42
アメリカンオプション
• 行使価格 K の満期（2 期間後）におけるプットのペイオフは P2 = (K − S2 )+ ．
満期以前では，継続価値と行使価値を比べて，高いほうがオプションの価値
になる．
• 1 期間後におけるアメリカンプットの価格は
(
(
)
)
(1,1)
(2,2)
(2,1)
−1
+
ノード (1, 1)
P1
= max R
qu P2
+ qd P2
, (K − S0 U )
(
(
)
)
(1,0)
(2,1)
(2,0)
ノード (1, 0)
P1
= max R−1 qu P2
+ qd P2
, (K − S0 D)+
(5.10)
• 時点 0 における価格は
(
(
)
)
(1,1)
(1,0)
P0 = max R−1 qu P1
+ qd P 1
, (K − S0 )+
5.2.3
(5.11)
n 期間モデル
• 2 期間の二項ツリーモデルを n 期間にそのまま拡張できる
(j,k)
• j (j = 1, . . . , n) 期間後のノード (j, k) における株価 Sj
(j,k)
Sj
= S0 U k Dj−k ,
は，
k = 0, 1, . . . , j
(5.12)
で，ノード (j, k) が実現する確率は
( )
j k j−k
q q
k u d
である．ただし，
( )
j
j!
=
,
k
k!(j − k)!
qu =
R−D
,
U −D
(5.13)
qd =
U −R
U −D
• したがって，ヨーロピアン・コールの価格は
( )
n
∑
(
)+
−n n
C0 =
R
quk qdn−k S0 U k Dn−k − K
k
k=0
でヨーロピアン・プットの価格は
( )
n
∑
(
)+
−n n
P0 =
R
quk qdn−k K − S0 U k Dn−k
k
k=0
(5.14)
(5.15)
5. 二項モデル
43
• 2 時点間の関係では，ヨーロピアン・プットの価格は
[
]
(j,k)
Pj
= E Q R−1 Pj+1 | (j, k) ,
j = 0, 1, . . . , n − 1
(5.16)
である一方，アメリカン・プットの価格は，以下になる．
(
[
]
)
(j,k)
Pj
= max E Q R−1 Pj+1 | (j, k) , (K − Sj )+ ,
j = 0, 1, . . . , n − 1
(5.17)
+
アメリカン・プットでは，満期での価値が Pn = (K − Sn ) であることから
始めて，(5.17) をバックワードに解くことで，価格 P0 が得られる．つまり，
j = n − 1 から j = 0 まで (5.17) を繰り返し計算すればよい．
• 数値例
– 付属ソフトで計算することができる．
– アメリカンプットの早期行使や，ヨーロピアンプットとの違いなどを確
認してみよう．
– アメリカンプットの例：Figure 20.3, p431
5.3
二項ツリーモデルの極限 –Black-Scholes モデル
への収束–
• ここまでは U と D を外生的に与えてきたが，ここではボラティリティσ を
外生的に与えて，これに合うように U, D を定める．リスク中立確率は (5.4)
である．
• 1 年を n 期間に分割し，株価の 1 期間あたりの収益率と金利を以下のように
設定する．
√
√
2
2
D = e(r−σ /2)/n−σ 1/n (5.18)
R = er/n ,
U = e(r−σ /2)/n+σ 1/n ,
対数リターンをそれぞれ u = log U ，d = log D とおく．
• (5.18) のようにおくと，株価の対数リターンの期待値1 と分散は，それぞれ
年率で
1
lim n (qu u + qd d) = r − σ 2
n→∞
2
(5.21)
(( 2
)
)
2
lim n qu u + qd d − (qu u + qd d)2 = lim nqu qd (u − d)2 = σ 2
n→∞
1
n→∞
対数リターンの期待値と，期待リターンの対数は異なる．例えば，
Xt+1 = Xt e(r−σ
2
/2)+εt+1
,
εt+1 ∼ N (0, σ 2 )
(5.19)
5. 二項モデル
44
になる．中心極限定理により，n → ∞ のとき，株価の年あたりの対数リター
ンは平均 r − σ 2 /2，分散 σ 2 の正規分布に近づく．期間 T 年では，対数リター
ンは平均 (r − σ 2 /2)T ，分散 σ 2 T の正規分布に近づく．
– ちなみに，n → ∞ におけるリスク中立確率は，(5.4) から以下になる．
√
2
er/n − e(r−σ /2)/n−σ 1/n
1
√
√
lim qu = lim
=
2
2
n→∞
n→∞ (r−σ /2)/n+σ 1/n
2
e
−√e(r−σ /2)/n−σ 1/n
(5.22)
(r−σ 2 /2)/n+σ 1/n
r/n
e
−e
1
√
√
lim qd = lim
=
n→∞
n→∞ (r−σ 2 /2)/n+σ 1/n
(r−σ 2 /2)/n−σ 1/n
2
e
−e
• リスク中立測度のもとでの標準ブラウン運動 B Q を用いて，株価は
log(ST /S0 ) = (r − σ 2 /2)T + σ 2 BTQ
∴ ST = S0 e(r−σ
2 /2)T +σ 2 B Q
T
(5.23)
と表現できる．したがって，リスク中立測度のもとでの株価の期待値は ST =
S0 erT である．確率微分方程式で表現すると，
dSt = rSt dt + σSt dBtQ
(5.24)
で，Black-Scholes 式の前提である幾何ブラウン運動に一致する．したがって，
n → ∞ のとき，二項モデルは Black-Scholes モデルに収束する．
– パラメータ一定のままで，n を増加させると，ヨーロピアンのコールや
プットの価格は，Black-Scholes 式に近づく．
– 付属ソフトで数値的に確かめることができる（Figure 20.4, p433）
とすると，
)]
1
Xt+1
= r − σ2
Et log
Xt
2
[
]
Xt+1
log Et
=r
Xt
[
(
(5.20)
45
第6章
連続時間モデル
ブラウン運動
6.1
6.1.1
定義と性質
• 以下を満たす連続な確率過程 Z を標準ブラウン運動（ウィーナー過程）と
いう．
1. Z0 = 0
2. 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn < ∞ を満たす任意の時点 t0 , t1 , . . . , tn について，
Zt0 , Zt1 − Zt0 , . . . , Ztn−1 − Ztn は互いに独立な確率変数．
3. 任意の時点 s, t (s > t) について，Zs − Zt は平均がゼロ，分散 s − t の正
規分布にしたがう．
• 標準ブラウン運動の基本的性質
[
]
1 2
– E[Zt ] = 0，E[Zt2 ] = t，E eσZt = e 2 σ t
1
6
0
4
Brownian motion
Brownian motion
図 6.1: 標準ブラウン運動のサンプルパス
-1
-2
-3
2
0
-2
-4
-6
0
2
4
6
time
8
10
0
2
4
6
8
time
右図が 1 つのパス，左図が
5 つのパスを表す．左図の曲線は標準ブラウン運動の 2 標
√
準偏差（±2 t）を表す．
10
6. 連続時間モデル
46
– s > t のとき，Zs − Zt と Zs−t はともに平均ゼロ，分散 s − t の正規分布
にしたがう．
– 標準ブラウン運動のサンプルパスは，いたるところ微分不可能
ブラウン運動を用いた基本的モデル
• ドリフト付きのブラウン運動
Xt = X0 + µt + σZt
(6.1)
– µ, σ > 0 は定数
– X0 から出発して，Xt は平均 X0 + µt，分散 σ 2 t の正規分布にしたがう．
– 第 2 項は確定的な増加部分を表し，第 3 項が確率的な変動部分を表して
いる．
– 負の値をとり得るため，資産価格や金利の過程を表現するには望ましい
とはいえないかもしれない
• 幾何ブラウン運動（Black-Scholes 式での価格過程）
((
)
)
1 2
Xt = X0 exp
µ − σ t + σZt
2
(6.2)
– X0 > 0 のとき Xt は負の値にはならない．X0 から出発し，Xt の平均と
分散は，
( 2
)
E[Xt ] = X0 eµt , Var[Xt ] = X02 e2µt eσ t − 1
(6.3)
となる．
– Xt は対数正規分布にしたがい1 ，log Xt は平均 log X0 + (µ − σ 2 /2)t，分
散 σ 2 t の正規分布にしたがう．したがって Xt を資産価格と考える場合，
連続複利による収益率 log(Xt /X0 ) は，平均 (µ − σ 2 /2)t，分散 σ 2 t の正
規分布にしたがう．
∗ 対数正規分布の密度関数の形状：Fig 14.1 (p301)
· 正規分布と異なり，対数正規分布では，平均値と中央値（メジ
アン）と最頻値（モード）はすべて異なる．平均値 > 中央値 >
最頻値である．
∗ 株価の分布：Example 14.1-14.3 (p300-302)
1
「Y が正規分布に従う」 ⇐⇒ 「X = exp(Y ) は対数正規分布に従う」
6. 連続時間モデル
47
– 対数リターンの期待値と，期待リターンの対数は異なる
[ ( )] (
)
1 2
Xt
E log
= µ− σ t
X0
2
[ ]
Xt
log E
= µt
X0
(6.4)
– パラメータ µ の推定の際には注意を要する．log(Xt /X0 ) は，平均 µ −
σ 2 t/2，分散 σ 2 t の正規分布に従う．
– 価格評価では，通常 µ の値は不要．なぜならば， リスク中立確率のも
とでは，
（期中での配当がなければ）µ は無リスク金利 r に等しい．
geometric Brownian motion
図 6.2: 幾何ブラウン運動のサンプルパス
11.5
11
10.5
10
0
2
4
6
8
10
time
初期値 X0 = 10，ボラティリティσ = 0.01，瞬間的な期待収益率 µ = 0.01 とおいた．
曲線は幾何ブラウン運動の 2 標準偏差と平均を表す．
6.2
確率微分方程式
• µ や σ が一定のモデルでは，応用範囲が限定的であり，ブラウン運動を用い
る一般的なモデルは確率微分方程式（SDE）で表現される．
∫ t
∫ t
Xt = X0 +
µs ds +
σs dZs
(6.5)
0
0
6. 連続時間モデル
48
µ と σ は確率過程で，右辺第 2 項は確率積分を表す．以下の略式の微分形式
で書くことが多い．
dXt = µt dt + σt dZt
(6.6)
µt と σt の意味：
d
Et [Xs ] = µt
dt
s=t
d
Vart [Xs ] = σt2
dt
(6.7)
s=t
µt はドリフト過程，σt は拡散過程と呼ばれる．微分は右側からの微分を表す．
– µt と σt の直感的な意味は，
Et [dXt ] = µt dt,
vart [dXt ] = σt2 dt
(6.8)
• 幾何ブラウン運動 µt = µXt ，σt = σXt のとき，(6.6) は
dXt = µXt dt + σXt dZt
(6.9)
で，この解は (6.2) になる（後述）．
µ と σ の直感的意味：
[
]
dXt
E
= µ dt
Xt
[
]
dXt
var
= σ 2 dt
Xt
(6.10)
σ はボラティリティと呼ばれる．µ は瞬間的な期待リターンを表す．
他の基本的モデル
• OU 過程 (Ornstein–Uhlenbeck Process)
– 最も単純な離散時間の時系列モデルに以下の AR(1) がある
Xt = (1 − ρ)µ + ρXt−1 + εt ,
εt ∼ N (0, σ 2 )
∴ Xt − Xt−1 = (1 − ρ)(µ − Xt−1 ) + εt
(6.11)
これに対応する連続時間モデルは
dXt = ϕ(µ − Xt ) dt + σ dZt
(6.12)
6. 連続時間モデル
49
で，OU 過程と呼ばれる．ϕ(µ − Xt ) dt の項により，X は µ の値に戻ろ
うとするが，σ dZt の確率項があるので，µ の周りを変動する．戻ろう
とする力（速さ）は ϕ が定める．
– X は正規分布に従うことから扱いやすい．金利など平均回帰性があると
考えられているものに利用される．ただし，ゼロ以下の値になりうる．
図 6.3: OU 過程のサンプルパス
5
OU process
4
3
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
time
OU 過程のサンプルパス．ただし初期値 X0 = 5，µ = 0 とおいた．初期値から急激
に長期平均 0 に近づき，その後は 0 のまわりを変動している．
• 平方根過程（square root process）
– 常に正の値をとり，平均回帰するモデル．
dXt = ϕ(µ − Xt ) dt + σ
√
Xt dZt
(6.13)
X がゼロに近づくと，確率的な変動は小さくなり，µ により近づこうと
する．2ϕµ > σ 2 のとき，X はゼロ以下の値をとらない．X は、非心カ
イ二乗分布に従う．
シミュレーション
• (6.6) を離散近似すると，
√
Xt+∆t = Xt + µt ∆t + σt ∆t εt+∆t ,
εt+∆t ∼ N (0, 1)
(6.14)
となる．これはオイラー近似と呼ばれる．独立かつ同一な標準正規分布に従
う ε を発生させて，X の系列を得る．図 6.1,6.2 はこれにより作成したもの．
6. 連続時間モデル
6.3
50
伊藤の補題
• (6.6) を満たす過程 X と，2 回連続可微分な関数 f : R2 → R について，Yt =
f (Xt , t) によって定義される過程 Y は，以下を満たす．
[
]
1
2
dYt = fx (Xt , t)µt + ft (Xt , t) + fxx (Xt , t)σt dt + fx (Xt , t)σt dZt (6.15)
2
ただし，f の添え字は偏微分を表す．
• 直感的な理解
– まず，∆Yt := f (Xt + ∆X, t + ∆t) − f (Xt , t) について，テイラー展開
すると，
∆Yt =fx (Xt , t)∆X + ft (Xt , t)∆t
1
1
+ fxx (Xt , t)(∆X)2 + ftt (Xt , t)(∆t)2
2
2
+ fxt (Xt , t)∆X∆t + · · ·
(6.16)
を得る．この極限では
1
dYt = fx (Xt , t) dXt + ft (Xt , t) dt + fxx (Xt , t)(dXt )2
2
(6.17)
1
2
+ ftt (Xt , t)(dt) + fxt dXt dt + · · ·
2
dXt は (6.6) で与えられている．ここで 2 次の項においては表 6.1 の関
係が成り立つことに注意すると，(6.15) が成り立つ．
表 6.1: 2 次の項の扱い
dt
dZt
dt
0
0
dZt
0
dt
• 伊藤の補題の適用例：幾何ブラウン運動
X が (6.9) の解で，Yt = log Xt のとき，
(
)
1 2
d log Xt = µ − σ
dt + σ dZt
2
(
)
1 2
∴ log Xt = log X0 + µ − σ t + σZt
2
したがって，(6.2) が成り立つ．
(6.18)
6. 連続時間モデル
51
多変数の場合の伊藤の補題
• (6.15) は多変数の場合にも同様な形式で成り立つ．以下では 2 変数の場合で
考える．
• (6.6) を満たす過程 X と，以下を満たす U を考える．
ただし，
dUt = mt dt + vt dZbt
(6.19)
d
covt (Xs , Us ) = ρt σt vt
dt
s=t
(6.20)
である2 ．
• このとき，2 回連続可微分な関数 f : R3 → R について，Yt = f (Xt , Ut , t) に
よって定義される過程 Y は，以下を満たす．
[
dYt = fx (Xt , Ut , t)µt + fu (Xt , Ut , t)mt + ft (Xt , Ut , t)
]
1
1
2
2
+ fxx (Xt , Ut , t)σt + fyy (Xt , Ut , t)vt + fxu (Xt , Ut , t)ρt σt vt dt
2
2
+ fx (Xt , Ut , t)σt dZt + fu (Xt , Ut , t)vt dZbt
(6.21)
ただし，f の添え字は偏微分を表す．
6.4
確率測度の変換
リスク中立測度 Q への変換
• 実測度のもとで，リスク証券（株式）と無リスク証券のそれぞれの価格 S, B
が以下に従うものとする．
dSt = µt St dt + σt St dZt
dBt = rt Bt dt
ただし，r は無リスク短期金利を表す．
2
直感的にいえば，covt (dXt , dUt ) = dXt dUt = ρt σt vt dt である．
(6.22)
6. 連続時間モデル
52
• 無リスク証券 Bt で割り引かれた株式価格 Sbt := St /Bt に伊藤の補題を適用す
ると，
dSbt = (µt − rt ) Sbt dt + σt Sbt dZt
(6.23)
を得る．リスク中立測度 Q のもとでは，Sbt はマルチンゲールなので，
dSbt = σt Sbt dZtQ
(6.24)
になる．St = Bt Sbt に対して，もう一度，伊藤の補題を適用すると，
dSt = rt St dt + σt St dZtQ
(6.25)
が成り立つ．
– リスク中立測度のもとでは，リスク証券の瞬間的な期待リターンはリス
クのない金利に等しい．したがってリスク中立測度と呼ばれる．投資家
がリスク中立であると仮定しているわけではない．
– 拡散係数は測度変換しても変わらない（拡散不変原理）．
– もし，株式が δt dt の配当を支払う場合には，(6.25) は以下になる．
dSt = (rt St − δt ) dt + σt St dZtQ
(6.26)
配当込みの価格の期待リターンがリスクのない金利に等しいため．
任意の測度への変換公式
• 過程 S をニューメレールとする同値マルチンゲール測度を S とする．ある過
程 X は，S のもとで以下に従うものとする．
dXt = µx,S
dt + σtx,S dZtx,S
t
(6.27)
S のもとで，ニューメレール過程 S と，測度変換先のニューメレール過程 U
がそれぞれ以下にしたがうものとする．
dSt = (. . . ) dt + σts,S dZts,S
dUt = (. . . ) dt + σtu,S dZtu,S
(6.28)
• このとき，同値マルチンゲール測度 S から，U をニューメレールとする同値
マルチンゲール測度 U に変換すると，過程 X の係数は以下になる．
dXt = µx,U
dt + σtx,U dZtx,U
t
(6.29)
6. 連続時間モデル
53
ただし，
µx,U
t
σtx,U
=
µx,S
t
=
σtx,S
(
)
(
)
dUt
1
dSt
1
+ covt dXt ,
− covt dXt ,
dt
Ut
dt
St
(6.30)
となる．したがって，拡散係数は変わらないが，ドリフトは共分散の違いだ
けずれることになる．
– あるいは，式変形から以下を得るので，ニューメレールの比
分散だけドリフトがずれるとみなすこともできる．
( )/ )
(
1
Ut
Ut
x,U
x,S
µt = µt + covt dXt , d
dt
St
S
(
( ))t
Ut
1
= µx,S
+ covt dXt , d log
t
dt
St
6.5
Ut
St
との共
(6.31)
(6.32)
いくつかの確率微分方程式の解の公式
• c1 (·), c2 (·), σ1 (·), σ2 (·) をそれぞれ時間の関数 [0, ∞) → R とする．
• まず参考として，常微分方程式（ODE）：
dXt = (c1 (t)Xt + c2 (t)) dt
の解は
Xt = e
∫t
0
(∫
c1 (s) ds
t
c2 (s)e
∫s
0
(6.33)
)
−c1 (u) du
ds + X0
(6.34)
0
• 線形確率微分方程式：
dXt = [c1 (t)Xt + c2 (t)] dt + σ2 (t) dZt
(6.35)
(
)
∫ t
∫ t
X0 +
c2 (s)y(s) ds +
σ2 (s)y(s) dZs
(6.36)
の解は
−1
Xt = [y(t)]
0
0
( ∫
)
t
ただし，y(t) = exp − 0 c1 (u) du とおいた．
6. 連続時間モデル
54
• 幾何ブラウン運動：
dXt = c1 (t)Xt dt + σ1 (t)Xt dZt
(6.37)
の解は
(∫ t (
)
)
∫ t
1 2
Xt = X0 exp
c1 (s) − σ1 (s) ds +
σ1 (s) dZs
2
0
0
(6.38)
• 最後の例として，
dXt = [c1 (t)Xt + c2 (t)] dt + [σ1 (t)Xs + σ2 (t)] dZt
(6.39)
の解は
(
)
∫ t
∫ t
−1
−1
Xt = Yt X0 +
[c2 (t) − σ1 (t)σ2 (t)]Ys ds +
σ2 (s)Ys dZs
0
(6.40)
0
ただし Y は，初期条件 Y0 = 1 とする幾何ブラウン運動の解 (6.38) を表す．
55
第7章
7.1
ブラック・ショールズモデル
ブラック・ショールズの公式
• ヨーロピアンのコールやプットの価格を与える公式．
• モデルの前提条件：
– オプションの原資産価格 S は以下の幾何ブラウン運動に従う．配当は
なし．
dSt = µSt dt + σSt dZt
∴ St = S0 e(µ−σ
2 /2)t+σ dZ
t
(7.1)
– 無リスク短期金利 r は一定．したがって，無リスク資産（バンクアカウ
ント）の価格は Bt = B0 ert で，微分方程式で書くと以下になる．
dBt = rBt dt
(7.2)
– 空売りや借り入れが可能で，取引コストもない
• オプション
– 満期を T ，行使価格を K とする
– ヨーロピアン・コールの満期でのペイオフは max(ST −K, 0) := (ST −K)+
– ヨーロピアン・プットの満期でのペイオフは max(K−ST , 0) := (K−ST )+
• Black-Scholes の公式 裁定取引が存在しないならば，ヨーロピアンのコー
ルとプットの価格 C, P はそれぞれ以下になる．
Ct = St Φ(d1 ) − e−r(T −t) KΦ(d2 )
Pt = e−r(T −t) KΦ(−d2 ) − St Φ(−d1 )
(7.3)
7. ブラック・ショールズモデル
56
ただし，Φ は標準正規累積分布関数を表し，d1 , d2 は以下で与えられる．
log(St /K) + (r + σ 2 /2)(T − t)
√
σ T −t
√
log(St /K) + (r − σ 2 /2)(T − t)
√
d2 := d1 − σ T − t =
σ T −t
d1 :=
(7.4)
導出
7.2
以下ではコールの場合で考えるが，プットの場合にも同様である．プット・コー
ル・パリティを用いてもよい．
7.2.1
方法 1：偏微分方程式による導出
• 株式を at 単位，債券を bt 単位保有して，連続的にリバランスを行い，コー
ルオプションを複製することを考える．
• 株式と債券の資金自己調達的（資金自己充足的）な取引戦略 (a, b) で，aT ST +
bT BT = CT を満たすものが存在するものとする．任意の時点 t < T で，も
し at St + bt Bt ̸= Ct ならば裁定機会が生じることになる．
– 例えば，at St + bt Bt < Ct ならば，株式を at 単位，債券を bt 単位保有し
て，コールオプションを Ct で売却すればよい．
したがって，無裁定ならば，各時点 t で以下が満たされる．
at St + bt Bt = Ct
(7.5)
at dSt + bt dBt = (at µSt + bt rBt ) dt + at σSt dZt
(7.6)
• 複製ポートフォリオの変動は
である．一方，コールの価格 Ct は St と t の関数なので，Ct = f (St , t) とお
くと，伊藤の補題から
(
)
1
2 2
dCt = ft + fs µSt + fss σ St dt + fs σSt dZt
(7.7)
2
になる．f の添え字は偏微分を表す．無裁定であるためには，(7.6) と (7.7)
で dt と dZt の係数が一致すればよい（伊藤過程の分解の一意性により）．
7. ブラック・ショールズモデル
57
– dZt の係数を比較して，at = fs
– (7.5) から，bt Bt = f − fs St
最後に，dt の係数を一致させると，以下の偏微分方程式が得られる．
1
ft + rSt fs + σ 2 St2 fss = rf
2
(7.8)
ただし，境界条件は f (ST , T ) = (ST − K)+ である．
• (7.8) の解は (7.3) で与えられる．
– 直接 (7.3) を偏微分することにより，これを確かめることができる．→
練習問題．
7.2.2
方法 2：リスク中立確率への変換
• 裁定機会がないことは，リスク中立確率 Q が存在することを意味する．e−rt St
は Q マルチンゲールであることから，
dSt = rSt dt + σSt dZtQ
∴ ST = St e(r−σ
2 /2)(T −t)+σ
(ZTQ −ZtQ )
• e−rt Ct もまた Q マルチンゲールなので，
[
]
Ct = EtQ e−r(T −t) (ST − K)+
(7.9)
(7.10)
つまり，価格は，リスク中立確率のもとでの将来ペイオフの期待割引現在価
値に等しい．これを以下のように直接解けば，(7.3) が得られる．方法 1 より
も見通しがよい．
• 導出は以下の通り．まず，
[
]
Ct = EtQ e−r(T −t) (ST − K)+
[
]
= EtQ e−r(T −t) (ST − K)1{ST ≥K}
[
]
[
]
= e−r(T −t) EtQ ST 1{ST ≥K} − e−r(T −t) KEtQ 1{ST ≥K}
{z
} |
{z
}
|
=:J1
と書き直す．(7.9) から
[
]
J2 = e−r(T −t) KEtQ 1{ST ≥K}
=:J2
(7.11)
7. ブラック・ショールズモデル
58
= e−r(T −t) KQt [ST ≥ K]
)
]
[
(
Q
Q
−r(T −t)
2
=e
KQt −σ ZT − Zt ≤ log(St /K) + (r − σ /2)(T − t)
[
]
log(St /K) + (r − σ 2 /2)(T − t)
−r(T −t)
√
=e
KQt ε ≤
σ T −t
= e−r(T −t) KΦ(d2 )
となる．Q のもとで，ε := −
ZTQ −ZtQ
√
T −t
∼ N (0, 1) であることを用いた．
また，J1 については
[
]
(r−σ 2 /2)(T −t)+σ (ZTQ −ZtQ )
J1 = e
St e
1{ST ≥K}
[
]
Q
Q
1 2
= EtQ St e− 2 σ (T −t)+σ(ZT −Zt ) 1{ST ≥K}
]
[
√
Q
− 21 σ 2 (T −t)−σ T −t ε
1{ε≤d2 }
= E t St e
∫ d2
−x2 /2
√
− 21 σ 2 (T −t)−σ T −t x e
√
= St
e
dx
2π
−∞
∫ d2
√
2
1
1
√ e− 2 (x+σ T −t) dx
= St
2π
−∞
√
ここで，x̃ := x + σ T − t とおいて，置換積分1 すると，
∫ d2 +σ√T −t
1 2
1
√ e− 2 x̃ dx̃ = St Φ(d1 )
J1 = St
2π
−∞
−r(T −t)
EtQ
(7.12)
となる．したがって，(7.3) を得る．
• J1 の計算については，St をニューメレールとする同値マルチンゲール測度 S
に変換して計算することもでき，この方が楽である．
[
]
[
]
J1 = e−r(T −t) EtQ ST 1{ST ≥K} = St EtS 1{ST ≥K}
(7.13)
公式 (6.30) を利用すると，S のもとでの St の変動は (7.9) から以下になる．
dSt = (r + σ 2 )St dt + σSt dZtS
S
2
S
∴ ST = St e(r+σ /2)(T −t)+σ(ZT −Zt )
後は，J2 の場合と同様の導出により，J1 = St Φ(d1 ) を得る．
1
∫
∫
g(b)
b
f (x) dx =
g(a)
f (g(t))
a
d
g(t) dt
dt
(7.14)
7. ブラック・ショールズモデル
7.3
59
配当がある場合
• 原資産が一定の配当率 δ で，配当を支払うものと仮定する．つまり，δSt dt
の配当を連続的に支払う．このとき，(7.9) の代わりに，
dSt = (r − δ)St dt + σSt dZtQ
(7.15)
になる．
• (7.10) の解は以下で与えられる．
Ct = St e−δ(T −t) Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 )
Pt = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St e−δ(T −t) Φ(−d1 )
(7.16)
ただし，
log(St /K) + (r − δ + σ 2 /2)(T − t)
√
σ T −t
log(St /K) + (r − δ − σ 2 /2)(T − t)
√
d2 =
σ T −t
d1 =
(7.17)
– Example 16.1 (p352)
• （通貨オプション）外国為替レート（自国通貨でみた外国通貨 1 単位の価値）
を St ，外国金利を rf とおく．外国通貨は連続な配当 rf St dt（自国通貨建て
でみて）を持つ証券と考えればよい．したがって，
dSt = (r − rf )St dt + σSt dZtQ
(7.18)
となる．Q は自国におけるリスク中立確率を表す．したがって，通貨オプショ
ンのコールとプットの価格は，(7.16) で δ を rf で置き換えたものとして成り
立つ．
7.4
先物のオプション
• 先物契約を原資産とするオプション．行使される場合には，先物契約が受け
渡される．先物は取引所に上場されているので，価格を入手しやすい．例え
ば，国債や金利，コモディティなどが該当する．さらに，コモディティは原
資産よりも先物の方が受け渡しが簡単である．
7. ブラック・ショールズモデル
60
• 先物契約の満期 ≥ オプションの満期とする．原資産価格 S の先物の価格を F
とすると，コールの場合，オプションの満期 T におけるペイオフは (FT −K)+
である．K は行使価格を表す．
• 先物価格 F は Q マルチンゲールであった．ボラティリティσ を定数と仮定す
ると，
dFt = σFt dZtQ
(7.19)
と書ける．したがって，先物オプションのコールとプットの価格は，(7.16)
で r − δ = 0 として得られる（St は Ft に置き換える）．特に，これはブラッ
クの公式と呼ばれる．
– §17.8 (p370)
グリークス
7.5
• グリークスとは，原資産価格などのパラメータのオプション価格に対する感
応度のこと．
• 保有するオプションのヘッジや，リスク管理に利用される．
– 保有するオプションと同一のものが取引所に上場されていれば，ヘッジ
は容易であるが，通常はそうでなく，ヘッジは容易ではない．
– （例：§18.1, p377）ある金融機関が，個別銘柄のコールオプションを 30
万ドルで売却したとする．BS 式で評価した場合のこのオプションの価
値は 24 万ドルである．したがって，6 万ドル高く売れたことになるが，
このリスクをどのようにヘッジするのかも考えなくてはならない．
7.5.1
デルタヘッジ
• 7.2.1 節の方法により，原資産と無リスク資産からオプションを複製する．
• 複製ポートフォリオの原資産と無リスク資産の保有単位を at , bt とすると，
∂Ct
∂St
(
)
∂Ct
1
C t − St
bt =
Bt
∂St
at =
であった．∆ :=
∂Ct
∂St
はデルタと呼ばれる．
(7.20)
7. ブラック・ショールズモデル
61
• つまり，原資産をデルタ単位分だけ購入（or 売却）して，残りの資金を無リ
スク資産で運用（or 調達）すればオプションをヘッジできる．あるいは，原
資産が同一の他のオプションを用いて，ヘッジすることもできる．
– 以下の組み合わせで，局所的に，株価変動変動リスクをヘッジすること
ができる．
オプション：− 1 単位
株式数：+ ∆単位
Figure 18.2 (p381)
• (7.3) を直接微分すると，BS 式のデルタを得る．
（コールのデルタ）
（プットのデルタ）
∂Ct
= Φ(d1 ) ∈ (0, 1)
∂St
∂Pt
= Φ(d1 ) − 1 ∈ (−1, 0)
∂St
(7.21)
Figure 18.3-18.4 (p382-383)
• デルタは時間の経過とともに変化するので，連続的にリバランスする必要が
ある．
– 例：Table 18.2,18.3 (p384,385)．§18.1 のパラメータによる週次リバラ
ンスのサンプル．連続的にリバランスできないために，ヘッジ誤差が生
じる．
7.5.2
その他の BS 式の感応度（センシティビティ）
• ガンマ Γ（原資産の 2 階微分）
Γ :=
∂ 2 Ct
∂ 2 Pt
ϕ(d1 )
√
=
=
>0
2
2
∂St
∂St
St σ T − t
(7.22)
ϕ は標準正規密度関数を表す．
– オプション価格の変化は，原資産価格の変化に対して非線形である．ガン
マが大きいほど，離散的なデルタヘッジは誤差を生む要因になる（Figure
18.7, p389）
7. ブラック・ショールズモデル
62
– 原資産とともに他のオプションを利用することにより，デルタのほかガ
ンマもニュートラルにすることができる（当然に，時間の経過とともに
ずれる）．
– Figure 18.9, 18.10 (p391-2)
• セータ Θ（時間）
∂Ct
St σ
ϕ(d1 ) − Kre−r(T −t) Φ(d2 )
=− √
∂T
2 T −t
∂Pt
St σ
ϕ(d1 ) + Kre−r(T −t) Φ(−d2 )
Θ :=
=− √
∂T
2 T −t
Θ :=
(7.23)
– 多くの場合，負の値になる．
– Figure 18.5, 18.6 (p388)
• ベガ V （ボラティリティ）
V :=
√
∂Ct
∂Pt
=
= St T − tϕ(d1 ) > 0
∂σ
∂σ
(7.24)
– BS モデルではボラティリティは一定ではない．しかし，実際には変動
している．少々奇妙ではあるが，実務的に BS 式のベガは，リスク指標
として重視されている．
– 原資産とともに他のオプションを利用することにより，デルタのほかベ
ガもニュートラルにすることができる（当然に，時間の経過とともにず
れる）．ガンマもニュートラルにするには，さらに別のオプションが必
要になる．
– 株価とベガの関係：Figure 18.11 (p395)
• ロー ρ（金利）
∂Ct
= (T − t)Ke−r(T −t) Φ(d2 ) > 0
∂r
∂Pt
ρ :=
= −(T − t)Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) < 0
