はじめに：三角比・三角函数で出てくる公式一覧

中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.1
はじめに：三角比・三角函数で出てくる公式一覧
これから勉強する三角比と, この次の三角函数の単元は公式がとても多いことで知られ
ているが，出てくる公式を全て挙げてみる．
sin2 θ + cos2 θ = 1，tan θ =
sin θ
1
，1 + tan2 θ =
cos θ
cos2 θ
1
tan θ
◦
◦
◦
sin(180 − θ) = sin θ，cos(180 − θ) = − cos θ，tan(180 − θ) = − tan θ
sin(90◦ − θ) = cos θ，cos(90◦ − θ) = sin θ，tan(90◦ − θ) =
a
b
c
=
=
= 2R
sin A
sin B
sin C
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A，b2 = c2 + a2 − 2ca cos B ，c2 = a2 + b2 − 2ab cos C
1
1
1
S = bc sin A = ca sin B = ab sin C
2
2
2
sin(θ + 2nπ) = sin θ, cos(θ + 2nπ) = cos θ, tan(θ + 2nπ) = tan θ
sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = − tan θ
sin(θ + π) = − sin θ, cos(θ + π) = − cos θ, tan(θ + π) = tan θ
sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = − cos θ, tan(π − θ) = − tan θ
π
π
1
π
sin(θ + ) = cos θ, cos(θ + ) = − sin θ, tan(θ + ) = −
2
2
2
tan θ
π
π
π
1
sin( − θ) = cos θ, cos( − θ) = sin θ, tan( − θ) =
2
2
2
tan θ
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2 α − sin α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1, tan 2α =
2 tan α
1 − tan2 α
α
1 − cos α
α
1 + cos α
α
1 − cos α
=
, cos2 =
, tan2 =
2
2
2
2
2
1 + cos α
1
1
sin α cos β = {sin(α + β) + sin(α − β)}, cos α sin β = {sin(α + β) − sin(α − β)}
2
2
1
1
cos α cos β = {cos(α + β) + cos(α − β)}, sin α sin β = − {cos(α + β) − cos(α − β)}
2
2
A+B
A−B
A+B
A−B
sin A + sin B = 2 sin
cos
, sin A − sin B = 2 cos
sin
2
2
2
2
A−B
A+B
A−B
A+B
cos
, cos A + cos B = −2 sin
sin
cos A + cos B = 2 cos
2
2
2
2
sin2
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.2
吐き気やめまいがした人もいるかもしれないが，大事なことは，この公式は全て丸暗記
するのではなく，::::::::::::::::::::::::::::::::
自分で導出する方法を身につけることである*1 ．公式が出てくる度に，
どのようにして導出しているのか，という証明の「ココロ」をしっかりと身につけて欲
しい．
1 三角比の発想の原点
中学数学の範囲で「形が同じであれば，大きさによらず，各部分の長さの比は一定であ
る」という性質，いわゆる”相似”の性質を習った．これを実用的な技術にまで高めたもの
がこれから勉強する三角比である．
E
三角比の発想の原点は”2 つの直角三角形は 1 つの
鋭角が互いに等しければ，互いに相似である（∵ 3 つ
B
の対応する角の大きさがそれぞれ等しいということ
が言える）”ということである．すなわち，右図の直
A
C D
F
角三角形 ABC，DEF において，
∠A = ∠D ならば， △ABC
∽ △DEF
である．したがって，対応する 2 辺の比は全て等しい．つまり，
AB : BC : CA = DE : EF : F D
であるといえる．これは連比の形で表しているが，一部を取り出した連立形で，

