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『双曲幾何』古宇田悠哉（東北大）
平成 ¾¾ 年度北大¹東北大学部生合同合宿 教科書： 『双曲幾何』 深谷賢治著，岩波書店 担当教員： 古宇田 悠哉 （東北大学） セミナー概要： 双曲幾何とは， 「まっすぐ」な空間（ユークリッド空間）ではなく，負の定曲率を持つ「曲がった」 空間を扱う幾何のことをいう．歴史的には， 世紀前半にボヤイ，ロバチェフスキーらによって発見 され，以後，現在に至るまで数学の様々な分野の中で登場し，研究されてきた．本書『双曲幾何』は， リーマン幾何の用語を最小限に抑えながら，その重要な例である 次元双曲幾何の面白さを解説して いる．筆者による「まえがき」で述べられている通り，リーマン幾何学を学ぶ前に，本書の内容に触れ ることにより，一般の場合に進む良い動機づけになると思う． セミナーでは，本書の Ü から読み始め，Ü の終わりまで到達することを目標にする．参加希 望者は， Ü ガウス平面と一次分数変換 Ü 群と作用 までをあらかじめ予習しておくことが望ましい．時間があれば，第 章を飛ばして，第 章を読む． 参考までに，セミナーで読むセクションのタイトルを下に挙げる． 第 章 次分数変換 Ü 次分数変換の性質 円円対応 第章 ÈËÄ の元の分類 上半平面とポアンカレ計量 Ü ポアンカレ計量 曲線の長さ ポアンカレ計量 距離空間の公理 等長変換群 Ü 幾何学とそのモデル 円盤モデル 測地線の一意性 角形の合同条件 幾何学が同じということの意味 エルランゲン・プログラム Ü 共形変換・等角写像 次分数変換の共形性 複素関数論との関係 測地線の決定 第章 タイル張り，離散群，ガウス ボンネの定理 Ü 多角形の面積 面積の定義 角形の面積 多角形のガウス ボンネの定理 オイラーの定理 Ü 平面のタイル張りと離散群 タイル張り タイル張りの自己同型群 基本領域 離散群 Ü ディリクレ基本領域 双曲面のタイル張りと離散群 双曲面のタイル張り 閉曲面と離散群 £ この部分はとばしてもよい． 鏡映群