∂r
ρ :=
(7.25)
• この他さまざまな感応度も知られる（表 7.1）．BS 式の場合には，それぞれ
解析的に表現できる2 ．
• Business Snapshot 18.1 (p396)
2
http://en.wikipedia.org/wiki/Greeks (finance) を参照．
7. ブラック・ショールズモデル
63
表 7.1: グリークス
Value
Delta ∆
Gamma Γ
Vega V
Vomma
7.6
Spot Price S
∆ Delta
γ Gamma
Speed
Vanna
Volatility σ
V Vega
Vanna
Zomma
Vomma
Ultima
Time to Expiry τ
Θ Theta
Charm
Color
DvegaDtime
Totto
Risk-Free Rate r
ρ Rho
ポートフォリオ・インシュアランス
• ポートフォリオの価値がある一定水準（フロア）よりも低下することを防ぐ
とともに，参照資産の価格が上昇した場合には，その上昇に追随する戦略．
以下のいずれかの組み合わせにより，達成できる．
1. 参照資産のロング＋参照資産のプットオプションのロング
2. 参照資産のコールオプションのロング＋無リスク資産のロング
• プット・コール・パリティにより，この二つの戦略は等価である．さらに，オ
プションは現物資産と無リスク資産で（少なくても理論的には）複製できる
ので，オプションではなく，現物資産と無リスク資産だけの組み合わせでも
可能となる．例えば，
– 保有する現物資産のうち，プットオプションのデルタ分だけ保有額を減
らす．
– あるいは，コールオプションのデルタ分だけ現物資産を保有する．
• デルタは時間の経過ともに変化するので，頻繁なリバランスが必要になる．
• 現物資産が株価指数に近い場合には，その先物を用いた方がトレードが容易
である．一方で，現物資産と先物が連動しないリスクがある．
• Business Snapshot 18.2 (p403)
7.7
偏微分方程式とリスク中立評価法の関係
• BS 式の導出の際に，偏微分方程式（方法 1）とリスク中立評価法（方法 2）
による二つの方法を提示した．これらの方法は基本的に同値である．
7. ブラック・ショールズモデル
64
• 状態変数（BS モデルでは原資産株価）過程を X として，満期 T に g(XT )，
期中に配当 h(Xt , t) を支払う証券の価格 f (Xt , t) は，
[∫
f (Xt , t) =
EtQ
T
( ∫ s
)
exp −
r(Xu , u) du h(Xs , s) ds
t
t
( ∫
+ exp −
T
]
)
r(Xu , u) du g(XT ) (7.26)
t
として表現できた．ただし，r(Xt , t) は短期金利を表す．これは BS モデルの
(7.10) を一般化したものに相当する．
• Xt は以下に従うものとする．
dXt = µ(Xt , t) dt + σ(Xt , t) dZtQ
(7.27)
このとき，f (Xt , t) は以下の偏微分方程式を満たす（ファインマン・カッツ
の公式）．
1
ft (x, t) + µ(x, t)fx (x, t) + σ 2 (x, t)fxx (x, t) + h(x, t) = r(x, t)f (x, t) (7.28)
2
ただし，境界条件は f (x, T ) = g(x) で，f の添え字は偏微分を表す．これは
BS モデルの (7.8) を一般化したものに相当する．
• このように，資産価格は (7.26) と (7.28) の二つの表現を持つ．二つとも重要
であり，さまざまな場面で出くわす．
– BS モデルのように (7.26) の期待値計算が常に容易にできるとは限ら
ない．
– (7.28) は，数値計算でよく利用される．
7.8
アメリカンオプション
• 完備市場を仮定する．
• アメリカンとは，満期までの間に保有者がいつでも行使できるデリバティブ
である．状態変数を X とし，満期を T ，行使時点（停止時刻）を τ ≤ T ，行
使時点におけるペイオフを g(Xτ , τ ) とする．
7. ブラック・ショールズモデル
65
• τ を固定して考えると，証券の価格 f (x, t) は
[∫
( ∫
)
τ
τ
f (Xt , t) =
s
exp −
EtQ
t
r(Xu , u) du h(Xs , s) ds
t
( ∫
+ exp −
)
τ
]
r(Xu , u) du g(Xτ , τ )
(7.29)
t
となる．実際には，保有者が τ を選択できるので，合理的な行使による価格
は以下で与えられる．
f (Xt , t) = sup f τ (Xt , t)
(7.30)
τ ∈T
ただし，T は [t, T ] に値をとる停止時刻の集合である．これは無裁定価格で
もある．
• 任意の t ≤ T について，f (Xt , t) ≥ g(Xt , t) になり，最適行使タイミングは
τ ∗ = inf{t ∈ [0, T ] : f (Xt , t) = g(Xt , t)}
(7.31)
で与えられる．また，
E = {(x, t) : f (Xt , t) = g(Xt , t)}
(7.32)
C = {(x, t) : f (Xt , t) > g(Xt , t)}
(7.33)
を行使領域といい，
を継続領域という．継続領域では，
1
ft (x, t) + µ(x, t)fx (x, t) + σ 2 (x, t)fxx (x, t) + h(x, t) = r(x, t)f (x, t) (7.34)
2
で，行使領域では
1
ft (x, t) + µ(x, t)fx (x, t) + σ 2 (x, t)fxx (x, t) + h(x, t) < r(x, t)f (x, t) (7.35)
2
となる．
• 例えば，BS モデルの設定におけるアメリカン・プットの場合には，増加関数
である最適行使境界 S ∗ : [0, T ) → R が存在し，継続領域は C = {(x, t) : x >
S(t)∗ } で，ST∗ = K になる．最適行使は τ ∗ = inf{t : St = S(t)∗ } である（図
7.1 参照）．
（K は行使価格，S は原資産価格，T は満期を表す．
）
• しかし，最適行使境界 S ∗ の明示的な解は存在せず，数値計算によって推定
される．
7. ブラック・ショールズモデル
66
図 7.1: アメリカンプットの最適行使境界
ේ⾗↥ଔᩰߩࠨࡦࡊ࡞ࡄࠬ
ⴕ૶ଔᩰ
ᦨㆡⴕ૶Ⴚ⇇
ᦨㆡⴕ૶
7.9
ḩᦼ
BS モデルの拡張
• BS モデルでは，原資産価格は係数が一定の幾何ブラウン運動に従い，無リ
スク短期金利は一定であった．当然ながら，これは厳しい仮定である．
• BS モデルの誕生後，モデルはより一般化されてきた．よく知られるモデル
に以下のものがある．
– 原資産価格は連続な過程でなくジャンプ成分を持つ（Merton）
– ボラティリティが確率変動する確率的ボラティリティモデル（Heston）
– 短期金利が確率変動するモデル（Vasicek, CIR）
• 上記のモデルは，すべてアフィンモデルのクラスに属する．アフィンモデル
は BS モデルの自然な拡張といえる．詳細は付録参照．
67
第8章
8.1
エキゾチック・オプション
エキゾチック・オプションの評価式
• コールやプットなどのデリバティブは標準物（プレーン・バニラ）と呼ばれ
る．取引が活発に行われ，価格あるいは IV が日常的に提示されている．こ
れに対して，非標準的なデリバティブはエキゾチックと呼ばれる．
• 本節では，BS モデルの枠組みにおいて，各種のエキゾチック・オプション
の導出方法を考える．したがって，原資産価格 S は
dSt = (r − q)St dt + σSt dZtQ
(8.1)
に従う．金利 r と配当率 q ，ボラティリティσ は定数である．したがって，
)
(
Q
(8.2)
St = S0 exp λt + σZt
である．ただし，λ := r − q − 12 σ 2 とおいた．また，
E Q [St ] = S0 e(r−q)t
(8.3)
である．
パッケージ
• パッケージとは，満期におけるペイオフが原資産価格の区分線形関数となる
ものを指す．したがって，標準的なオプションやキャッシュ，原資産からな
るポートフォリオとして考えることができる．
• K2 > K1 > 0 とする．例えばカラーオプションは，満期 T で以下のペイオ
フを持つ．
CT = min (max (ST , K1 ) , K2 )
= K1 + (ST − K1 )+ − (ST − K2 )+
(8.4)
8. エキゾチック・オプション
68
したがって，キャッシュと二つのコールオプションからなるポートフォリオ
なので，時点ゼロにおける価格は
C0 = K1 e−rT + BS(S0 , T, K1 ) − BS(S0 , T, K2 )
(8.5)
ただし，BS(·, ·, ·) は，原資産の配当を考慮したコールの BS 式を表す．
• あるいは，ブレーク・フォワードとは，通常のフォワード契約を修正して，
潜在的な損失に制限を加えたものである．満期 T におけるペイオフは以下で
与えられる．
CT = max(ST , F ) − K
(8.6)
ただし，F := S0 e(r−q)T は受け渡し日を T とするフォワードの時点ゼロにお
ける価格をあらわす．K > F は定数である．K の値は，ブレーク・フォワー
ドの契約時点でその価値がゼロになるように定まる．
• (8.6) は，
CT = (ST − F )+ + F − K
(8.7)
に等しいので，時点ゼロにおけるブレーク・フォワードの価値は
C0 = BS(S0 , T, F ) + (F − K)e−rT
(8.8)
となる．したがって，これをゼロにする K の値は
K = erT (S0 + BS(S0 , T, F ))
(8.9)
として定まる．
• レンジ・フォワードは，カラーに似ていて，満期でのペイオフが
CT = max(min(ST , K2 ), K1 ) − F
(8.10)
で与えられる．ただし，K1 < F < K2 で，F = S0 e(r−q)T はフォワード価格
を表す．これは，以下のように書きおなすことができる．
CT = ST − F + (K1 − ST )+ − (ST − K2 )+
(8.11)
したがって，時点ゼロにおけるレンジ・フォワードの価値は，
C0 = e−rT E Q [CT ]
= S0 e−qT − S0 e(r−q)T + BSput(S0 , T, K1 ) − BScall(S0 , T, K2 )
(8.12)
になる．レンジ・フォワードの場合にも，時点ゼロでの価値がゼロになるよ
うに，K1 と K2 が選択される．
8. エキゾチック・オプション
69
フォワード・スタート・オプション
• 将来の時点 T1 からスタートするオプション．行使価格 K は，時点 T1 で ATM
として定まるのが通常である．満期を T2 とするヨーロピアンコールの場合，
T1 における価値は
[
]
CT1 = e−r(T2 −T1 ) ETQ1 (ST2 − K)+ = BS(ST1 , T2 − T1 , K)
(8.13)
であり，原資産価格 ST1 と残存期間 T2 − T1 の関数として，BS 式で表すこと
ができる．したがって，時点ゼロにおける価値は
C0 = e−rT1 E Q [BS(ST1 , T2 − T1 , K)]
(8.14)
である．
• 行使価格 K が ST1 となる ATM の場合，CT1 は ST1 に比例する形式になる（BS
式から明らか）．
CT1 = BS(ST1 , T2 − T1 , ST1 ) = ST1 f (T2 − T1 )
{z
}
|
(8.15)
ATM の場合の BS 式
したがって，
[
]
C0 =E Q e−rT1 ST1 f (T2 − T1 ) = e−rT1 f (T2 − T1 )E Q [ST1 ]
=S0 e−qT1 f (T2 − T1 )
(8.16)
[
]
ただし，S0 = E Q e−(r−q)T1 ST1 であることを用いた．
• したがって，配当がない場合（q = 0），残存期間を T2 − T1 とする通常の
ATM コールオプションの価値に一致する．
コンパウンド・オプション
• コンパウンド・オプションは，オプションを原資産とするオプションである．
つまり，コンパウンド・オプションを行使すると，オプションを手に入れた
り，売ったりすることができる．基本的な 4 つのタイプ（call on call, put on
call, call on put, put on put）がある．
• ヨーロピアンの call on call を考える．原資産となるコールの満期を T2 ，行
使価格を K2 とし，価格を C 2 とする．これに関するコンパウンド・コールの
満期を T1 ，行使価格を K1 とし，価格を C 1 とする．T2 > T1 である．
8. エキゾチック・オプション
70
• 時点 T1 におけるコンパウンド・コールのペイオフは
(
)+
CT11 = CT21 − K1
(8.17)
で，CT21 は通常の BS 式で与えられる．したがって，時点ゼロにおけるコン
パウンド・コールの価値は，
[
]
C01 = e−rT1 E Q (BS(ST1 , T2 − T1 , K2 ) − K1 )+
∫ ∞
(8.18)
−rT1
=e
(BS(ST1 , T2 − T1 , K2 ) − K1 ) f (ST1 ) dST1
K̄
になる．ここで f (ST1 ) は ST1 の密度関数で，K̄ は，
BS(K̄, T2 − T1 , K2 ) = K1
(8.19)
を満たすものとして与えられる．これを明示的に計算すると，テキスト p578
の式を得る．
チューザー・オプション
• チューザー・オプションとは，将来のある時点 T0 で，コールかプットかを選
択できるオプションである．ただし，コールとプットの満期はともに T > T0
で，行使価格も K に等しい．したがって，T0 におけるチューザー・オプショ
ンの価値は，
CT0 = max (BScall(ST0 , T − T0 , K), BSput(ST0 , T − T0 , K))
(8.20)
になる．ところで，プット・コール・パリティとして
BSput(ST0 , T − T0 , K)
= BScall(ST0 , T − T0 , K) − ST0 e−q(T −T0 ) + Ke−r(T −T0 ) (8.21)
が成り立つ．したがって，
(
CT0 = max BScall(ST0 , T − T0 , K),
)
BScall(ST0 , T − T0 , K) − ST0 e−q(T −T0 ) + Ke−r(T −T0 )
)+
(
= BScall(ST0 , T − T0 , K) + e−q(T −T0 ) Ke−(r−q)(T −T0 ) − ST0
(8.22)
なので，時点ゼロにおける価値は，
C0 = BScall(S0 , T, K) + e−q(T −T0 ) BSput(S0 , T0 , Ke−(r−q)(T −T0 ) )
になる．
(8.23)
8. エキゾチック・オプション
71
バイナリー・オプション（デジタル・オプション）
• バイナリー・オプションは，満期における原資産価格に関して不連続なペイ
オフを持つ．
• cash-or-nothing オプションのコールとプットのそれぞれのペイオフは，あら
かじめ定められた定数 X と K について
CT = X1{ST >K} ,
PT = X1{ST <K}
(8.24)
で与えられる．したがって，価格は
]
log(S0 /K) + λT
√
C0 = Xe E [1{ST >K} ] = Xe Φ
σ T
[
]
− log(S0 /K) − λT
−rT Q
−rT
√
P0 = Xe E [1{ST <K} ] = Xe Φ
σ T
[
−rT
Q
−rT
(8.25)
となる．
• asset-or-nothing オプションの場合には，コールとプットのそれぞれのペイ
オフは，
CT = ST 1{ST >K} ,
PT = ST 1{ST <K}
(8.26)
で与えられる．したがって，価格は以下になる．
C0 = e−rT E Q [ST 1{ST >K} ] = S0 e−qT E S [1{ST >K} ]
P0 = e−rT E Q [ST 1{ST <K} ] = S0 e−qT E S [1{ST <K} ]
(8.27)
ただし，S は配当込みの原資産価格過程 eqt St をニューメレールとする同値
マルチンゲール測度を表す．(8.1) について測度変換を行うと，測度 S のも
とでは，
(
)
St = S0 exp λS t + σ dZtS
で，λS = r − q + σ 2 /2 になる．したがって，
[
]
log(S0 /K) + λS T
−qT
√
C0 = S0 e Φ
σ T
[
]
− log(S0 /K) − λS T
−qT
√
C0 = S0 e Φ
σ T
(8.28)
(8.29)
8. エキゾチック・オプション
72
バリア・オプション
• 経路依存型のオプションで，原資産価格が満期までの間にある水準に達する
か否かに依存してペイオフが定まる．様々なものがあるが，ノックアウトと
ノックインのタイプに分けられる．
– ノックアウト：バリアに達すると，オプションが消滅する．
– ノックイン：バリアに達すると，オプションが有効になる．
• ノックアウト・オプションの一つである down-and-out のコールオプション
を考える．この満期 T でのペイオフは以下で与えられる．
CTdo = (ST − K)+ 1{min0≤t≤T St ≥H} = (ST − K)1{ST ≥K,min0≤t≤T St ≥H}
(8.30)
H < S0 はバリアの水準を表す．ここで，νt := λt + σZtQ とおき，mT :=
min0≤t≤T νt とする．(8.1) から
ST ≥ K ⇐⇒ νT ≥ log K − log S0
min St ≥ H ⇐⇒ mT ≥ log H − log S0
(8.31)
D := {νT ≥ log K − log S0 , mT ≥ log H − log S0 }
(8.32)
0≤t≤T
である．さらに，
とおくと，(8.30) は CTdo = (ST − K)1D と書ける．したがって，down-and-out
コールの時点ゼロにおける価値は
C0do = e−rT E Q [ST 1D ] + e−rT KE Q [1D ]
= e−qT S0 E S [1D ] + e−rT KE Q [1D ]
(8.33)
として表現できる．このことから，(8.33) を明示的に求めるには，Q と S の
それぞれの確率測度のもとでの νT と mT の同時分布が分かればよい．これ
には次の公式を利用できる．
• 最初に K > H のケースを考える．任意の y ≤ 0 と x ≥ y について，νT と
mT の同時分布に関して以下が成り立つことが知られている．
(
)
(
)
−x + λT
−x + 2y + λT
Q
2λyσ −2
√
√
P {νT ≥ x, mT ≥ y} = Φ
−e
Φ
σ T
σ T
(8.34)
P S {νT ≥ x, mT ≥ y} については，単に λ を λS に置き換えればよい．この公
式を用いて，(8.33) を整理すると，テキスト p580 の解を得る．
8. エキゾチック・オプション
73
• H ≥ K の場合には，
D = {mT ≥ log H − log S0 }
(8.35)
になる．なぜならば，満期までの間にノックアウトがなければ，満期では常
に ITM の状態になるためである．任意の y < 0 について，以下が成り立つ
ことが知られている．
(
)
)
(
2y + λT
−y + λT
2λyσ −2
Q
√
√
−e
Φ
(8.36)
P {mT ≥ y} = Φ
σ T
σ T
ここでも同様に，P S {mT ≥ y} については，単に λ を λS に置き換えればよ
い．これらを用いて，(8.33) から，テキスト p580 の解を得る．
• ノックイン・オプションの一つである down-and-in のコールオプションの場
合には，満期でのペイオフ CTdi について，
CTdi = (ST − K)+ 1{min0≤t≤T St ≤H} = (ST − K)+ − CTdo
(8.37)
になる．プレーンコールと down-and-out コールの組み合わせになることか
ら，価値を計算することができる．
ルックバック・オプション
• ルックバックも経路依存型で，コールとプットのペイオフはそれぞれ以下で
定まる．
CT = ST − min Su ,
u∈[0,T ]
PT = max Su − ST
u∈[0,T ]
(8.38)
このオプションは常に行使される．以下ではプットの場合を考える．
• 契約スタート後の満期までの間の任意の時点 t でみるために，以下のように
書く．
)
(
( ∗
)
, St eMt,T − ST
(8.39)
PT = max max Su , max Su − ST = max S0,t
u∈[0,t]
ただし，
∗
S0,t
:= max Su ,
u∈[0,t]
u∈[t,T ]
(
(
))
Mt,T := max λ(u − t) + σ ZuQ − ZtQ
u∈[t,T ]
とした．時点 t における価格は以下になる．
[
(
)]
Q
−r(T −t)
Pt = Et e
max Su − ST
u∈[0,T ]
)]
[
( ∗
, St eMt,T − St e−q(T −t)
= e−r(T −t) EtQ max S0,t
(8.40)
(8.41)
8. エキゾチック・オプション
74
• 任意の y > 0 について，以下が成り立つことが知られている．
(
)
(
)
y − λ(T − t)
−y − λ(T − t)
Q
2λσ −2 y
√
√
Pt (Mt,T ≤ y) = Φ
−e
Φ
=: G(y)
σ T −t
σ T −t
(8.42)
(8.41) の右辺第 1 項を解くために，この公式を用いて，
[
( ∗
)]
EtQ max S0,t
, St eMt,T
]
[
[
]
Q
Q
∗
Mt,T
= Et S0,t 1{S ∗ ≥St eMt,T } + Et St e
1{S ∗ <St eMt,T }
0,t
0,t
∫ ∞
∗
∗
= G(log S0,t
− log St )S0,t
+ St
ey G′ (y) dy
(8.43)
∗ −log S
log S0,t
t
∗
∗
になる．2 行目では，St eMt,T > S0,t
⇐⇒ Mt,T > log S0,t
− log St であるこ
とを利用した．これを (8.41) に代入して整理すると，テキスト p583 の解を
得る．
アジアン・オプション
• アジアン・オプションでは，オプション期間中の原資産価格の平均値にペイ
オフが依存する．通貨やコモディティのオプション市場ではメジャーで，あ
る期間の平均的な為替エクスポージャーをヘッジしたい場合や，原資産市場
にあまり厚みがなく，一時的な荒っぽい価格変動の影響を抑えたい場合に利
用される．
• 0 ≤ T0 ≤ T として，T0 から T までの過程 S の平均値を A(T0 , T ) とおく．満
期 T におけるアジアン・コール・オプションのペイオフは
CT = (A(T0 , T ) − K)+
(8.44)
である．
• A(T0 , T ) は通常，算術平均で与えられる．連続時間の算術平均は
∫ T
1
Su du
A(T0 , T ) =
T − T0 T0
(8.45)
であり，離散時間の算術平均は
1∑
A(T0 , T ) =
ST
n i=0 i
n−1
(8.46)
8. エキゾチック・オプション
75
である．ただし，Ti = T0 + i(T − T0 )/n とした．Su は対数正規分布に従う
が，A(T0 , T ) はそうではない．つまり対数正規確率変数の和は対数正規分布
ではないことから1 ，アジアン・オプションの評価は容易ではない．
• 最も単純な評価方法は，A(T0 , T ) の分布を対数正規分布で近似する方法であ
る．A(T0 , T ) の任意の次数のモーメントは厳密に分かっているので，1 次と
2 次のモーメントを計算して，対数正規分布を仮定し，BS 式を用いて近似的
に評価することができる．
• この他に，フーリエ変換による解析的な方法が知られている．
交換オプション
• それぞれの価格が S 1 と S 2 である二つの資産を考える．ともに (8.1) のタイ
プの幾何ブラウン運動に従うものとする．
dSt1 = (r − q1 )St1 dt + σ1 St1 dZtQ
dS 2 = (r − q2 )S 2 dt + σ2 S 2 dZetQ
t
t
(8.47)
t
etQ dZtQ = ρ dt である．
ここで，dZ
• ある資産を他の資産に交換するオプションとして，交換オプションのペイオ
フは以下で与えられる．
(
)
CT = max ST1 − ST2 , 0
(8.48)
– 二つの資産のうち，オプション保有者が高いほうを選べるというオプ
ションは，ペイオフが以下のようになるため，交換オプションを用いて
評価することができる．
(
)
(
)
max ST1 , ST2 = max ST1 − ST2 , 0 + ST2
(8.49)
• 価格は以下になる．
C0 = e−rT E Q
[(
ST1 − ST2
)+ ]
[
]
= e−q2 T S02 E S (YT − 1)+
(8.50)
ただし，YT = ST1 /ST2 とおいた．S は資産 2 の配当込み価格過程 eq2 t St2 を
ニューメレールにする同値マルチンゲール測度である．
(
)1/n
∫T
1
仮に，幾何平均 A(T0 , T ) = Πn−1
（あるいは，A(T0 , T ) = T −T
log Su du）の場
i=0 STi
T0
0
合には，A(T0 , T ) は対数正規分布に従う．つまり対数正規確率変数の積は対数正規分布に従う．
1
8. エキゾチック・オプション
76
• 伊藤の補題により，
)
dYt (
= q2 − q1 − σ1 σ2 ρ + σ22 dt − σ1 dZtQ + σ2 ZetQ
Yt
(8.51)
bQ を用いて，確率積分の二つの項を一つにま
になる．新たなブラウン運動 Z
とめると，以下を得る．
√
(
)
2
dYt = q2 − q1 − σ1 σ2 ρ + σ2 Yt dt + σ12 + σ22 − 2σ1 σ2 ρYt dZbtQ
(8.52)
eq1 t S 1
• S のもとでは， eq2 t St2 = e(q1 −q2 )t Yt もマルチンゲールなので，
t
dYt = (q2 − q1 ) Yt dt +
√
σ12 + σ22 − 2σ1 σ2 ρYt dZbtS
(8.53)
となる．これと (8.50) から，BS 式を用いて，テキスト p587 (25.5) 式の解を
得る．
8.2
静的ヘッジ
• 通常のヘッジでは，ヘッジポートフォリオを動的に見直す必要がある．エキ
ゾチックではヘッジがより難しい場合もある．例えば，バリアオプションで
は，バリア付近でデルタが不連続になり，コストを考慮すると，ヘッジは困
難かもしれない．
– Business Snapshot 24.1 (p563)
• 一方で，静的ヘッジでは，動的なリバランスを行わずに，静的なポジション
により，近似的にヘッジする．
• 将来起こりうるすべての状態で，対象となるデリバティブを複製するプレー
ンなオプションからなる静的なポートフォリオを見つければよい．境界条件
のペイオフを複製できれば，これは満たされる．実際には，離散時間で近似
して，近似的な静的複製ポートフォリオを見つける．
• 具体例：§25.16 (p591)
8. エキゾチック・オプション
8.3
77
クオント（クロスカレンシー・デリバティブ）
• クオントとは，原資産が取引されている通貨とは異なる通貨で決済されるデ
リバティブである．
– 例えば，日経平均株価指数は円ベースであるが，CME に上場されてい
るその先物では，円建てのほかに，米ドル建てで決済されるものもあ
る．
（Business Snapshot 5.3, p113）
• 外貨建てで取引されている原資産の価格過程を V とおく．ある関数 g を用い
て，満期 T におけるクオントのペイオフを g(VT ) とする．時点ゼロにおける
クオントの価値 P0 は，通常通り，
P0 = E Q [D(T )g(VT )]
(8.54)
( ∫
)
t
である．ただし，短期金利過程 r を用いて，D(t) := exp − 0 rs ds とお
いた．
• 次に，原資産の価格過程 V について，連続で配当はないものとすれば，
dVt = µvt Vt dt + σtv Vt dZtQ
(8.55)
と書ける．このとき，いつも通り，µvt = rt として問題ないであろうか？あ
るいは，外貨建ての短期金利 rtf を用いて，µvt = rtf であろうか？
• V が自国通貨建ての価格であれば，D(t)Vt は Q マルチンゲールであるが，V
が外国通貨建てなので，そうではない．為替レート（外国通貨 1 単位の自国
通貨での価値）を X とすると，D(t)Xt Vt が Q マルチンゲールになるはずで
ある．
• 外国通貨は，保有すると連続的に配当 rtf Xt dt を得る証券としてみなすこと
ができる．rf は外貨建ての短期金利過程である．したがって，X が連続な
らば
(8.56)
dXt = (rt − rtf )Xt dt + σtx Xt dZbtQ
btQ = ρt dt で，ρt は V と X の変化
として表すことができる．ただし，dZtQ dZ
率の瞬間的な相関を表す．
• D(t)Xt Vt =: F (t, V, X) とおくと，伊藤の補題から，
)
(
dF = −rt F + µvt F + (rt − rtf )F + σtv σtx ρt F dt
8. エキゾチック・オプション
78
+ σtv F dZtQ + σtx F ZbtQ (8.57)
である．D(t)Xt Vt は Q マルチンゲールなので，
µvt = rtf − σtv σtx ρt
となる．したがって，
dVt =
(
rtf
−
σtv σtx ρt
)
Vt dt + σtv Vt dZtQ
(8.58)
(8.59)
とおいて，(8.54) を評価することになる．
• 外貨建ての世界におけるリスク中立測度のもとでの
V のドリフトは rtf Vt で
(
)
あるが，自国通貨建ての世界では rtf − σtv σtx ρt Vt となることに注意する．
8.4
コンベクシティ調整
• 時点 T における固定利付債の YTM（最終利回り）を YT とすると，満期を
tn とするこの固定利付債の価格は，YT の関数として
G(YT ) =
n
∑
e−YT ti Ii
(8.60)
i=1
である．ただし，Ii は ti > T における i 番目の固定キャッシュフローを表す．
時点ゼロからみると YT は確率変数で，時点 T で確定する．
• さらに，この固定利付債の時点ゼロにおけるフォワード価格（フォワード契
約の満期は T とする）もまた，フォワード YTM f0 (T ) を用いて，G(f0 (T ))
である．当然ながら fT (T ) = YT である．
• 時点 T におけるペイオフが YT に依存するデリバティブがある（e.g. 変動利
付国債（CMT）や CMS はこれに類似する）．例えば，時点 T におけるペイ
オフが YT そのものであるデリバティブの価値 P は，フォワード測度 T を用
いて，
P0 = E Q [D(T )YT ] = B0 (T )E T [YT ]
(8.61)
になる2 ．しかし，ft (T ) は T マルチンゲールではないので，E T [YT ] = f0 (T )
とはならない．つまり，f0 (T ) は，将来の YT に関する T のもとでの期待値で
はない．一方で，固定利付債のフォワード価格は T マルチンゲールである．
E T [YT ] ̸= f0 (T )
2
(8.62)
B0 (T ) は，満期を T とする割引債の時点ゼロにおける価格を表す．つまり，B0 (T ) = E Q [D(T )]
である．
8. エキゾチック・オプション
79
E T [G(YT )] = G(f0 (T ))
(8.63)
– (8.63) が成立するため，もし関数 G が線形ならば，(8.62) は等号になる
であろう．実際には G は凸関数なので，等号にはならない．これを図
示したのが，Fig 29.1 (p660)．
• (8.63) を利用して（つまり G(ft (T )) が T マルチンゲールであることを利用
して），E T [YT ] を評価することを考える．このために，固定された T につい
て，ft (T ) が T のもとで，以下の幾何ブラウン運動に従うものとする（実際
には α は定数ではありえないが，後述のように定数として近似する）．
∴
∴
dft (T ) = αft (T ) dt + σy ft (T ) dZtT
((
)
)
σy2
T
fT (T ) = YT = f0 (T ) exp
α−
T + σy ZT
2
(8.64)
E T [YT ] = f0 (T )eαT ≈ f0 (T )(1 + αT )
(8.66)
(8.65)
G(ft (T )) は T マルチンゲールなので，伊藤の補題から，
1 ′′
G′ (ft (T ))αft (T ) + G (ft (T ))σy2 ft2 (T ) = 0
2
′′
1 G (ft (T )) 2
∴ α=−
σ ft (T )
2 G′ (ft (T )) y
(8.67)
になる．α が定数であることを仮定して，
′′
1 G (f0 (T )) 2
α≈−
σ f0 (T )
2 G′ (f0 (T )) y
とおくと，
(8.68)
′′
1 G (f0 (T )) 2 2
E [YT ] ≈ f0 (T ) −
σ f (T )T
2 G′ (f0 (T )) y 0
T
(8.69)
となり，E T [YT ] の近似を得ることができる．右辺第 2 項は凸関数であること
から生じる調整項で，これをコンベクシティ調整という．
– G′ < 0 かつ G′′ > 0 であることから，コンベクシティ調整は正になる．
– 例：Example 29.2 (p.671)
8.5
タイミング調整
• XT によって定まるデリバティブのペイオフが，時点 T ではなく，タイムラ
グを持って T1 > T で支払われる場合がある
8. エキゾチック・オプション
80
– 実は，前節の例である変動利付国債や CMS もそうである．コンベク
シティ調整により得た E T [YT ] に，さらにタイミング調整を行う必要が
ある．
• この場合には，
E Q [D(T )XT ] = B0 (T )E T [XT ]
(8.70)
P0 = E Q [D(T1 )XT ] = B0 (T1 )E T1 [XT ]
(8.71)
の代わりに，
になる．したがって，E T [XT ] ではなく，E T1 [XT ] の値が必要になる．両者
の間には以下の関係が成り立つ．
[
]
B0 (T ) T D(T1 )
T1
E [XT ] =
E
XT
(8.72)
B0 (T1 )
D(T )
計算のために，X が幾何ブラウン運動に従うものとする．
dXt = αXt dt + σx Xt dZtT
(8.73)
• Bt (T ) をニューメレールとする T から，Bt (T1 ) をニューメレールとする T1