 AB : BC = DE : EF
BC : CA = EF : F D

CA : AB = F D : DE
(1)
と表すこともできる．このことを式ではなく次のように言葉で表現することができる；
直角三角形の
1 つの鋭角の大きさが決まれば，直角三角形の 3 辺のうち，どの 2 辺
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
の長さの比も決まってしまう！
これから述べる鋭角の場合の三角比の定義は，このことに由来するものである．
*1
1
ただし，”加法定理”と呼ばれる公式を除く
三角比の発想の原点
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.3
E
C
b′
a′
b
A
a
θ
c
c
′
B
D
上の図で，△ABC と △ADE は互いに 1 つの鋭角が等しい直角三角形である．つまり，
先ほどの (1) 式と同様の関係式

 c : a = c′ : a′
b : a = b′ : a′

b : c = b′ : c′
(2)
が成立する．比が等しければ，比の値も等しいので，(2) 式は

c′
c


=



a
a′


b
b′
= ′

a
a



′
 b

 =b
c
c′
(3)
(4)
(5)
といえる．
以上から，同じ大きさの鋭角 θ をもつあらゆる直角三角形の 2 辺の比は，θ の大きさだ
けで決まり，三角形の大きさにはよらないということが言える．そこで，(3) 式で与えら
れる比の値を tan θ(tan は”タンジェント”と読む)，(4) 式で与えられる比の値を sin θ(sin
は”サイン”と読む)，(5) 式で与えられる比の値を cos θ(cos は”コサイン”と読む) と表す
ことにする．まとめると以下のとおり；
1
三角比の発想の原点
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 定義 1.1
体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.4
（三角比の定義）
右の図の直角三角形において，
B
a
,
c
b
cos θ= ,
c
a
tan θ=
b
sin θ=
c
A
a
θ
b
C
とそれぞれ表すことにする．
♣ 基準としている鋭角 θ の位置に注意しよう．つまり，みんなから見て「直角が右
下，鋭角が左下」にある，ということである．
♣ 鋭角 θ に対して，この角を基準として上の図の a を対辺，b を隣辺，c を対辺と呼
ぶことがある．
♣ sin を日本語では「正弦」，cos は「余弦」，tan は「正接」と呼ぶ．この呼び名も覚
えておくと良い．
♣ この定義の覚え方の有名なものとして，
「小文字の s, c, t をそれぞれ筆記体で書く」
というものがあるので，板書にて紹介する．
練習 1.2
右の図の直角三角形について
β
13
5
sin α, sin β, cos α, cos β, tan α, tan β
α
の値をそれぞれ求めよ．
12
練習 1.3 三角比の値の表を用いて，次の値を求めよ．
(1) sin 18◦
(2) cos 41◦
(3) tan 15◦
(4) tan 83◦
練習 1.4 三角比の値の表を用いて，次の θ の値を求めよ．
(1) sin θ = 0.9063
1
(2) cos θ = 0.82
三角比の発想の原点
(3) tan θ = 5.1446 (4) tan θ = 0.6
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.5
特別角の三角比一覧
P
P
√
30◦
45◦
2
1
P
√
3
2
60◦
1
O
2
45◦
1
Q
O
60◦
O
1
30◦
Q
√
Q
