数学の基礎訓練II

数学の基礎訓練 II
∼微積分の基本∼
平成 28 年 3 月 29 日版
1
2
微分
1.1 極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 導関数の定義と基本 . . . . . . . . . . .
1.2.1 導関数の定義 . . . . . . . . . . .
1.2.2 導関数の幾何学的意味 . . . . . .
1.2.3 微分の基本公式 . . . . . . . . . .
1.3 複雑な関数の導関数 . . . . . . . . . . .
1.3.1 Chain Rule . . . . . . . . . . . .
1.3.2 逆関数・指数関数の微分 . . . . .
1.4 微分と定性的表現 . . . . . . . . . . . . .
1.5 微分と接線 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 高次導関数 . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 マクローリン展開とテイラー展開 . . . .
1.7.1 マクローリン展開 . . . . . . . . .
1.7.2 テイラー展開 * . . . . . . . . . .
1.8 オイラーの公式 . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 オイラーの公式の導出 . . . . . .
1.8.2 オイラーの公式と三角関数の公式
1.8.3 オイラーの公式と複素数 . . . . .
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積分
2.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 不定積分の定義 . . . . . . . . . . .
2.1.2 不定積分の公式 . . . . . . . . . . .
2.1.3 不定積分の幾何学的意味 . . . . . .
2.2 定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 定積分の定義 . . . . . . . . . . . .
2.2.2 定積分と偶関数・奇関数 . . . . . .
2.3 積分の計算方法 . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 微分を探す . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 部分分数分解 . . . . . . . . . . . .
2.3.3 部分積分 . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 積分の Chain Rule: 変数変換 . . .
2.3.5 三角関数の積分 . . . . . . . . . . .
2.4 面積・体積・曲線の長さ . . . . . . . . . .
2.4.1 面積 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 体積 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 曲線の長さ . . . . . . . . . . . . .
2.5 広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 力学と微積分 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 距離・速度・加速度 . . . . . . . .
2.6.2 運動量・力積・運動エネルギー・仕事
2.7 積分と定性的表現 . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
5
5
5
6
6
6
6
7
8
8
8
8
8
8
8
9
10
10
10
11
12
12
13
13
14
15
16
16
16
16
17
3
微分方程式
3.1 微分方程式の解の挙動 . . . .
3.2 微積分と定性的表現 . . . . .
3.3 簡単な微分方程式の解法 . . .
3.3.1 変数分離型微分方程式
3.3.2 斉次線形微分方程式 .
.
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西井 淳
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17
17
17
18
18
18
A 微分・積分ドリル
19
B このドキュメントの著作権について
20
1
1
微分
0
x
x
(2) lim
x→0 0
(1) lim
x→0
1.1
極限
問 1 以下の極限を求めなさい。必ずグラフを描いて
考えること (答 1 。
(3)
lim
x→−∞ ex
1
x→+0 x
(4) lim
1
x
(5) lim
ex − e−x
x→∞ ex + e−x
(1) lim
(2) lim
x→−0
1
x
x→∞ 1 + e− T
1
x→0 x
(6)
1
x→∞ x
(7) lim
(3) lim
(4) lim
lim
x→−∞
(7)
(8)
1
x→2+0 x − 2
1
1
x
e +1
1
x→+0
lim
|x|
x→+0 x
1
x
e +1
1
x→−0
1
x
e +1
√
x+1−1
(11) lim
x→0
x
√
x2 + 1 − 1
(12) lim
x→∞
x
|x|
x→−0 x
(9) lim
(10) lim ex
x→∞
x−1
(13) lim √
x→1
x−1
lim ex
x→−∞
(12) lim e−x
sin x
(14) lim √
x→+0
x
x→∞