に変換すると，測度変換後の X のドリフトは，Bt (T1 )/Bt (T ) との共分散の
分だけ変わる．
（6 章参照）
• ∆ := T1 − T とし，T から T1 までをカバーする単利ベースのフォワードレー
ト（フォワード LIBOR）を Lft (T1 ) とおく．定義から
Bt (T1 )
1
=
f
Bt (T )
1 + Lt (T1 )∆
(8.74)
である．ここで，Lft (T1 ) が以下の幾何ブラウン運動に従うものとする．
dLft (T1 ) = (. . . ) dt + σl Lft (T1 ) dZbtT1
btT1 = ρlx dt である．伊藤の補題から，
ただし，dZtT dZ
(
)
Bt (T1 )
σl Lft (T1 )∆ Bt (T1 ) bT1
dZt
d
= (. . . ) dt −
Bt (T )
1 + Lft (T1 )∆ Bt (T )
(8.75)
(8.76)
を得る．したがって，(6.32) を用いて，(8.73) の測度を変換すると，
(
)
ρlx σx σl Lft (T1 )∆
dXt = α −
Xt dt + σx Xt dZtT1
(8.77)
f
1 + Lt (T1 )∆
になる．
8. エキゾチック・オプション
81
• ここで，先ほどと同様に，ドリフト項を定数で近似する．すなわち，
ρlx σx σl Lft (T1 )∆
1 + Lft (T1 )∆
≈
ρlx σx σl Lf0 (T1 )∆
(8.78)
1 + Lf0 (T1 )∆
とおくと，
((
XT ≈ X0 exp
σx2 ρlx σx σl Lf0 (T1 )∆
α−
−
2
1 + Lf0 (T1 )∆
)
)
T+
σx ZTT1
(8.79)
したがって，
(
E T1 [XT ] ≈ X0 eαT exp −
ρlx σx σl Lf0 (T1 )∆
(
= E T [XT ] exp −
1 + Lf0 (T1 )∆
)
T
ρlx σx σl Lf0 (T1 )∆
1 + Lf0 (T1 )∆
)
T
になる．上式 2 行目の指数部分をタイミング調整という．
• Example 29.3 (p673)
(8.80)
82
第9章
9.1
ボラティリティ・スマイル
インプライド・ボラティリティ
• BS 式のパラメータのうち，ボラティリティだけが直接観測することができ
ない．
• オプションの価格に合うような BS 式のボラティリティをインプライド・ボ
ラティリティ（IV）という．
– IV を陽に表現することはできないので，数値計算から得る．
– トレーダーは，価格そのものよりも IV の値によりオプションの価格を
把握する傾向がある．
– ヒストリカルデータから推定されたボラティリティは，ヒストリカル・
ボラティリティ（HV）と呼ばれ，IV と区別される．
• BS の仮定とは異なり，実際には，ボラティリティは一定ではないため（図
9.2 参照），デリバティブの評価には，HV よりも IV が好まれる．
• しかし，原資産が同一であっても，満期や行使価格ごとに IV の値は異なる．
– ボラティリティ・スキュー，ボラティリティ・スマイル，ボラティリティ・
スマーク
– このこと自体が BS 式が現実を表現できていないことを意味する．モデ
ルを拡張する必要がある．
IV の形状
• 通貨オプション：スマイル（Figure 19.1，p411）
– OTM や ITM のコールの価格は，ATM の IV で評価した場合のコール
の価格よりも高い．これは，BS 式が仮定する対数正規分布よりも，よ
り裾野が厚い（ファットテールな）分布であることを市場が織り込んで
いることを意味する．
（Figure 19.2, p412）
9. ボラティリティ・スマイル
83
– ヒストリカルデータを用いた実証分析でも，為替レートの対数変化率
は，正規分布よりもファットテールであることが知られている．(Table
19.1, p412)
• 株式オプション：スキュー（Figure 19.3，p414）
– OTM の実際のコールの価格は，ATM や ITM の IV で評価した場合の価
格よりも高い．BS 式が仮定する対数正規分布よりも，左裾が厚く，右裾
が薄い分布であることを市場が織り込んでいることを意味する．
（Figure
19.4, p415）
– レバレッジ効果，Crashophobia（暴落恐怖症） – p416
ボラティリティ・サーフェス
• Table 19.2 (p417) は，満期（残存期間）と行使価格（ただし K/S0 として原
資産価格で基準化されている）ごとに，BS 式の IV を表にしたものである．
（通貨オプションで見られるような形状）
• 観測されるプレーンバニラのオプションでは，離散的な行使価格や年限のオ
プションの価格しか入手できない．特に，deep ITM や deep OTM，長い満
期のものは市場価格の入手は難しい，サーフェスの計算には補間や捕外が必
要になる．これはいくぶんアートな作業である．
• 原資産価格が変化する際に IV も変化するため，以下のように BS 式のデル
タを修正して利用されることがある．
∂CBS ∂CBS ∂σIV
+
∂S
∂σIV ∂S
9.2
(9.1)
IV がインプライする原資産の確率分布
• IV からフォワード測度のもとでの原資産の確率分布を抽出することができる．
– 金利が確定的あるいは原資産価格過程 S と独立であれば，フォワード
測度はリスク中立測度と同じであることに注意．
9. ボラティリティ・スマイル
84
図 9.1: ボラティリティ・サーフェス
㪋㪇㩼
㪋㪇㩼
㪊㪏㩼
㪊㪏㩼
㪊㪍㩼
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㪉㪏㩼
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㪉㪍㩼
㪉㪍㩼
㪉㪉㩼
㪌㪤
㪊㪤
㪏㪇
㪏㪌
㪐㪇
㪐㪌
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㪉㪇㩼
㪎㪤
㪐㪤
㪈㪈㪤
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㪋㪏㪤
㪉㪋㩼
㪉㪋㩼
㪉㪉㩼
㪉㪇㩼
㪏㪇
㪏㪌
㪐㪇
㪐㪌
㪈㪇㪇
㪈㪇㪌
㪈㪈㪇
㪈㪈㪌
㪈㪉㪇
（注）日経 225 オプションのもの．2009 年 8 月 12 日時点．
• フォワード測度のもとでの ST の密度関数を g(ST ) とおくと，行使価格 K の
コールの価格は
[ ∫T
]
[
]
Ct (K) = EtQ e t −rs ds (ST − K)+ = Bt (T )EtT (ST − K)+
∫ ∞
(9.2)
= Bt (T )
(ST − K)g(ST ) dST
K
となる．Bt (T ) は，満期を T とする割引債の時点 t における価格を表す．こ
れを行使価格 K で 2 回微分すると1 ，
∂2
Ct (K) = Bt (T )g(K)
∂K 2
∴ g(K) =
∂2
1
Ct (K)
Bt (T ) ∂K 2
(9.4)
となり，もし任意の行使価格に対するオプション価格がマーケットで入手可
能ならば，マーケットがインプライする原資産の確率分布が分かる2 ．
• Example 19A.1 (p425)
1
2
微分の公式
(∫
) (
)
∫ b(t)
b(t)
d
∂
′
′
f (t, s) ds = b (t)f (t, b(t)) − c (t)f (t, c(t)) +
f (t, s) ds
dt
c(t)
c(t) ∂t
プットについても同様に成り立ち，g(K) =
1
∂2
Bt (T ) ∂K 2 Pt (K)
になる．
(9.3)
9. ボラティリティ・スマイル
85
BS 以外のモデル
9.3
9.3.1
基本モデル
• まず，BS モデルは以下であった．
dSt = (r − q)St dt +
√
V St dZtQ
(9.5)
q は配当率を表す．V は分散で測ったボラティリティで，BS モデルでは定数
である．以下では短期金利 r を定数として扱うが，これを拡張することもで
きる．
ジャンプ拡散モデル（Merton）
• BS の仮定では，資産価格は連続的であるが，実際には突然にジャンプする
こともある．ジャンプ拡散モデルでは
dSt = (r − q − λµ)St dt +
√
(
)
V St dZtQ + eJt − 1 St dNt
(9.6)
とする．N は強度（生起率）λ のポアソン過程3 を表す．N と ZtQ は独立であ
る．N のジャンプ時刻 τ に S はジャンプし，Sτ = Sτ − eJτ になる．ジャンプ
のサイズ Jτ も確率的で，他とは独立な正規分布に従う．
(
)
Jτ ∼ N µy , σy2
(9.8)
(
)
2
平均ジャンプ率は λ eµy +σy /2 − 1 なので，リスク中立測度の定義から，(9.6)
2
のドリフト項において µ = eµy +σy /2 − 1 である．
• 正負いずれの方向にもジャンプしうるが，S の値は負にはならない．
• ジャンプ項のために，対数正規分布よりもファットテイルな分布を持ち，ス
マイルの形状と整合的である．
3
現象の生起間隔が互いに独立で，同一の指数分布をするならば，計数過程 N はポアソン過
程という．任意に固定した t について，Nt はポアソン分布に従う．
Pr(Nt = n) = e−λt
(λt)n
n!
λ は (0, t] の間における単位時間あたりの現象の生起率を意味する．
(9.7)
9. ボラティリティ・スマイル
86
確率ボラティリティ（SV）モデル（Heston）
• ボラティリティは一定ではなく，変動していることがよく知られている．SV
モデルでは
√
dSt = (r − q)St dt + Vt St dZtQ
√
(9.9)
dVt = κ(v − Vt ) dt + σv Vt dZetQ
e はともに標準ブラウン運動で，dZtQ dZetQ = ρ dt で
とする．ここで，Z と Z
ある．
• V は正の値をとる平均回帰過程に従う．
√
• ρ < 0 の場合，S が低下する際に，ボラティリティ V は上昇する傾向を持
つ．これは，IV のスキューと整合する．
SVJ モデル（Bates）
• 確率ボラティリティとジャンプの両方を持つモデル．
√
(
)
dSt = (r − q − λµ)St dt + Vt St dZtQ + eJt − 1 St dNt
√
dVt = κ(v − Vt ) dt + σv Vt dZetQ
(9.10)
その他の仮定は (9.6) や (9.9) と同様である．
• 実際のボラティリティ・サーフェスでは，残存期間が短いほどスキューの傾
きは大きい傾向がある．ジャンプがあるために，SV モデルと比べて残存期
間が短くてもスキューの大きな傾きを表現でき，実際の IV の形状とより整
合する．
オプション価格
• ジャンプ拡散モデルでは，ヨーロピアン・オプションの価格は BS 式の無限
和で与えられるが（p601），SV や SVJ では以下のように計算することがで
きる．
9. ボラティリティ・スマイル
87
• 行使価格を K ，満期を T とする，ヨーロピアン・コール・オプションの価格
C0 は，
[
]
C0 = E Q e−rT (ST − K)+
[
]
[
]
= e−rT E Q ST 1{ST ≥K} − e−rT KE Q 1{ST ≥K}
(9.11)
[
]
[
]
= S0 E S 1{ST ≥K} − e−rT KE Q 1{ST ≥K}
= S0 S[ST ≥ K] − e−rT KQ[ST ≥ K]
により与えられる，ただし，S は S をニューメレールとする同値マルチン
ゲール測度を表す．したがって，C0 を求めるには，S と Q のそれぞれの測
度のもとで ST ≥ K となる確率を計算すればよい．
• これには，フーリエ変換を利用すればよい．z ∈ R と虚数単位 i を用いて，
log ST のフーリエ変換（特性関数）ϕj (z) : R → C を考える．
[
]
ϕj (z) = E Qj eiz log ST ,
j = 1, 2
ただし，Qj , j = 1, 2 は，S と Q のそれぞれの確率測度に対応している．
• SV や SVJ はアフィンモデルのクラスに属するので4 ，ϕj (z) を以下の形式の
閉形式として得ることができる（付録参照）．
ϕj (z) = eA(T,z)+B(T,z)V0 +iz log S0 ,
j = 1, 2
(9.12)
A(T, z), B(T, z) は T と z の確定的な複素数値関数で，SV と SVJ の場合およ
び確率測度（S と Q）の違いによって，具体的な形式は異なる．ϕj (z) を用
いて，レヴィの反転公式により，ST ≥ K となる確率は以下で与えられる．
∫
]
1 1 ∞ 1 [ −iz log K
Qj [ST ≥ K] = +
Im e
ϕj (z) dz,
j = 1, 2
(9.13)
2 π 0 z
ただし Im[c] は複素数 c の虚部を表す．(5) の積分は，数値的に計算する．
より一般的なモデル
• 上記のモデルはすべてアフィンモデルと呼ばれるクラスに属する．アフィン
モデルは BS モデルの自然な拡張であり，解析的に取り扱いやすい．
• さらに近年では，分散ガンマ（variance-gamma）モデルなどのレヴィ過程モ
デルにも注目が集まっている．レヴィ過程は，ブラウン運動やポアソン過程
を一般化した確率過程で，数学的な表現力は高いが，一方で計算はより難
しい．
4
ジャンプ拡散モデルもアフィンモデルである．
9. ボラティリティ・スマイル
9.3.2
88
実務モデル
ローカルボラティリティ（LV）モデル（局所ボラティリティモデル）
• SV モデルの特別な場合として，ボラティリティを S と t の関数とする．
dSt
= (r − q) dt + σ(St , t) dZtQ
St
(9.14)
これは LV モデルと呼ばれる．
– さらに，定数 α > 0, β > −1 を用いて σ(St , t) = αS β としたものは，
CEV（constant elasticity of variance）モデルと呼ばれる．CEV モデル
では
dσ(St , t) St
=β
(9.15)
dSt σ(St , t)
• 行使価格を K ，満期日を T とするコールオプションの価格を C(K, T ) とす
る．LV モデルでは，任意の行使価格と満期日に対応するコールオプション
の価格を用いて，ボラティリティを以下のように表現する．
σ 2 (ST , T ) =
2 (CT (ST , T ) + (r − q)ST CK (ST , T ) + qC(ST , K))
ST2 CKK (ST , T )
(9.16)
ただし，C の添え字は偏微分を表す．
• S が (9.14) ではなく，単に連続な価格過程に従うものとする．つまり，ある
ボラティリティ過程 σ を用いて（σ にはパラメトリックな仮定を置かない），
dSt = (r − q)St dt + σt St dZtQ とする．このとき，(9.16) との間に，
[
]
σ 2 (K, T ) = E Q σT2 | ST = K
(9.17)
の関係が成り立つ．すなわち，ローカルボラティリティの二乗 σ 2 (K, T ) は，
ST = K の条件のもとでの株価の確率ボラティリティの二乗 σT2 の期待値を
意味している．
• 実務で，ローカルボラティリティの値は，標準的なオプション5 の価格から
求められる．LV モデルは，観測されるボラティリティ・サーフェスに完全に
フィッティングさせることができる．その後，(9.14) を用いて，例えばモン
テカルロ・シミュレーションにより，標準ものではないデリバティブのプラ
イシングを行う．
5
標準的なオプションは，モデルのカリブレーションに用いられるほかに，ヘッジ手段として利
用される．
9. ボラティリティ・スマイル
89
• LV モデルでは，S と t により σ(St , t) の値が定まり，ボラティリティ・サー
フェスが変動しないことが前提になっている．例えば，原資産価格が下落す
ると，スキュー（スマイル）形状全体が高い価格の方にシフトすることにな
る．これは実態には合わない．ボラティリティ・サーフェスの変動を表現す
ることができず，ヘッジが適切にならない可能性がある．
SABR (Stochastic-αβρ) モデル
• SV モデルの一つで，(9.9) の代わりに，
dFt = αt Ftβ dZtT
dαt = ναt dZeT ,
(9.18)
α0 = α
t
e の相関を ρ とする．ここで F は資産のフォワード価格を表
とおき，Z と Z
す．LV とは異なり，SABR ではボラティリティ・サーフェスが変動すること
を前提にしている．
– CEV モデルの自然な拡張とみなすことができる．
• F を原資産とするコールオプションについて，IV を近似的に表現すること
ができる．満期が T で行使価格が K のフォワードオプションのブラックモ
デルによる IV を σ̂(K, T ) とおく．このとき，近似的に以下が成り立つ．
σ̂(K, T ) =
1−β
2
[
α
(1−β)2
(1−β)2
]·
z
χ(z)
(F0 K)
1 + 24 log2 F0 /K + 1920 log4 F0 /K + · · ·
[
(
)
]
(1 − β)2 α2
ρβασ
(2 − 3ρ2 )ν 2
× 1+
+
+
T + ···
(9.19)
24(F0 K)1−β 4(F0 K)(1−β)/2
24
ただし，
ν
(F0 K)(1−β)/2 log(F0 /K)
α [
]
√
1 − 2ρz + z 2 + z − ρ
χ(z) = log
1−ρ
z=
• F0 = K の ATM オプションや，β = 0, 1 の場合には，σ̂(K, T ) を厳密に表す
ことができる．
• 実務では，時点 T ごとにモデルをフィッティングさせることが多い．
9. ボラティリティ・スマイル
9.4
90
バリアンス・スワップ
• ボラティリティを原資産とするデリバティブは，取引所と OTC の双方で取
引されている．
• 中でもボラティリティ・スワップは，あらかじめ定められた水準（ストライ
ク）と，満期までの実現ボラティリティの差を決済する契約である．ただし，
ボラティリティは，標準偏差ではなく，分散で測られることが多い．これは，
分散のほうが扱いやすく，プットとコールのオプションからなるポートフォ
リオでペイオフを複製できることによる．この場合には，バリアンス・スワッ
プと呼ばれる．
• バリアンス・スワップの満期を T ，時点を 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T とお
く．株価 S に関する実現バリアンス VT2 は以下で定義される6 ．
VT2
(
)]2
n [
Si
252 ∑
=
log
n − 1 i=1
Si−1
(9.20)
ストライクを V̄ とすると，満期 T におけるバリアンス・スワップの買い手
からみた受け取りは，
( 2
)
VT − V̄ 2 × 想定元本
(9.21)
になる7 ．
• 契約時点においてキャッシュフローはないので，ストライク V̄ は，契約時点
での価値がゼロになるように定められる．したがって，
[ ∫T
( 2
)]
Q
−rs ds
2
0
0=E e
VT − V̄
(9.22)
[
]
2
T
2
∴ V̄ = E VT
となる．ここで，T はフォワード測度を表す．バリアンス・スワップのスト
ライク V̄ 2 は，実現バリアンスの期待値である．
• 原資産価格 S は連続とし，以下のように表す．
dSt = (rt − qt )St dt + σt St dZtQ
6
(9.23)
実際には，配当落ちを考慮することもある．
( )
実務では，N （vega notional と呼ばれる）を先に決めて，N/ 2V̄ により想定元本を定める
慣習がある．
7
9. ボラティリティ・スマイル
91
σ はボラティリティ過程を表す．VT2 を連続時間における実現バリアンスで近
似すると，
∫
1 T 2
2
VT =
σ dt
(9.24)
T 0 t
になるので，
[ ]
1
V̄ = E VT2 = E T
T
T
2
[∫
]
T
σt2
dt
(9.25)
0
である．満期 T の S のフォワード価格を F とすると，F は T マルチンゲー
ルなので，
dFt = σt Ft dZtT
(9.26)
となる．伊藤の補題から
∫
log FT = log F0 +
0
T
dFt 1
−
Ft
2
∫
T
σt2 dt
(9.27)
0
が成り立つ．したがって，
∫
2
FT
2 T dFt
= − log
+
T
F0
T 0 Ft
[
]
2 T
FT
2
∴ V̄ = − E log
T
F0
VT2
(9.28)
(9.29)
• ここで，以下の結果を記載しておく8 ．資産価格過程 S に関して時点 T で定
まるペイオフが 2 階微分可能な関数 f (ST ) により定まる場合，任意の定数
κ > 0 について，以下のように表現できる．
f (ST ) = f (κ) + f ′ (κ) (ST − κ)
∫ κ
∫
′′
+
+
f (K)(K − ST ) dK +
0
∞
f ′′ (K)(ST − K)+ dK
(9.30)
κ
κ にフォワード価格 F0 を用いて，f (x) = log x とおくと，ST = FT および
f ′′ (K) = −1/K 2 に注意して
1
FT
=
(FT − F0 ) −
log
F0
F0
8
∫
F0
0
1
(K − ST )+ dK −
K2
∫
∞
F0
1
(ST − K)+ dK
K2
(9.31)
例えば，Carr and Chou,“Breaking Barriers,” Risk, September 1997, pp.139-145 を参照．
9. ボラティリティ・スマイル
92
• これを (9.28) に代入して，
VT2
2
=
T
)
1
1
−
dFt
Ft F0
0
( ∫ F0
)
∫ ∞
2
1
1
+
+
+
(K − ST ) dK +
(ST − K) dK
(9.32)
2
T
K2
0
F0 K
∫
T
(
を得る．これは，VT2 をフォーワード契約の動的なポジションとオプション
の静的なポジションで複製できることを意味している．さらに，特定のモデ
ルを仮定せずに，オプション価格を用いて実現バリアンスの期待値を表現す
ることができる．
(∫ F0
)
∫ ∞
[ 2]
C(K)
2 1
P (K)
2
T
dK +
dK
V̄ = E VT =
(9.33)
T B0 (T )
K2
K2
F0
0
• オプションの価格から，V̄ 2 の値を計算できる．実際には，連続的な行使価
格に対するオプション価格を観測することはできないので，離散の行使価格
に対するオプション価格を用いて，積分を離散近似することになる．
• モデルに依存しないことから，平方根をとった V̄ はモデル・フリー・インプ
ライド・ボラティリティ（MFIV）と呼ばれる．CBOE が公表している，S&P
500 の MFIV であるボラティリティインデックス VIX は有名である．これ
は満期が 30 日として計算されている．S&P 500 と負の相関を持つことから，
恐怖の指数と呼ばれている．VIX に関する先物やオプションが CBOE に上
場されている．
• VIX は HV よりも高いことが多い．つまり，平均的にみて（実測度のもと
で），バリアンス・スワップのペイオフ (9.21) は正である．これは，ボラティ
リティ変動のリスクプレミアムを表している．
9. ボラティリティ・スマイル
93
図 9.2: S&P 500 のボラティリティの推移
(%)
Ꮕ㧔CD㧕
S&P500 ታ⃻ࡏ࡜࠹ࠖ࡝࠹ࠖD
S&P500 ࠗࡦࡊ࡜ࠗ࠼ࡏ࡜࠹ࠖ࡝࠹ࠖC
70
50
30
10
-10
-30
2009/2
2008/2
2007/2
2006/2
2005/2
2004/2
2003/2
2002/2
2001/2
2000/2
1999/2
1998/2
1997/2
1996/2
1995/2
1994/2
1993/2
1992/2
1991/2
1990/2
-50
（注）オプションの満期日（第 3 金曜日）における値．インプライドボラティリティ
は VIX の指数値，実現ボラティリティは各時点から将来 1ヶ月間に実現したボラティ
リティを表す．
94
第 10 章 数値計算法
• 価格に関する解析解がない場合，数値計算によって評価することになる．
• 数値計算の方法には大別して以下の三種類がある．
1. ツリー（格子）
2. モンテカルロ・シミュレーション
3. 有限差分法（FDM, finite difference method）
10.1
二項ツリー
• ここでは簡便化のために，株価 S が BS モデルの幾何ブラウン運動にしたがっ
ているものとする
(
)
σ2
d log St = r −
dt + σ dZtQ
(10.1)
2
これを二項ツリーにより近似する．
• 期間を十分に細かく分割し，1 期間の長さを ∆t とする．金利を r，株価のグ
ロスの上昇率を U ，下落率を D，リスク中立での上昇確率を q とする．
1 S0 U 2
(2, 2)
S0 U
1PP
(1, 1) PPP
PP
S0 PP
q
PP
1 S0 U D
(0, 0) PP
(2, 1)
PP S D
PP0 qP
P
P
(1, 0) PPP
PP
PP
q S0 D 2
(2, 0)
10. 数値計算法
95
q, U, D の決め方
• 連続複利ベースの収益率を u = log U と d = log D とおき，s = log S とする．
• 原資産価格の期待値とボラティリティに関する制約を満たすように q, U, D を
定める．
– 制約は 2 つで，未知数は 3 個なので，決め方は一通りではない．
– まず一つ目の制約として，1 期間後の収益率の期待値は，(r − σ 2 /2)∆t
に等しい．
(
)
σ2
Q
∆t
(10.2)
E [∆s] = qu + (1 − q)d = r −
2
次に二つ目の制約として，ボラティリティ（分散）は σ 2 ∆t に等しい．
(
)2
[
] ( Q
)2
σ2
2
2
2
E (∆s) − E [∆s] = qu + (1 − q)d − r −
(∆t)2
2
Q
= σ 2 ∆t
(10.3)
– 三つ目の制約のために，一つの方法として，上昇率と下落率の大きさを
等しくする．すなわち d = −u とおくと，以下を得る．
√
u = σ 2 ∆t + (r − σ 2 /2)2 (∆t)2
d = −u
1 1 (r − σ /2)∆t
+
2 2
u
(10.4)
2
q=
他の方法として，d = −u の代わりに，q = 1/2 とする方法もある．
√
– 近似的に (∆t)2 = 0 とすると，(10.4) は，u = σ ∆t になる．ただし，
∆t が大きいほど誤差がより拡大する．
• ノード (i, j) の株価 Si,j は，
Si,j = S0 U i Di−j = exp(s0 + ju + (i − j)d)
(10.5)
により与えられる．(10.1) の株価の発展をノード (i, j) の集合で近似する．
10. 数値計算法
96
オプションの評価
• 満期から出発して，バックワードに計算する．
• 例として，行使価格 K ，満期 T （i = N ）のヨーロピアン・プット・オプショ
ンを考える．
1. まず，満期におけるノード (N, j), j = 0, . . . , N の株価 SN,j は (10.5) か
ら得られる．これを用いて，満期におけるプットの価格 PN,j は
PN,j = (K − SN,j )+ ,
j = 0, . . . , N
(10.6)
2. 1 時点前のノード (N − 1, j), j = 1, N − 1 のプットの価格は，リスク中
立測度のもとでの割引価値の期待値なので，
PN −1,j = e−r∆t (qPN,j+1 + (1 − q)PN,j ) ,
j = 0, . . . , N − 1 (10.7)
3. 時点ゼロ（ノード (0, 0)）までバックワード（後ろ向き）に繰り返す．
Pi,j = e−r∆t (qPi+1,j+1 + (1 − q)Pi+1,j ) ,
j = 0, . . . , i
(10.8)
• アメリカン・プット・オプションの場合には，早期行使が可能であることか
ら，オプションの価値は
[
]
Pi,j = max (K − Si,j )+ , e−r∆t (qPi+1,j+1 + (1 − q)Pi+1,j ) ,
j = 0, . . . , i
(10.9)
になる．このことから，各ノードで行使価値と継続価値のうち高い方を選択
して，ツリーを戻る計算を行えばよい．
– Figure 30.3 (p431) 参照
– ∆t を小さくするほど，正確な解を得る．Figure 20.4 (p433) 参照
• センシティビティの数値計算
– デルタ
∆=
∂P
∆P
P1,1 − P1,0
≈
=
∂S
∆S
S1,1 − S1,0
– ガンマ
∂ 2P
Γ=
≈
∂S 2
P2,2 −P2,1
2,1 −P2,0
− PS2,1
S2,2 −S2,1
−S2,0
1
(S2,2 − S2,0 )
2
(10.10)
(10.11)
10. 数値計算法
97
– ベガ ∂P
やロー ∂P
はボラティリティσ や金利 r を微小変化させ，オプ
∂σ
∂r
ション価格を再計算して得る．例えばベガは
∂P
P (σ + ∆σ) − P (σ − ∆σ)
≈
∂σ
2∆σ
(10.12)
– 実際には，上記のデルタは 1 期先，ガンマは 2 期先のものになっている．
厳密に計算するためには，2 期前からツリーを構築して計算すればよい．
配当がある場合の評価
• 原資産が δ の割合で連続的に配当を支払う場合には，S は以下に従う．
dSt = (r − δ)S dt + σS dZtQ
(10.13)
したがって，配当がない場合での r を r − δ に単に置き換えて扱えばよい．実
務的に以下のケースがこれに該当する．
– 指数（インデックス）を原資産とする場合．
– 通貨オプションの場合．δ は外国金利を表す．
– 先物オプションの場合．先物契約が原資産である場合，先物価格は Q マ
ルチンゲールなので，r − δ = 0 となる．
– 原資産のレンディングコストを考慮する場合や，コモディティオプショ
ンでコンビニエンスイールドを考慮する場合には，これらを δ で表す．
• まとめ払いの配当でも，配当率が一定な場合（状態によらない場合）には容
易である．配当率を δ とすると，配当落ち日前の価格（配当込みの価格）は
Si,j = S0 U i Di−j で，配当落ち日以後の株価は
Si,j = S0 (1 − δ)U i Di−j
(10.14)
になる．これを用いて，各ノードにおける原資産価格を計算すればよい．
– Figure 20.7 (p438)
• 原資産の配当額が定額の場合には，配当落ち後のノードで，ツリーが結合し
なくなってしまうので計算数が増加してしまう（Figure 20.8 (p439)）．この
場合には，株価から将来受け取る配当の現在価値を控除した修正株価を用い
ればよい．
10. 数値計算法
98
– 配当落ち日を時点 τ ，配当額を δ として，
S̃t = St ,
S̃t = St − δe
−r(τ −t)
,
t>τ
(10.15)
t≤τ
(10.16)
により定めた S̃t を用いて，ツリーを構築する．これによりツリーは再
結合する．
金利やボラティリティが時間に依存する場合
• 実務では，(10.1) ではなく，原資産の金利 r(t) やボラティリティσ(t) が確定
的ではあるものの時間に依存する場合を考慮することが求められることが多
い．(10.4) から，異なるタイムステップで u, d, q も異なるものになるため，ツ
リーが再結合しない．
• この場合には，u, d = −u の値を固定して，時間間隔 ∆t と q を変化させれ
ば，ツリーが再結合する．
• あるいは，後述の 3 項ツリーや差分法を用いれば容易である．
10.2
3 項ツリー
• 3 項ツリーは 2 項ツリーよりも精度が高く，実務では 3 項ツリーの方が好ま
れている．
• 以下の 3 項ツリーにより，(10.1) に従う資産価格を近似することを考える．
ただし，s = log S ，u = log U ，d = −u とおいた．
s0
1 s0 + u
qu qm
- s0
P
PP
PP
qdPPPP
q s0 − u
qu , qm , qd はそれぞれのリスク中立確率を表す．
– Figure 20.12 (p444)
10. 数値計算法
99
• 期待値と分散と確率に関する条件として，
(
)
σ2
E [∆s] = qu · u + qm · 0 + qd · (−u) = r −
∆t
2
(
)2
σ2
2
2
2
Var [∆s] = qu · u + qm · 0 + qd · (−u) − r −
(∆t)2 = σ 2 ∆t
2
1 = qu + qm + qd
(10.17)
u の値を所与とすると，
(
)
1 σ 2 ∆t + (r − σ 2 /2)2 (∆t)2 (r − σ 2 /2)∆t
qu =
+
2
u2
u
2
2
2
σ ∆t + (r − σ /2)(∆t)
(10.18)
qm = 1 −
u2
( 2
)
1 σ ∆t + (r − σ 2 /2)2 (∆t)2 (r − σ 2 /2)∆t
qd =
−
2
u2
u
√
となる．u については，u = σ 3∆t という選択をすることが多い（収束性や
安定性のため）．しばしば (∆t)2 はゼロで近似される．
• 価格の評価方法は 2 項モデルと同様である．
10.3
インプライド・ツリー
• 実務において，市場で価格が観測可能な標準的なオプションは，エキゾチッ
クなデリバティブのヘッジに利用される．したがって，ツリーを標準的なオ
プションの価格に一致するように構築するのが望ましい．パラメータを時間
依存の関数とすることによって，標準的なオプションの価格に一致させる．
• 特定のある時点ある状態にのみ 1 単位を支払う証券の，時点ゼロにおける価
格を状態価格といい，このような証券はアロー・ドブリュー証券と呼ばれる．
状態価格はリスク中立測度と実質的に同じような概念で，状態価格が存在す
れば無裁定で，完備ならば状態価格は一意に定まる．
– 3 項ツリー（図 10.1）で考える．状態価格を ψij とおく．例えば，タイ
∑i
ムステップ i に満期になる割引債の価格は j=−i ψij である．
– 行使価格を K ，満期を i とするヨーロピアン・コール・オプションの時
∑i
点ゼロにおける価格は j=−i ψij (Sij − K)+ である．
10. 数値計算法
100
図 10.1: インプライド 3 項ツリー
(N,N)
(N,N-1)
(3,3)
(0,0)
(2,2)
(3,2)
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(1,-1)
(2,-1)
(3,-1)
(2,-2)
(3,-2)
(N,N-2)
(N,-N+2)
(3,-3)
(N,-N+1)
(N,-N)
• 3 項ツリーを用いる．まず，所与の u を用いて1 ，各ノード (i, j) の原資産価
格 Sij = S0 euj を用意する．
• 次に，標準的なオプションから状態価格を計算する．ツリー上の各ノードの
原資産価格と時点に一致する行使価格と満期を持つヨーロピアン・コール・
オプション（あるいはプット）の価格を入手可能とする2 ．満期を i，行使価格
を SiK とするコールオプションの時点ゼロにおける価格を C(i, K) とおくと，