3
上の図から，次のことが言える；
√
1
3
1
sin 30◦ = , cos 30◦ =
, tan 30◦ = √
2
2
3
1
1
sin 45◦ = √ , cos 45◦ = √ , tan 30◦ = 1
2
2
√
√
1
3
sin 60◦ =
, cos 60◦ = , tan 60◦ = 3
2
2
♣ この値はとてもよく使うので必ず覚えておこう．
次の図の直角三角形 ABC において，次のことが成立することを確認しよう；
B
a = c sin α,
b = c cos α
(6)
a = b tan α,
b = a tan β
(7)
c
A
α
b
β
a
C
このことを利用して，次のような問題を問いてみよう．実生活の場面で三角比がとても役
に立つことが実感できるだろう．
例 1.5 建物の高さを測るために，7.0m 離れた地点で，高さ 1.5m の位置から建物の上端
を見上げる角（=仰角）を測ったら，42◦ であった．建物の高さを求めよ．ただし，小数
第 2 位を四捨五入せよ．
1
三角比の発想の原点
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.6
練習 1.6 高さ 100m の塔の先端をある地点から見上げると，仰角が 52◦ であった．その
地点から投の真下までの距離を求めよ．ただし，観測者の目の高さを 1.6m とし，小数第
2 位を四捨五入せよ．
練習 1.7 傾き 8◦ の上り坂を 500m 進むと，水平方向に何 m 進み，鉛直方向に何 m 上っ
たことになるか．ただし，1 m 未満は四捨五入せよ．
練習 1.8 次の問に答えよ．
半径 r の円 O において，弧 AB に対する中心角 ∠AOB
(1)
の大きさが 2θ であるとき，弦 AB の長さと，O から AB
O
に引いた垂線 OH の長さをそれぞれ r と θ を用いて表せ．
(2)
r
半径 10 の円に内接する正五角形の 1 辺の長さと，円の中
心から正五角形の 1 辺に引いた垂線の長さをそれぞれ求
A
θ
H
B
めよ．ただし，小数第 2 位を四捨五入せよ．
2 三角比の相互関係
別々に定義された sin と cos と tan であるが，これらの間に成り立つ関係を考えてみ
よう．
定理 2.1 （三角比の相互関係）
三角比の相互関係について，次の公式が成り立つ；
sin2 θ + cos2 θ = 1
tan θ =
sin θ
cos θ
1 + tan2 θ =
1
cos2 θ
♣ 慣習として (sin θ)2 を sin2 θ，(cos θ)2 を cos2 θ，(tan θ)2 を tan2 θ と書くことに注
意．
2
三角比の相互関係
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.7
【証明】右の図の直角三角形において，
x = r cos θ,
y = r sin θ
(8)
r
y
である．三平方の定理より，x2 + y 2 = r2 が成立するので，
θ
(8) 式を代入すると，
x
(r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r2
両辺を r2 で割ると，
sin2 θ + cos2 θ = 1
が成立する．また，tan θ =
y
x
(9)
より，(8) 式から
tan θ =
sin θ
cos θ
(10)
である．(9) の両辺を cos2 θ で割り，(10) を用いると
1 + tan2 θ =
1
cos2 θ
(11)
を得る．
例 2.2 θ は鋭角とする．cos θ =
2
3
練習 2.3 θ は鋭角とする．sin θ =
のとき，sin θ と tan θ の値を求めよ．
2
5
のとき，cos θ と tan θ の値を求めよ．