(13)
e +1
x→−∞
(10) lim
(T > 0)
1
x
lim
(9) lim
(8) lim
(11)
1
x
1 + e− T
lim
1
x→2−0 x − 2
(T > 0)
1
x→∞
1
(5) lim
x→−∞ x
(6)
1
+1
lim e−x
sin 2h
h→0
h
x→−∞
(15) lim
問 2 以下の極限値を求めなさい (答 2 (ロピタルの定
理は禁止）。ただし、必要であれば以下の 2 式を用
いても良い。
(
)
sin x
1 x
(
注1
lim
=1
,
lim
1+
=e
x→±∞
x→0 x
x
tan t
t→0 t
(16) lim
1
(17) lim (1 + x) x
x→0
(
a )t
(18) lim 1 +
t→∞
t
(答 1
(1) ∞ (2) −∞ (3) 極限値無し (4) 0 (5) 0 (6) ∞ (7)
−∞ (8) 1 (9) −1 (10) ∞ (11) 0 (12) 0 (13) ∞
(答 2
(1) 0 (2) 値無し (3) 1 (4) 1 (5) 1 (6) 0 (7) 12 (8)
1
(9)
0 (10) 1 (11) 1/2 (12) 1 (13) 2 (14) 0 (15) 2 (16)
2
1 (17) e (18) ea (19) 1
(注 1
数学の基礎訓練 I の三角関数のセクションで述べたように
x ≪ 1 に対して sin x ≃ x となる。
(19) lim
x→0
(a > 0)
log(1 + x)
x
問 3 以下の極限値を求めなさい (答 3
(答 3
1
(1) cos x (2) − sin x (3) 1/x
微分
導関数の定義と基本
1.2
1
(2) y = f ′ (x) のグラフ頂点のおおよその値にも気
をつけましょう。
sin(x + h) − sin x
h→0
h
(1) lim
(2) lim
h→0
微分
cos(x + h) − cos x
h
y
3
log(x + h) − log x
h→0
h
2
(3) lim
1
x
-4
-3
-2
-1
導関数の定義と基本
1.2
1.2.1
0
1
2
3
4
-1
導関数の定義
-2
-3
関数 f (x) の導関数 (derivative) は次式で定義され、
df d
f ′ (x),
,
f などで表す。
dx dx
1.2.3
f (x + h) − f (x)
f ′ (x) = lim
h→0
h
微分の基本公式
問 4 導関数の定義式に基づいて次式を証明せよ。
また、導関数を求めることを「微分する」と言い、し
ばしば導関数自体を微分 (differentiation) と呼ぶ。
物理や工学の分野では、時間 t の関数 f (t) の導関
数を f˙(t) (「エフドット」と読む) と表し、他の変数
による微分と区別する。
(1) (f (x) ± g(x))′ = f ′ ± g ′
(2) (kf (x))′ = kf ′
(k:定数)
(3) (f (x)g(x))′ = f ′ g + f g ′
(
)
f (x) ′ f ′ g − f g ′
(4)
=
g(x)
g2
問 1 導関数の値を調べると何がわかるか，その意味
を 2 通り以上の表現で説明せよ。
問 5 以下を導関数の定義に従って証明せよ。
解説 関数は入力値に出力値に対応づける規則であ
る。一方，微分という操作は入力関数に対応した関
数 (導関数) を出力する点で関数とは異なる。
(1) (2)′ = 0
(2) (x3 )′ = 3x2
1.2.2
(3) (x−2 )′ = −2x−3
導関数の幾何学的意味
(4) (xn )′ = nxn−1 (n:正の整数)
問 2 以下の式の幾何学的意味を説明しなさい。
(1)
d
C=0
dx
(5) (xn )′ = nxn−1 (n:負の整数)
(C は定数)
d
(2)
(ax + b) = a
dx
(6) (sin x)′ = cos x
(a, b は定数)
(7) (cos x)′ = − sin x
問 3 以下の図に示すなめらかな関数 y = f (x) の導
d
関数
f (x) のグラフを描きなさい．
dx
注)
(8) (ln x)′ =
問 6 以下の導関数を求めよ。ここまでに証明した公
式は用いてよい (答 4 。
(1) “滑らかな関数” とは一般に無限回微分可能 (C ∞
級 (注 2 ) な関数を指すので、その導関数のグラ
フも滑らかになります。
(1) y = tan x
10
(a) y ′ = cos12 x (b) y ′ = sin x + x cos x (c) y ′ = (x−5)
2…
分子が x を含まない形にまず変形してから微分すると楽 (d)
1
y ′ = − x12 + (x+1)
2 …部分分数分解してから微分するとよい
(答 4
(注 2
1
x
n 回微分可能の関数を C n 級の関数とよぶ
2
1.3
複雑な関数の導関数
1
微分
逆関数・指数関数の微分
(2) y = loga x
1.3.2
(3) y = x sin x
逆関数や指数関数の導関数を求めるには，式を微
分しやすい形に変形した後，両辺を x で微分する。
(4) y =
1.3
1.3.1
1
x(x + 1)
問 1 以下の各関数の導関数を求めよ (答 6 。ただし，こ
こまでの問題で証明していない公式を使わないこと。
どうしても使いたいときには必ず証明をすること。
複雑な関数の導関数
Chain Rule
複雑な関数の導関数を求めるときには chain rule
を用いるとよい。例えば，y = (1 + sin 2x)3 の導関
数は以下のように求める。
(1) y = sin−1 x,
(−π/2 ≤ y ≤ π/2)
(2) y = cos−1 x,
(0 ≤ y ≤ π)
(3) y = tan−1 x,
(−π/2 < y < π/2)
y = z3
(4) y = ex
z =1+w
(5) y = ax (a > 0)
w = sin u