K =i−1

(Sii − SiK )ψii ,
C(i, K) = (Sii − SiK )ψii + (Si,i−1 − SiK )ψi,i−1 , K = i − 2
(10.19)


.

..
1
2
収束性と安定性に注意して決める必要がある．また，d = −u とおく．
実際には IV を補間してボラティリティ・サーフェスを計算しておく．
10. 数値計算法
101
となる．一般的には，
i
∑
C(i, K) =
(Sik − SiK )ψik ,
K =j−1
(10.20)
k=j
である．オプション価格を所与にすれば，i を固定して，上のノードから順
に解くことによって，すべての j の状態価格 ψij を得ることができる．各時
点 i でこれを繰り返すと，すべてのノードの状態価格を得る．
• さらに，状態価格から推移確率を計算する．一般的にノードごとに推移確率
は異なるので，ノード (i, j) からの推移確率を以下のようにおく．
1 (i + 1, j + 1)
qiju m
qij
- (i + 1, j)
(i, j) PP
PP
PP
qijd PPP
q (i + 1, j − 1)
推移確率は以下を満たす．
qiju + qijm + qijd = 1
(
)
Sij = e−r∆ti qiju Si+1,j+1 + qijm Si+1,j + qijd Si+1,j−1
( d
)
m
ψi+1,j+1 = e−r∆ti qi,j+2
ψi,j+2 + qi,j+1
ψi,j+1 + qiju ψij
(10.21)
3 番目の式は状態価格に関する制約で，前進型の方程式になっている．これ
は下図の関係による3
ψi,j+2
ψi,j+1
ψij
1
P
1
PP
PP
PP
PP
q
1 ψi+1,j+1
PP
PP P
PPP
q
P
P
PP
PP
PP
PP
q
(10.21) により，すべてのノードにおける推移確率 qiju , qijm , qijd を計算すること
ができる（ただし，ツリー上の上下の端のノードでは多少表現が異なる）．
3
ノード (i + 1, j + 1) のみに 1 単位を支払う証券について，例えば，ノード (i, j + 2) での価値
d
d
は e−r∆ti qi,j+2
で，この分の時点ゼロにおける価値は e−r∆ti qi,j+2
ψi,j+2 である．
10. 数値計算法
102
こうして得られた推移確率を用いて，標準的ではないオプションの評価を行
う．通常通り，ペイオフを割り引いて，後退方向に計算すればよい．
– アメリカンやバミューダン，バリア（ノックアウトやノックイン）など．
経路依存型のオプションであるルックバック（行使価格や原資産価格が
参照資産の価格の最大値や最小値できまる）にも可能であるが，工夫が
必要．
10.4
有限差分法
• (10.1) に従う原資産に依存してキャッシュフローが定まるデリバティブを考
える．st = log St とおく．一般的に関数 h, g を用いて，T までの各時点 u で
h(su , u) の期中キャッシュフローを支払い，満期 T での価値が g(sT , T ) であ
るデリバティブの時点 t < T における価値 f (st , t) は，リスク中立評価法から
[∫ T
]
Q
−r(u−t)
−r(T −t)
f (st , t) = Et
e
h(su , u) du + e
g(sT , T )
(10.22)
t
であった．この f (st , t) は，ファインマン・カッツの公式から，以下の偏微分
方程式（PDE, partial differential equation）を満たす．
1
ft (s, t) + fs (s, t)(r − σ 2 /2) + σ 2 fss (s, t) − rf (s, t) + h(s, t) = 0
2
(10.23)
境界条件は f (s, T ) = g(s, T ) で，f の添え字は偏微分を表す．h ≡ 0 かつ
g(s, t) = (esT − K)+ のときには (10.23) は (7.8) になり，ブラックショールズ
の PDE と呼ばれる．(10.1) では係数が定数であるが，時間変動する一般的
な場合にも同様な形式で成り立つ．
• 有限差分法では，図 10.2 のように格子をとり，Fij により f (sj , ti ) を近似す
る．(10.23) の各項の偏微分を有限な差分で近似して，F を数値的に求める．
• 数値微分には，以下の種類がある．
– 前進差分
fx (x) ≈
F (x + ∆x) − F (x)
∆x
(10.24)
fx (x) ≈
F (x) − F (x − ∆x)
∆x
(10.25)
– 後退差分
10. 数値計算法
103
図 10.2: 差分法の格子
j+1
uFij
j
s j−1
1
0
0
i−1
1
i
i+1
時間
– 中心差分
fx (x) ≈
F (x + ∆x) − F (x − ∆x)
2∆x
(10.26)
これらを用いて，(10.23) を近似し，満期 FN j , j = 1, . . . , M から遡って，バッ
クワードに順次 Fij , j = 1, . . . , M を計算していく．以下の方法がある．
– 陽的有限差分法
∗ fs と fss には中心差分，ft には後退差分を用いる．この場合は比較
的容易に解くことができるが，安定性に劣る．この方法は 3 項ツ
リーに等しい（後述）．
– 陰的有限差分法
∗ fs と fss には中心差分，ft には前進差分を用いる．この場合には，
時点を遡って fij を計算する際に連立方程式を解く必要があるが，
安定性に優れる．
– クランク・ニコルソン法
10. 数値計算法
104
∗ ft には前進差分を用いる．f (Sj , ti ) の値を (Fi+1,j + Fij )/2 で近似し
て，fs と fss には中心差分を用いる．この場合にも時点を遡る際に
連立方程式を解く必要があるが，安定性・収束性で最も優れる．
• 陽的有限差分法を例に考える．デリバティブに期中での配当がない（h ≡ 0）
ものとする．
Fi,j − Fi−1,j
∆t
Fi,j+1 − Fi,j−1
fs ≈
2∆s
Fi,j+1 − 2Fi,j + Fi,j−1
fss ≈
(∆s)2
ft ≈
(10.27)
これらを (10.23) に代入すると，
Fi,j − Fi−1,j
Fi,j+1 − Fi,j−1
+ (r − σ 2 /2)
∆t
2∆s
1 2 Fi,j+1 − 2Fi,j + Fi,j−1
+ σ
− rFi,j = 0 (10.28)
2
(∆s)2
これを整理すると，
Fi−1,j = qu Fi,j+1 + qm Fi,j + qd Fi,j−1
(10.29)
ただし，
(
)
σ2
r − σ 2 /2
qu = ∆t
+
2(∆s)2
2∆s
2
σ
qm = 1 − ∆t
− r∆t
(∆s)2
(
)
σ2
r − σ 2 /2
qd = ∆t
−
2(∆s)2
2∆s
(10.30)
となり，(10.29) は割引期待値の計算を意味する．このように陽的有限差分法
の場合には計算は容易で，満期から時間を遡ってバックワードに計算すれば，
F0,j の値を評価することができる．
（状態の上下の端点については工夫する）
10. 数値計算法
105
• (10.28) での最後の項を Fi,j の代わりに Fi−1,j で近似して，整理すると，
1
(qu Fi,j+1 + qm Fi,j + qd Fi,j−1 )
1 + r∆t
( 2
)
1
σ
r − σ 2 /2
qu = ∆t
+
2
(∆s)2
∆s
2
σ
qm = 1 − ∆t
(∆s)2
)
( 2
r − σ 2 /2
1
σ
−
qd = ∆t
2
(∆s)2
∆s
Fi−1,j =
(10.31)
となる．これは，3 項ツリー (10.18) と同様の形式である．
• 以上はヨーロピアンであるが，アメリカンにも適用可能である．任意の時点
t で行使することができ，その際のペイオフが g(st , t) で与えられるアメリカ
ンの場合には4 ，(10.29) で得られる Fi−1,j は継続価値を表すので，
[
]
max Fi−1,j , g(sti−1 , ti−1 )
を時点 i − 1 におけるオプション価値とすればよい．その後，これを i − 2 の
計算に利用して，順次バックワードに計算する．
– この方法は，陽的有限差分法だけでなく，陰的有限差分法やクランク・
ニコルソン法でも同様である．
10.5
モンテカルロ・シミュレーション
• ツリーや差分法（FDM）は多次元や経路依存に弱いが，モンテカルロは強
い．複雑な確率過程や複雑なペイオフでも対応可能である．一方で，モンテ
カルロは，計算コストが高く，アメリカンには弱い．
• (10.1) に従う原資産価格 S を考える．st = log St とおき，離散近似すると，
(
)
(
)
Q
st+∆t = st + r − σ 2 /2 ∆t + σ Zt+∆t
− ZtQ
(10.32)
Q
となる．増分 Zt+∆t
− ZtQ は，Q のもとで平均ゼロ，分散 ∆t の正規分布に従
うので，εt+∆t ∼ N (0, 1) とすると，
√
(
)
st+∆t = st + r − σ 2 /2 ∆t + σ ∆t εt+∆t
(10.33)
4
経路依存型のオプションに対しては，容易には適用することはできない．
10. 数値計算法
106
と書ける．これを用いて，s のサンプルパスの近似を得ることができる．すなわ
ち，区間 [0, T ] を n 個の区間 ∆t = T /n に分割し，初期値 s0 からスタートして，
独立な ε̂t1 , . . . , ε̂tn を発生させて，前進方向に s のサンプルパス {ŝt1 , . . . , ŝtn }
をシミュレートすればよい．
• (10.22) で与えられるデリバティブの時点ゼロにおける価格 f は，E Q [Y ] で
近似される．ただし，
Y =
n
∑
i=0
T
e−rti h(sti , ti ) + e−rT g(sT , T )
n
(10.34)
である．s に関する k 個の独立なサンプルパスを ŝ(1) , . . . , ŝ(k) とし，これに
対応する Y の値を Ŷ (1) , . . . , Ŷ (k) とおくと，大数の法則から
Ŷ (1) + · · · + Ŷ (k)
→ E Q [Y ]
k
(10.35)
を得る．
• 必要な計算数はおおよそ nk に比例している．収束の精度を上げるには，n あ
るいは k の数を増加させる必要があるが，問題の設定に応じて，両者のバラ
ンスを考慮する必要がある．
• 収束を改善するために，分散減少法と呼ばれる様々な方法がある．例えば，
ある一つのサンプルパスを得るための正規乱数の集合 ε̂ ≡ {ε̂t1 , . . . , ε̂tn } につ
いて，異なるサンプルパスのための ε̂(1) , . . . , ε̂(k) を独立な分布を持つとする
代わりに，偶数の i については ε̂(i) ，奇数の i については ε̂(i) = −ε̂(i−1) とす
る対称変数法がある．これによれば，より正確な推定値を得られるだけでな
く，計算負荷も軽減できる．このほか，加重サンプリングや制御変数法など
が用いられる．
複数の確率的要素がある場合
• モンテカルロ・シミュレーションでは，複数の確率的要素を持つ場合に比較
的容易に適用できる．
– ペイオフが多資産の価格に依存する場合
– マルチファクターモデル．例えば，金利やボラティリティが確率的な場
合など
10. 数値計算法
107
• 例えば，ヨーロピアン・スプレッド・コール・オプションでは，満期 T での
ペイオフが (ST1 − ST2 − K)+ で与えられる．二つの資産の価格過程 S 1 と S 2
は以下に従うものとする．
ds1t = (r − (σ 1 )2 /2) dt + σ 1 dZtQ
ds2t = (r − (σ 2 )2 /2) dt + ρσ 2 dZtQ +
√
1 − ρ2 σ 2 dZetQ
(10.36)
Z Q と ZeQ は互いに独立な標準ブラウン運動で，ρ は S 1 と S 2 のリターンの瞬
間的な相関を表す．
• これにより ST1 = esT , ST2 = esT をサンプリングすれば，価格を評価すること
ができる．ただし，このようなケースでは，期中の値をシミュレートする必
要はなく，直接，時点 T での値のみをサンプリングすればよい．
1
2
経路依存型オプション
• バリアオプションを例に考える．原資産価格が (10.1) に従う場合，ノックア
ウトやノックイン型のオプションで，連続時間で観測してバリアへの到達を
チェックする場合には解析解がある．しかし，バリアへの到達の判定が 1 日
に 1 回というような現実的なケースでは，解析解はなく，連続時間で判定す
る場合よりも到達確率が低下することから，価格に影響を及ぼす．
• このような場合には，∆t = 1 日 として S のパスを発生させ，サンプルパス
ごとにバリアへの到達を判定した上で，満期でのペイオフを評価すればよい．
• アジアン・オプションには明示的な解析解がないが，モンテカルロ・シミュ
レーションにより評価することができる．例えば，アジアン・コール・オプ
ションは，原資産価格の平均値 AT と行使価格 K の差が正ならば，この差を
支払うオプションである．したがって，満期でのペイオフは (AT − L)+ で，
AT =
1
(St + · · · + StN )
N 1
(10.37)
である．
サンプルパスのシミュレート
• (10.1) のように確率分布関数が既知な場合ではなく，より一般に，Rd の標準
ブラウン運動 Z Q により定まる以下の確率微分方程式を考える．
dXt = a(Xt , t) dt + σ(Xt , t) dZtQ
(10.38)
10. 数値計算法
108
ただし，Xt ∈ RN ，a : RN × [0, ∞) → RN ，b : RN × [0, ∞) → RN ×d であ
る．X を離散近似する最も自然で単純な方法は，以下のオイラー・丸山近似
である．
√
bt+∆t = X
bt + a(X
bt , t) ∆t + σ(X
bt , t) ∆t εt+∆t ,
X
εt+∆t ∼ N (0, 1) (10.39)
• さらに近似精度が高いものとして，ミルシュタイン近似などがある5 ．
10.6
アメリカンへのモンテカルロシミュレーションの
適用
最小二乗モンテカルロ法 (LSM)
• 一般的にモンテカルロ・シミュレーションを用いて，アメリカンオプション
を評価することは難しいが，いくつかの方法が提案されている．
• その一つに最小二乗モンテカルロ法（Least Squares Monte Carlo, LSM）が
ある．これは，時間を離散化し，各時点で最小二乗回帰を行うことにより，
継続価値を推定する方法である．§26.8 (p621) に記載されている具体例で考
える．
– 満期 3 年のアメリカンプットオプションで，1 年後，2 年後，3 年後にの
み行使できるものとする（バミューダンとしてみなすことができる）．
現時点での原資産価格が 1 で，行使価格を 1.1 とし，金利を 6%（一定）
とする．
1. モンテカルロ・シミュレーションによりサンプルパスを発生させる．例
として，Table 26.3 の 8 個のパスを得たとする．
2. 3 年後の満期時点において，すべてのパスでそれ以前での行使がないも
のとすれば，各パスのオプションの価値は，Table 26.4 の右列のように
なる．
3. 次に，2 年後の時点における継続価値 V を以下の最小二乗法で求める．
V = a + bS + cS 2
5
(10.40)
詳細は，例えば，Glasserman, P. (2004) Monte Carlo Methods in Financial Engineering を
参照．
10. 数値計算法
109
– V には 3 年後時点の価値を 2 年後まで割り引いた値，S には 2 年後
時点の株価を用いる．2 年後時点で ITM の状態のものだけ（パス
1,3,4,6,7）を対象に計算する．
V = {0.00, 0.07e−0.06×1 , 0.18e−0.06×1 , 0.20e−0.06×1 , 0.09e−0.06×1 }
S = {1.08, 1.07, 0.97, 0.77, 0.84}
– 最小二乗回帰により a, b, c の値が求められ，V の推定値を得る．パ
スごとにこの推定値と行使価値を比較して，高い方が 2 年後時点に
おけるオプション価値になる．ITM ではないパスのオプション価
値については，行使されないので，3 年後の価値を割り引けばよい．
4. 次に，1 年後時点のものを同様に計算して，1 年後時点でのオプション
価値を求める．
5. 最後に，各パスの 1 年後時点のオプションの割引価値の平均をとること
により，現在時点におけるオプション価値を求める．
– 最小二乗法に用いる回帰式（基底関数）は，(3) の 2 次式でなくてもよ
い．3 次式でもよいし，他の関数形でもよい．
– 最小二乗モンテカルロは実装が容易であり，原資産が複数である場合
や，経路依存型のアメリカンオプションにも適用できる．
• LSM は，プレーンなアメリカンオプションだけでなく，エキゾチックなもの
にも同様な方法で適用することができる．
最適行使境界の数値計算
• p624 に沿って，前述のアメリカン・プット・オプションの例で考える．
• 最適行使境界を S ∗ (t) とおく．最適行使は inf{t : S(t) = S ∗ (t)} であった．
– 満期である 3 年後時点では，明らかに，S ∗ (3) は行使価格 K = 1.10 に等
しい．モンテカルロ・シミュレーションによる j 番目のパスの値を Sej (3)
とおくと，3 年後におけるオプションの価値は，
(
)+
P (3) = K − Sej (3) ,
j = 1, . . . , N
(10.41)
– 次に，2 年後における値 S ∗ (2) を求める．行使境界の値 x(2) を固定して
考えると，パス j における 2 年後におけるオプションの価値 Pej (2) は
10. 数値計算法
110
(
)+
Pej (2) = K − Sej (2) 1{Sej (2)≤x(2)} + e−r∆t P (3) 1{Sej (2)>x(2)} ,
| {z }
|
{z
}
継続価値
行使価値
j = 1, . . . , N (10.42)
になる．この平均値 N1
界 S ∗ (2) になる．
∑N
j=1
Pej (2) を最大にする x(2) の値が最適行使境
∗ 実際には，x(2) にパスの値 Sej (2), j = 1, . . . , N を代入して，最大値
を与える値 Sej (2) を見つけて，これを S ∗ (2) とする．
∗ 厳密には，最大値を与える値 Sej (2) とその次に大きい値 Sej ′ (2) の間
に，S ∗ (2) が存在することになるので，最適行使境界を過小評価す
ることになる．
– 次に，同様な方法で，1 年後における値 S ∗ (1) を求める．
– 推定された最適行使境界 S ∗ (t) を用いて，再度モンテカルロによりオプ
ション価値を求める．
• この方法では，推定精度を高めるためには，多くのパスが必要である．
• このケースでは，最適行使境界が各時点における単一の原資産価格の値だけ
で決まるので，計算が容易であった．より一般的なケースに拡張すると複雑
になる．
111
第 11 章 金利デリバティブ
11.1
マーケットモデル
11.1.1
ブラックの公式（再説）
• 瞬間的な短期金利過程を r とすると，T を満期日とする割引債価格は以下に
なる，
[
( ∫
)]
T
B0 (T ) = E Q exp −
ru du
(11.1)
0
原資産の価格を S とするコールオプションの価格は，Bt (T ) をニューメレー
ルとするフォワード測度 T のもとで
[
( ∫ T
)
]
Q
+
C0 = E exp −
ru du (ST − K)
0
[
]
(11.2)
= B0 (T )E T (ST − K)+
[
]
= B0 (T )E T (FT − K)+
であった．ただし，F は満期日を T とするフォワード価格を表す．つまり，
FT = ST である．F0 は以下で与えられる．
(
[∫ T
(∫ t
)
])
1
Q
F0 =
S0 − E
exp
−ru du δt dt
(11.3)
B0 (T )
0
0
δ は原資産の配当過程を表す．
• F は T マルチンゲールであった．ここでは定数ボラティリティσF を用いて，
以下の幾何ブラウン運動に従うものと仮定する．
dFt = σF Ft dZtT
(11.4)
このとき，C0 は以下になる（Black の公式）．
C0 = B0 (T ) [F0 Φ(d+ ) − KΦ(d− )]
d± =
log(F0 /K) ± σF2 T /2
√
σF T
(11.5)
11. 金利デリバティブ
11.1.2
112
債券オプション
• 債券を原資産とするオプション．
• 債券そのものにオプションが埋め込まれている場合もある．
– コーラブル債（繰上げ償還条項付き債券）など．発行体はオプションの
ロング，債券保有者はオプションのショートなので，通常，普通の債券
よりも利回りが高い．
– プッタブル債はこの逆．
– ローンや預金にも繰上げ償還のオプションがある．
• もし，原資産を固定利付債とし，その確定的なクーポンを Iti , i = 1, . . . と
すれば，(11.3) からフォワード価格は以下になる．
(
)
∑
1
F0 =
S0 −
B0 (ti )Iti
(11.6)
B0 (T )
i
∑
になる． i B0 (ti )Iti は，フォワード契約の満期までに支払われるクーポン
の現在価値を表す．
• したがって，フォワード価格がボラティリティを定数 σF とする対数正規過
程 (11.4) に従うものと仮定すると，(ST − K)+ をペイオフとする固定利付債
のコールオプションは，(11.5) を用いて評価することができる．
– ここで原資産価格 S とフォワード価格 F はすべて経過利子込みのもの
（利含み価格，ダーティープライス）である．
– もし，行使価格が経過利子を含まない価格（裸価格，クリーンプライ
ス）で表されている場合には，これに経過利子を加えた K を用いれば
よい．
√
• 対数債券価格の標準偏差 σF T は，時間 T に関して Fig 28.1 (p651) のよう
な形状になる．σF は，T に関して Fig 28.2 (p651) のような形状になる．
11.1.3
金利のキャップ／フロア
• 金利がある水準を超過した場合に，超過分が支払われる取引を金利キャップ
という．逆に，金利がある水準を下回った場合に，下回った分が支払われる
取引を金利フロアという．
11. 金利デリバティブ
113
• リセット日を t0 , t1 , . . . , tn−1 とする変動金利（LIBOR）を考える．∆k := tk −
tk−1 とし，tk−1 から tk までをカバーする LIBOR を L(tk−1 ) とおく．L(tk−1 )
は時点 tk−1 で定まる．
• 想定元本を 1 とするキャップの tk , k = 1, . . . , n におけるペイオフは
∆k max(L(tk−1 ) − Lcap , 0),
k = 1, . . . , n
(11.7)
により定義される．Lcap はキャップレートを表す．フロアの場合には，tk に
おけるペイオフは
∆k max(Lfloor − L(tk−1 ), 0),
k = 1, . . . , n
(11.8)
になる．Lfloor はフロアレートを表す．
[
( ∫
)]
t
• 満期を tk とする割引債の時点 t における価格を Bt (tk ) := EtQ exp − t k ru du
とおく．LIBOR L(tk−1 ) は以下を満たす．
(
)
1
1
L(tk−1 ) =
−1
∆k Btk−1 (tk )
(11.9)
これに対して，時点 t からみて将来の期間 [tk−1 , tk ] をカバーするフォワード
LIBOR Lft (tk−1 ) は
(
)
1 Bt (tk−1 )
f
Lt (tk−1 ) =
−1
(11.10)
∆k
Bt (tk )
のように書ける．分母に Bt (tk ) があるため，Lft (tk−1 ) は Bt (tk ) をニューメ
レールとするフォワード測度 Tk のもとでマルチンゲールであることが分か
る．すなわち，
[
]
f
f
Tk
Lt (tk−1 ) = Et Ltk−1 (tk−1 ) = EtTk [L(tk−1 )]
(11.11)
( ∫
)
t
• D(t) := exp − 0 ru du とおくと，キャップの時点ゼロにおける価値は
P0cap
=
=
n
∑
k=1
n
∑
k=1
となる．
[
]
E Q D(tk )∆k (L(tk−1 ) − Lcap )+
B0 (tk )∆k E
Tk
[
]
(L(tk−1 ) − Lcap )+
(11.12)
11. 金利デリバティブ
114
• Lft (tk−1 ) は Tk マルチンゲールであることと，Lftk−1 (tk−1 ) = L(tk−1 ) であるこ
とに注意し，Lftk−1 (tk−1 ) が対数正規分布に従うことを仮定，すなわち，ボラ
ティリティσk−1 を定数として
dLft (tk−1 ) = σk−1 Lft (tk−1 ) dZtTk ,
k = 1, . . . , n
(11.13)
を仮定すれば，ブラックの公式により，P0cap を明示的に計算することがで
きる．
– すべてのキャップレット k = 1, . . . , n について，同一のボラティリティ
の値を適用させるのは厳しい．市場の値とはフィッティングしない．
– 個々のキャップレット k = 1, . . . , n に対して異なる σk−1 の値を用いるが，
異なる満期のキャップに対してもこの値を用いるとき，この σk をスポッ
ト・ボラティリティと呼ぶ．一方で，すべてのキャップレット k = 1, . . . , n
に対しては同一であるが，異なる満期のキャップごとに異なるボラティ
リティの値を用いる場合には，フラット・ボラティリティと呼ぶ．
– ボラティリティの期間構造はこぶ形の形状になることが多い（Fig.28.3,
p656）．ただし，フラット・ボラティリティは，スポット・ボラティリ
ティの平均のようなものなので，比較的こぶが小さくなだらかである．
– Table 28.1 (p657) は，ATM のキャップとフロアのクォートの例を表す．
フラット・ボラティリティによる Black モデルの IV で表されている．
債券オプションとしてのキャップ／フロア
• 金利キャップを変動金利のオプションとしてではなく，債券オプションとし
てとらえることも可能である．
P0cap
=
n
∑
[
]
E Q D(tk )∆k (L(tk−1 ) − Lcap )+
[
k=1
=
=
n
∑
k=1
n
∑
k=1
=
n
∑
k=1
EQ
(
(
−1
D(tk )∆k ∆k
[
E Q D(tk )
[
(
1
Btk−1 (tk )
E Q D(tk−1 )Btk−1 (tk )
1
Btk−1 (tk )
)
)+ ]
− 1 − Lcap
)+ ]
− 1 − ∆k Lcap
(
1
Btk−1 (tk )
)+ ]
− 1 − ∆k Lcap
11. 金利デリバティブ
=
115
n
∑
[
(
)+ ]
E Q D(tk−1 ) 1 − (1 + ∆k Lcap )Btk−1 (tk )
k=1
ここで期待値は，tk に満期になる額面 1 + ∆k Lcap 単位の割引債に関する，行
使価格が 1 で満期が tk−1 のプットオプションの価値を表している．したがっ
て，金利キャップは，割引債プットオプションのポートフォリオとみなせる．
• さらにフォワード測度に変換すれば，以下になる．
P0cap =
=
n
∑
k=1
n
∑
B0 (tk−1 )E Tk−1
[(
)+ ]
1 − (1 + ∆k Lcap )Btk−1 (tk )
[(
B0 (tk−1 )(1 + ∆k Lcap )E Tk−1
k=1
1
− Btk−1 (tk )
1 + ∆k Lcap
)+ ]
Bt (tk ) のフォワード価格 Bt (tk )/Bt (tk−1 ) は Tk−1 マルチンゲールであり，対
数正規分布を仮定すれば，ブラックの公式により明示的な解を得ることがで
きる．しかし，フォワード LIBOR が対数正規分布であることと，割引債の
フォワード価格が対数正規分布であることは互いに整合しない仮定であるこ
とには注意が必要である．
11.1.4
金利スワップション
フォワード・スワップ
• リセット日を t0 , t1 , . . . , tn−1 ，交換日を t1 , t2 , . . . , tn とする金利スワップを考
える．ただし，現在時点を t ≤ t0 とする．
• 固定レートを C̄ とすると，固定金利のペイヤーからみて，フォワードスター
トの金利スワップの価値 FSt は以下になる．
]
[ n
∑ D(tk )
(
)
Q
∆k L(tk−1 ) − C̄
FSt = Et
D(t)
k=1
=
n
∑
k=1
=
n
∑
)]
[ (
Bt (tk )EtTk ∆k L(tk−1 ) − C̄
(
)
Bt (tk )∆k Lft (tk−1 ) − C̄
(∵ (11.11))
k=1
=
n
∑
(
k=1
)
Bt (tk−1 ) − Bt (tk ) − ∆k C̄Bt (tk )
(∵ (11.10))
11. 金利デリバティブ
116
= Bt (t0 ) − Bt (tn ) −
n
∑
∆k C̄Bt (tk )
k=1
時点 t でパーとなるフォワード・スワップ・レート Ctf (t0 ) は，FSt = 0 にな
るように定まるもので，
Bt (t0 ) − Bt (tn )
Ctf (t0 ) = ∑n
k=1 ∆k Bt (tk )
(11.14)
で与えられる．なお，この特別な場合として，スポットのパー・スワップ・
レート Ct0 は以下になる．
1 − Bt0 (tn )
Ct0 = Ctf0 (t0 ) = ∑n
k=1 ∆k Bt0 (tk )
(11.15)
Ctf (t0 ) を用いて，FSt を以下のように表現することもできる．
FSt =
n
∑
(
)
∆k Bt (tk ) Ctf (t0 ) − C̄
(11.16)
k=1
•
∑n
∆k Bt (tk ) をニューメレールとする同値マルチンゲール測度（スワップ
測度と呼ばれることがある）を St0 とおく．(11.14) から，Ctf (t0 ) は St0 マル
チンゲールである．すなわち，
[
]
f
f
St0
C0 (t0 ) = E
Ct0 (t0 ) = E St0 [Ct0 ]
(11.17)
k=1
スワップション
• 将来の t0 において，行使レート C̄ で金利スワップをスタートできるオプショ
ンをスワップションと呼ぶ．固定金利のペイヤーがオプションを保有してい
る場合，t0 におけるスワップレート Ct0 よりも行使レート C̄ の方が低いとき
に，スワップションは行使される．したがって，満期 t0 におけるスワップショ
ンの価値 SOt0 は
SOt0 = max(FSt0 , 0) =
n
∑
k=1
(
)+
∆k Bt0 (tk ) Ct0 − C̄
(11.18)
11. 金利デリバティブ
117
• したがって，時点ゼロにおける，スワップションは価値 SO0 は以下になる．
[
]
n
∑
(
)
+
SO0 = E Q D(t0 )
∆k Bt0 (tk ) Ct0 − C̄
k=1
=
n
∑
[(
)+ ]
∆k B0 (tk )E St0 Ct0 − C̄
(11.19)
k=1
Ct0 = Ctf0 (t0 ) であることと，Ctf (t0 ) は St0 マルチンゲールであることに注意
し，Ctf (t0 ) が対数正規過程に従うことを仮定，すなわち，定数ボラティリティ
σs により，
S
dCtf (t0 ) = σs Ctf (t0 ) dZt t0
(11.20)
と仮定すれば，ブラックの公式により明示解（p.660 参照）を得ることがで
きる．
• Table 28.2 (p661) はブローカーのクォートの例を表す．ATM（行使レート
はフォワード・スワップ・レート）のもので，ブラックモデルの IV で提示
されている．
• フォワード・スワップ・レートが対数正規分布に従う前提のもとでは，債券
のフォワード価格や，割引債のフォワード価格，LIBOR はいずれも対数正
規分布には従わない．したがって，個々のデリバティブにブラックモデルを
利用することは，それ自体には矛盾はないが，異なるデリバティブの間には
互いに矛盾する仮定を置いていることになる．
11.2
短期金利モデル
11.2.1
1 ファクターモデル
• 11.1 節では，Black モデルを用いてオプションを評価するために，債券価格や
LIBOR，スワップレートが対数正規分布に従うことを仮定した．ここでは，
より一貫した方法として，不確実性の源泉である短期金利をモデル化する．
• 短期金利 r に以下の 1 ファクターモデルを仮定する．
drt = µ(rt , t) dt + σ(rt , t) dZtQ
ここで，µ と σ はそれぞれ rt と t の関数である．
(11.21)
11. 金利デリバティブ
118
• 1 ファクターモデルでは，割引債価格は rt と t の関数になる．
[
(∫ T
)]
Q
Bt (T ) = Et exp
−ru du
=: f (rt , t)
(11.22)
t
ファインマン・カッツの公式から，関数 f は以下の PDE を満たす．
1
ft (rt , t) + fr (rt , t)µ(rt , t) + frr σ(rt , t)2 = rt f (rt , t)
2
(11.23)
f の添え字は偏微分を表し，境界条件は f (rT , T ) = 1 である．(11.23) は，解
析解を得るための手がかりに使えるだけでなく，有限差分法による数値計算
に用いることができる．
• Duffie (2001, p138)1 は
µ(rt , t) = α1 + α2 rt + α3 rt log rt
(11.24)
σ(rt , t) = (β1 + β2 rt )ν
とおいて，伝統的な短期金利モデルを以下のように分類している．• は係数
がゼロでないことを表す．
モデル
Cox-Ingersoll-Ross (CIR)
Pearson-Sun
Dothan
Brennan-Schwartz
Merton (Ho-Lee)
Vasicek
Black-Karasinski
Constantinides-Ingersoll
α1
•
•
α2
•
•
•
•
•
•
•
•
α3
β1
•
•
•
•
β2
•
•
•
•
•
•
ν
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.5
– ほとんどのオリジナルのモデルでは係数は定数と仮定されていたが，実
務では αi (t) や βi (t) のように時間 t に依存するように拡張して使うこと
がある．
• 代表的なものとして，Vasicek モデルは
drt = κ(θ − rt ) dt + σ dZtQ
1
Duffie (2001) Dynamic Asset Pricing Theory, 2nd ed.
(11.25)
11. 金利デリバティブ
CIR モデルは
119
√
drt = κ(θ − rt ) dt + σ rt dZtQ
(11.26)
の形式になる．ここで，θ は長期平均，κ は平均回帰の強さを表す．Vasicek
モデルでは，rt は正規過程に従う．一方で，rt の値は負になりうるという欠
点を持つ．CIR モデルでは，rt は非心カイ二乗分布に従い，負の値にはなら
ない．
• Vasicek, CIR, Merton (Ho-Lee), Pearson-Sun のモデルは，以下の形式を持つ．
µ(rt ) = α1 + α2 rt ,
σ 2 (rt ) = β1 + β2 rt
(11.27)
このクラスはアフィンモデルである2 ．割引債価格は以下の指数アフィン形
になる．
)]
[
(∫ T
Q
−ru du
= ea(t,T )+b(t,T )rt
(11.28)
Bt (T ) = Et exp
t
a(t, T ) と b(t, T ) は時間の関数で，モデルによって具体的な関数形は異なる．
a(t, T ), b(t, T ) は以下のリカッチ方程式 (11.30) と (11.31) の解として定まる．
– (11.28) を PDE (11.23) に代入すると，
1
b(t, T )µ(rt ) = (1 − b′ (t, T ))rt − a′ (t, T ) − b2 (t, T )σ 2 (rt )
2
(11.29)
を得る．ただし，a′ (t, T ), b′ (t, T ) は t に関する微分を表す．µ(rt ), σ(rt )
は (11.27) である．rt がどのような値になっても上式が満たされるため
には，以下が成り立つ必要がある．
1
b′ (t, T ) = 1 − α2 b(t, T ) − β2 b2 (t, T ),
2
1
a′ (t, T ) = −α1 b(t, T ) − β1 b2 (t, T ),
2
b(T, T ) = 0
(11.30)
a(T, T ) = 0
(11.31)
(11.30) の常微分方程式（ODE）はリカッチ方程式として知られる．
– Vasicek モデル (11.25) や CIR モデル (11.26) の場合の解析解について
は，b(t, T ) と a(t, T ) がそれぞれテキスト p685 の形式になる．解析解が
存在しない場合でも，リカッチ方程式はルンゲ・クッタ法により容易に
数値計算できることが知られている．
2
α1 , α2 , β1 , β2 が定数ではなく，それぞれ時間の関数であっても以下の議論が同様に成り立つ．
11. 金利デリバティブ
120
• 上記のクラスには入らないが，しばしば使われるものに Quadratic Gaussian (QG) モデルがある．状態変数 Y が以下の正規過程に従うものとする．
dYt = (v0 + vY Yt ) dt + σY dZtQ
(11.32)
ただし，v0 , vY , σY を定数とする．そして，短期金利 r を Y の二次関数とし
て定める．
(11.33)
rt = a + bYt + cYt2
a, b, c は定数である．このとき，割引債価格は，Y の指数二次関数になるこ
とが知られている．
Bt (T ) = eγ0 (T −t)+γY (T −t)Yt +γQ (T −t)Yt
2
(11.34)
ここで γ0 , γY , γQ は残存期間 T − t の関数で，アフィンモデルの場合と同様
に，PDE (11.23) から得ることができる．
11.2.2
期間構造へのフィッティング
Hull-White モデル，Ho-Lee モデル
• 11.2.1 節の係数パラメータが定数のモデルでは，評価時点（t = 0）の金利の
期間構造には完全にはフィットしない（すべての年限の割引債価格を再現す
ることはできない）．実務では，デリバティブを評価するうえで，原資産と
しての債券価格を再現できるモデルが好まれる．
• 評価時点における金利の期間構造にフィッティングさせるには，係数を時間
関数にすればよい．以下のパラメータを時間関数とする Vasicek モデル（こ
の文脈では，Hull-White モデルとも呼ばれる）を考える．
drt = (θ(t) − αr) dt + σ dZtQ
(11.35)
α = 0 の特別な場合には，Ho-Lee モデルと呼ばれる．
• (11.35) はアフィンモデルのクラスに属し，満期 T の割引債の時点 t における
価格 Bt (T ) は以下の指数アフィン形になる．
Bt (T ) = ea(t,T )+b(t,T )rt
(11.36)
e−α(T −t) − 1
α
(11.37)
b(t, T ) =
11. 金利デリバティブ
121
1
a(t, T ) =
2
∫
∫
T
2 2
σ b (u, T ) du +
t
T
θ(u)b(u, T ) du
(11.38)
t
θ(t) を適当に選ぶことで，市場の割引債価格（金利の期間構造）にフィット
にするように Bt (T ) を定めることができる．
• ここで，フォワードレート f0 (t) = − d logdtB0 (t) = − ∂a(0,t)
−
∂t
と，(11.38) から
d
σ2
θ(t) = f0 (t) + αf0 (t) +
(1 − e−2αt )
dt
2α
∂b(0,t)
r0
∂t
を用いる
(11.39)
の表現を得る．f0 (t) は市場の金利の期間構造から得られるので，これが期間
構造にフィッティングさせた θ(t) の表現である．この表現は，rt のツリーの
構築やモンテカルロ・シミュレーションに利用することができる．
• さらに，(11.38) を以下のように書き直すことができる．
a(t, T ) = log
B0 (T )
1
+ b(t, T )f0 (t) − 3 σ 2 (e−αT − e−αt )2 (e2αt − 1) (11.40)
B0 (t)
4a
α と σ を所与にすれば，将来の時点 t における割引債価格 Bt (T ) は，モデル
上，現在（t = 0）の期間構造と，時点 t における短期金利 rt から定まること
になる．
• このモデルでは，金利の期間構造に完全にフィッティングさせることはでき
るが，ボラティリティの期間構造に完全にはフィッティングしない．ただし，
以下のように α も時間の関数にすれば，ボラティリティの期間構造に合わせ
ることができる．
drt = (θ(t) − α(t)r) dt + σ dZtQ
(11.41)
さらに σ を時間関数にすることもできる．
drt = (θ(t) − α(t)r) dt + σ(t) dZtQ
(11.42)
ただし，ボラティリティの構造が固定されることには注意が必要である．実
際にはボラティリティの構造も変動する．
11.2.3
Black-Karasinski モデル
• このほか，係数が時間に依存している Black-Karasinski モデルは，伊藤の補
題を用いて，
d log rt = κ(t)(θ(t) − log rt ) dt + σ(t) dZtQ
(11.43)
11. 金利デリバティブ
122
の形式になる．したがって，このモデルでは，r は対数正規過程に従う．CIR
モデルと同様に，rt は負の値をとらない一方，割引債価格に閉形解がないの
で，解析的には扱いにくい．
– 時間の関数 U, γ を用いて，
[
]
Q
rt = U (t) exp γ(t)Zt
(11.44)
の形式を持つ離散時間モデルは，Black-Derman-Toy (BDT) モデルと呼
ばれる．κ(t) = −σ ′ (t)/σ(t) のとき，BDT モデルの連続時間の極限は，
Black-Karasinski モデルになる．
11.2.4
1 ファクターモデルにおける債券オプション
割引債オプション
• Vasicek (Hull-White, Ho-Lee) のモデルでは，金利が正規過程なので，割引
債価格は対数正規過程に従う．したがって，ブラックの公式 (11.5) により3 ，
割引債のヨーロピアン・コール・オプションを評価することができる．F0 は
割引債のフォワード価格で，(11.3) から δ ≡ 0 として求まる．
• 原資産が満期 T̄ の割引債で，オプションの満期は T とする．例として，(11.35)
の Hull-White モデルを考える．割引債のフォワード価格 Ft は以下になる．
Ft =
Bt (T̄ )
= ea(t,T̄ )−a(t,T )+(b(t,T̄ )−b(t,T ))rt
Bt (T )
(11.45)
フォワード測度 T のもとで F はマルチンゲールなので，伊藤の補題から
(
)
dFt = b(t, T̄ ) − b(t, T ) σFt dZtT
(11.46)
となり，
)
( 2
∫ T
(
)
σ
bF
T
b(t, T̄ ) − b(t, T ) σ dZt
FT = F0 exp −
+
2
0
を得る．ただし，
∫
) )2
b(t, T̄ ) − b(t, T ) σ dt
0
√
) 1 − e−2αT
σ(
−α(T̄ −T )
σ
bF =
1−e
α
2α
σ
bF2
∴
:=
T
((
とおいた．つまり，log FT は分散 σ
bF2 の正規分布に従う．
3
ただし，ボラティリティが時間の関数であることを考慮する必要がある．
(11.47)
(11.48)
(11.49)
11. 金利デリバティブ
123
• したがって，行使価格を K とするコールオプションの価格は，(11.5) におい
√
て，σF T を (11.49) の σ
bF に置き換えたものとして得られる．
固定利付債オプション
• 1 ファクターモデルでは，割引債価格 Bt (T ) は rt の関数になる．
Bt (T ) = f (rt , t, T )
(11.50)
• 固定利付債は割引債のポートフォリオなので，固定利付債のヨーロピアン・
オプションは，割引債ポートフォリオのオプションである．以下の通り，こ
れを割引債オプションのポートフォリオとみなすこともできる．
• 行使価格を K ，満期を T とする固定利付債のオプションを考える．ただし，
原資産である固定利付債は T 以降の時点 T1 < T2 < · · · < Tm にキャッシュフ
ロー c1 , . . . , cm を支払うものとする．コールの満期 T におけるオプション価
値は以下になる．
( m
)+
∑
XT =
cj f (rT , T, Tj ) − K
(11.51)
j=1
ここで，以下を満たす短期金利を r∗ とおく．
m
∑
cj f (r∗ , T, Tj ) = K
(11.52)
j=1
割引債価格は r の減少関数なので，rT < r∗ であるとと，オプションが行使
されることは同値である．
– 通常，(11.52) を r∗ について明示的に解くことはできない．しかし，ニ
ュートン法により容易に数値計算ができる．
• r∗ を用いて，Kj := f (r∗ , T, Tj ) とおく．オプションのペイオフは以下のよう
に書ける．
m
∑
XT =
cj (f (rT , T, Tj ) − Kj )+
(11.53)
j=1
したがって，固定利付債オプションは，行使価格を調整した割引債オプショ
ンのポートフォリオとして考えることができる．
11. 金利デリバティブ
11.2.5
124
マルチファクター・モデル
• 前述の短期金利モデルは 1 ファクター・モデルである．すなわち，どの年限
の金利の不確実な変動もすべて一つのブラウン運動に依存するため，制約的
である．
• マルチファクター・モデルでは，d 次元の状態変数 X ∈ Rd と，ある関数
g : Rd → R を用いて，rt = g(Xt ) により定義される．
– 例えば，2 ファクターの CIR モデルとして，定数 a, b, c を用いて，rt =
axt + byt + c とおく．ただし，状態変数 x, y は CIR 過程 (11.26) に従う．
– あるいは，Hull-White モデル (11.35) を拡張して，
drt = (θ(t) + ut − αrt ) dt + σ1 dZtQ
dut = −but dt + σ2 dZetQ
(11.54)
etQ = ρ dt である．過程 u は平均回帰水準の不確
とおく．ただし，dZtQ dZ
実性を表す．
• パラメータが増加して複雑になるが，解析的な取り扱い方法は，1 ファクター
の場合と同様である．
11.3
金利ツリー
• 金利の変動モデルが解析的に扱いづらい場合や，あるいは，解析的に扱いや
すい金利モデルであっても，ペイオフが複雑なデリバティブに対しては数値
計算が必要になることがある．
• 数値計算の手法は，基本的に，原資産価格の変動を離散近似した 10 章の方
法と同様である．ここではツリーモデルについて考えるが，モンテカルロ・
シミュレーションや有限差分法を用いることもできる．
11.3.1
2 項ツリー：Black-Derman-Toy (BDT) モデル
• 時点を離散化し，各時点で 2 つの状態が生起する 2 項ツリーを考える．時点
t における状態が j のとき，t から t + 1 までをカバーする短期金利を rt (j) と
する．
11. 金利デリバティブ
125
1 r2 (2)
(2, 2)
r1 (1)
1
P
PP
PP
(1, 1)
PP
r0 (0)
PP
q
PP
1 r (1)
2
(0, 0) PP
(2, 1)
PP r (0)
PP1 qP
P
P
(1, 0) PPP
PP
PP
q r (0)
2
(2, 0)
• すべての時点で推移確率を 1/2 とする．各 t について，時間の関数 a(t) と σ(t)
を用いて，以下のようにモデル化する4 ．
rt (j) = a(t)eσ(t)j
(11.55)
ドリフト a(t) とボラティリティσ(t) は，初期の金利の期間構造と合うように
選択される．
• 状態価格を得ることができれば便利である．状態 j のときに限って，時点 t
で 1 単位を支払う証券の時点ゼロにおける価格（つまり状態価格）を ψ(t, j)
とおく．ψ(t, j) は以下の差分方程式を満たす．