例 2.4 θ は鋭角とする．tan θ = 2 のとき，cos θ と sin θ の値を求めよ．
練習 2.5 θ は鋭角とする．tan θ =
2
三角比の相互関係
√
2 のとき，cos θ と sin θ の値を求めよ．
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.8
2.1 90◦ − θ の三角比（余角公式）
A
90◦ − θ
B
r
r
A
θ
x
y
θ
C
x
B
90◦ − θ
y
C
上の 2 つの直角三角形は合同である．この直角三角形において，三角比の定義を用い
ると，
y
x
, sin(90◦ − θ) = ,
r
r
x
y
◦
cos θ = , cos(90 − θ) = ,
r
r
y
x
tan θ = , tan(90◦ − θ) =
x
y
sin θ =
がわかるであろう．このことから，鋭角 θ について次の公式が成立する；
定理 2.6 （90◦ − θ の三角比）
sin(90◦ − θ) = cos θ
(12)
◦
cos(90 − θ) = sin θ
1
tan(90◦ − θ) =
tan θ
(13)
(14)
これを利用すれば，鋭角の三角比は 45◦ 以下の三角比で表すことができる．
例 2.7 次の三角比を 45◦ 以下の三角比で表す．
(1) sin 58◦
(2) cos 73◦
(3) tan 81◦
練習 2.8 次の三角比を 45◦ 以下の三角比で表せ．
(1) sin 49◦
2
(2) cos 65◦
三角比の相互関係
(3) tan 77◦
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.1
3 三角比の定義の拡張
3.1 座標を用いた三角比の定義
y
P(x, y)
ここまで述べたきた三角比の定義では，鋭角に対して
r
しか三角比が定義できていない．これでは不便なので，
これを一般化して直角や鈍角に対しても三角比が考えら
θ
O
れるようにしよう．ここでは 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ の角 θ ま
x
Q
で拡張する*1 ．
まず，xy 平面上に原点 O を中心とする半径 r の円を
描く．いま，鋭角 θ が与えられたとき，x 軸正の向きと
角 θ をなす半径 OP をひき，P から x 軸への垂線 PQ をひく（右図）．すると，直角三角
形 OPQ において
cos θ =
x
y
y
, sin θ = , tan θ =
r
r
x
(15)
B
となる．この定義は，直角三角形を用いた定義
c
a
b
a
sin θ = , cos θ = , tan θ =
c
c
b
θ
b
A
a
C
で a = y, b = x, c = r と置き換えたものと一致する．
y
上の図は，0◦ < θ < 90◦ の場合であったが，同様
の考えは P が第 1 象限に含まれない場合，つまり，
P
90◦ ≦ θ ≦ 180◦ の場合でも意味を持つ．そこで，(15)
式によって sin θ, cos θ, tan θ を定義することにすれば，
θ
r
Q
O
x
θ が鈍角であっても構わないことになる．
θ が鈍角の場合，点 P は第 2 象限にあるので，x <
0, y > 0 であるから，三角比の符号はそれぞれ
sin θ > 0, cos θ < 0, tan θ < 0
*1
3
180◦ より大きな角度の三角比については次章の「三角函数」で扱う．
三角比の定義の拡張
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.2
となる．
例 3.1 θ = 120◦ の と き，r = 2 の場 合 の 円を描 けば ，
√
P(−1, 3) であるから，
y
P
2