(6) y = xx (x > 0)
u = 2x
とおくと，
微分と定性的表現
1.4
dy dy dz dw du
= ·
·
·
dx dz dw du dx
=3z 2 · 1 · cos u · 2
問 1 以下の定性的表現を数式で表しなさい。ただし，
ある量の変化とは，
=6(1 + sin 2x)2 · cos 2x
変化＝「後の量」ー「始めの量」
練習問題 Chain rule を用いて以下の導関数を求めよ
(答 5 。これ以上変数を分解できないところまで分解
すること。
で与えられることに注意しなさい (答 7 。
(1) y = x1.2 (x > 0)
(1) 時刻 t1 から時刻 t2 までの間の位置 x(t) の変化
を変位 ∆x とよぶ。
(2) y = xa (x > 0, a: 実数)
(3) y =
(3x2
−x−
(2) 時刻 t1 から時刻 t2 までの間の位置 x の平均変
∆x
で表す。
化率をここでは
∆t
1)4 …展開して計算しないこと
(4) y = tan(x2 + 2)
(5) y = log cos2 x
(答 6
′
(7) y = log log x
1
(8) y = √
x2 + 1
(9) y = sin10 x2
′
(y = xz, z = tan u, · · · とおく)
(1) y = 1.2x
(2) y ′ = axa−1 (3) y ′ = 4(6x−1)(3x2 −
3
′
2x
x − 1) (4) y = cos2 (x
(5) y ′ = −2 tan x (6) y ′ = x1
2 +2)
′
′
1
(7) y = x log x (8) y = − 2 x√ 2
(9) y ′ = 20x cos x2 ·
(答 5
0.2
sin9 x2 (10) y ′ = tan x2 +
(x +1)
2x2
cos2 x2
x
1
, (2) y ′ = − √
1−x2
′
x
′
1
1−x2
x
, (3) y ′ =
1
,
1+x2
(4)
y = e , (5) y = a log a, (6) y = x (log x + 1)。
x(t2 ) − x(t1 )
∆x
(答 7
=
(1) ∆x = x(t2 ) − x(t1 ) (2)
∆t
t2 − t1
(3) ある年 (第 t 年) のうさぎの個体数を nt とおく。nt = nt−1
(4) nt = 1.1nt (nt は問 (3) と同様)
(5) 以下ではうさぎの個体数を nr (t) とおく。ṅr = C (C は定
数)
(6) ṅ = kn (k は定数)
(7) 以下の問では狼の個体数を nw (t), うさぎと狼の遭遇確率を
P とおく。P = knr nw (k は定数)
(8) ṅr = anr − bP = anr − bknr nw (a, b, k は定数)
(9) 物体の体積を V とする。V̇ < 0
(10) ẋ(0) = 0 (x は物体の位置)
(11) Ṫ = 0 (T は物体の温度)
(12) Ṫ (t0 ) = 0 (T は物体の温度)
(13) Ṫ = k(T0 − T ) (k は正の定数)
(6) y = log |x|, (x < 0)
(10) y = x tan x2
(1) y ′ = √
x +1
3
1.5
微分と接線
1
(3) ある島に住むうさぎのある年の個体数と前年の
個体数は常に同じである。
1.5
微分
微分と接線
問 1 以下の問に答えなさい。
(4) ある島に住むうさぎのある年の個体数は前年の
個体数より常に 1 割多い。
(1) y = 2x2 の x = 1 における接線 (tangent line)
の方程式は? (答 10
(5) ある島に住むうさぎの増加率は一定である。(以
下ではうさぎの個体数を実数として扱う)
(2) 原点を中心とする半径 1 の円のうち y > 0 の部
分の、x = 12 における接線は? (答 11
(6) ある島に住むうさぎの増加率は個体数に比例す
る。
(3) xy 平面における以下の曲線の t = 1 における接
線は? (答 12

x = t − 1
(t は実数)
 y = t2
(7) ある島にはうさぎと狼が住んでいる。うさぎと
狼の遭遇確率は，うさぎと狼の個体数の積に比
例する。
(8) ある島のうさぎの増加率は個体数に比例する増
加率と, うさぎと狼の遭遇確率に比例する減少
率の和によって表される。
(4) xy 平面における以下の曲線の t = 1 における接
線は? (答 13

 x = t2
(t は正の実数)
y = t − 1
(9) ある物体の体積が時間とともに減少している。
(10) ある物体が時刻 t = 0 において静止している。
(11) ある物体の温度は時間によらず一定である。
問 2 以下の問に答えなさい。
(12) ある物体の温度が時刻 t0 に極小値もしくは極大
値になる。
(1) 2 曲線 y = f (x) と y = g(x) が点 (x0 , y0 ) で接
する条件を述べなさい (答 14 。
(13) ある物体が一定の温度 T0 の恒温槽にあるとす
る。このとき物体の温度 T は T0 に近づいてい
くが、その変化の割合は温度差に比例する。
(2) f (x) と g(x) を x の多項式であるとして，以下
の問に答えなさい。
(a) 方程式 f (x) = g(x) が重根をもつならば，
2 曲線 y = f (x) と y = g(x) は接点をもつ
ことを示しなさい (答 15 。
問 2 水槽の底にある管からポンプで水を入れたとこ
ろ、単位時間あたりに水槽に入る水の量は水槽内の
水の量に反比例していた。また, この水槽の底には
小さな穴があいており、単位時間あたり一定の量の
水が漏れていた。
(b) 前問の逆も成り立つことを証明しなさい。
すなわち 2 曲線 y = f (x) と y = g(x) が接
(1) 必要な変数を定義し、水槽の中の水の量の時間
変化率を表す方程式を書きなさい (答 8 。
(答 10