ψ(t,j−1)

j =t+1

 2(1+rt (j−1))
ψ(t,j)
ψ(t,j−1)
ψ(t + 1, j) = 2(1+r
(11.56)
+ 2(1+r
, 0<j <t+1
t (j))
t (j−1))


 ψ(t,j) ,
j=0
2(1+rt (j))
a(t) と σ(t) を所与とすれば，各時点・各状態の状態価格 ψ(t, j) の値を帰納的
に計算することができる．
– 時点 t に F (t, j) のキャッシュフローを支払う証券価格 P0 は，以下で与
えられる．
n ∑
t
∑
P0 =
ψ(t, j)F (t, j)
(11.57)
t=1 j=0
例えば，金利や債券のうえに書かれたヨーロピアン・オプションは (11.57)
から求まる．
4
したがって，BDT モデルは金利が（時間依存の係数を持つ）対数正規過程に従うような構造に
なっている．(11.55) の代わりに rt (j) = a(t) + σ(t)j とおくと，これは正規過程に対応し，Ho-Lee
モデルになる．
11. 金利デリバティブ
126
• 初期の金利の期間構造と合うように，a(t) と σ(t) を決める必要があるが，以
下のように計算すればよい．満期を t とする割引債の時点ゼロにおける価格
∑
B0 (t) を所与とする．状態価格の性質から B0 (t) = tj=0 ψ(t, j) である．ここ
では，σ(1), σ(2), . . . , が与えられているものとする．
– まず t = 1 のとき，ψ(0, 0) = 1 であることを用いて，B0 (1) =
ら a(0) が求まる．t = 2 とする．
1
1+a(0)
か
– a(t − 2) とすべての j に関する ψ(t − 2, j) を所与とし，(11.56) から各 j
について ψ(t − 1, j) を求める．これを用いて，
B0 (t) =
t−1
∑
j=0
ψ(t − 1, j)
1 + a(t − 1)eσ(t−1)j
(11.58)
の関係から a(t − 1) を求める．B0 (t) は a(t − 1) について厳密単調なの
で，ニュートン・ラフソン法により数値的に求めればよい．時点を増や
して，このステップを各時点で繰り返していく．
11.3.2
3 項ツリー：Hull-White モデル
• 前節の 2 項モデルで平均回帰モデルを扱おうとしても，時間幅を等間隔にす
るとツリーが結合しない．ここでは平均回帰性を扱うために，3 項ツリーを
考える．
• 短期金利過程 r は (11.35) に従っているものとする．したがって，以下では
ボラティリティを定数として扱うが，(11.41)(11.42) を扱うように拡張する
ことは可能である．また，r の代わりに log r をツリーの対象にすることによ
り，Black-Karasinski モデル (11.43) を扱うこともできる．
ステップ 1
• 最初に，θ(t) の項を分離して，架空の r を考える．
drt = −αr dt + σ dZtQ ,
r0 = 0
(11.59)
• 平均回帰性を表現するために，Figure 30.7 (p698) の三種類の分岐方法をと
るものとして，3 項ツリーを Figure 30.8 (p699) のようにおく．各ノードで
三つの推移確率がすべて正になるように，分岐方法を選択する必要がある．
11. 金利デリバティブ
127
通常ノード
上昇ノード
(t + 1, j + 1)
*
pu pm (t-+ 1, j)
(t, j) H
HH
HH
pd H
H
j
H
(t + 1, j − 1)
pu
下落ノード
(t + 1, j + 2)
(t + 1, j + 1)
*
pm (t, j)
pd
(t + 1, j)
(t, j)
pu (t + 1, j)
H
@HH p
m
@ HH
@
H(tH+ 1, j − 1)
H
j
@
@
pd @
@
@
R
(t + 1, j − 2)
• 時間を t = 0, 1, . . . , と分割し5 ，
rt (j) = j∆r
√
(11.60)
として，安定性と収束性から状態間の金利の差 ∆r = σ 3 とする．3 項ツ
リーでの推移確率を上から，pu , pm , pd とおく．pm = 1 − pu − pd である．rt
から rt+1 に推移する平均と分散が (11.59) に一致するように，pu と pd を定め
ると，
– 通常のノード
1 1
+ αj(αj − 1)
6 2
1 1
pd = + αj(αj + 1)
6 2
0.816
< j < α のとき，確率は正の値になる．
pu =
ただし， −0.816
α
(11.61)
– 上昇ノード
1 1
+ αj(αj + 1)
6 2
7 1
pd = + αj(αj + 3)
6 2
< j < − 0.184
のとき，確率は正の値になる．
α
pu =
ただし，− 1.816
α
(11.62)
– 下落ノード
7 1
+ αj(αj − 3)
6 2
1 1
pd = + αj(αj − 1)
6 2
1.816
< j < α のとき，確率は正の値になる．
pu =
ただし， 0.184
α
5
以下では，表記の単純化のために，時間幅 ∆t を 1 単位にする．
(11.63)
11. 金利デリバティブ
128
したがって， 0.184
から 0.816
の間にある jmax で通常ノードから下落ノードに
α
α
0.184
分岐を変更し，− α から − 0.816
の間にある jmin で通常ノードから上昇ノー
α
ドに分岐を変更すれば，正の確率を維持できる．分岐の変更水準 jmin , jmax
は，時点に依存させる必要がない．
より大きい最小の整数を jmax に用いて，jmin = −jmax
• Hull-White は， 0.184
α
とおくことを提案している．この段階では，ツリー全体は上下対称になって
いる．
ステップ 2
• 次に，θ(t) の項を考慮して，(11.59) から (11.35) に戻す．具体的には，金利
の期間構造を再現するように，ツリーの各時点 t で，ノードの値を a(t), t =
0, 1, . . . , だけシフトすればよい．
rt (j) = a(t) + j∆r
(11.64)
a(t), t = 0, 1, . . . , を得るには，BDT モデルと同様に，以下のフォワード・イ
ンダクションによる．最終的に，Figure 30.8 (p699) から Figure 30.9 (p702)
のようなツリーが得られる．
• 状態価格を ψ(t, j) とおく．ある時点 t−1 のすべての状態 j における ψ(t−1, j)
と，a(t − 1) の値を用いて，ψ(t, j) を得ることができる．
∑
ψ(t − 1, k)p(k, j) exp(−a(t − 1) − j∆r)
(11.65)
ψ(t, j) =
k
ただし，p(k, j) はステップ 1 で計算された状態 k から j への推移確率を表す
（値は時点には依存しない）．こうして得た ψ(t, j) と，所与の満期 t + 1 の割
引債価格 B0 (t + 1) に関する次の関係式から a(t) を得ることができる．
∑
B0 (t + 1) =
ψ(t, j) exp(−a(t) − j∆r)
(11.66)
j
• 実際には，t = 0 から始めて，帰納的に計算すれば，状態価格と a(t) を得る
ことができる．BDT モデルの場合と異なり，ニュートン・ラフソン法による
数値計算は不要である．
11.4
カリブレーションとヘッジ
• §30.8 (p707)
• §30.9 (p709)
11. 金利デリバティブ
129
11.5
フォワードレートモデル
11.5.1
Heath-Jarrow-Morton (HJM) モデル
• 以下により与えられる瞬間的なフォワードレートを ft (s) とおく．
)
( ∫ s
d log Bt (s)
ft (s) = −
ft (u) du
⇐⇒ Bt (s) = exp −
ds
t
(11.67)
ft (t) = rt である．
• HJM モデルでは，各時点 s について，フォワードレートを次のようにモデル
化する．
∫
∫
t
ft (s) = f0 (s) +
t
σv (s) · dZvQ
αv (s) dv +
0
(11.68)
0
微分形で書けば，
dft (s) = αt (s) dt + σt (s) · dZtQ
(11.69)
である．ただし，α(s) と σ(s) はそれぞれ R と Rd に値をとる適合過程で，Z Q
は d 次元の標準ブラウン運動である．無裁定条件から，α(s) は自由に決まる
わけではなく，σ(s) との間に以下の関係がある．
∫ s
αt (s) = σt (s) ·
σt (u) du
(11.70)
t
すなわち，フォワードレートのドリフトは拡散係数から完全に定まる．
（証明） まず，
∫
∫ s∫
s
log Bt (s) = −
f0 (u) du −
∫t s
=−
t
αv (u) dvdu −
0
∫t ∫
t s
f0 (u) du −
t
∫ s∫
t
σv (u) · dZvQ du
0
∫t ∫
t s
αv (u) dudv −
0 t
σv (u)du · dZvQ
0 t
(11.71)
11. 金利デリバティブ
130
となる．2 行目は積分順序の変更（フビニの定理）による．微分形で書くと6
(∫ t
)
∫ s
αv (t) dv −
αt (u) du dt
d log Bt (s) = f0 (t) dt +
0
t
(∫ t
)
(∫ s
)
Q
(11.72)
+
σv (t) · dZv dt −
σt (u) du · dZtQ
0
t
(
)
(∫ s
)
∫ s
= rt −
αt (u) du dt −
σt (u) du · dZtQ
t
t
を得る．したがって，
)
(
∫ s
∫
∫ s
1 s
dBt (s)
= rt −
αt (u) du +
σt (u) du ·
σt (u) du dt
Bt (s)
2 t
t
t
(∫ s
)
−
σt (u) du · dZtQ (11.73)
t
∫t
が成り立つ7 ．Bt (s)e− 0 rs ds は Q マルチンゲールであることから，
∫ s
∫
∫ s
1 s
αt (u) du =
σt (u) du ·
σt (u) du
(11.74)
2 t
t
t
でなくてはならない．これを s で微分すると，(11.70) を得る．
• 短期金利は，rt = ft (t) から
∫ t
∫ t
∫ t
rt = f0 (t) +
σv (t) ·
σv (u) du dv +
σv (t) · dZvQ
0
v
(11.75)
0
になる．HJM モデルでは，たとえフォワードレートがマルコフ過程であって
も，一般には短期金利はマルコフ過程とは限らない．つまり，rt は時点 t ま
でのパス全体に依存する．このことは，モンテカルロやツリーなどを実装す
る際に問題になる．
（Figure 31.1, p718）．
– σ に条件を課すことで，短期金利はマルコフ過程になることが知られて
いる8 ．
6
微分の公式
(∫
) (
∫
b(t)
′
′
d
g(t, s) ds = b (t)g(t, b(t)) − c (t)g(t, c(t)) +
)
∂
g(t, s) ds dt
c(t)
c(t) ∂t
)
(∫
)
(∫
b(t)
b(t)
(
)
∂
′
′
g(t, s) dBs dt
d
g(t, s) dBs = b (t)g(t, b(t)) − c (t)g(t, c(t)) dBt +
c(t)
c(t) ∂t
7
8
b(t)
f (x) = ex のとき df (x) = f (x) dxt + 12 f (x) d⟨x, x⟩t であることを用いた．
例えば，木島（1999）『期間構造モデルと金利デリバティブ』を参照．
11. 金利デリバティブ
131
フォワードカーブと SPDE
• 前述の HJM モデルでは，将来の時点 s を固定してフォワードレートを扱っ
たが，ここでは期間 s − t を固定して考える．
• フォワードレートのカーブを gt (τ ) で表す．
gt (τ ) := {ft (t + τ ) : 0 ≤ τ ≤ ∞}
(11.76)
ただし，ft (t + τ ) は (11.67) のフォワードレートで，τ は満期までの残存期間
を表す．ςt (τ ) = σt (t + τ ) とおくと，(11.68) から，g(τ ) は以下に従う．
∫ τ
∂gt (τ )
dt + ςt (τ ) ·
ςt (z) dz + ςt (τ ) · dZtQ
(11.77)
dgt (τ ) =
∂τ
t
これは確率偏微分方程式（stochastic partial differential equation, SPDE）で
ある．適当な条件のもとで，フォワードカーブ g(τ ) はマルコフ過程になる．
11.5.2
LIBOR マーケットモデル（LMM）
• HJM モデルで扱っているのは瞬間的なフォワードレートであるが，実際に観
測できるのはフォワード LIBOR のようにある期間のフォワードレートであ
る．フォワード LIBOR をモデル化するアプローチを LIBOR マーケットモ
デル (LMM) あるいは Brace-Gatarek-Musiela (BGM) モデルと呼ぶ．
• LIBOR のリセット日を t0 , t1 , . . . , tn−1 ，受渡日を t1 , . . . , tn−1 , tn とする．δk−1 :=
tk −tk−1 とし，tk−1 から tk までをカバーする LIBOR を L(tk−1 ) とおく．L(tk−1 )
は時点 tk−1 で定まる．時点 t < tk−1 からみたフォワード LIBOR を Lft (tk−1 )
とおく．フォワード LIBOR は (11.10) により与えられる．
• Lft (tj ) は Tj+1 -マルチンゲールであった．ここでは以下に従うものと仮定する．
j,Tj+1
dLft (tj ) = σj (t)Lft (tj ) dZt
j = 0, . . . , n − 1
,
(11.78)
j,T
ただし，σj (t) は時間の関数で，Zt j+1 は Tj+1 のもとでの 1 次元標準ブラウン
運動を表す．測度 Tk+1 を固定すると，各リセット日 tj のフォワード LIBOR は
j,Tk+1
dLft (tj ) = µt
j,Tk+1
dt + σj (t)Lft (tj ) dZt
,
j,T
j = 0, . . . , n − 1
(11.79)
の形式になるが，HJM モデルと同様に，µt k+1 はボラティリティに依存し
て定まるはずである．さらに，以下のように定数の瞬間的な相関 ρji を仮定
する．
i,T
j,T
(11.80)
dZt k+1 dZt k+1 = ρji dt
11. 金利デリバティブ
132
• Tj+1 から Tk+1 への測度変換を考える．ニューメレールは B(tj+1 ) から B(tk+1 )
に変更になる．割引債価格は以下を満たす．
∏
1
Bt (tk+1 ) =
(11.81)
f
1
+
δ
L
(t
)
i
i
t
i≤k
ここで，
∏
1
j<k
Bt (tk+1 )  j<i≤k+1 1+δi Lf (ti ) ,
t
= ∏
f
Bt (tj+1 ) 
k<i≤j+1 1 + δi Lt (ti ), j > k
なので，
(
d log
Bt (tk+1 )
Bt (tj+1 )
)
(11.82)

∑
i,Tj+1
δi σi (t)Lft (ti )
(. . . ) dt −
, j<k
j<i≤k+1 1+δi Lf (ti ) dZt
t
=
f
∑
i,Tj+1
δi σi (t)Lt (ti )
(. . . ) dt +
, j>k
k<i≤j+1 1+δ Lf (t ) dZt
i
t
i
(11.83)
の形式になる．したがって，(6.32) から
))
(
(
1
Bt (tk+1 )
j,Tk+1
f
µt
= covt dLt (tj ), d log
dt
Bt (tj+1 )
 ∑
f
f
δ Lt (tj )Lt (ti )

− j<i≤k+1 i1+δ
ρji σj (t)σi (t),

f

i Lt (ti )

= 0,


∑
δi Lft (tj )Lft (ti )