1
−1


=−
cos 120◦ =


2

√2


3
sin 120◦ =

2

√


√


 tan 120◦ = 3 = − 3
−1
120◦
2
QO
x
となる．
♣ 上のようにして三角比を考えるとき，いずれも半径 r の大きさに関係なく，θ だけ
で定まるので，円の半径 r の値は都合のように決めて構わない．ただし，r = 1 と
すると，(15) の定義が
cos θ = x, sin θ = y, tan θ =
y
x
(16)
と単純化される．つまり，x 座標の値が cos，y 座標の値が sin，半径の傾きが tan
となる！よって，理論的にはこの場合が特に好まれる．このような半径 1 の円を単
位円という．
♣ 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ のとき，−1 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1 なので，
0 ≦ sin θ ≦ 1, −1 ≦ cos θ ≦ 1
が成り立つ．
♣ θ = 90◦ のときは，x = 0 より，これを分母に持つ分数で定義されるはずの
tan
90◦ は定義することができない！（三角比の表で tan 90◦ が空白になっている
:::::::::::::::::::::::::::::::
のはそのためである）それ以外では，tan θ は半径の傾きなので，任意の実数を取
りうる．
3
三角比の定義の拡張
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.3
練習 3.2 図を用いて, (1)θ = 135◦ ，(2)θ = 150◦ の場合の sin, cos, tan をそれぞれ求
めよ．
y
y √
2
2
P
135◦
Q
P
√
2
x
O
150◦
2
x
O
Q
3.2 180◦ − θ の三角比（補角公式）
y
y
1
1
Q(−x, y)
θ
−1
θ
180◦ − θ
1x
O
図1
P(x, y)
P(x, y)
Q(−x, y)
180◦ − θ
O
−1
θ が鋭角の時
図2
180◦ − θ
θ
1x
θ が鈍角の時
上図のように単位円上に点 P(x, y) をとり，P と y 軸に関して対称な点を Q をとると，
Q の座標は (−x, y) となる．これより，
sin θ = y,
cos θ = x,
y
tan θ = ,
x
sin(180◦ − θ) = y
cos(180◦ − θ) = −x
y
tan(180◦ − θ) = −
x
とわかる．よって，0◦ ≦ θ ≦ 180◦ のとき，次の公式が成り立つ；
3
三角比の定義の拡張
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.4
定理 3.3 （180◦ − θ の三角比）
sin(180◦ − θ) = sin θ
(17)
◦
cos(180 − θ) = − cos θ
(18)
◦
tan(180 − θ) = − tan θ
(19)
この公式を用いると，鈍角の三角比を鋭角の三角比で表すことができる．
例 3.4 次の鈍角の三角比を鋭角の三角比で表す．
(1) sin 154◦ (2) cos 127◦ (3) tan 106◦
練習 3.5 三角比の表を用いて，次の値を求めよ．
(1) sin 132◦ (2) cos 147◦ (3) tan 115◦
3.3 等式を満たす θ
三角比の値が与えられたときに，それを満足する角の大きさを求めることを考える．
例 3.6 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ のとき，次の等式を満たす θ を求めよ．
(1) cos θ = − √12
(2) sin θ =
1
2
√
(3) tan θ = − 3
解法の方針
cos θ = a (−1 ≦ θ ≦ 1) を満たす θ の値を求めるには，xy 平面上で
1. 原点 O を中心とする半径 1 の円（単位円）をかく
2. 直線 x = a を引いて，円との交点 A を求める
3. O から A に向かう動径（=半径）の x 軸からの回転角を求める
とすれば良い．つまり，自分で図を描いてみて値を求めると良い．また，数学 I の範囲で
は 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ なので，y ≧ 0（x 軸の上側）の部分にある半円だけを考えれば良い．
一方，sin θ = a となる θ を求める場合には，上の 2. を
2’. 直線 y = a を引いて，円との交点 A を求める
とすれば良い．ただし，この変更によって，ひとつ注意しなければならないところがあ
る．板書にて説明しよう．
また，tan θ = a となる θ を求める場合は，
3
三角比の定義の拡張
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.5
2’. 直線 y = a を引いて，円との交点 A を求める原点 O と点 (1, a) とを通る直線を引
き，円との交点 A を求める
とすれば良い．tan は直線の傾きを表すのでここで引いた直線の傾き a が tan θ を表す．
y
1√
3
2
P
120◦
1
1
√1
2
P
Q
◦
135
− √12
−1
y
y
O
1
x
√
− 23
150◦
O
− 12 O
1 x
P
30◦ 1
√
3
2
x
√
− 3
Q
練習 3.7 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ のとき，次の等式を満たす θ を求めよ．
√
(1) sin θ = 23
√
(4) 2 cos θ + 3 = 0
3
三角比の定義の拡張
(2) cos θ = − 12
(3) sin θ = 0
担当：岡崎正悟
中 3（75 期）数学 1 体系数学 3 第 5 章 [三角比]
No.6
3.4 三角比の相互関係
単位円を用いた三角比の定義
cos θ = x, sin θ = y, tan θ =
y
x
を用いると，三平方の定理から，
sin2 θ + cos2 θ = x2 + y 2 = 1
が成立する．つまり，鈍角の三角比についても，先に習った三角比の相互関係
sin2 θ + cos2 θ = 1, tan θ =
sin θ
1
, 1 + tan2 θ =
cos θ
cos2 θ
が成立する．これを用いて次のような問題を解いてみよう．
例 3.8 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ とする．sin θ =
3
5
のとき，cos θ と tan θ の値を求めよ．
練習 3.9 0◦ ≦ θ ≦ 180◦ とする．
(1)
cos θ = − 14 のとき，sin θ と tan θ の値を求めよ．
(2)
sin θ =
(3)
tan θ = −2 のとき，sin θ と cos θ の値を求めよ．
3
2
3
のとき，cos θ と tan θ の値を求めよ．
三角比の定義の拡張
担当：岡崎正悟