y − 2√= 4(x − 1)
y − 23 = − √13 (x − 21 ) (ヒント: x2 + y 2 = 1 の両辺を x
で微分すれば y ′ を簡単に計算できる)
dy
dy dt
(答 12
y − 1 = 2x (ヒント:
=
を使うと便利)
dx
dt dx
(答 13
1
y = 2 (x − 1)
(答 14
y0 = f (x0 ) = g(x0 ), f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
(答 15
方程式 f (x) = g(x) が重根をもつならば次式を満たす x0
および多項式 h(x) が存在する。
(答 11
(2) しばらく水を入れ続けているとやがて水槽の水
の量が変化しなくなった。このときの水の量を
求めなさい (答 9 。
(答 8
水槽中の水の量を V , 単位時間あたりに水槽から漏れる水
の量を a とおく。題意より次式が成り立つ。
V̇ =
k
−a
V
f (x) − g(x) = (x − x0 )2 h(x)
ここで、k は正の定数である。
k
(答 9
V =
a
このとき，x = x0 で前問で述べた条件 (f (x0 ) = g(x0 ), f ′ (x0 ) =
g ′ (x0 )) が成り立つことを示せば良い。
4
1.6
高次導関数
1
点をもつならば，方程式 f (x) = g(x) が重
根をもつことを示しなさい (答 16 。
問 3 x = A sin(ωt + ϕ) が次式を満たすような ω の
値を求めなさい。ただし, A, ϕ は定数である。
ẍ = −kx
解説 以上より，２つの多項式 f (x) と g(x) が接点を
もつ条件は，f (x) = g(x) が重根をもつことである
ことがわかる。
1.6
マクローリン展開とテイラー展開
1.7
1.7.1
高次導関数
問 1 以下の n 次導関数を求めよ
(答 17
マクローリン展開
様々な関数の振舞を解析する際，三角関数等のよう
に値を簡単に求めることができない謎の関数が含ま
れていると大変困る。そこで，例えば謎の関数 f (x)
の x = 0 の近傍での値や振舞いを知りたい場合には，
次式のように f (x) を x の級数で表現できれば解析
が容易になる。
。
(1) f (x) = ex
(2) f (x) = sin x
(3) f (x) = cos x
f (x) =
問 2 以下の関数をそれぞれ 4 階微分まで求め，それ
に基づいて，n 階微分 f (n) を推測せよ (答 18 。その
推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。
接点の x 座標を x = x0 とすると，以下が成立する。
f (x0 ) = g(x0 )
(1)
(2)
f (x) =
式 (1) より，x = x0 は f (x) − g(x) = 0 の解なので，以下を満
たす多項式 k(x) が存在する。
f (x) − g(x) = (x − x0 )k(x)
(3)
解説 ある関数 f (x) を上記のように級数展開すること
をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) という。
(4)
練習問題
上式が式 (2) を満たす条件は，k(x) = (x − x0 )h(x), (h(x) は
多項式) が成り立つことである。従って式 (2) は以下のように
書き直せる。
f (x) − g(x) = (x − x0 )2 h(x)
∞
∑
1 (n)
f (0)xn
n!
n=0
上式を微分すると
f ′ (x) − g ′ (x) = k(x) + (x − x0 )k′ (x)
an x n
問 an を求める方法を考えてみよう。よい近似式を
得るには x = 0 における両者の n 次微分係数 (n =
0, ..., ∞) が全て等しくなるように係数 an を決める
必要がある。
関数 y = f (x) が x = 0 を含むある区間で C ∞ 級
(注 3 の場合について係数 a を決定し，f (x) を無限
n
級数で表すと以下のようになることを証明しなさい。
(2) f (x) = log(1 + x)
f ′ (x0 ) = g ′ (x0 )
∞
∑
n=0
(1) f (x) = xk (k: 正の整数)
(答 16
微分
(答 19
(1) (1 + x)n をマクローリン展開せよ。その結果よ
り，x ≪ 1 のとき次式が成り立つことを示せ。
(5)
(1 + x)n ≃ 1 + nx
すなわち，方程式 f (x) − g(x) = 0 は重根をもつことがわかる。
x
(1) f (n) (x)
{=e
m
(−) cos x (n = 2m + 1)
(2) f (n) (x) =
(m = 0, 1, 2, . . . .)
(−)m sin x (n = 2m)
{
(−)m+1 sin x (n = 2m + 1)
(3) f (n) (x) =
(−)m cos x
(n = 2m) (m = 0, 1, 2, . . . .)

 k! xk−n (n ≤ k)
(答 18
(1) f (n) (x) = (k − n)!

0
(n > k)

log(1 + x)
(n = 0)
(2) f (n) (x) =
n−1 (n − 1)!
(−)
(n > 0)
(1 + x)n
(答 17
実際に 1.12 , 1.13 ... 等でこの近似がどの程度正
しいか確認せよ。
(注 3
関数 f (x) が区間 I で n 回微分可能であり，f (n) (x) が区間
I で連続なとき，関数 f (x) は区間 I で C n 級であるという。
n
∞
∑
∑
n!
xn
(答 19
(1) (1 + x)n =
xm (2) ex =
(3)
m!(n − m)!
n!
m=0
n=0
∞
∞
∑
∑
(−)m 2m
(−)m
x2m+1 (4) cos x =
x
sin x =
(2m + 1)!