+
ρji σj (t)σi (t),
f
k<i≤j+1
1+δi Lt (ti )
j<k
(11.84)
j=k
j>k
として，(11.79) のドリフト項が定まる．
– 都合のよい同値マルチンゲール測度を選択して，モンテカルロシミュ
レーションを行う際に，この結果を利用することができる．
キャップの IV との関係
• 11.1.3 節 (11.13) で議論した，キャップの IV（スポット・ボラティリティの
IV を指す）を σ
bj とおく．(11.78) の σj (t) とは以下の関係が成り立つ．
∫
1 tj
(σj (t))2 dt = (b
σj )2
(11.85)
tj 0
実際には，離散の時間価格（j = 0, 1, . . . ）でしか IV を観測することができ
ず，この離散の値から σj (t) の形状が推定される．各満期のキャップレット
（およびスワップション）の IV に合うように，σj (t), j = 1, 2, . . . の形状を
定める必要がある．
11. 金利デリバティブ
133
スワップションの IV との関係
• スワップションとの関係を考えるために，時点 t0 > t から始まるフォワード
スワップを考える．(11.14) から，フォワード・スワップ・レート Ctf (t0 ) は，
以下で与えられる．
1 − Bt (tn )/Bt (t0 )
Bt (t0 ) − Bt (tn )
Ctf (t0 ) = ∑n−1
= ∑n−1
i=0 δi Bt (ti+1 )
i=0 δi Bt (ti+1 )/Bt (t0 )
(11.86)
ここで，(11.81) から
Bt (ti ) ∏
1
=
Bt (t0 ) j=0 1 + δj Lft (tj )
i−1
の関係があることに注意すると，
1−
Ctf (t0 ) = ∑n−1
(11.87)
∏n−1
1
j=0 1+δj Lf (tj )
t
∏i
1
i=0 δi
j=0 1+δj Lf (tj )
t
(11.88)
を得る．これは Lft (t0 ), . . . , Lft (tn−1 ) の関数である．
• 11.1.4 節の枠組みにおけるスワプションの IV σ
bs との関係を導くために，伊
藤の補題を用いて
d log Ctf (t0 )
= (. . . ) dt +
1
n−1
∑
∂Ctf (t0 )
Ctf (t0 ) j=0
∂Lft (tj )
j,St0
σj (t)Lft (tj ) dZt
(11.89)
を得るが，拡散係数について以下が成り立つ9 ．
1
∂Ctf (t0 )
Ctf (t0 )
∂Lft (tj )
=
δj γj (t)
1 + δj Lft (tj )
(11.90)
ただし，γj (t) は，テキスト 725 頁に与えられており，Lft (t0 ), . . . , Lft (tn−1 ) の
関数である．したがって，Ctf0 (t0 ) のボラティリティは
∫ t0 ∑
δj γj (t)
δj γi (t)
ρji σj (t)σi (t)Lft (tj )Lft (ti ) dt (11.91)
f
f
0 0≤j,i≤n−1 1 + δj Lt (tj ) 1 + δi Lt (ti )
となる．含まれるすべての Lft (tj ) を初期の値 Lf0 (tj ) で近似すれば，ボラティ
リティは確定的になり，Ctf (t0 ) は対数正規分布に従う．上式の値を IV t0 (b
σs )2
に一致するように，σj (t), j = 0, 1, . . . の値をカリブレーションすることに
なる．この場合にも，離散の時間価格（j = 0, 1, . . . ）でしか IV を観測する
ことができない．
9
導出は省略するが，直接計算すればよい．
11. 金利デリバティブ
134
ファクター数の縮約
• (11.78) のモデル化において，例えば，30 年後までの四半期間の LIBOR を対
象にすると，30 × 4 = 120 個のファクターを扱うことになり，実務上の困難
が生じる．そこで，しばしば数個のブラウン運動だけで表現することが行わ
れる．
T
• 具体的には，互いに直行する d 次元の標準ブラウン運動 Wt j+1 と，ノルム 1
の d 次元ベクトル Uj を用いて，
j,Tj+1
Zt
T
= Uj · Wt j+1 ,
j = 0, . . . , n − 1
(11.92)
のようにおく．例えば，d = 3 ならば，120 個のフォワード LIBOR は 3 個の
不確実性から変動することになる．
ボラティリティスキュー
• ここまでは，フォワード LIBOR に (11.78) の対数正規モデルを仮定してき
た．しかし，このモデルでは，例えば ATM 以外のキャップのクォートも観
測可能な場合などで IV の形状にスキューがあるとき，これを扱うことはで
きない．
• ボラティリティスキューを考慮するには，(11.78) の対数正規モデルの代わり
に，9 章で述べた CEV モデルや SABR モデルなどを使う方法が提案されて
いる．取り扱い方法は，基本的には対数正規モデルの場合と同様である．
カリブレーション
• p726
135
第 12 章 クレジットデリバティブ
クレジットリスクのモデル
12.1
• クレジットリスクを考慮した価格理論には，大別して構造モデル（structural
form model）と誘導モデル（reduced-form model）がある．
• 構造モデルでは，経済学的にデフォルト発生のメカニズムを定義してモデル
化される．一方で，誘導モデルでは，デフォルトの発生を突発的な事象とし
て外生的に扱う．構造モデルはデフォルトと証券価格の関係に関する理論的
な洞察を与え，誘導モデルは証券の市場価格を柔軟に表現できるという特徴
を持つ．
12.1.1
構造モデル
Merton モデル
• 構造モデルの嚆矢である Black and Scholes (1973) と Merton (1974) では，株
式のほかに単一の割引債から資金を調達している企業を想定している．社債
の満期までは株式への配当支払いはないものとし，企業が保有する資産が生
み出す将来のキャッシュフローの現在価値を資産価値と呼ぶ．資産価値 A は
以下に従うものとする．
dAt = µA At dt + σA At dZt
= rAt dt + σA At dZtQ
(12.1)
µA , r, σA はすべて正の定数である．
– リスク中立測度 Q のもとで上式のドリフトが rAt であるという仮定を
正当化するには，資産価値そのものが取引されているか，あるいは他の
取引可能な証券の資金自己調達戦略によって資産価値を複製することが
できるという市場の完備性を仮定する必要がある．
12. クレジットデリバティブ
136
⽶ௌ
䋨ௌ೛䋩
⾗↥ଔ୯
䈱Ⴧട
⾗↥ଔ୯
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⾗↥ଔ୯
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⾗↥ଔ୯ #ߩᄌേ
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⾗↥ଔ୯ #
A0
࠺ࡈࠜ࡞࠻Ⴚ⇇ 㧩ௌ೛㗵㕙
.
ᤨ㑆
6
࠺ࡈࠜ࡞࠻⏕₸
Pr( AT < L)
• 社債の額面を L，満期を T とし，社債の満期 T において，資産価値 AT が契
約上の支払額 L を下回る場合，デフォルトが発生し，AT しか社債保有者には
支払われないとする．逆に AT が L を上回る場合には，社債保有者に L が支
払われ，残りの価値 AT − L は株主に帰属するものとする．すなわち，時刻 T
における社債保有者の受け取りは min(AT , L) で，株主は残額 max(AT − L, 0)
を受け取る．
• この仮定のもとで，時刻 t における株式価格 Pt と社債価格 Dt は，それぞれ
以下になる．
[
]
Pt = EtQ e−r(T −t) max(AT − L, 0) = BScall(At , σ, r, L, T − t)
(12.2)
12. クレジットデリバティブ
137
[
]
Dt = EtQ e−r(T −t) min(AT , L) = e−r(T −t) L − BSput(At , σ, r, L, T − t)
(12.3)
ただし，BScall と BSput はそれぞれ Black-Scholes 式におけるコールオプショ
ンとプットオプションの価値を表す．
– 社債スプレッド st は，
st = −
1
log Dt − r
T −t
(12.4)
– 株価と社債価格の和は，資産価値に等しい（プット・コール・パリティ）．
Pt + Dt = At
(12.5)
資本構成は資産価値に影響を与えない．モジリアニ・ミラー（MM）定
理として知られる．
∗ 税金や倒産コストを考慮すると，企業価値は資本構成に依存する
（後述）．
• 標準正規累積分布関数 Φ を用いて，実測度のもとでのデフォルト確率は以下
で与えられる．
[
]
log L/At − (µA − σA2 /2)(T − t)
√
P [AT < L | At ] = Φ
(12.6)
σ T −t
– これを用いて，デフォルト確率を計算するには，資産価値 At とそのボ
ラティリティσ ，そのドリフト µ が必要になる．一つの方法として，株
価 Pt と株価のボラティリティσtp を所与とすると，(12.2) と，(12.2) に
伊藤の補題を適用して得られる
∂Pt
σAt = σtp Pt
∂At
(12.7)
∂Pt
からなる非線形連立方程式により，At と σ を得ることができる． ∂A
は
t
BS 式のデルタを表す．µ の値を別途推定すれば，デフォルト確率を推
定できる．
初到達型デフォルトモデル
• Merton モデルの問題点
12. クレジットデリバティブ
138
– 債券の満期以前に資産価値が低下してもデフォルトしない．デフォルト
は債券の満期でのみ発生し得る．
– 資産価値が債券額面を下回っても新たにファイナンスできれば，債券の
償還額を賄えるはず．
• Merton モデルの単純な拡張として，債券の満期 T 以前に資産価値 A が外生
的に定めたある境界 K を最初に下回った時点でデフォルトが発生すると考
えるモデルもある．8 章のバリアオプションと同様の計算方法により，この
場合でも株価や債券価格の解を明示的に得ることができる．
• さらに Leland (1994) は，外生的に与えられた境界ではなく，内生的に定ま
る境界を資産価値が最初に下回った時点でデフォルトすることをモデル化し
ている．具体的な前提は，
– 株式価値を最大化するように，株主（= 経営者）がデフォルトを定める．
∗ 最適停止問題に帰着し，永久アメリカン・プット・オプションや，
リアルオプション（撤退オプション）と同様な議論である．
∗ 資産価値が下落して，内生的に定まるある境界に最初に到達した際
にデフォルトするのが最適になる．
– 企業の資産が生み出すキャッシュフロー δ は，リスク中立測度 Q にもと
で以下の幾何ブラウン運動に従う1 ．
dδt = µδ δt dt + σδ δ dZtQ
(12.8)
企業の資産価値 A は，
[∫
At =
EtQ
∞
e
−r(s−t)
]
δs ds =
t
δt
r − µδ
(12.9)
になり，古典的なゴードン成長モデルに一致する．
– 企業はデフォルトするまで一定のクーポン c を連続的に支払うコンソー
ル債（永久債）を発行しているものとする．
– 税効果を考慮し，税率を θ ∈ (0, 1) とする．利息支払いには節税効果が
あり，株式は社債に劣後するので，毎時刻に株主に支払われる配当は
δt − (1 − θ)c になる．
1
A が有限であることを担保するために，µδ < r とする．
12. クレジットデリバティブ
139
– 倒産コストを考慮し，デフォルト時刻 τ に，資産価値が αAτ − だけ減少
する．すなわち，デフォルト時回収額は (1 − α)Aτ − で，これが τ にお
ける社債価格になる．
• これらの前提のもとで，株価 Pt は以下の最適化問題により与えられる．
[∫ τ
]
Q
−r(τ −t)
Pt = max Et
e
(δs − (1 − θ)c) ds
(12.10)
τ ∈T
t
ただし，T は停止時刻の集合である．この問題の最適なデフォルト時刻は，
資産価値 A が下落して，定数として定まるデフォルト境界 AB への初到達時
刻 τ (AB ) = inf{s : As ≤ AB , s ≥ t} として定まる．これを解くと，株価とデ
フォルト境界はそれぞれ
[
(
)−γ
(
)−γ ]
At
(1 − θ)c
At
Pt = At −
AB −
1−
AB
r
AB
(12.11)
γ
AB = (1 − θ)c
r(1 + γ)
)
(
√
になる2 ．ただし，γ = (µδ − σδ2 /2) + (µδ − σδ2 /2)2 + 2rσδ2 /σδ2 とおいた．
このことから，社債価格 Dt は，以下のように定まる．
[∫
]
τ (AB )
Dt = EtQ
e−r(s−t) c ds + e−r(τ (AB )−t) (1 − α)AB
[
t
c
1−
=
r
(
At
AB
)−γ ]
(
+
At
AB
)−γ
(12.12)
(1 − α)AB
企業価値を債券と株式の価格の合計として定義すると，(12.11) と (12.12) か
ら，企業価値 Pt + Dt は
[
(
)−γ ] (
)−γ
At
At
θc
Pt + Dt = At +
1−
−
αAB
| {z }
|{z}
r
AB
AB
{z
}
企業価値
資産価値
|
{z
} |
税効果
倒産コスト
になり，資産価値に税効果が加わり，倒産コストが控除されたものになる．
– 税効果と倒産コストを考慮すると，両者の間にはトレードオフの関係が
生じる．借り入れを増やして支払い利息が増加すると，税効果の分だけ
企業価値が高まるが，一方で，デフォルト確率が上昇するので，倒産コ
ストが増加する．
2
(
At
AB
)−γ
は，停止時刻 τ (AB ) に支払われる 1 単位の，時刻 t での価値を表す．
12. クレジットデリバティブ
140
– 負債比率を Dt /(Pt + Dt ) とする．ある程度の水準までは負債比率を高め
ると企業価値は増加するが，この水準を超えると企業価値は減少する．
この企業価値を最大にする負債比率は σδ によって異なる．σδ は企業の
キャッシュフローあるいは資産価値のボラティリティを表す．他のパラ
メータが同じならば，よりリスクの高い事業を行っている企業ほど，企
業価値を最大にする負債比率は低い．
図 12.1: 企業価値と負債比率の関係：税効果と倒産コストのトレードオフ
125
5%
ડᬺଔ୯
120
10 %
115
110
20 %
105
100
0.2
0.4
0.6
0.8
⽶ௌᲧ₸
資産価値 At を 100，リスク中立測度のもとでの資産価値のドリフト µδ をゼロ，無リ
スク金利 r を 1%，税率 θ を 35%，デフォルト時損失率 α を 50%とおき，ボラティリ
ティσδ を 5%，10%，20%とした場合の負債比率と企業価値の関係を表す．
12.1.2
誘導モデル
生存確率とデフォルト確率
• 時点 0 からみて，時点 t でも生存している確率を p(t) とする．デフォルト時
刻を τ とすると，
[
]
p(t) = P [τ > t] = E 1{τ >t}
(12.13)
と書ける．時点 0 からみて，時点 t までにデフォルトする確率 q(t) は以下に
なる．
q(t) = 1 − p(t)
(12.14)
• 時点 0 からみて，時点 t から s > t までの間にデフォルトする確率は
[
]
[
]
E 1{t<τ ≤s} = E 1{t<τ } − 1{s<τ } = p(t) − p(s)
(12.15)
12. クレジットデリバティブ
141
になる．時点 t に生存しているという条件のもとで，時点 s でも生存してい
る条件付確率は
[
] p(s)
E 1{τ >s} | τ > t =
(12.16)
p(t)
である．
ハザードレート
• 生存確率 p(t) を用いて，時点 t の次の瞬間にデフォルトする確率密度は q ′ (t) =
−p′ (t) である．
• したがって，時点 t まで生存する条件のもとで，次の瞬間にデフォルトする
条件付確率密度 h(t) は
−p′ (t)
h(t) =
(12.17)
p(t)
である．h(t) をハザードレートという．
– 時点 t まで生存する条件のもとで，t + ∆t までの間にデフォルトする条
件付確率はおおよそ h(t)∆t に等しい．
• (12.17) から以下が成り立つ．
生存確率
デフォルト確率
p(t) = e−
∫t
0
h(u) du
q(t) = 1 − e−
∫t
0
h(u) du
(12.18)
(12.19)
デフォルト強度
• デフォルト時刻 τ をポアソン過程の最初の到着時刻とする．
– ポアソン過程の平均到着率（強度（intensity）と呼ばれる）を λ（定数）
とする．
– 時刻 t までの生存確率は p(t) = e−λt となり，デフォルトが発生するま
での時刻は指数分布にしたがう．
– デフォルトが発生するまでの期間の期待値は 1/λ である．
∗ 強度を 0.05 とすると，1 年以内にデフォルトする確率は 1 − e−0.05 ≈
5% である．
12. クレジットデリバティブ
142
ポアソン過程の例
• ポアソン過程は，ランダムに発生す
る事象を表す基本的な確率過程
3
2
• 顧客の到着や故障の発生，固体の出
生などのモデル化に使われる
1
時間
非斉時ポアソン過程
• 強度を定数とするモデルでは制約が強い．強度を時間の関数 λ(t) とすること
もできる．このとき，生存確率 p(t) とデフォルト時刻の確率密度 −p′ (t) は
p(t) = e−
∫t
0
λ(u) du
,
−p′ (t) = λ(t)e−
∫t
0
λ(u) du
(12.20)
になる．この場合，強度はハザードレートに一致する．
二重確率ポアソン過程（コックス過程）
• さらに一般化して，強度 λ を確率過程として扱うのが一般的である．実際に，
デフォルト確率は経済や債務者の状況に応じて，確率的に変動するだろう．
• サンプルパス {λt ; t ≥ 0} を所与にして3 ，非斉時ポアソン過程の最初の到着
時刻にデフォルトが発生するものとする．このとき，生存確率 p(t) とデフォ
ルト時刻の確率密度 −p′ (t) は
[ ∫t
]
[
]
∫
− 0 λu du
′
− 0t λu du
p(t) = E e
,
−p (t) = E λt e
(12.21)
になる．
– p(t) の表現は，金利モデルにおける割引債価格と同じ形式である．期間
構造モデルのテクニックが利用できる．
– ハザードレートは，フォワードレートに対応している．
3
通常の二重確率ポアソン過程の設定では，デフォルト発生時刻 τ 以外の確率過程（金利 r や強
度 λ の不確実性を含む）の値を所与とする条件のもとで，τ が非斉時ポアソン過程の最初の到着時
刻であることが仮定される．したがって，この枠組みでは，デフォルト発生そのものが金利や他の
企業のデフォルト強度などの他の確率過程に影響を与えない．
12. クレジットデリバティブ
143
価格評価：割引社債の例
• デフォルトフリーの割引債価格は以下であった．
[
( ∫ T
)]
Q
B0 (T ) = E exp −
rt dt
(12.22)
0
• λQ をリスク中立測度のもとでのデフォルト強度過程とおくと，デフォルト
b0 (T ) は
時の回収額がゼロである場合の社債価格 B
[
( ∫ T
)
]
Q
b
B0 (T ) = E exp −
rt dt 1{τ >T }
0
( ∫ T
)
( ∫ T
[
)]
Q
Q
(12.23)
= E exp −
rt dt exp −
λt dt
0
0
[
( ∫ T(
) )]
Q
Q
= E exp −
rt + λt dt
0
になる．
• 額面に対するデフォルト時損失率 lτ を考慮すると，
[
( ∫ T
)
( ∫ τ
)
]
Q
b
B0 (T ) = E exp −
rt dt 1{τ >T } + exp −
rt dt (1 − lτ )1{τ ≤T }
0
0
[
( ∫ T(
) )]
Q
Q
= E exp −
rt + λt dt
0
[
( ∫ s(
∫ T
) )]
Q
Q
+
E (1 − ls )λs exp −
ds
rt + λt dt
0
0
(12.24)
になる．
• 社債スプレッド
– もし，r と λQ が独立で，l が定数（あるいは l が r や λ とは独立で，l の
期待値を l と置き直すと），かつ l が額面に対する割合ではなく，同じ満
期のデフォルトリスクのない債券の割引債価格に対する割合4 であれば，
[
( ∫ T
)
]
(
)
Q
b
B0 (T ) = E exp −
rt dt 1 − l1{τ ≤T }
(12.25)
0
(
)
= B0 (T ) 1 − lq Q (T )
4
すなわち，デフォルト時刻 τ < T に，(1 − l)Bτ (T ) だけ回収できるものとする．
12. クレジットデリバティブ
144
]
[
になる．q Q (T ) = E Q 1{τ ≤T } は，リスク中立測度のもとでのデフォル
ト確率を表す．
– このとき，社債スプレッド s は
(
)
1
1
b
s = − log B0 (T ) − − log B0 (T )
T
T
(
) lq Q (T )
1
= − log 1 − lq Q (T ) ≈
T
T
(12.26)
したがって，s は，リスク中立測度のもとでの期待デフォルト損失率を
意味する．
– このほか，実際には，社債スプレッドには流動性プレミアムも含まれて
いる．
• Duffie-Singleton モデル
– デフォルト時損失率 l を額面に対する割合ではなく，デフォルト直前の
社債価格に対する割合として定義すると，社債価格は以下のシンプルな
表現になる．
[
( ∫ T
)(
)]
Q
b
b
B0 (T ) = E exp −
rt dt 1{τ >T } + (1 − lτ )Bτ − (T )1{τ ≤T }
0
[
( ∫ T(
) )]
Q
Q
= E exp −
rt + lt λt dt
0
(12.27)
∗ r t + l t λQ
t はデフォルトの可能性を考慮した短期金利と解釈できる．
∗ 例えば，rt と lt λQ
t にアフィン過程（CIR モデルなど）を仮定すれ
ば，社債価格を解析的に表現できる．
注意：クレジットスプレッドに含まれるリスクプレミアム
• スプレッドがインプライするデフォルト確率はリスク中立測度のもとでのも
のであり，これは実測度のもとでのデフォルト確率とは異なる．
[
( ∫ T
)]
Q
Q
Q
リスク中立測度： q (T ) = 1 − E exp −
λt dt
0
[
( ∫ T
)]
実測度： q(T ) = 1 − E exp −
λt dt
0
12. クレジットデリバティブ
145
• 通常の状況では，スプレッドがインプライするデフォルト確率は，実測度の
もとでのデフォルト確率よりも高いと考えるのが自然であろう．両者の差は
リスクプレミアムからもたらされる．言い換えれば，デフォルトリスクのあ
る債券への投資には，正の期待超過リターンが見込まれる．
– 平均的な市場参加者がリスク回避的であれば，デフォルトリスクに対す
るプレミアムは正になる．したがって，λQ
t > λt であることが多いはず．
• 例えば (12.25) の前提のもとで，スプレッドがインプライするリスク中立測
度のもとでのデフォルト確率は，(12.26) から
q Q (T ) ≈
sT
l
(12.28)
となる．通常の場合，これは格付から推定される実測度のもとでのデフォル
ト確率よりも随分と高い．
• 価格評価のためには，リスク中立測度のもとでデフォルト確率や強度を扱う
必要がある．
12.2
クレジットデリバティブ
• クレジットデリバティブとは，クレジットリスクを移転する OTC デリバティブ
– クレジットリスクをはずしたい主体と引き受けたい主体の間で取引さ
れる
– リスクを引き受ける側にフィーが支払われる
– 社債と異なり，ロングとショートが同程度に容易
様々なクレジットデリバティブ
• 個別銘柄
– クレジット・デフォルト・スワップ（CDS），アセット・スワップ（ASW），
トータル・リターン・スワップ（TRS）
• 複数銘柄
– CDS インデックス
12. クレジットデリバティブ
146
図 12.2: クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）
ƒXƒvƒŒƒbƒhiƒvƒŒƒ~ƒAƒ€j
‚Ì’èŠú“I‚ÈŽx•¥‚¢
ƒvƒƒeƒNƒVƒ‡ƒ“
‚Ì”ƒ‚¢Žè
ƒNƒŒƒWƒbƒgƒŠƒXƒN‚̃Vƒ‡[ƒg
ƒNƒŒƒWƒbƒgƒCƒxƒ“ƒg
”­¶Žž‚ÌŽx•¥‚¢
ŽQÆ‘gD
ƒvƒƒeƒNƒVƒ‡ƒ“
‚Ì”„‚èè
Ž
ƒNƒŒƒWƒbƒgƒŠƒXƒN‚̃ƒ“ƒO
– first-to-default (FTD), nth-to-default (NTD), シンセティック CDO
• オプション
– CDS オプション，スプレッドオプション
• エキゾチック
– CMCDS，CDO2 ，LSS，クレジット CPPI，CPDO，· · ·
12.3
クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）
概要
• CDS は一種の保険契約のようなもの．参照組織にデフォルトが発生した場合
に，損失をまかなうことができる．
• プロテクションの買い手は，売り手にフィー（CDS スプレッド）を定期的
に支払い，参照組織にデフォルト（クレジットイベント）が発生すると，売
り手からデフォルト損失分を受け取る．デフォルトが発生した場合，以後の
CDS スプレッドの受渡しはない．デフォルトリスクは，プロテクションの買
い手から売り手に移転される．
• 契約で，満期，優先債務／劣後債務の別，通貨，クレジットイベントを定める．
• 企業を参照とする CDS が多いが，ソブリンや地方公共団体を参照する CDS
もある．また，ローンや ABS などの特定債務を参照する CDS もある．
• CDS のキャッシュフロー
12. クレジットデリバティブ
147
図 12.3: クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）
– CDS スプレッドの受渡しは年 4 回が標準的（3,6,9,12 月の各 20 日）．様々
な満期のものがクォートされているが，満期 5 年が指標的とされる．
• クレジットイベント（CE）の定義は，以下の三つをあわせた 3CE か，上か
ら二つの 2CE が一般的．
1. バンクラプシー：破産や倒産，債務超過など．
2. 支払不履行：支払猶予期間を超えた債務の不履行
3. リストラクチャリング：金利減免や元本減額，債務の繰延など
– ソブリンの場合には，バンクラプシーの代わりに履行拒否/支払猶予が
用いられる．
• デフォルト時の決済方法
– 現物決済
∗ 売り手は，元本金額を渡し，参照債務（引渡可能債務）を受け取る
– 現金決済
∗ 売り手は，元本とデフォルト後の参照債務時価との差額（＝回収額）
を支払う．多くの場合，参照債務時価はオークションで決まる．
• クレジットイベントの事例
– 北米を中心に，2008 年以降，イベントが増加．回収率は平均 35%程度
（優先債，優先ローンの場合）であるが，バラツキが大きい．
12. クレジットデリバティブ
148
CDS の評価
• S を CDS スプレッド，t1 , . . . , tm をスプレッドの受渡し時点（∫tm は満期），
s
δi := ti − ti−1 ，τ を参照組織のデフォルト時刻，D(t, s) := e− t rs ds を割引
率とする．
• プレミアムレグの時点ゼロにおける価値（CDS スプレッドの現在価値）Prem0
は
Prem0 = S × PV010
(12.29)
ただし，
PV010 = E Q
[ m
∑(
D(0, ti )δi 1{τ ≥ti } + D(0, τ )(τ − ti−1 )1{ti−1 <τ ≤ti }
)
]
i=1
(12.30)
とおいた．右辺 2 項目はデフォルト時のアクルーアルを表す．金利とデフォ
ルトが独立と仮定すると，
)
∫ ti
m (
∑
(
)
Q
Q
PV010 =
B0 (ti )δi 1 − q (ti ) +
B0 (u) (u − ti−1 ) dq (u)
ti−1
i=1
(12.31)
になる．計算を容易にするために，もしデフォルトが発生する場合には，ス
プレッドの支払期間の中央でデフォルトが発生するものとすると，
)
m (
∑
(
)
)
1 ( Q
Q
Q
PV010 ≈
B0 (ti )δi 1 − q (ti ) + B0 (ti ) δi q (ti ) − q (ti−1 )
2
i=1
=
m
∑
i=1
)
1 (
B0 (ti ) δi pQ (ti ) + pQ (ti−1 )
2
(12.32)
と近似できる．
• 一方，デフォルト時損失率を lτ とおくと，デフォルトレグの価値 Prot0 は，
[
]
Prot0 = E Q D(τ )lτ 1{τ ≤tm }
(12.33)
と書ける．ここでも同様に，金利とデフォルトが独立であるものとし，デフォ
ルト時損失率の期待値を l とおく．さらに，デフォルトの際の決済が次のス
プレッド支払い時点で行われるものと近似すると，
∫ tm
m
∑
(
)
Q
Prot0 =
B(u)l dq (u) ≈ l
B(ti ) pQ (ti−1 ) − pQ (ti )
(12.34)
0
になる．
i=1
12. クレジットデリバティブ
149
• プロテクションの売り手からみた，CDS 契約の価値は S × PV010 − Prot0 に
なる．したがって，パースプレッド S̄0 は
S̄0 =
Prot0
PV010
(12.35)
として定まる5 ．
– 従来，CDS スプレッドはパースプレッドにより取引されてきた．した
がって，満期などの条件が同じでも，契約の時点が異なれば，トレード
毎に契約スプレッドが異なる．しかし，2009 年に各地域で順次，固定
スプレッド（100bp や 500bp など）での取引が標準的になった．
– 固定スプレッドで取引する場合には，契約時点での価値はゼロではな
く，価値をアップフロントで決済する．
• 実際には，CDS スプレッドは市場で観測される．手前の年限の満期の CDS
スプレッドから順にハザードレートを求めて（ブートストラップ），リスク
中立測度のもとでの生存確率（デフォルト確率）の期間構造を推定すること
ができる．CDS スプレッドから得た生存確率は，プレーンものではないクレ
ジットデリバティブの評価に用いられる．
– これは金利カーブの計算方法と同様である．また，割引債価格が生存確
率，フォワードレートがハザードレートに対応する．
図 12.4: 銘柄 A
500bp
CDS䉴䊒䊧䉾䊄
䊂䊐䉤䊦䊃⏕₸䋨ฝ⋡⋓䉍䋩
400bp
図 12.5: 銘柄 B
60%
500bp
50%
400bp
40%
300bp
CDS䉴䊒䊧䉾䊄
䊂䊐䉤䊦䊃⏕₸䋨ฝ⋡⋓䉍䋩
20%
100bp
10%
0%
0bp
1ᐕ 2ᐕ 3ᐕ 4ᐕ 5ᐕ 6ᐕ 7ᐕ 8ᐕ 9ᐕ 10ᐕ
50%
40%
300bp
30%
200bp
60%
30%
200bp
20%
100bp
10%
0%
0bp
1ᐕ 2ᐕ 3ᐕ 4ᐕ 5ᐕ 6ᐕ 7ᐕ 8ᐕ 9ᐕ 10ᐕ
• 金利スワップと同様に，パースレッドの変動とともに，契約後の CDS 契約
の価値は正にも負にもなる．時点ゼロで契約したスプレッドを S とすると，
5
最も簡単な近似表現として，CDS スプレッドが連続的に支払われ，デフォルト時損失率 l とハ
ザードレート h がフラットであれば，CDS スプレッドは hl と書ける．
12. クレジットデリバティブ
150
時点 t における CDS 契約の価値は，プロテクションの売り手からみて，
(
)
S × PV01t − Prott = S − S̄t × PV01t
(12.36)
と書ける．
12.4
CDS インデックス
• 企業や ABS，レバレッジドローン，CMBS，ソブリンなど，複数銘柄を参照
するインデックスがある．
表 12.1: 企業を参照する代表的な CDS インデックス
地域
北米
インデックス
CDX.NA.IG
CDX.NA.HY
iTraxx Europe
iTraxx Japan
欧州
日本
銘柄数
125
100
125
50
CE
2CE
2CE
3CE
3CE
構成銘柄
投資適格銘柄
投機的格付銘柄
投資適格銘柄
投資適格銘柄
図 12.6: CDS インデックスの市場スプレッドの推移
(bp)
600
500
iTraxx Japan㧔ᣣᧄ㧕
400
CDX.NA.IG㧔ർ☨㧕
300
iTraxx Europe㧔᰷Ꮊ㧕
200
100
（出所）Markit Group Ltd.
09/7/30
09/3/30
08/11/30
08/7/30
08/3/30
07/11/30
07/7/30
07/3/30
06/11/30
06/7/30
06/3/30
05/11/30
05/7/30
05/3/30
04/11/30
04/7/30
0
12. クレジットデリバティブ
151
• インデックスそのものを取引することが可能である（株式インデックスや債
券インデックスなどとは異なる）．ほとんどの CDS インデックスは等ウェイ
トで構成される．時間の経過とともに，残存期間が短くなるために，定期的
に新たな構成銘柄により新シリーズが開始される．旧シリーズの構成銘柄は
変わらない．
• インデックスの取引は，個々の CDS をすべて契約するのと同等な経済効果が
ある．デフォルトが発生すると，デフォルト銘柄分の決済が行われ，他の銘
柄分は継続する．例えば，当初の銘柄数が 125 であれば，契約元本の 1/125
の割合だけデフォルトの決済を行い，元本が 124/125 になり，124 の銘柄を
参照することで継続する．
• 理論的には，インデックスのスプレッドは，構成銘柄のスプレッドの PV01
加重平均にほ̇ぼ̇等しいはずであるが，実際には個別銘柄とインデックスは個
別に取引されることから，ある程度の乖離が生じている．
12.5
フォワード CDS
• 個別銘柄のフォワード CDS は，将来のある期間のプロテクションを取引す
るものであるが，スプレッドは取引時点で定まる．スタート時点までの間に
デフォルトが発生すると，デフォルト決済を含む一切のキャッシュフローが
発生しないまま，契約が消滅する．
• 現在時点をゼロとし，将来の時点 t0 から始まるフォワード CDS を考える．
CDS スプレッドの支払時点は t1 , . . . , tm で，tm は満期を表す．δi := ti − ti−1
とおく．
• フォワード CDS スプレッドを S f とおくと，時点ゼロにおけるプロテクショ
ンの価値は，S f × PV01f0 (t0 , tm ) である．ただし，
[ m
]
∑(
)
f
PV010 (t0 , tm ) = E Q
D(0, ti )δi 1{τ ≥ti } + D(0, τ )(τ − ti−1 )1{ti−1 <τ ≤ti }
i=1
(12.37)
Protf0 (t0 , tm )
とおいた．一方，デフォルトレグの価値
は，
[
]
Protf0 (t0 , tm ) = E Q D(τ )lτ 1{t0 ≤τ ≤tm }
(12.38)
になる．したがって，パーのフォワード CDS スプレッドは
S0f (t0 , tm )
=
Protf0 (t0 , tm )
PV01f0 (t0 , tm )
(12.39)
12. クレジットデリバティブ
152
として求まる．
– 異なる表現も可能である．それぞれ異なる満期のスポット CDS 契約に
対応する Prot0 と PV010 を用いて，
Protf0 (t0 , tm ) = Prot0 (tm ) − Prot0 (t0 )
PV01f0 (t0 , tm ) = PV010 (tm ) − PV010 (t0 )
(12.40)
と書ける．スポット CDS のスプレッドは，S0 (ti )×PV010 (ti ) = Prot0 (ti )
を満たすので，
S0f (t0 , tm ) =
S0 (tm ) × PV010 (tm ) − S0 (t0 ) × PV010 (t0 )
PV010 (tm ) − PV010 (t0 )
(12.41)
として，スポット契約の情報だけで表すことができる．
12.6
CDS オプション
• 次に，個別銘柄 CDS のオプション（デフォルトスワプション）を考える．こ
のオプションは，事前に定められた行使スプレッドで，行使日に CDS 契約
を締結することができるオプションである．
– レシーバー・スワプションは，プロテクションの売り手になることがで
きるオプション
– ペイヤー・スワプションは，プロテクションの買い手になることができ
るオプション
• さらに，行使日以前のデフォルト発生について，以下の選択がある．
– ノックアウト・スワプションでは，行使日以前にデフォルト発生が発生
すると，一切のペイオフがないまま契約が消滅する．
– ノンノックアウト・スワプションでは，行使日以前にデフォルト発生が
発生しても，契約は消滅せず，オプションの買い手は，行使日にデフォ
ルト損失を決済することができる．
• 通常の CDS 契約ではデフォルト以後のプレミアム支払いはない．ノンノッ
クアウトのレシーバー・スワプションでは，行使日以前にデフォルト発生が
発生した場合，オプションの保有者は，もし行使をすると，プレミアムをも
らえないにも関わらず，デフォルト損失を負担することになってしまう．し
12. クレジットデリバティブ
153
たがって，ノンノックアウトのレシーバー・スワプションでは，行使日以前
にデフォルト発生が発生した場合，行使されることはない．つまり，レシー
バー・スワプションでは，ノックアウト条項の違いには意味がない．
• 一方で，ノンノックアウトのペイヤー・スワプションの場合，行使日以前に
デフォルト発生が発生すると，行使をすることにより，オプション保有者は
行使時点でデフォルト損失額を受け取ることができる．
12.6.1
ノックアウト・スワプション
• スワプションの行使日を t0 とし，行使スプレッドを K とする．契約の対象
になる CDS のキャッシュフローは前節の記号をそのまま用いる．ノックアウ
トのペイヤー・スワプションの行使時点における価値 VtP0 は以下になる．
(
)+
VtP0 = 1{τ >t0 } Protft0 (t0 , tn ) − K · PV01ft0 (t0 , tn )
(
)+
= 1{τ >t0 } PV01ft0 (t0 , tn ) Stf0 (t0 , tn ) − K
(12.42)
ただし，1{τ >t0 } の指示関数は分かりやすいが冗長なので，以下では省略する．
ノックアウトのレシーバー・スワプションでは以下になる．
(
)+
VtR0 = K · PV01ft0 (t0 , tn ) − Protft0 (t0 , tn )
(12.43)
(
)+
= PV01ft0 (t0 , tn ) K − Stf0 (t0 , tn )
• したがって，ノックアウトのペイヤー・スワプションの現在時点 t における
価値 VtP は以下で表される．
[
(
)+ ]
Q
f
f
P
Vt = Et D(t, t0 )PV01t0 (t0 , tn ) St0 (t0 , tn ) − K
[
(12.44)
(
)+ ]
Q
f
f
= Et PV01t (t0 , tn ) St0 (t0 , tn ) − K
(12.44) を明示的に計算するためには，PV01ft (t0 , tn ) をニューメレールにす
る同値マルチンゲール測度に変換するのが便利なように思える．ところが，
PV01ft (t0 , tn ) は厳密な正ではないので（t0 までの間にデフォルトが発生する
とゼロになる．つまり，t ≥ τ のときゼロ，t < τ のときには厳密に正），通
常の方法による測度変換の議論をそのまま適用できない．
12. クレジットデリバティブ
154
• しかし，Jamshidian (2004)6 の結果から，この問題については，あたかも
PV01ft0 (t0 , tn ) をニューメレールとする測度変換するように扱うことができ
る7 ．この測度を Pb とおくと，(12.44) は以下になる．
]
b[
VtP = PV01t (t0 , tn )EtP (St0 (t0 , tn ) − K)+
(12.45)
• (12.39) で与えられるフォワード CDS スプレッド Stf (t0 , tn ) は，同様の議論か
ら，Pb マルチンゲールになる．したがって，もし，Stf (t0 , tn ) が Pb のもとで
幾何ブラウン運動に従うことを仮定すれば，Black の公式を利用して，オプ
ションの価値 VtP を明示的に計算することができる．VtR も全く同様に得る
ことができる．
• 注意点として，CDS とは異なり，デフォルト時損失率 l が確率的ならば，オ
プションの価格はその影響を強く受けることになる．
12.6.2
ノン・ノックアウトスワプション
ノン・ノックアウトのペイヤー・スワプションの行使時点における価値 VtN,P
は
0
以下になる．
(
)+
N,P
f
f
Vt0 = 1{τ >t0 } PV01t0 (t0 , tn ) St0 (t0 , tn ) − K + 1{τ ≤t0 } l
(12.46)
したがって，時点 t における価格は
[
]
(
)+
N,P
Q
f
f
Vt
= Et D(t, t0 )1{τ >t0 } PV01t0 (t0 , tn ) St0 (t0 , tn ) − K + D(t, t0 )1{τ ≤t0 } l
= VtP + Bt (t0 )Q(τ ≤ t0 | Ft )l
(12.47)
になる．
6
Jamshidian, F. (2004) “Valuation of Credit Default Swaps and Swaptions,” Finance and
Stochastics, 8, 343-371.
7
直感的にいえば，PV01ft0 (t0 , tn ) がゼロのとき，このオプションの価値もゼロになるためであ
る．
155
第 13 章 クレジットデリバティブ –
複数銘柄 –
• 前章に続きクレジットデリバティブを扱うが，ここでは複数の銘柄を参照す
るものを対象にする．銘柄間のデフォルトの依存性（デフォルト相関）をモ
デル化する必要がある．
13.1
デフォルト相関
• （問題） 高格付けの債券への集中投資と，低格付けの債券への分散投資で
は，どちらのクレジットリスクが低いか？
– リスク量は損失の分布に依存するが，両者で分布は異なる．分布はデ
フォルト相関に依存する．
– デフォルト相関の原因
∗ 各債務者のクレジットクォリティは，共通要因（景気循環など）の
影響を受け，デフォルトに依存関係が生じる．
∗ 共通要因（e.g., セクター要因）を共有する債務者間ほど，デフォル
トの依存関係は強いはず．
∗ このほか，デフォルトの発生が他の債務者のクレジットクォリティ
の悪化をもたらし，デフォルトに依存関係が生じる．
– デフォルト相関は，ローンや債券ポートフォリオのリスク管理のほか，
CDO などの金融商品の評価や，クレジットデリバティブのカウンター
パーティリスクの管理でも重要となる．
• 2 銘柄の場合
– 2 銘柄の場合を例に，銘柄 i と j のデフォルト確率をそれぞれ qi , qj とし，
qi > qj とする．デフォルトの発生に特別な関係（独立 or 完全相関 or 背
反）があるならば，デフォルトの同時分布は表 13.1 になる．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
156
表 13.1: デフォルトの同時分布
i と j の双方がデフォルト
i のみデフォルト
j のみデフォルト
i と j の双方が生存
独立
qi qj
qi (1 − qj )
(1 − qi )qj
(1 − qi )(1 − qj )
完全相関
qj
qi − qj
0
1 − qi
背反
0
qi
qj
1 − qi − qj
• 10 銘柄の場合
– 次に，デフォルト確率が 10%の 10 銘柄を考えよう．デフォルト数 L の
確率は
1. デフォルトの発生が 独立 ならば，
( )
10
Pr(L = n) =
0.910−n 0.1n ,
n
n = 0, . . . , 10
特に，Pr(L = 0) = 0.910 ≈ 0.35，Pr(L = 10) = 0.110 ≈ 0.00
2. デフォルトの発生が 完全に依存 している，つまり，ある銘柄がデ
フォルトするときに他のすべての銘柄もデフォルトするならば，