(2m)!
m=0
m=0
5
1.8
オイラーの公式
1
(2) ex をマクローリン展開せよ。
1.8
(3) sin x をマクローリン展開せよ。また，x ≪ 1 の
とき次式が成り立つことを示せ。
1.8.1
微分
オイラーの公式
オイラーの公式の導出
(1) マクローリン展開を用いてオイラー (注 5 の公
式と呼ばれる次式を証明しなさい。
sin x ≃ x
eix = cos x + i sin x
(4) cos x をマクローリン展開せよ。また，x ≪ 1 の
とき次式が成り立つことを示せ。
(2) 「オイラーの宝石」と呼ばれる次式を証明しな
さい。
1
cos x ≃ 1 − x2
2
eiπ = −1
(5) sin 1.8◦ , cos 1.8◦ をそれぞれ手計算で見積もり，
正確な値 (sin 1.8◦ = 0.031411 · · · , cos 1.8◦ =
0.999507 · · · ) との差がどの程度かを確認せよ。
(3) ii が実数であることを示しなさい。
(4) 「ド・モアブルの公式」と呼ばれる次式を証明
しなさい。
sin x
= 1 をマクローリン展開を用いて証
x→0 x
明せよ。
(6) lim
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
(7) e の値を求める多項式をつくりなさい。
1.7.2
1.8.2
(1) オイラーの公式を用いて以下を証明しなさい。
テイラー展開 *
(a) sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
マクローリン展開は，関数 f (x) を x = 0 のまわ
りで級数展開するものであった。同様にして，関数
f (x) を x = a のまわりで無限級数に展開する方法を
テイラー展開 (注 4 (Taylor expansion) とよぶ。展開
式は次式の通り。
fˆ(x) =
∞
∑
f n (a)
n=0
オイラーの公式と三角関数の公式
n!
(x − a)n
(b) cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin y sin x
(c) sin 2x = 2 sin x cos x
(d) cos 2x = cos2 x − sin2 x
(2) 前問の結果をもとに以下を導きなさい。
x−y
x+y
) cos(
)
2
2
x+y
x−y
(b) cos x + cos y = 2 cos(
) cos(
)
2
2
(6)
(a) sin x + sin y = 2 sin(
関数 f (x) の x = 0 におけるテイラー展開がマクロー
リン展開に一致する。
(3) 以下の式で a, b が与えられたとき，どのように
r, ϕ を決めたら等式が成り立つか？
問 テイラー展開を与える式 (6) を導きなさい。
練習問題 以下の関数をテイラー展開しなさい。
(1) f (x) = sin x
(x = π のまわりで)
(2) f (x) = log x
(x = 1 のまわりで)
a sin x + b cos x = r sin(x + ϕ)
ヒント) 左辺を r(cos ϕ sin x+sin ϕ cos x) の形に
変形する。
(4) 以下を r sin(x + ϕ) の形に変形せよ (答 20 。
√
(a) 3 sin x + cos x
√
(b) sin x − 3 cos x
(注 5
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707 年 4 月 15
日 - 1783 年 9 月 18 日）はスイス生まれの数学者，物理学者で
あり、天文学者。
(答 20
(4a) 2 sin(x + π6 ) (4b) 2 sin(x − π3 )
(注 4
イギリスの数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor, 16851731) による
6
1.8
オイラーの公式
1.8.3
1
オイラーの公式と複素数
(1) z = 1 + i, w = 2 + i の場合について，幾何学的
に考えることで，点 wz を表す複素数を答えな
さい。
複素数 z = a + bi は偏角 θ = arg z を用いて次の
ように書くことができる。
(2) 座標軸を平行移動して z が原点になるように取
り直す。もとの座標系を L1 , 新しい座標系を L2
とする。
z = |z|(cos θ + i sin θ)
= |z|eiθ
(1) |z|, cos θ，sin θ を a, b で表しなさい。
(a) L1 座標系における点 w = 2+i は，L2 座標
系ではどのような複素数 w′ で表されるか。
(2) 複素数 z1 , z2 の大きさおよび偏角と，以下の各
値の大きさおよび偏角はどのような関係にある
か。オイラーの公式を利用して答えなさい。
(b) w′ を L2 座標系の原点周りで π2 回転した
点を表す複素数 w′′ を L2 座標系で答えな
さい。
(a) 複素数 z1 と z2 の積 z1 z2
(c) w′′ を L1 座標系での複素数で表すと (1) の
結果と同じになることを確認しなさい。
(b) 複素数 z1 と z2 の商 z1 /z2
(d) 任意の点 w を題意の写像により wz に写す
場合について考える。wz を表す L2 上の複
素数 w′ を w, z を用いて答えなさい。
(3) 以下の各複素数の大きさと偏角を求めなさい。
また，各値を複素平面上に図示しなさい。ここ
で，偏角は (−π, π] の範囲で答えること。必要
な演算には，前問の結果に基づいて幾何学的に
解を考える方法と，オイラーの公式を利用して
計算する方法の 2 通りで行い、両者で結果が等
しくなることを確認しなさい (答 21 。
(e) L1 座標系における点 wz を表す複素数を
w, z を用いて答えなさい。
(a) z1 = −i
(b) z2 = (1 + i)
1
(c)
z1
1
(d)
z2
(e) z14
(f) z24
(g) z2 z̄2
(4) 次式が 1 の n 乗根であることを示しなさい。
z = cos
微分
2π
2π
+ i sin
n
n
問 1 複素空間上の点 w を z の周りに反時計回りに π2
回転した時，どのような点 wz に写像されるかを考
えたい。以下の問に答えなさい (答 22 。
(答 21
以下は各値 z に対する (|z|, arg z) を表す。
√ π
π
π
(3a) (1, − ) (3b) ( 2, ) (3c) (1, )
2
4
2
1
π
(3d) ( √ , − ) (3e) (1, 0) (3f) (4, π) (3g) (2, 0)
4
2
(答 22
(1) wz = 1 + 2i (2)(a) w′ = 1 (b) w′′ = i (d) w′ =
w − z (e) wz = (w − z)i + z
7
2
2
積分
2.1
2.1.1
積分
すなわち，次のような積分公式を得ることができる。
∫
cos xdx = sin x + C
不定積分
不定積分の定義
上の微分公式から積分公式をそれぞれ導きなさい。
練習問題 以下の不定積分を求めなさい (答 23 。また，
答えを微分することによって検算せよ。
∫
√
(1)
xdx
微分の逆演算を不定積分 (indefinite integral) とよ
ぶ。すなわち，ある関数 f (x) に対して、導関数が
f (x) となる関数の集合を求める演算が不定積分で
ある。
F ′ (x) = f (x) のとき，
∫
f (x)dx = F (x) + C
∫
(2)
∫
(3)
と書いて左辺を関数 f (x) の不定積分，f (x) を被積分
関数，定数 C を積分定数 (constant of integration)，
F (x) を f (x) の原始関数 (antiderivative) とよぶ。上
式の左辺は次のように書くこともある。
∫
dxf (x)
∫
(4)
∫
(5)
∫
1
√ dx
x
1
dx
x
1
dx
1−x
1
√ dx
x x
(6)
1
dx
x2
導関数は定義式にしたがって計算すれば、原理的
には求めることが出来る。しかし、不定積分は「微
∫
分すれば の中身（被積分関数）になるものはなに
か」と問うクイズのようなものであり，残念ながら
微分のように決まった解き方は無い。変数置換，部
分分数分解，部分積分などにより，少しでも積分し
やすそうな形に変形を試みながら，被積分関数が何
かの微分になってないかを考えることが解法である。
このため，少なくとも以下の微分公式程度は覚えて
おく必要がある。
2.1.3
不定積分の幾何学的意味
(1) (xa )′ = axa−1
ある関数 y = f (x) と x = a, x = b，そして x 軸
で囲まれた面積 S を求める方法を考えてみよう。例
えば，この区間を n 個の区間に分割し、それぞれを
長方形とみなして計算した面積の和 Sn で近似的に
計算することができる (図 1)。すなわち，
2.1.2
不定積分の公式
以下の数式の幾何学的意味を説明しなさい。
∫
(1)
0dt = C (a は定数,C は積分定数)
∫
(2)
2.2
(3) (cos x)′ = − sin x
1
x
(x ̸= 0)
(a は定数,C は積分定数)
定積分
定積分の定義
2.2.1
(2) (sin x)′ = cos x
(4) (log |x|)′ =
adt = at + C
Sn = f (x0 )∆x + f (x1 )∆x + · · · + f (xn−1 )∆x
(5) (ex )′ = ex
=
問 1 例えば，上記 (2) 式の両辺を積分すると
∫
∫
′
(sin x) dx = cos xdx
∫
sin x + C = cos xdx
n−1
∑
f (xi )∆x
(7)
i=0
2
以下で (他の問の答においても)C は積分定数。(1) x3/2 +C
3
√
2
(2)2 x + C (3) log |x| + C (4) − log |x − 1| + C (5)− √ + C
x
1
(6) − + C
x
(答 23
8
定積分
2.2
2
y
積分
を F (x) とおくと次式が成立する。
∫ b
f (x) = F (b) − F (a)
dx f(x)
a
f(xi)
0
xi
a=x0
このことを証明しなさい。
S
練習問題 1 上記の「定積分の定義」に従って，以下を
求めなさい（すなわち，幾何学的に面積を求める）。
また，その結果が積分計算による解と一致すること
を確認しなさい (答 24 。
∫ 1
(1)
xdx
xi+1=xi+dx b=xn x
dx
図1
面積と区分法
y
∫
dx f(x)
0
1
(2)
xdx