n=0

0.9,
Pr(L = n) = 0,
n = 1, . . . , 9


0.1,
n = 10
– このことから，デフォルト相関が高いほど，ほとんどが生存する確率
と，多くがデフォルトする確率の双方が高まることが分かる．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
157
• デフォルトの発生は独立 or 完全相関 or 背反とはいえず，理論的にも実証的に
もある程度までの正の相関がある．したがって，デフォルトの依存関係（デ
フォルト相関）をモデル化する必要がある．
• 銘柄 i, j のデフォルト時刻をそれぞれ τi , τj とすると，線形相関（通常の相関
係数）は
(
)
– デフォルト事象の相関：Corr 1{τi ≤t} , 1{τj ≤t}
– デフォルト時刻の相関：Corr (τi , τj )
である．しかし，線形相関はデフォルト時刻の表現には適切ではない．正規
分布や t 分布などの楕円分布族以外では，確率変数間の依存関係の表現に通
常の線形相関は適さないことが知られている1 ．
• デフォルト相関のモデル化の種別
– コピュラモデル： 個々の債務者のデフォルトをコピュラ関数で関連付
ける．正規分布を用いたガウシアンコピュラはマートン型モデルとして
みなすことができる．
– 強度モデル： 二重確率ポアソン過程（コックス過程）を用いて，個々の
債務者のデフォルト強度間の相関により，デフォルトの相関を表現する．
– その他： 同時クレジットイベントを用いて，デフォルト強度をモデル
化する方法や，トップダウンアプローチなど．
13.2
デフォルト相関のモデル化
13.2.1
マートン型モデル
• 12.1.1 節のマートンモデルの設定では，デフォルトの発生を負債の満期で資
産価値が負債簿価を下回る状態として定義した．
• 将来のある時点 T を固定して考える．資産価格は対数正規過程であること
から，平均と標準偏差により標準化された対数資産価値 XT の値は，標準正
1
例えば，X と Y の二つの確率変数を考える．Y の実現値 y は X の実現値 x に完全に依存
して，y = x2 という関係があるものとする．X は標準正規分布に従うものとする．このとき，
Corr(X, Y ) = 0 となることが示せる．このように明確な依存関係があって独立ではないにもかか
わらず，線形相関はゼロになる．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
158
規分布に従う．これに対応するデフォルト境界 DT を用いて，デフォルト確
率は，
q(T ) = Pr(XT < DT ) = Φ(DT )
(13.1)
と書ける．Φ は標準正規累積分布関数を表す．クレジットデリバティブの評
価では，デフォルト確率は CDS などから計算される．デフォルト確率を所
与とすれば，デフォルト境界は，DT = Φ−1 (q(T )) になる．
– 例えば，デフォルト確率が q(T ) = 5% であれば，
DT = Φ−1 (0.05) ≈ −1.64
(13.2)
• 2 銘柄の場合で考える．T までにデフォルトが発生する同時分布は，図 13.1
のように，相関のある 2 次元標準正規変数 (XT1 , XT2 ) でシミュレートするこ
とができる．同時デフォルト確率は，XT1 と XT2 の相関に依存する．マートン
型モデルにおける XT1 と XT2 の相関は，アセット相関と呼ばれることがある．
図 13.1: 相関の考慮
⋧㑐䈱䈅䉎㪉ᰴరᮡḰᱜⷙᄌᢙ
䊂䊐䉤䊦䊃
↢ሽ
0.4
0.4
↢ሽ
0.3
0.3
䊂䊐䉤䊦䊃
-3
-2
-1
䊂䊐䉤䊦䊃㑣୯
0.2
0.2
0.1
0.1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
䊂䊐䉤䊦䊃㑣୯
• 例：それぞれのデフォルト確率が 5% である 2 銘柄を考える（図 13.2）．
– −1.64 を下回るグレーの領域がデフォルト発生に相当する．個別銘柄だ
けをみた場合には，デフォルト確率は相関に依存しないが，同時分布は
相関に依存する．
– シミュレーションに頼らなくても，2 次元標準正規分布により，同時分
布を計算することができる（表 13.2）．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
159
図 13.2: デフォルトのシミュレーション
相関 0.1
相関 0.7
㪋
㪋
㪊
㪊
㪉
㪉
㪈
㪈
㪇
㪄㪋
㪄㪊
㪄㪉
㪄㪈
㪇
㪇
㪈
㪉
㪊
㪋
㪄㪋
㪄㪊
㪄㪉
㪄㪈
㪇
㪄㪈
㪄㪈
㪄㪉
㪄㪉
㪄㪊
㪄㪊
㪄㪋
㪄㪋
㪈
㪉
㪊
㪋
– デフォルト相関が高いほど，
∗ 2 銘柄ともに生存する確率と，2 銘柄ともにデフォルトする確率は
高い
∗ 1 銘柄のみデフォルトする確率は低い
表 13.2: デフォルトの同時分布
相関
2 銘柄ともに生存
1 銘柄のみデフォルト
2 銘柄ともデフォルト
0.0
90.25%
9.50%
0.25%
0.2
90.52%
8.95%
0.52%
0.4
90.94%
8.11%
0.94%
0.6
91.55%
6.90%
1.55%
0.8
92.48%
5.05%
2.48%
1.0
95.00%
0.00%
5.00%
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
160
• ここまでは，将来の時点を固定して，デフォルト or 生存を考えてきた．しか
し，デフォルト時刻を扱いたい場合もある．1 銘柄の場合で，デフォルト時
刻 τ をサンプリングするには，一様乱数 U を用いて，τ = q −1 (U ) によりシ
ミュレートすればよい．
（図 13.3）
図 13.3: デフォルト時刻のシミュレーション
デフォルト確率 p(t)
1
U
0
τ
時間 t
– 前述の方法との矛盾はない．なぜならば，X を標準正規確率乱数とす
ると，Φ(X) は一様分布に従うため，
X < Φ−1 (q(t)) ⇐⇒ Φ(X) < Φ(Φ−1 (q(t))) ⇐⇒ U < q(t)
(13.3)
• 2 銘柄の場合で，デフォルト時刻をサンプリングするには，以下の方法を用
いればよい．
（図 13.4）
1. 相関がある 2 次元標準正規乱数 X1 , X2 をサンプリングする．
2. U1 = Φ(X1 ), U2 = Φ(X2 ) により一様乱数を得る．
3. τ1 = q1−1 (U1 ), τ2 = q2−1 (U2 ) によりデフォルト時刻 τ1 , τ2 をシミュレート
できる．
• n 個の銘柄を扱うには，n 次元の正規分布を扱うことになり，n(n − 1)/2 個
の相関係数が必要になる（100 銘柄の場合には 4,950 個！）．そこで，ファク
ターモデルが仮定されることが多い．1 ファクターの場合には，
√
√
X i = ρi M + 1 − ρi εi ,
i = 1, . . . , n
(13.4)
– Xi は，銘柄 i のクレジットクォリティを表す
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
161
図 13.4: デフォルト時刻のシミュレーション（2 銘柄）
1
銘柄 1 のデフォルト確率 p1(t)
U1
相関関係が
ある一様乱数
0
1
τ1
時間 t
銘柄 2 のデフォルト確率 p2(t)
U2
0
τ2
時間 t
– M は共通ファクター，εi は固有ファクターで，互いに独立な標準正規
分布に従う．したがって，Xi も標準正規分布に従う
√
– Xi と Xj（i ̸= j ）の相関は ρi ρj である．もし，全銘柄で ρ が共通なら
ば，Xi と Xj （i ̸= j ）の相関は ρ になる
共通ファクター M を複数にすることも可能（マルチファクターモデル）で
ある．
• 銘柄 i のデフォルト確率を qi (t) とおく．対応するデフォルト境界は Di (t) =
Φ−1 (qi (t)) として得られる．(13.4) で共通ファクター M を所与とした条件付
デフォルト確率は
(
)
√
Di (t) − ρi m
√
Pr (Xi < Di (t) | M = m) = Φ
(13.5)
1 − ρi
で与えられる．
13.2.2
コピュラモデル
• （定義） それぞれの周辺分布が [0, 1] 上の一様分布に従う n 個の確率変数
Ui , i = 1, . . . , n を考える．すべての 1 次元の周辺分布が一様分布である
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
162
U1 , . . . , Un の多変量分布関数としての性質を持つ関数 C : [0, 1]n → [0, 1] を
コピュラという．
C(u1 , . . . , un ) = Pr(U1 ≤ u1 , . . . , Un ≤ un )
– ある関数が実際にコピュラであるためには，いくつかの性質を満たす必
要がある
• Sklar の定理
1. F1 , . . . , Fn を周辺分布とする分布関数 F を考える．すべての x1 , . . . , xn ∈
[−∞, ∞] に対して，
F (x1 , . . . , xn ) = C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ))
(13.6)
を満たすコピュラ C : [0, 1]n → [0, 1] が存在する．周辺分布が連続なら
ば，C は一意に定まる．
2. 逆に，C がコピュラで，F1 , . . . , Fn が 1 次元分布関数ならば，(13.6) で
定義される F は F1 , . . . , Fn を周辺分布とする同時分布関数である．
• (13.6) は，周辺分布とコピュラから同時分布が表現できることを表している．
また，xi = Fi−1 (ui ), 0 ≤ ui ≤ 1 とすれば，(13.6) から，同時分布と周辺分
布からコピュラを表現できる．
C(u1 , . . . , un ) = F (F1−1 (u1 ), . . . , Fn−1 (un ))
• 実際の利用では，Sklar の定理 1 よりも定理 2 の主張が重要である．つまり，
コピュラ関数はアドホックに決められる場合が多い．定理 2 により，任意の
周辺分布と適当なコピュラ関数から，多変量分布を構成することができる．
つまり，コピュラ関数 C と 1 次元周辺分布 F1 , . . . , Fn から，F (x1 , . . . , xn ) :=
C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn )) により多変量分布 F を定義する．
• この場合の F のシミュレーションは以下のように行う．
– ある特定のコピュラ C から実現値 (U1 , . . . , Un ) を発生させて，
(X1 , . . . , Xn ) = (F1−1 (U1 ), . . . , Fn−1 (Un ))
とおけば，X1 , . . . , Xn は，周辺分布が F1 , . . . , Fn で，同時分布が C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ))
の確率ベクトルになる
– 例えばデフォルト時刻のサンプリングを得るには，生存関数 Fi (t) を用
いて，上記のシミュレーションを行えばよい．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
163
コピュラの例
• ガウシアンコピュラ
C(u1 , . . . , un ) = Φn,ρ (Φ−1 (u1 ), . . . , Φ−1 (un ))
ただし，Φ は 1 次元標準正規分布，Φn,ρ は相関行列 ρ の n 次元標準正規分布
の累積分布関数．
– マートン型モデルと同等である．
– ファクターモデル (13.4) は，相関行列 ρ にファクター構造を仮定して，
扱いやすくしたものに相当する．
• t コピュラ
−1
C(u1 , . . . , un ) = tν,ρ (t−1
ν (u1 ), . . . , tν (un ))
ただし，tν は自由度 ν の標準 1 次元 t 分布，tν,ρ は相関行列 ρ の n 次元標準 t
分布の累積分布関数．
• アルキメデス型コピュラ
C(u1 , . . . , un ) = ϕ−1 (ϕ(u1 ) + · · · + ϕ(un ))
ϕ : [0, 1] → [0, ∞] は生成作用素と呼ばれ，ϕ(0) = ∞，ϕ(1) = 0 の減少関数
で，ϕ−1 : [0, ∞] → [0, 1] が完全単調であることを満たす．
– クレイトンコピュラ：ϕ(x) = x−θ − 1, θ > 0
– グンベルコピュラ：ϕ(x) = (− log(x))θ , θ ≥ 1
(
)
– フランクコピュラ：ϕ(x) = − log exp(−θx)−1
, θ∈R
exp(−θ)−1
• それぞれのコピュラにより依存関係は異なる．したがって，得られるデフォ
ルト損失分布の形状が異なる．
13.2.3
強度モデル
• マートン型モデルでは，
「資産リターン」間の相関（アセット相関）により，
デフォルトの依存関係が表される．これに対して，強度モデルでは，デフォ
ルト強度間の相関により，デフォルトの依存関係を表現する．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
164
• 企業 i のデフォルト強度過程を λit とおくと，二重確率ポアソン過程の設定の
もとで，時刻 T まで生存する確率とデフォルトする確率はそれぞれ
[
( ∫ T
)]
i
Pr(τi > T ) = E exp −
λt dt
(13.7)
0
Pr(τi ≤ T ) = 1 − Pr(τi > T )
であった．
• 強度モデルの前提により，{λit : 0 ≤ t ≤ T } と {λjt : 0 ≤ t ≤ T } を所与にす
ると，債務者 i と j のデフォルトは独立に発生する．したがって，デフォル
ト相関は λit と λjt の共変動から生まれる．
• 例えば，共通ファクター mt と固有ファクター νti , νtj を用いた 1 ファクターモ
デルとして
λit = ai mt + νti
λjt = aj mt + νtj
(13.8)
とおく．
• (13.7) は金利の期間構造モデルと同様な表現であるため，既存のテクニック
を利用できる．強度過程には，CIR モデルや CIR+ジャンプモデルなどが仮
定される．CIR モデルのように連続な過程では，表現できるデフォルト相関
が低く，ジャンプ過程を用いればデフォルト相関は高くなる．また，通常の
強度モデルでは，デフォルトの感染は表現できず，モデルを複雑にすると，
パラメータの数が多くなり，数値計算も複雑になりがちである．
13.3
ポートフォリオのデフォルト損失分布
• n 銘柄なるポートフォリオを考える．銘柄 i のウェイトを wi ，デフォルト時
損失率を li （定数を仮定）とおくと，時点 t におけるポートフォリオ全体の
累積デフォルト損失率 Lt は
Lt =
n
∑
i=1
である．
wi li 1{τi ≤t}
(13.9)
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
165
• ここでは，ガウシアンコピュラ（マートン型モデル）の枠組みで，(13.4) の
1 ファクターモデルを仮定する．共通ファクター M を所与とした，i の条件
付デフォルト確率は，(13.5) で与えられた．M の条件のもとでは各銘柄のデ
フォルトは独立に発生する．
13.3.1
均一ポートフォリオの場合
• 最初に，構成銘柄が均質的な場合，すなわちデフォルト確率とデフォルト時
損失率，ウェイトがすべて等しい場合を考える．n 個のうち k 個がデフォル
トした場合の損失率は wlk であることから，Lt の条件付分布は以下のよう
になる．
Pr(Lt = wlk | M = m)
( )( (
(
√ ))k (
√ ))n−k
D(t) − ρm
D(t) − ρm
n
√
√
(13.10)
=
Φ
1−Φ
k
1−ρ
1−ρ
• このことから，L の無条件分布は
∫ ∞
Pr(Lt = wlk) =
Pr(L = wlk | M = m)ϕ(m) dm
(13.11)
−∞
となる．ϕ は標準正規密度関数を表す．この数値積分には数値計算が必要で
あるが，ガウス求積法により容易に計算することができる．
• さらに，ポートフォリオが十分に分散されていて，どの銘柄へのウェイトも
全体からみれば無視できるほど小さい場合への近似として，n → ∞ の極限
においては，
(√
)
1 − ρΦ−1 (x/l) − D(t)
Pr(Lt ≤ x) = Φ
(13.12)
√
ρ
になる2 ．
13.3.2
一般の場合
• 前述の構成銘柄が均一という条件を CDO などのクレジットデリバティブの
評価に仮定するのは厳しすぎる．通常の場合，ウェイトやデフォルト確率，
デフォルト時損失率は銘柄ごとに異なるためである．
2
この結果はローン・ポートフォリオのリスク管理に使われることがある．ただし，たとえ大規
模なポートフォリオであっても，ウェイトには偏りがあるだろう．この場合への対処として，近似
誤差を補正する方法にグラニュラリティ調整が知られる．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
166
• この場合のポートフォリオの損失分布の計算方法として，最も直接的なのは
モンテカルロシミュレーションである．しかしこれでは非効率である．そこ
で，他の効率的な方法が考案されている．
• 例えば，Andersen, Sideius and Basu (2003)3 の再帰法では，共通ファクター
M を所与としたポートフォリオの条件付損失 Lt | M をまず計算する．その
後に求積法によって数値積分して，無条件の分布を得る．実装は容易である．
– 具体的な手順としては，適当な定数 α を用いて，ポートフォリオ全体
の離散的な損失を 0, α, 2α, . . . , Lmax α とおく．Lmax α は起こり得る最大
の損失を表す．発生しうる損失は，この離散値の近い値にまるめて近似
する．
– 各時点 t について，条件付の損失分布を帰納的に計算する．i 個目まで
の銘柄を考えた場合のポートフォリオの条件付損失分布 P i (L), L =
0, . . . , Lmax,i を得ているものとし，i + 1 個目の銘柄を追加すると，それ
ぞれの L = 0, . . . , Lmax,i + li+1 について，
P i+1 (L) = P i (L) (1 − Pr(τi+1 ≤ t | M = m))
+ P i (L − li+1 ) Pr(τi+1 ≤ t | M = m)
になる．ただし，L − li+1 < 0 の場合には，P i (L − li+1 ) = 0 とおく．li
は銘柄 i のデフォルト時損失（ただし α を単位に換算したもの）を表す．
1 ファクター・ガウシアン・コピュラの場合には，Pr(τj ≤ t | M = m)
は (13.5) で与えられている．そして，この計算を全構成銘柄について順
に行えばよい．その後，得られたポートフォリオの条件付損失分布を数
値積分して，無条件の損失分布を求める．
• 条件付損失分布を計算するうえで，li を単位 α の整数倍とおくのがこの方法
の近似である．発生しうるデフォルト損失の最大公約数を α にすれば正確で
ある．最大公約数が非常に小さい場合には計算回数が増し，計算負荷が増加
する．最大公約数ではない単位 α を用いると誤差が発生するが，計算負荷を
軽減したまま，この誤差が小さくなるように工夫する方法がさまざまに考え
られよう．
• Hull and White (2004)4 のバケット法では，各バケット内の条件付期待損失も
計算することで，バケット幅を損失の最大公約数よりも大きくして反復計算
3
Andersen L., J. Sidenius and S. Basu (2003) “All Your Headges in One Basket,” Risk,
November, 66–72.
4
Hull, J and White, A. (2004) “Valuation of a CDO and an n-th Default CDS without Monte
Carlo Simulation,” Journal of Derivatives, Winter, 8–23.
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
167
数を減らしても，誤差が拡大しにくい．一方で，各バケット内の条件付期待
損失を計算するステップが必要になる．ただし，発生しうる損失の分割（バ
ケット）を等幅にしなくてもよく，分布上の一部の区間のバケットを細かく
することができる．
• こうした再帰法は，デフォルト時損失 li を確率的にする場合や，マルチファ
クターのコピュラの場合にも適用することが可能である．ただし，計算負荷
は増大する．また，ここではコピュラモデルを前提にしたが，デフォルト時
刻を条件付独立により扱うようなモデル（例えば強度モデル）であれば，適
用することができる．
• 再帰法以外にも，
（切断された）正規分布を用いて条件損失分布を近似する方
法や，フーリエ変換により損失分布を計算する方法などが提案されている．
13.3.3
数値例：相関とデフォルト損失分布の関係
• ここでも，ガウシアンコピュラ（マートン型モデル）の枠組みで，(13.4) の
1 ファクターモデルを仮定する．以下の前提を設ける．
– 構成銘柄：100 銘柄（等ウェイト）
– デフォルト時損失率：60%（全銘柄一律）
– デフォルト相関：0, 0.1, 0.3, 0.6（全銘柄間で一律）
– デフォルト確率：ハザードレート 1%（全銘柄一定）
∗ 1 年以内にデフォルトする確率は約 1.0%，5 年以内では約 4.9%
• このもとで，5 年後のデフォルト損失分布を計算したのが図 13.5 である．ポー
トフォリオの期待デフォルト損失率はデフォルト相関に依存しないため，デ
フォルト相関が高いほど，分布の両裾（ほとんどデフォルトが発生しない場
合と大きな損失が発生する場合）の確率が上昇する．
• 期間ごとに図示したのが図 13.6 である．
13.4
バスケット型クレジットデリバティブ
仕組み
• FTD (First-to-Default) は，個別銘柄 CDS とは異なり，参照銘柄が複数ある．
通常では 5 個から 10 個程度を参照する．キャッシュフローの点で個別銘柄
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
168
図 13.5: 5 年後のデフォルト損失分布
⏕₸
60%
3%
50%
2%
40%
1%
30%
0%
6%
20%
9%
12%
15%
18%
10%
0%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
䊘䊷䊃䊐䉤䊥䉥䈱៊ᄬ₸
⋧㑐0
⋧㑐0.1
⋧㑐0.3
⋧㑐0.6
図 13.6: 期間別のデフォルト損失分布
90%
⏕₸
90%
1ᐕᓟ
⏕₸
3ᐕᓟ
80%
80%
70%
70%
60%
⋧㑐0
60%
⋧㑐0
50%
⋧㑐0.1
50%
⋧㑐0.1
40%
⋧㑐0.3
40%
⋧㑐0.3
30%
⋧㑐0.6
30%
⋧㑐0.6
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0%
90%
1%
2%
⏕₸
3% 4% 5% 6% 7%
䊘䊷䊃䊐䉤䊥䉥䈱៊ᄬ₸
8%
9% 10%
0%
90%
5ᐕᓟ
1%
2%
⏕₸
3% 4% 5% 6% 7%
䊘䊷䊃䊐䉤䊥䉥䈱៊ᄬ₸
8%
9% 10%
10ᐕᓟ
80%
80%
70%
70%
60%
⋧㑐0
60%
⋧㑐0
50%
⋧㑐0.1
50%
⋧㑐0.1
40%
⋧㑐0.3
40%
⋧㑐0.3
30%
⋧㑐0.6
30%
⋧㑐0.6
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0%
1%
2%
3% 4% 5% 6% 7%
䊘䊷䊃䊐䉤䊥䉥䈱៊ᄬ₸
8%
9% 10%
0%
1%
2%
3% 4% 5% 6% 7%
䊘䊷䊃䊐䉤䊥䉥䈱៊ᄬ₸
8%
9% 10%
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
169
CDS と異なるのは，参照銘柄のうち最初のデフォルトについてのみデフォル
ト損失額を受け渡す点である．同様に，2 番目のデフォルトのみを対象にし
た Second-to-Default などもある．
• ここではスワップ形式の FTD を考える．実務では，他のスワップと同様に，
ファンデッド型（リンク債など）の形式で取引されることも多いが，評価方
法はスワップ形式のものと同様である．
• FTD の評価はデフォルト相関に依存する．1 ファクター・ガウシアン・コピュ
ラの設定で，最初のデフォルトが発生する確率（これは，少なくても 1 銘柄が
デフォルトする確率に等しい）と，2 番目のデフォルトが発生する確率（これ
は，2 銘柄以上がデフォルトする確率に等しい）を表したのが図 13.7 である．
– First-to-Default の発生確率は，デフォルト相関が低いほど増加する．
– Second 以降では，デフォルト相関との関係は複雑である．
図 13.7: デフォルト相関とデフォルト発生確率
40%
35%
probability
30%
first-to-default probability
25%
20%
15%
10%
second-to-default probability
5%
0%
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 0.7
default correlation
0.8
0.9
1
（注）参照銘柄数を 5，CDS スプレッドを一律 100bp（フラット），デフォルト時損失率を一律 60%と
した場合の 5 年後までの発生確率を表す，1 ファクター・ガウシアン・コピュラによる．
評価方法
• FTD のスプレッドを S とおく．プレミアムレグの価値（スプレッドの現在
価値）Vp は，以下になる．
Vp = S · PV01FTD
(13.13)
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
ただし，
PV01FTD := E Q
[ m
∑
170
]
δj D(tj )1{τ 1 >tj } + (τ 1 − tj )D(τ 1 )1{tj−1 <τ 1 ≤tj }
j=1
で，τ は参照銘柄のうちで最初のデフォルト時刻を表す．D(t) = e
割引率，tm は満期で，δj = tj − tj−1 とおいた．
1
∫t
0
(13.14)
は
−rs ds
• 一方，デフォルトレグの価値 Vd は，参照銘柄の個数を n とおくと，
[
]
Vd = E Q D(τ 1 )l1 1{τ 1 ≤tm }
n
∑
[
]
(13.15)
=
E Q D(τi )li 1{N−i (τi )=0,τi ≤tm }
i=1
になる．ただし，τ 1 と l1 は最初のデフォルト銘柄のデフォルト時刻とデフォ
ルト時損失率，N−i (t) は，銘柄 i を除く参照ポートフォリオ内の時点 t にお
ける累積デフォルト数を表す．したがって，FTD のパースプレッド S̄ は，以
下のように定まる．
Vd
S̄ =
(13.16)
PV01FTD
• これを明示的に計算するために，例えば，前章の個別銘柄 CDS の場合と同
様の仮定を置くと，
PV01FTD
)
m (
∑
1
≈
δj B(tj )Q[N (tj ) = 0] + δj B(tj ) (Q[N (tj−1 ) = 0] − Q[N (tj ) = 0])
2
j=1
=
m
∑
1
j=1
2
δj B(tj ) (Q[N (tj−1 ) = 0] + Q[N (tj ) = 0])
(13.17)
となる．ただし，N (t) は，時点 t における参照ポートフォリオ内の累積デ
フォルト数を表す．近似精度を高めるには時間間隔をより細かくすればいい
であろう．Q[N (t) = 0] は，全銘柄が生存している確率を表し，13.3 節の方
法により算出することができる5 ．
5
例えば，1 ファクター・ガウシアン・コピュラ (13.4) の場合には，(13.5) から以下になる．
)
(√
∫ ∞ ∏
∫ ∞ ∏
n
n
ρi m − Di (t)
√
ϕ(m) dm
Q[N (t) = 0] =
Pr (Xi ≥ Di (t) | M = m) ϕ(m) dm =
Φ
1 − ρi
−∞ i=1
−∞ i=1
(13.18)
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
171
• 一方，デフォルトレグの価値を明示的に計算するのは少々面倒で，後述の
CDO と比べても厄介である．1 ファクターのコピュラモデルを前提にする
と，共通ファクター M のもとで，デフォルトは独立に発生するので，
[
]
E Q D(τi )1{N−i (τi )=0,τi ≤tm }
]
]]
[
[
[
= E Q E Q 1{N−i (τi )=0} | M = m E Q D(τi )1{τi ≤tm } | M = m
(13.19)
[∫
]
tm
= EQ
0
Q
Q(N−i (t) = 0 | M = m)D(t) dqi|M
(t)
Q
の形式になる．外側の期待値は M に関するものである．qi|M
(t) は，共通ファ
クターを所与にした，銘柄 i の条件付デフォルト確率を表す．具体的に計算す
Q
るには，この積分を離散時間で近似して計算することになる．例えば，qi|M
(t)
には，条件付ハザードレートが区間一定であることを仮定するなど，方法は
さまざまに考えられよう．
特徴
• 以下では，1 ファクター・ガウシアン・コピュラを用いて，FTD スプレッド
（パースプレッド）の特徴をみる．
• デフォルト相関が高いほど，FTD スプレッドは低くなる．FTD スプレッド
は，参照銘柄の CDS スプレッドの和と最大値の間に値をとる．
（図 13.8）
– デフォルト相関が 0 の場合には，参照銘柄の CDS スプレッドの和にな
る．デフォルト相関が 1 の場合には，参照銘柄の CDS スプレッドの最
大値になる．
• このほか，参照銘柄の CDS スプレッドが高いほど，また参照銘柄数が多い
ほど，FTD スプレッドも高くなる．
13.5
シンセティック CDO
仕組み
• 優先劣後構造があり，デフォルト損失は下位トランシェから順に吸収される．
ただし，キャッシュCDO とは異なり，シンセティック CDO ではすべてのトラ
ンシェを組成する必要がない．一つのトランシェだけで取引することができ，
リスク選好に応じて，劣後比率やトランシェ幅，参照債務を自由に選択する
ことができる．シンセティック CDO の参照銘柄数は通常 100 程度である．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
172
図 13.8: デフォルト相関と FTD スプレッド
400
(bp)
sum of CDS spreads
350
300
250
FTD spread
200
150
maximum CDS spread
100
50
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
default correlation
0.8
0.9
1
（注）参照銘柄数を 5，それぞれの CDS スプレッドを 25bp,50bp,75bp,100bp,125bp（フラット），
デフォルト時損失率を一律 60%，金利を 2%（フラット）とした場合の満期 5 年の FTD スプレッ
ドを表す，1 ファクター・ガウシアン・コピュラによる．
• CDS や FTD と異なり，トランシェの残存元本に応じて，プロテクションの
買い手から売り手にプレミアム（CDO スプレッド）が支払われる．一方で，
トランシェに発生するデフォルト損失を売り手は買い手に支払う．
• アタッチメントポイントを a，デタッチメントポイントを d とするトランシェ
を考える．時点 t におけるこのトランシェの残存元本と累積デフォルト損失
[a,d]
[a,d]
[a,d]
をそれぞれ Nt と Lt とおく．トランシェの当初元本は N0 = d − a で
ある．
• (13.9) で定めれている参照ポートフォリオ全体の累積デフォルト損失率 Lt に
対して，Lt が a を超えると，トランシェにデフォルト損失が発生する．Lt が
d に達するとトランシェの元本は全損してゼロになるが，d を超えてもこの
トランシェはこれ以上のデフォルト損失を負担しない．すなわち，
[a,d]
= (Lt − a)+ − (Lt − d)+
[a,d]
= (d − a) − Lt
Lt
Nt
[a,d]
(13.20)
である．ここからはトランシェの当初元本を 1 単位に基準化した以下の形式
により表記する．
[a,d]
Lt
[a,d]
Nt
(Lt − a)+ − (Lt − d)+
d−a
[a,d]
= 1 − Lt
=
(13.21)
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
173
図 13.9: CDO トランシェのデフォルト損失
P
[a,d]
トランシェの損失 Lt
6
d−a
0
a
- ポートフォリオの損失 Lt
d
評価方法
• CDO のトランシェ[a, d] のスプレッドを S とおく．プレミアムレグの価値（ス
プレッドの現在価値）Vp は以下になる．
Vp = S · PV01[a,d]
ただし，
[
PV01[a,d] = E Q
m
∑
j=1
∫
(13.22)
ti
D(ti )δj
|
ti−1
]
[a,d]
Nu
δj
{z
du
}
(13.23)
平均残存元本
∫t
で，D(t) = e 0 −rs ds は割引率，tm は満期で，δj = tj − tj−1 とおいた．一方
で，デフォルトレグの価値 Vd は
[∫ t m
]
Q
[a,d]
Vd = E
D(u) dLu
(13.24)
0
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
174
になる．このことから，CDO トランシェのパースプレッドは Vd /PV01[a,d] と
して定まる．
• これを明示的に解くために，CDS や FTD の場合と同様に仮定を置くと，
[a,d]
PV01
])
[
1 ( Q [ [a,d] ]
[a,d]
Q
≈
B(tj )δj
E Ntj
+ E Ntj−1
2
j=1
Vd ≈
m
∑
m
∑
(
[
]
[
])
[a,d]
[a,d]
Q
Q
B(tj ) E Ltj
− E Ltj−1
(13.25)
j=1
[
]
[a,d]
のように近似することができる．ただし，B(t) = E Q [D(t)] とおいた．E Q Nt
[
]
[a,d]
や E Q Lt
は，13.3 節で述べた方法により計算することができる．
特徴
• CDO の価値やパースプレッドはデフォルト相関に大きく依存する．これは
図 13.10 から明らかである．
• 最劣後のエクイティトランシェでは，デフォルト相関が高まるほど，スプレッ
ドは低下する．最上位のスーパーシニアトランシェではこの逆．中間のメザ
ニントランシェでは双方の影響を受ける．
（図 13.11）
インプライド相関
• CDS インデックスには標準トランシェも定められている（表 13.3）．市場の
スプレッドが観測可能で，モデルをカリブレートして標準ものではない CDO
トランシェの評価に利用できる．
• インプライド相関には 2 種類ある．ベース相関のほうが一般的で，コンパウ
ンド相関よりも扱いやすいカーブ形状であることが多い．
– コンパウンド相関： 各トランシェの市場スプレッドを再現する，1 ファ
クター・ガウシアン・コピュラのインプライド相関．メザニントランシェ
では，二つ存在する可能性もある．
– ベース相関： アタッチメントポイントをゼロにして，エクイティトラ
ンシェとしてみた場合のインプライド相関．実際のトランシェ[a, d] は，
トランシェ[0, d] とトランシェ[0, a] の差により計算することができる．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
175
図 13.10: トランシェのデフォルト損失の確率分布
60%
50%
Probability
40%
0
0.1
0.2
Correlation
30%
0.4
0.6
20%
10%
0%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9% 10% 11% 12%
Portfolio Loss
Tranche Loss
Portfolio Loss
a
d
1 ファクター・ガウシアン・コピュラによる 5 年後の損失分布を表す．銘柄数は 100 で等ウェイト，
デフォルト確率は年率 1%（一定），デフォルト時損失率 60%（一定），銘柄間で一定のデフォル
ト相関を仮定．
図 13.11: CDO トランシェのパースプレッドとデフォルト相関
35%
5.0%
4.5%
30%
4.0%
25%
3.5%
3.0%
20%
2.5%
[3%,7%]
[7%,10%]
15%
2.0%
1.5%
10%
[10%,15%]
[15%,30%]
[0%,3%](right scale)
1.0%
5%
0.5%
0.0%
0%
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
correlation
0.6
0.7
0.8
0.9
銘柄数は 125 で等ウェイト，デフォルト確率は年率 1%（一定），デフォルト時損失率 60%（一定），
銘柄間で一定のデフォルト相関を仮定．金利 2%，満期 5 年．1 ファクター・ガウシアン・コピュ
ラによるパーススプレッドを表す．
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
176
• 図 13.12 は，1 ファクター・ガウシアン・コピュラから求められたベース相関
を表す．参照バスケットがそれぞれ同一であるにもかかわらず，トランシェ
によってベース相関は異なる．これは 1 ファクター・ガウシアン・コピュラ
が市場にフィットしないことを意味する．
– 1 ファクター・ガウシアン・コピュラはオプションにおける BS モデルの
ような位置づけにある．BS モデルは市場のオプション価格にはフィッ
トしないが（ボラティリティスキュー），これを知ったうえで使われる
点で似ている．
• コピュラ法には，比較的少ないパラメータでデフォルト相関を表現すること
ができるという利点がある．特に，相関を一定とおいた 1 ファクター・ガウ
シアン・コピュラでは，相関パラメータは 1 つのみである．しかし，市場ス
プレッドへのフィッティングは良好ではない．そもそもコピュラ法では，ア
ドホックに適当な関数がコピュラ関数として選択されることになり，理論的
な裏づけが弱く，選択された関数のパラメータの解釈が難しい．また，本質
的な問題点として，モデルが静的であり，スプレッドの変動が考慮されてお
らず，オプションの評価などに利用することは難しい．
表 13.3: 代表的なインデックスのトランシェ
トランシェ
エクイティ
ジュニア・メザニン
メザニン
シニア・メザニン
シニア
スーパー・シニア
CDX.NA.IG
0-3%
3-7%
7-10%
10-15%
15-30%
30-100%
iTraxx Europe
0-3%
3-6%
6-9%
9-12%
12-22%
22-100%
13. クレジットデリバティブ – 複数銘柄 –
177
図 13.12: CDO トランシェのベース相関
iTraxx Europe CDX.NA.IG
0.9
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
2009/11/30
0.8
2009/12/22
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0-3%
3-6%
6-9%
9-12%
12-22%
2009/11/30
2009/12/21
0-3%
3-7%
7-10%
10-15%
15-30%
178
付録
A
金利の先物とフォワードの関係：コンベクシティ調整
割引債価格
まず，短期金利過程が正規分布に従うものとして，割引債価格を準備する．
具体的には，短期金利 r はリスク中立測度 Q のもとで，以下の Ho-Lee モデルに従うも
のとする．
∫
∫
s
s
θ(u) du +
σ dZuQ
(A.1)
t
t
∫s
ゆえに，rs は，時点 t からみて，平均 rt + t θ(u) du，分散 σ 2 (s − t) の正規分布に従う6 ．
さらに，
∫ T∫ s
∫ T
∫ s
∫ T∫ s
σ dZuQ ds
θ(u) duds +
−
rs ds = −
rt du −
t t
t
t
t t
(A.3)
∫ T
∫ T
Q
= −(T − t)rt −
θ(u)(T − u) du +
σ(T − u) dZu
rs = rt +
t
t
∫T
になる．ただし 2 行目は積分順序の交換7 による．したがって，− t rs ds は，時点 t から
∫T
みて，平均 −(T − t)rt − t θ(u)(T − u) du，分散 13 σ 2 (T − t)3 の正規分布に従う．このこ
とから，時点 T を満期とする割引債の時点 t における価格 Bt (T ) は
]
[ ∫T
Bt (T ) = EtQ e− t rs ds = eA(t,T )−rt (T −t)
(A.4)
になる．ただし，
∫
A(t, T ) = −
t
T
1
θ(u)(T − u) du + σ 2 (T − t)3
6
(A.5)
とおいた．
6
伊藤の isometry
[(∫
E
)2 ]
t
Xs dZs
0
∫
[ ]
E Xs2 ds
t
=
(A.2)
0
7
∫ b∫
∫ b∫
x
f (x, y) dydx =
a a
∫ b∫
b
f (x, y) dxdy,
a y
∫ b∫
b
f (x, y) dydx =
a x
y
f (x, y) dxdy
a a
付録
179
コンベクシティ調整
時点 t からみた時点 t1 から t2 までの連続複利でのフォワードレート Ft (t1 , t2 ) は
(
)
1
Bt (t2 )
A(t, t1 ) − A(t, t2 )
Ft (t1 , t2 ) = −
log
=
+ rt
(A.6)
(t2 − t1 )
Bt (t1 )
t2 − t1
である．
先物レートを考えるために，まず，伊藤の補題により，
1
dFt (t1 , t2 ) = σ 2 (t1 − t)(2t2 − t1 − t) dt + σ dZtQ
2
(A.7)
となる．これを積分形で書くと以下になる．
∫
∫ T
1 2
σ (t1 − u)(2t2 − t1 − u) du +
σ dZuQ
2
t
t
(
)
1 2
Q
= Ft (t1 , t2 ) + σ (T − t)(t2 + t1 − T − t) + σ ZT − ZtQ
2
T
FT (t1 , t2 ) = Ft (t1 , t2 ) +
(A.8)
時点 t1 において，期間 t1 から t2 までをカバーするイールドは Ft1 (t1 , t2 ) に等しい．した
がって，先物レート Fbt (t1 , t2 ) を
Fbt (t1 , t2 ) ≈ EtQ [Ft1 (t1 , t2 )]