∫
f(x)
0
x
x+dx
b
dx
x
∫
ここで， lim
n→∞
n
∑
i=0
∫
0
1
−1
|x|dx
練習問題 2 以下はどのような図形の面積を表すかを
グラフを書いて説明しなさい。また、その面積を定
積分計算により求めなさい (答 25 。
∫ 4
(1)
(x − 2)(x − 3)dx
(8)
i=0
2
∫
b
を
2π
(6)
ただし，a = x0 , b = xn であり，∆x は分割した 1 区
間の幅 (∆x = xi+1 − xi ) である。この分割数を無限
個にした極限では Sn は真の面積 S に近付くと考え
られる。すなわち，
f (xi )∆x
(1 − x)dx
0
sin xdx
∫
n→∞
1
(5)
図 2 定積分と面積
S = lim
1
(4)
dx
n
∑
3
(3)
S
∫
a
−1
, 微小幅である ∆x を dx と簡
π/2
(2)
a
cos xdx
∫
単化のためおき直すと，面積は次式のように書ける。
∫ b
S=
f (x)dx
(9)
−π/2
a√
(3)
a2 − x2 dx
0
a
2.2.2
以上をまとめると，上式は底辺のある位置 x での微
小長さ dx およびその点での高さ f (x) の積である微
小面積 dx · f (x) を，区間 x ∈ [a, b] で足しあわせ
ることを意味している (図 2) (注 6 。そして，これを
関数 f (x) の定積分 (definite integral) とよぶ。ただ
し，f (x) < 0 となる領域の面積は負の値で示す。
問 以下の問に答えなさい。
(1) 関数 f (x) が偶関数のとき次式が成立すること
を証明しなさい。また，式の意味を幾何学的に
も説明しなさい。
∫ a
∫ a
f (x)dx = 2
f (x)dx (a > 0)
問 定積分の計算は不定積分の計算を用いて行うこと
ができる。すなわちある関数 f (x) の原始関数の 1 つ
(注 6
定積分と偶関数・奇関数
−a
∫
(答 24
はラテン語で和を表す summa (英語の summation) の S
を変形した，ライプニッツによる記号である。
(答 25
9
(1)
(1)
1
2
2
3
(2) 0 (3) 2 (4)
(2) 2 (3) 14 πa2
0
1
2
(5) 0 (6) 1
2.3
積分の計算方法
2
(2) 関数 f (x) が奇関数のとき次式が成立すること
を証明しなさい。
∫ a
f (x)dx = 0 (a > 0)
2.3.2
部分分数分解
有理関数 (注 7 の積分をするとき、分子の次数が分
母の次数より低ければ部分分数分解をして積分しや
すい形にする。例えば以下の積分をしてみよう。
∫
∫
1
1
dx =
dx (10)
2
x − 4x + 3
(x − 1)(x − 3)
−a
練習問題 3 次式を計算しなさい (答 26 。
∫ π/2
sin xdx
(1)
被積分関数は以下のように部分分数分解をする。
−π/2
∫
π/2
(2)
e
x2
1
a
b
=
+
(x − 1)(x − 3)
x−1 x−3
sin xdx
−π/2
∫
10
−10
∫
−
dx
ex + e−x
Heaviside の方法を用いると，定数 a,b は以下の
ように簡単に求めることができる。
1
の係数である a を求める。
(i) まず， x−1
(x3 + cos x)dx
(1) 式 (10) の両辺に (x − 1) をかける。
ex
(3)
e−x
π/2
(4)
−π/2
(x − 1)
積分の計算方法
2.3
複雑な関数を積分するときには、その関数が 2.1.2
節で紹介したような積分公式に当てはまる形になる
ように，試行錯誤的に変形してみる必要がある。以
下ではその式変形の方法をいくつか紹介する。
2.3.1
1
b(1 − 1)
=a+
1−3
1−3
1
a=−
2
微分を探す
(ii) 次に
d
{f (x)}n = nf ′ (x){f (x)}n−1
dx
d
f ′ (x)
log |f (x)| =
dx
f (x)
(x − 3)
1
a
b
= (x − 3){
+
}
(x − 1)(x − 3)
x−1 x−3
1
a(x − 3)
=
+b
x−1
x−1
1
a(3 − 3)
=
+b
3−1
3−1
1
b=
2
∫
tan xdx
∫
(答 27
の係数である b を求める。
(2) 両辺に x − 3 = 0 の解 (x = 3) を代入する。
練習問題 以下の不定積分を求めよ。また，答を微分
することにより検算せよ (答 27 。
∫
(1)
sin2 x cos xdx
(答 26
1
x−3
(1) 式 (10) の両辺に (x − 3) をかける。
このような構造を被積分関数のなかに見つけたらた
だちに積分を実行できる。
(3)
1
a
b
= (x − 1){
+
}
(x − 1)(x − 3)
x−1 x−3
1
b(x − 1)
=a+
x−3
x−3
(2) 両辺に x − 1 = 0 の解 (x = 1) を代入する。
以下のような微分の関係式を思いだそう。
(2)
積分
x
dx
1 + x2
(1) 0 (2) 0 (3) 0 (4) 2
(1) 13 sin3 x+C (2) − log | cos x|+C (3)
1
2
(注 7
log(1+x2 )+C
10
分子および分母がそれぞれ多項式である関数
2.3
積分の計算方法
2
∫