(A.9)
1
Fbt (t1 , t2 ) ≈ EtQ [Ft1 (t1 , t2 )] = Ft (t1 , t2 ) + σ 2 (t1 − t)(t2 − t)
2
(A.10)
と近似すると8
を得る．
8
以下のそれぞれの近似による．
b
eF0 (t1 ,t2 )(t2 −t1 ) − 1 ≈ Fb0 (t1 , t2 )(t2 − t1 )
]
[
E Q eFt1 (t1 ,t2 )(t2 −t1 ) − 1 ≈ E Q [Ft1 (t1 , t2 )(t2 − t1 )]
付録
180
アフィンモデルと変換
B
B.1
変換解析
• u を定数の実数ベクトル，X を Rn に値をとる確率過程として，もし定義できれば，
XT の時点 t におけるラプラス変換（フーリエ変換）は以下で与えられる．
[
]
φ(u) = Et eu·XT
(B.1)
φ(u) は積率母関数を表す．
• ファイナンスでは，金利やデフォルト強度を確率過程として扱いたい場合が多いの
で，一般的に
[
( ∫
)
]
T
Et exp −
R(Xs ) ds eu·XT
(B.2)
t
あるいは，さらに一般化して
[
( ∫
Et exp −
]
)
u·XT
R(Xs ) ds (v · XT ) e
(B.3)
または，オプションなどの評価のために，
)(
[
( ∫ T
)+ ]
d·XT
R(Xs ) ds e
−c
Et exp −
(B.4)
T
t
t
などの変換に興味がある．
• 以下の内容の多くは，Duffie, Pan and Singleton (2000) による．X が後述のアフィ
ン過程であれば，これらを解析的に扱うことができる．また，オプションの評価の
ためには (B.2)(B.3) の u が複素数の場合を扱えると便利である．
• より一般的に，実数ベクトル u と虚数単位 i を用いて，(B.1) に対して，もし定義で
きれば，XT の時点 t における変換は以下で与えられる9 ．
∫
[ iu·X ]
T
=
eiu·XT f (XT | Xt ) dXT
(B.5)
ϕ(u) = Et e
Rn
ϕ(u) は特性関数を表し，複素数の値をとる．f (· | Xt ) は XT の時点 t における条件
付確率密度を表す．
• 一次元のケースとして10 ，レヴィの反転公式から以下のように逆変換でき，特性関
数 ϕ(u) を用いて，確率密度 f (· | Xt ) は以下になる．
∫ ∞
1
f (XT | Xt ) =
e−iuXT ϕ(u) du
2π −∞
∫
(B.6)
1 ∞
−iuy
=
Re[e
ϕ(u)] du
π 0
9
a, b を実数とする．eia = cos(a) + i sin(a)（オイラーの公式）が成り立つ．また複素数 z = a + ib
に対して，ez = ea eib として扱える．
10
多次元にも同様の形式で拡張できる．
付録
181
また，XT の確率分布は以下になる．
∫
∞
−e−iuy ϕ(u)
du
iu
−∞
∫
ϕ(0) 1 ∞ Im[e−iuy ϕ(u)]
−
du
=
2
π 0
u
1
Pr(XT ≤ y | Xt ) =
2π
(B.7)
ここで，Re と Im は，c ∈ C の実部と虚部をそれぞれ表す．
• X が OU 過程（Vasicek モデル）や Feller 過程（平方根過程，CIR モデル）の場合
には，その確率密度や確率分布は明示的に知られているが，そうでない場合でも，
その特性関数が分かれば，逆変換により確率密度や確率分布を計算することができ
る．X がアフィン過程であれば，特性関数を解析的に扱うことができる．
B.2
アフィンモデル
アフィン過程
• X をある状態空間 D ⊂ Rn に値をとるマルコフのジャンプ拡散過程とする．
dXt = µ(Xt ) dt + σ(Xt ) dWt + dZt
(B.8)
ただし，µ : D → Rn ，σ : D → Rn×n ，W は n 次元標準ブラウン運動である．Z は
純粋ジャンプ過程で，ジャンプサイズは Rn 上の確率分布 ν を持ち，ジャンプ強度は
{λ(Xt ) : t ≥ 0}（λ : D → [0, ∞)）である．すなわち，X のパスの条件付きのもと
で，Z のジャンプ時刻は，時間変動する強度 {λ(Xs ) : 0 ≤ t} を持つポアソン分布の
ジャンプ時刻で，ジャンプ時刻 T における Z のジャンプサイズは {Xs : 0 ≤ s < T }
とは独立で，ν の確率分布を持つ．
• さらに，パラメータ µ，σσ ⊤ ，λ は D 上でアフィン11 であることを仮定する．
– µ(x) = K0 + K1 x, for K = (K0 , K1 ) ∈ Rn × Rn×n
– (σ(x)σ(x)⊤ )ij = (H0 )ij + (H1 )ij · x, for H = (H0 , H1 ) ∈ Rn×n × Rn×n×n
– λ(x) = l0 + l1 · x, for l = (l0 , l1 ) ∈ R × Rn
– R(x) = ρ0 + ρ1 · x, for ρ = (ρ0 , ρ1 ) ∈ R × Rn
• 複素数の集合 c ∈ Cn について，θ(c) =
はジャンプサイズの分布を定める．
11
∫
Rn
exp(c · z) dν(z) とおく．ジャンプ変換 θ
Rn の部分空間 D について，あるスカラー a ∈ R とあるベクトル b ∈ Rn により
h(x) = a + b · x = a + b1 x1 + · · · + bn xx
により定義される関数 h : D → R をアフィンという．
付録
182
• χ = (K, H, l, θ, ρ) とおく．Ft の条件のもとで，XT の変換 ψ χ : Cn ×D×R+ ×R+ → C
を以下で定める．
)
)
(
( ∫ T
u·XT χ
χ
R(Xs ) ds e
ψ (u, Xt , t, T ) = E exp −
(B.9)
Ft
t
R(Xt ) による割引項があるので，ψ χ は XT の通常の特性関数とは異なる．
• χ = (K, H, l, θ, ρ) がある可積分条件を満たすならば，以下が成り立つ．
（Duffie, Pan
and Singleton (2000) Proposition 1）
ψ χ (u, Xt , t, T ) = eα(t)+β(t)·x
(B.10)
ただし，β と α は以下の複素数値 ODE を満たす．12
1
β̇(t) = ρ1 − K1⊤ β(t) − β(t)⊤ H1 β(t) − l1 (θ(β(t)) − 1)
2
1
α̇(t) = ρ0 − K0 · β(t) − β(t)⊤ H0 β(t) − l0 (θ(β(t)) − 1)
2
(B.11)
(B.12)
ただし，境界条件は β(T ) = u，α(T ) = 0 である．(B.11)(B.12) は，ψ χ の候補の形
式 (B.10) に伊藤の公式を適用することにより，容易に類推することができる．
• (B.10) の形式になるマルコフ過程 X をアフィン過程と呼ぶ．
• α と β を具体的に得ることができるケースもあるが，そうでない場合には，ルンゲ・
クッタなどの方法により数値的に解くことができる．この点からいえば，ジャンプ
サイズの分布 ν には，変換 θ が既知なものか，または容易に計算できるものを選択
するのが扱いやすい．
• 特性関数 ψ χ を用いて (B.6) の逆変換をすることにより，XT の確率密度を得ること
ができる．Singleton (2001) はアフィンジャンプ拡散過程の最尤推定の計算にこれ
を利用している．
• また，条件付モーメントを得ることもできる．スカラーの場合の確率過程
X で考
[
]
える．X の条件付特性関数 ψ(u) = Et eiuXt+τ を u についてマクローリン展開す
ると，
[
]
ψ(u) = Et eiuXt+τ
[
]
(iuXt+τ )2 (iuXt+τ )3 (iuXt+τ )4
= Et 1 + iuXt+τ +
+
+
+ ···
2!
3!
4!
3 ]
4 ]
2 ]
(iu)3 Et [Xt+τ
(iu)4 Et [Xt+τ
(iu)2 Et [Xt+τ
+
+
+ ···
= 1 + iuEt [Xt+τ ] +
2!
3!
4!
(B.13)
になる．したがって，
ψ ′ (0) = iEt [Xt+τ ],
2
ψ ′′ (0) = −Et [Xt+τ
],
...
n
, ψ (n) (0) = in Et [Xt+τ
] (B.14)
のように条件付特性関数の微分から条件付モーメントを得ることができる．
12 ⊤
c H1 c は
∑
i,j ci (H1 )ijk cj
を k 番目の成分とする Cn のベクトルを表す．
付録
183
アフィンモデルの具体例
• x を以下の 1 次元アフィンジャンプ拡散過程とする．
√
dxt = κ (θ − xt ) dt + σ02 + σ12 xt dWt + dJt
(B.15)
ここで，ジャンプ過程 J のジャンプサイズは平均 µ の iid の指数分布に従い，ジャ
ンプ時刻は強度 l のポアソン過程に従う．ブラウン運動 W とジャンプ時刻，ジャン
プサイズはすべて独立である．
• この過程 x を用いた，以下の変換を考える．
[
( ∫ T
)
]
E exp −
ρxs ds euxT = eα(0,T )+β(0,T )x0
(B.16)
0
ただし，ここでは ρ, u は実数であるが，u は複素数でもよい13 ．この場合，(B.11)(B.12)
の ODE を満たす α と β を明示的に得ることができる．具代的な α と β の形式につ
いては，Lando (2004) の Appendix E に記載されている．これは確率的な格付け推
移のモデルで使われている．
• この特別なケースには，以下のよく知られる期間構造モデルが含まれる．
Vasicek モデル 以下の OU 過程に従う．
dxt = κ(θ − xt ) dt + σ dWt
(B.17)
CIR モデル 以下の Feller 過程に従う．ただし，正値性を保障するために 2kθ > σ 2
とする．
√
dxt = κ(θ − xt ) dt + σ xt dWt
(B.18)
CIR+ジャンプ Feller 過程にジャンプ過程が加わったもの．
√
dxt = κ (θ − xt ) dt + σ xt dWt + dJt
(B.19)
x を短期金利過程とすると，満期 T の割引債の時点ゼロにおける価格は，x がアフィ
ン過程であることにより，
[
(∫ T
)]
Et exp
−xs ds
= eα(0,T )+β(0,T )x0
(B.20)
0
により与えられる14 ．いずれの三つの場合にも，(B.11)(B.12) の ODE を満たす α
と β の形式を明示的に得ることができる15 ．
13
ただし，問題が well-define となるためには，具体的な設定に応じて，ρ と u の値は適当な空間
に制約される．
14
Duffie, Filipović and Schachermayer (2003) によれば，より一般的なレヴィ過程によって駆動
される OU 過程や，Feller 過程を特殊例として含む任意の CBI (continous-branching process with
immigration) 過程もアフィン過程である．
15
ただし，Vasisek モデルでは，x はガウス過程なので，このようなステップを踏む必要はなく，
計算は容易にできる．
付録
184
• x に CIR モデルや CIR+ジャンプを仮定した (B.20) は，金利の期間構造モデルだけ
でなく，強度（ハザード）モデルにおいても頻繁に利用される．このとき，(B.20)
は，時点 T まで生存する確率を表す．
• x が CIR+ジャンプ過程 (B.19) に従う場合の (B.20) において，α と β の具体的な形
式は，Duffie and Gârleanu (2001) により与えられている．さらに (B.20) を一般化
して，q ∈ R, v ∈ C, u ∈ C を用いた
[ ∫s
]
E e 0 qxt dt+v+uxs = eα(0,T )+β(0,T )x0
(B.21)
についても明示的な計算が可能である．この場合の α と β の具体的な形式も Duffie
and Gârleanu (2001) に記載されている．
• 同様に x が (B.19) に従うとき，(B.9) の特別な場合として16 ，u ∈ R を用いて，以
下の特性関数を計算することもできる．
]
[ ∫T
(B.22)
E eiu 0 xt dt = eα(0,T )+β(0,T )x0
Mortensen (2006) は，ポートフォリオのデフォルト損失分布を求めるために，これ
∫T
を利用している．この特性関数の逆変換 (B.6) を計算することにより， 0 xt dt の確
率密度を求めている．
オプション評価
B.3
オプション評価ための変換
• オプション・プライシングへの適用のためには，所与の (d, c, T ) ∈ Rn × R × R+ に
ついて，以下の期待現在価値を計算する必要がある．
(
( ∫ T
)(
)+ )
χ
d·XT
C(d, c, T, χ) = E exp −
R(Xs ) ds
e
−c
0
(
( ∫ T
)(
)
)
(B.23)
χ
d·XT
= E exp −
R(Xs ) ds
e
− c 1d·XT ≥ln(c)
0
= Gd,−d (− ln(c); X0 , T, χ) − c G0,−d (− ln(c); X0 , T, χ)
ただし，Ga,b (·; x, T, χ) : R → R+ は以下で与えられる．
(
( ∫
Ga,b (y; X0 , T, χ) = E exp −
χ
0
16
yt =
∫t
0
T
)
)
a·XT
R(Xs ) ds e
1b·XT ≤y
xs ds とおくと，yt = xt dt なので，2 次元のアフィンモデルである．
(B.24)
付録
185
• Ga,b (·; X0 , T, χ) の変換は，もしそれが定義できれば，以下で与えられる．
∫
Ga,b (v; X0 , T, χ) =
eivy dGa,b (y; X0 , T, χ)
R
(
( ∫ T
)
)
(B.25)
= E χ exp −
R(Xs ) ds exp[(a + ivb) · XT ]
0
= ψ χ (a + ivb, X0 , 0, T )
ψ χ は (B.9) で与えられている．すなわち，この変換における特性関数も指数アフィ
ンになる．このとき，以下のようにレヴィの反転公式を拡張でき，Ga,b を計算する
ことができる．
• 固定した T ∈ [0, ∞), a ∈ Rn , b ∈ Rn について，χ = (K, H, l, θ, ρ) がある可積分条
件を満たすならば，Ga,b (·; x, T, χ) を (B.24) により定めることができ，以下で与え
られる（Duffie, Pan and Singleton (2000) Proposition 2）．
[
]
Im ψ χ (a + ivb, X0 , 0, T )e−ivy
dv
v
0
(B.26)
この計算には，数値積分が必要であるが，通常は求積法により高速に計算できる．
R = 0 の場合には，Ga,b は b · XT の確率分布関数になる．X の推移密度は Ga,b の
微分から得られる．
ψ χ (a, X0 , 0, T ) 1
Ga,b (y; X0 , T, χ) =
−
2
π
∫
∞
適用可能な形式のオプションの例
• 債券オプション，キャップ，フロア
• クォント
• 外債オプション
• チューザー（交換）オプション
具体例
Black-Scholes モデル
• 株価 St が幾何ブラウン運動に従うとき，log St はアフィン過程になる．この場合に
は，ヨーロピアンコールの価格を明示的に得られる．
CIR+ジャンプ
• x を (B.19) の 1 次元 CIR+ジャンプ過程とする．(B.24) の Ga,b (·) : R → R+ が
[
( ∫ T
)
]
χ
a·xT
Ga,b (y) = E exp −
ρxs ds e
1b·xT ≤y
(B.27)
0
で与えられる場合，変換 (B.25) の特性関数 ψ χ の係数 α，β を明示的に得ることが
できる．
（Lando 2004, Appendix E）
付録
186
確率的ボラティリティモデル
Heston モデル
• 短期金利を r とし，株価 St について，Ut := log St とおき，以下を仮定する．
√
dUt = (r + hVt ) dt + Vt dWtS
(B.28)
√
dVt = κ (v̄ − Vt ) dt + σv Vt dWtV
ここで，WtS と WtV はリスク中立確率のもとでの 1 次元標準ブラウン運動を表し，
その瞬間的な相関は cSV である．行使価格 p，満期 t の以下のヨーロピアン・コー
ル U の価格を求める．
[
]
U0 = E Q e−rt (St − p)+
(B.29)
このコールの価格は，
[
]
U0 = e−rt E Q St 1{Ut ≥log p} − p1{Ut ≥log p}
[
]
[
]
= S0 E Q̃ 1{Ut ≥log p} − pe−rt E Q 1{Ut ≥log p}
[
]
[
]
= S0 E Q̃ 1 − 1{Ut ≤log p} − pe−rt E Q 1 − 1{Ut ≤log p}
(B.30)
である．ただし，Q̃ は S をニューメレールとする同値マルチンゲール測度を表す17 ．
• y := log p とし，(B.24) に対応する G(y) を以下のようにおく．
[
]
G(y) := Q(Ut ≤ y) = E Q 1{Ut ≤y}
(B.25) に対応する，G(y) の変換（特性関数）G (v) は
∫ +∞
∫ +∞
[
]
eizy dE Q 1{Ut ≤y}
eivy dG(y) =
G (v) =
−∞
−∞
[∫ +∞
]
[
]
Q
izy
=E
e d1{Ut ≤y} = E Q eizUt
(B.31)
(B.32)
−∞
= eα(0,t)+β1 (0,t)V0 +β2 (0,t)U0
になる．このモデルでは α, β1 , β2 の形式を明示的に得ることができ，Heston (1993)
に与えられている．Q̃ における変換も同様の形式になる．
(B.28) において，バンクアカウントをニューメレールにする Q のもとでは，h = −1/2 であ
e のもとでは，h = 1/2 で，κ は κ̃ に，v̄ は ṽ にそれぞれ置き換わる．ただし，
る．Q
17
κ̃ := κ − cSV σV ,
である．
ṽ :=
κv̄
κ − cSV σV
付録
187
• 逆変換 (B.26) から
[
]
E Q 1{Ut ≤log p} = G(y)
∫
]
(B.33)
1 1 ∞ 1 [ −iv log p
= −
Im e
G (v) dv
2 π 0 z
[
]
である．E Q̃ 1{Ut ≤log p} についても同様に得られる．これを数値積分することによ
り18 ，(B.30) からコールの価格 U を得ることができる．
ジャンプ＋確率的ボラティリティ
• Bates (1996) や Bakshi, Cao and Chen (1997) は，Heston モデルに原資産価格の
ジャンプを加えた以下のモデルを扱っている19 ．
(
)
√
1
dUt = bt − λU µU − Vt dt + Vt dWtS + dZtU
(B.34)
2
√
dVt = κ (v̄ − Vt ) dt + σv Vt dWtV
(B.35)
2 の iid の正規分布に従い，
ジャンプ過程 Z U のジャンプサイズは平均 µU ，分散 σU
ジャンプ時刻は強度 λU のポアソン過程に従う．1 次元標準ブラウン運動 W S と W V
の間には相関がある．Heston モデルと同様に，この場合にもヨーロピアンコールの
明示解を得ることができる．
• さらに，Duffie, Pan and Singleton (2000) は，ボラティリティV にもジャンプがあ
るダブルジャンプモデルを扱っている．すなわち，(B.35) の代わりに，
√
dVt = κ (v̄ − Vt ) dt + σv Vt dWtV + dZtV
(B.36)
を用いている．ジャンプ過程 Z V のジャンプサイズは iid の指数分布に従い，ジャン
プ時刻はポアソン分布に従う．この場合でも，ヨーロピアンコールの明示解を得る
ことができる．20
リスク量の計算
• VaR や CVaR の計算は，オプションの価格評価と同様の構造を持つ．ジャンプやデ
フォルトにより，ポートフォリオの価値過程の分布が未知でも，特性関数を用いて逆
変換（反転）することにより分布を求めることができる．適用例については，Duffie
and Pan (2001) を参照．
18
この数値積分への FFT の利用については，Carr and Madan (1999) を参照．
Bates (1996) では短期金利が一定であるが，Bakshi, Cao and Chen (1997) では，短期金利が
CIR モデルに従う．
20
アフィンモデルの設定からは離れるが，原資産価格がジャンプ拡散過程に従うものとして，Kou
and Wang (2003) 及び彼らの一連の論文では，ジャンプサイズが正規分布ではなく，両側指数分布
によるモデル化を提唱している．正規分布とは異なり，指数分布では正の値しかとらないが，これ
を二重に結合することにより，正負いずれのジャンプも発生し得る．このモデルは解析的に扱いや
すい面があり，バリアやルックバックなどのパス依存のオプションを解析的に評価することが可能
である．また，初到達時刻の分布を変換の逆変換によりある程度，解析的に扱うことができ，これ
はアメリカンオプションの評価やデフォルトの構造モデルに利用することが可能である．
19
付録
188
拡張変換
B.4
• アフィンモデルをさらに拡張することもできる．アジアンオプションの評価や，デ
フォルト時刻の分布を扱うために，XT の拡張変換 ϕχ : Rn ×Cn ×D ×R+ ×R+ → C
を考える．
)
(
( ∫ T
)
χ
u·XT ϕ (v, u, Xt , t, T ) = E exp −
R(Xs ) ds (v · XT )e
(B.37)
Ft
t
モーメントが積率母関数から計算できるのと同様に，この拡張変換 ϕχ は，変換 ψ χ
の微分から計算することができる．変換の微分係数を計算するには，新たな ODE
を解く必要がある．
• 具体的には，ジャンプ変換 θ の微分可能性を含む技術的な条件のもとで，以下が成
り立つ．
（Duffie, Pan and Singleton (2000) Proposition 3）
ϕχ (v, u, Xt , t, T ) = ψ χ (u, x, t, T )(A(t) + B(t) · x)
(B.38)
ただし，ψ χ は (B.10) で与えれており，B と A は以下の線形 ODE を満たす．
−Ḃ(t) = K1⊤ B(t) + β(t)⊤ H1 B(t) + l1 ∇θ(β(t))B(t)
−Ȧ(t) = K0 · B(t) + β(t)⊤ H0 B(t) + l0 ∇θ(β(t))B(t)
(B.39)
境界条件は B(T ) = v と A(T ) = 0 で，∇θ(c) は c ∈ C に関する θ(c) の勾配（グラ
ディエント）を表す．
適用例
デフォルタブルボンド
• デフォルタブルな割引債を考える．デフォルト強度を λ とし，デフォルト時刻に額
面の一定割合 w を回収できるものとする．満期を T とするこの割引債の価格は以下
になる．
[
( ∫ T
)]
[
( ∫ t
)]
∫ T
Q
Q
E exp −
(rt + λt ) dt + w
E λt exp − (ru + λu ) du
dt
0
0
0
(B.40)
rt と λt が Xt のアフィンならばこれを解析的に扱うことができる．
アジアンオプション
• 他の例として，アジアンオプションも解析的に扱うことができる．アジアンオプショ
(
)+
∫T
∫t
ンの満期 T におけるペイオフは， 1/T 0 Xt dt − c で与えられる．Yt := 0 Xs ds
とおくと，dYt = Xt dt である．対応する特性関数 (B.38) を用いて，レヴィの反転公
式 (B.26) から YT の分布を解析的に扱うことができる．この他，slope-of-the-yieldcurve オプションにも拡張変換を適用することができる．
189
付録 B の参考文献
Bates, D. (1996) “Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit
in Deutsche Mark Options,” Review of Financial Studies, 9, 69–107.
Bakshi, G., C. Cao, and Z. Chen (1997) “Empirical Performance of Alternative Option
Pricing Models,” Journal of Finance, 52, 2003–2049.
Carr, P. and D. Madan (1999) “Option Valuation Using the Fast Fourier Transform,”
Journal of Computational Finance, 2, 61–73.
Duffie, D., D. Filipović, and W. Schachermayer (2003) “Affine Processes and Applications in Finance,” Annals of Applied Probability, 13, 984–1053.
Duffie, D. and N. Gârleanu (2001) “Risk and Valuation of Collateralized Debt Obligations,” Financial Analysts Journal, 57, January/February, 41–59.
Duffie, D. and J. Pan (2001) “Analytical Value at Risk with Jumps and Credit Risk,”
Finance and Stochastics, 5, 155–180.
Duffie, D., J. Pan, and K. Singleton (2000) “Transform Analysis and Asset Pricing for
Affine Jump-Diffusions,” Econometrica, 68, 1343–1376.
Kou, S. and H. Wang (2003) “First Passage Times of a Jump Diffusion Process,” Advances in Applied Probability, 35, 504–531.
Lando, D. (2004) Credit Risk Modeling: Theory and Applications, Princeton University
Press.
Mortensen, A. (2006) “Semi-Analytical Valuation of Basket Credit Derivatives in
Intensity-Based Models,” Journal of Derivatives, Summer, 2006.
Singleton, K. (2001) “Estimation of Affine Asset Pricing Models Using the Empirical
Characteristic Function,” Journal of Econometrics, 102, 111–141.
190
課題
練習問題：二項モデルによるオプション価格
1 期間モデルにおいて，無リスク証券（債券）と株式，コールオプションの 3 証券から
なる経済を考える．期末に実現する状態の数を 2 個（状態 1 と状態 2）とし，期初におけ
る債券の価格を B ，株式の価格をそれぞれ S とする．
• グロスの無リスク収益率を R とおくと（つまりグロスの割引率は R−1 である），期
末における債券の価格は状態にかかわらず BR となる．
• グロスの株価収益率について，状態 1 の場合を U ，状態 2 の場合を D とおく．つま
り，期末において，状態 1 が実現した場合の株価は SU ，状態 2 が実現した場合の
株価は SD である．ただし，U > R > D > 0 とする．
• コールオプションの行使価格を K とする．したがって，状態 1 が実現した場合の
コールオプションのペイオフは (SU − K)+ ，状態 2 が実現した場合のコールオプ
ションのペイオフは (SD − K)+ となる．期初におけるコールオプションの価格を
C とする．
B H
*
HH
HH
H
j
債券
BR
S
BR
*
HH
HH
HH
j
株式
SU
SD
*
C HH
HH
HH
j
(SU − K)+
(SD − K)+
コールオプション
問題
1. 無裁定である場合のコールオプションの価格 C を求めよ．
（ヒント）期初にそれぞれ何単位の債券と株式を購入すれば，コールオプションの
ペイオフを複製できるか求めればよい．裁定機会がないので，C は複製ポートフォ
リオの価値に等しい．
課題
191
2. 1 の結果からリスク中立確率を求めなさい．
3. 求めたリスク中立確率を用いて，債券と株式の期初における価格がそれぞれ B, S に
等しいことを確かめなさい．
4. リスク中立確率のもとでの株式の期待リターンが R に等しいことを確かめなさい．
課題
192
課題 1：SV(J) モデルとボラティリティのヘッジ
• 原資産の価格過程 S は SV モデル (9.9) 式や SVJ モデル (9.10) 式に従うものとする．
• 行使価格を K ，満期を T とする，ヨーロピアン・コール・オプションの価格 C0 は，
[
]
C0 = E Q e−rT (ST − K)+
[
]
[
]
= e−rT E Q ST 1{ST ≥K} − e−rT KE Q 1{ST ≥K}
(1)
[
]
[
]
= S0 E Q1 1{ST ≥K} − e−rT KE Q2 1{ST ≥K}
= S0 Π1 − e−rT KΠ2
により与えられる，ただし，Q1 は S をニューメレールとする同値マルチンゲール
測度を表し，Q2 は通常のリスク中立測度 Q を表す．また，
Π1 := Q1 [ST ≥ K],
Π2 := Q2 [ST ≥ K]
(2)
とおいた．したがって，C0 を求めるには，Q1 と Q2 のそれぞれの測度のもとで
ST ≥ K となる確率を計算すればよい．
• これには，フーリエ変換を利用すればよい．z ∈ R と虚数単位 i を用いて，log ST
のフーリエ変換（特性関数）ϕj (z) : R → C を考える．
[
]
ϕj (z) = E Qj eiz log ST ,
j = 1, 2
SV や SVJ はアフィンモデルのクラスに属し，ϕj (z) を以下の形式の閉形式として
得ることができる．
ϕj (z) = eCj (T,z)+Dj (T,z)V0 +iz log S0 ,
j = 1, 2
(3)
Cj (T, z), Dj (T, z) は T と z の確定的な複素数値関数である．SV モデルは SVJ モデ
ルの特別な場合（Jt ≡ 0）に相当する．具体的には，
– SV モデルの場合，
ϕj (z) = eCj (T,z)+Dj (T,z)V0 +iz log S0 ,
ただし，
j = 1, 2
(
])
[
)
γj + bj
γj + bj (
2
−γj T
Cj (T, z) = (r − q)izT − κv
1
−
e
T
+
log
1
−
σv2
σv2
2γj
(
)
−γ
T
aj 1 − e j
(
)
Dj (T, z) = −
2γj − (γj + bj ) 1 − e−γj T
√
γj = b2j + aj σv2
b1 = (1 + iz)σv ρ − κ,
a1 = z − iz
2
とおいた．
b2 = izσv ρ − κ
2
a2 = z + iz
課題
193
– SVJ モデルの場合
ϕj (z) = eCj (T,z)+C̄j (T,z)+Dj (T,z)V0 +iz log S0 ,
j = 1, 2
ただし， C̄j (T, z) = −λµy T iz − λT (1 + µy cj ) + λT (1 + µy )cj +iz e− 2 σy aj
1
c1 = 1,
2
c2 = 0
とおいた．Cj と Dj は SV モデルと共通である．
• 特性関数 ϕj (z) を用いて，レヴィの反転公式により，ST ≥ K となる確率は以下で
与えられる．
∫
]
1 1 ∞ 1 [ −iz log K
Pj [ST ≥ K] = +
Im e
ϕj (z) dz,
j = 1, 2
(4)
2 π 0 z
Im[c] は複素数 c の虚部を表す．ただし,
∫ ∞
]
1 [ −iz log K
Im e
ϕj (z) dz
z
0
(5)
の積分には数値計算が必要であり，求積法や高速フーリエ変換（FFT）などにより
計算される．
• ここでは，(5) の計算方法として，DE（Double-Exponential）法を紹介する．変数
∫∞
変換を行い，z = ψ(t) とおく．DE 法では，下に有限な区間の積分 0 に対しては
)
(π
sinh(t)
(6)
ψ(t) = exp
2
として与える．導関数は以下になる．
ψ ′ (t) = exp (π sinh(t)) π cosh(t)
(7)
(5) の積分を以下のように近似する．
∫ ∞
∫ ∞
]
[
]
1 [ −iz log K
1
Im e
ϕj (z) dz =
Im e−iz log K ϕj (ψ(t)) ψ ′ (t) dt
z
0
−∞ ψ(t)
N2
[
]
∑
1
≈h
Im e−iψ(kh) log K ϕj (ψ(kh)) ψ ′ (kh)
ψ(kh)
k=−N1
(8)
N1 と N2 は適当な打ちきりで，h は −N1 から N2 までを等分割した 1 区間の幅であ
る．分割幅は細かいほど精度が高いが，あまり分割しすぎても計算量が増える割に
は，得られる計算精度の向上はわずかになるはずである．
• また，もし実装上必要ならば，次の結果を使って，複素数を実部と虚部に分けるこ
とができる．
– a, b を実数とする．複素数 c = a + ib に対して，ec = ea eib として扱える．ま
た eia = cos(a) + i sin(a)（オイラーの公式）が成り立つ．
課題
194
問題 1 表 13.4 のパラメータの値を用いて，ヨーロピアン・コール・オプションの計算を
して，モデルの特徴を考察する．ただし，表 13.4 の値は適当な値で，カリブレートされた
値ではない．したがって，SV モデルと SVJ モデルで全く異なるオプションの価格が得ら
れるはずである．必要であれば，これ以外の値を用いても構わない．
SV と SVJ のそれぞれについて，行使価格を 70 から 130 まで変化させた場合のボラティ
リティ・スマイルのカーブをグラフにプロットしなさい．縦軸は IV，横軸は行使価格で，
IV は SV あるいは SVJ モデルでそれぞれ計算されたオプション価格から求めた BS 式の
インプライド・ボラティリティである．
同様のグラフを ρ = 0.5 や T = 1 の場合でも作成し，比較しなさい．また，SVJ で
µy = 0.2 とした場合とも比較しなさい．
表 13.4: パラメータ値
金利
資産の配当率
資産価格とボラティリティの拡散項の相関
ボラティリティの長期平均
ボラティリティの平均回帰速度
ボラティリティのボラティリティ
資産価格のジャンプ強度
資産価格のジャンプ率の平均
資産価格のジャンプ率の標準偏差
資産価格の初期値
ボラティリティ（分散）の初期値
オプションの満期
r
q
ρ
v
κ
σv
λ
µy
σy
S0
V0
T
SV
0.05
0
−0.5
0.02
5
0.5
–
–
–
100
0.02
0.25
SVJ
0.05
0
−0.5
0.02
5
0.5
0.5
−0.2
0.2
100
0.02
0.25
問題 2 SV モデルや SVJ モデルでオプションのデルタやベガといったセンシティビティ
を計算することは容易である．オプション価格 C0 の原資産価格に対する感応度 ∆ :=
∂C0
∂S0
0
と，ボラティリティV0 に関する感応度 ν := ∂C
∂V0 は，いずれのモデルでも以下の形式にな
る．
（ただし，特性関数が異なるために値は異なる．
）
∫ ∞
]
1 1
1 [ −iz log K
∂C0
= Π1 = +
Im e
ϕ1 (z) dz
∆=
∂S0
2 π 0 z
∂C0
∂Π1
∂Π2
ν=
= S0
− e−rT K
∂S0
∂V0
∂V0
ここで，j = 1, 2 について
∫
∂Πj
1 ∞
=
∂V0
π 0
∫
1 ∞
=
π 0
[
]
1
−iz log K ∂
Im e
ϕj (z) dz
z
∂V0
]
1 [ −iz log K
Im e
Dj (T, z)ϕj (z) dz
z
課題
195
である．
BS モデルでは無リスク資産と原資産からオプションを複製することが可能であった．
SV モデルではボラティリティも変動することから，無リスク資産と原資産だけではオプ
ションを複製することできない．ただし，他のオプションも利用すれば複製することがで
きる．無リスク資産と原資産のほかに，行使価格が 100 で他の条件はすべて等しいヨーロ
ピアン・コール・オプションを用いて，SV モデルのもとでヨーロピアン・コール・オプ
ションを複製するポートフォリオ21 を求め，表を作成しなさい．ただし，複製対象のヨー
ロピアン・コール・オプションの行使価格を 70 から 130 まで変化させなさい．パラメー
タ値は表 13.4 のものでも，他のものでもよい．
一方で，SVJ モデルでは，ジャンプがあるために完全なヘッジはできない．そこで，拡
散項の変動のみをヘッジすることを考え（デルタニュートラル），SV モデルと同様に，原
資産，ヘッジ用のオプション，無リスク資産からなる複製ポートフォリオを求め，表を作
成しなさい．
21
複製ポートフォリオは，原資産の保有単位，ヘッジ用のオプションの保有単位，無リスク資産
の保有額により表される．
課題
196
課題 2：クレジットリスク
この課題では，ポートフォリオのクレジットリスクの測定を学習するとともに，評価が
デフォルト相関の仮定に強く依存することを体感する．
設定
• X 銀行のストラクチャラーは，優先劣後構造を持つ債券（CDO）を組成し，投資家
に販売したいとを考えている．担保となる参照ポートフォリオは，100 社のローン
から等ウェイトで構成されている．また，いずれのローンも 5 年以上の残存期間を
持つものとする．
• ローンが 5 年後までの間にデフォルトする確率は，参照ポートフォリオに含まれる
100 社すべてで等しく，リスク中立測度のもとで 5%，実測度のもとで 1%である（リ
スク中立測度のもとでのデフォルト確率は，CDS や社債スプレッドなどから推定さ
れる．実測度のもとでデフォルト確率は格付けなどから推定される）．また，デフォ
ルト時の損失率も 100 社のすべてで等しく，60%とする．
• 組成する CDO は，3 つのトランシェから構成される．いずれもゼロクーポン債で，
満期 5 年である．もし満期までの間に，参照企業の中で 1 件もデフォルトが発生し
なければ，すべてのトランシェで満期に額面金額が償還される．デフォルトが発生
した場合は，デフォルトによる損失額と等しい金額が，満期の償還額から減額され
る（つまりデフォルト発生時点から満期までの金利等の効果は勘案しない）．
• トランシェとは優先劣後構造のことで，参照ポートフォリオに発生したデフォルト
損失は，まず最劣後のエクイティ・トランシェが吸収する．エクイティ・トランシェ
の元本を超過したデフォルト損失は，次のメザニン・トランシェが吸収する．これ
も超過した場合には，最優先のシニア・トランシェが負担する．優先劣後比率を以
下のようにする．
エクイティ・トランシェ
メザニン・トランシェ
シニア・トランシェ
0 ％∼3 ％
3 ％∼6 ％
6 ％∼100 ％
例えば，満期時点で参照ポートフォリオに 5%のデフォルト損失が発生していれば，
エクイティ・トランシェの元本の償還はゼロになる．メザニン・トランシェついては，
6% − 5%
= 1/3
6% − 3%
により，元本の 1/3 が償還される．シニア・トランシェは全額が償還される．
問題 1
• それぞれのトランシェの額面を 100 円とすると，ストラクチャラーはいくらで販売
すればいいだろうか．この問題を解くためには，銘柄間のデフォルト相関（依存性）
をモデル化する必要がある．ここでは，最も基本的な 1 ファクター・ガウシアン・
課題
197
コピュラと呼ばれる方法を利用する．ただし，コピュラの相関に一律 10%を仮定す
る．まず，参照ポートフォリオの損失分布（横軸に参照ポートフォリオのデフォル
ト損失率，縦軸に確率）のグラフを作成しなさい．次に，各トランシェのフェアバ
リューを求めなさい．無リスク金利は，連続複利ベースで年利 1%（定数）とする．
また，コピュラの相関を一律 10%から一律 0%や一律 20%に変えた場合と比較しな
さない．
• ヒント プライシングにはリスク中立測度のもとでのデフォルト確率を用いる．ま
た，計算するうえで最もナイーブな方法はモンテカルロ・シミュレーションである
が，最も計算が容易なのは (13.11) 式を利用する方法である．この際の数値積分に
は，以下のガウス求積法を利用できる．
∫
∞
−∞
f (x)ϕ(x) dx ≈
n
∑
wk f (xk )
k=1
ここで ϕ(x) は標準正規密度関数を表す．xk と wk はウェイトと分点で，n は分点の
数を表す．n を増やすと近似はより正確になる．xk , wk を生成するプログラム（エ
クセルマクロあるいは Matlab コード）が必要ならば提供する．
問題 2
• 次に，ストラクチャラーは，メザニンとシニアのトランシェについて，格付け機関
に格付けの付与を依頼したい．下記の表は，格付け機関が利用する 5 年後までのデ
フォルト確率と格付けの対応である．例えば，5 年後（満期）に，そのトランシェ
にわずかでもデフォルト損失が発生する確率を 0.25%とすると，A 格が付与される．
• 1 ファクター・ガウシアン・コピュラを用いて，コピュラの相関を一律 10%，一律
0%，一律 20%のそれぞれの場合について，メザニンとシニアのトランシェに格付け
を与えなさい．
• ヒント 格付けには実測度のもとでのデフォルト確率を用いる．
AAA
0.0326%
BBB2.3903%
AA+
0.0516%
BB+
3.8625%
AA
0.0830%
BB
6.2462%
AA0.1338%
BB10.0970%
A+
0.2165%
B+
16.3245%
A
0.3498%
B
26.3939%
A0.5655%
B42.6608%
BBB+
0.9140%
CCC+
69.0051%
問題 3
• エクイティ，メザニン，シニアの各トランシェについて，投資家にとっての期待リ
ターンを求めなさい．コピュラの相関を一律 10%，一律 0%，一律 20%のそれぞれ
の場合を比較しなさい．
BBB
1.4779%
課題
198
• ヒント 問題 1 で求めたトランシェの価格を P0 ，実測度のもとでの満期での期待
残存元本（問題 2 の計算から算出可能）を P̄T とすると，5 年間の期待リターンは
µ = P̄T /P0 − 1 なので，年率では (µ + 1)(1/5) − 1 になる．