以上で求めた a, b の値を用いて式 (10) を変形すると
∫
∫
1
1
dx
=
dx
x2 − 4x + 3
(x − 1)(x − 3)
∫
1 1
1 1
= {−
+
}dx
2x−1 2x−3
∫
1
1
1
=
{−
+
}dx
2
x−1 x−3
1
= {− log |x − 1| + log |x − 3|} + C
2
x − 3
1
+C
= log 2
x − 1
(3)
n
∏
i=1
1
a
b
c
=
+
+
2
(x − 2)(x − 1)
x − 2 x − 1 (x − 1)2
(13)
a はこれまでと同様に x − 2 をかけて x = 2 を代入
すれば a = 1 を得ることができる。b, c は次のよう
に求める。まず (x − 1)2 を両辺にかける。
(x − 1)2
a(x − 1)2 b(x − 1)2 c(x − 1)2
=
+
+
(x − 1)2 (x − 2)
x−2
x−1
(x − 1)2
1
a(x − 1)2
=
+ b(x − 1) + c
x−2
x−2
1
1
=
x − ai
(x − a1 )(x − a2 ) · · · (x − an )
ai , (i = 1, 2, . . . , n) が互いに異なる場合，上式は以
下のように部分分数分解をすることができる。
f (x) =
n
∑
i=1
=
ci
x − ai
上式に x = 1 を代入すれば c = −1 を得る。また，上
式を x で微分してから x = 1 を代入すれば b = −1
を得る。
以上で求めた a, b の値を用いると，式 (13) の不定
積分は次のように求まる。
∫
1
dx
(x − 2)(x − 1)2
}
∫ {
1
1
1
−
−
dx
=
x − 2 x − 1 (x − 1)2
1
= log |x − 2| − log |x − 1| +
+C
x−1
x − 2
+ 1 +C
= log x − 1 x − 1
(11)
c1
c2
cn
+
+ ··· +
x − a1 x − a2
x − an
(1) 式 (11) において ai ̸= aj (i ̸= j) のとき，次式
が成立することを証明しなさい。
ci = lim (x − ai )f (x)
x→ai
(12)
(2) 被積分関数 f (x) が
f (x) =
b1 x + b2
(x − a1 )(x − a2 )
練習問題 以下の不定積分を求めなさい (答 28 。
∫
x
(1)
dx
2
x + 2x + 1
∫
1
(2)
dx
3
2
x − 8x + 20x − 16
という形の時にも同様に式 (12) を用いて次式の
形に部分分数分解できることを証明しなさい。
f (x) =
c1
c2
+
x − a1 x − a2
練習問題 以下の不定積分を求めなさい。また，答を
微分することにより検算しなさい (注 8 。
∫
7x − 1
(1)
dx
2
x −x−6
∫
1
(2)
dx
1 − x2
(注 8
2
7
(1) log{(x − 3)4 |x + 2|3 } + C (2)
log | 2x−1
|+C
x+3
1
2
2
dx
+ 5x − 3
解説 被積分関数の分母多項式が (x − a)2 といった羃
乗項を含む場合には次のように部分分数分解する。
問 以下のような関数 f (x) がある。
f (x) =
2x2
積分
2.3.3
部分積分
問 次式を証明しなさい。
∫
∫
f ′ (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g ′ (x)dx
練習問題 以下の不定積分を求めなさい。答は微分に
x+1
log | x−1
| + C (3)
(答 28
11
(1)
1
x+1
+ log |x + 1| + C (2)
1
{ 2
4 x−2
+C
+ log x−4
x−2 }
2.3
積分の計算方法
2
三角関数を利用した変数変換
以下のような場合には三角関数を利用した変数変
換を試す。
より検算しなさい (答 29 。
∫
∫
(1)
log xdx (与式 = (x)′ log xdx)
∫
(1) 被積分関数が a2 − x2 を含む場合。
x = a sin∫θ もしくは x = a cos θ とおいてみる。
1
ただし、
dx のように部分分数分解を
1 − x2
できる時には、まず部分分数分解を試すほうが
良い。
(log x)2 dx
(2)
∫
(3)
∫
(4)
log x
dx
x
∫
(与式 = (log x)′ log xdx)
xe−x dx
(2) 被積分関数が a2 +x2 を含む時には、x = a tan θ
とおいてみる。
∫
ex sin xdx
(5)
練習問題 以下の不定積分を求めよ。また，答を微分
することにより検算せよ (答 31 。
∫ √
(1)
1 − x2 dx
積分の Chain Rule: 変数変換
2.3.4
複雑な関数を積分したい時には、試行錯誤的に変
数変換をしてみる。変数変換は以下のように行う。
∫
∫
dx
f (x)dx = f (x(t)) dt
dt
以下の積分計算をしなさい。(答 30
練習問題
∫
(1) (ax − b)10 dx, (a ̸= 0)
∫
(2)
∫
。
∫
(2)
∫
(3)
∫
(4)
∫
(5)
∫
(6)
∫
(7)
∫
(3)
1
dx (x = tan θ とおく)
1 + x2
2.3.5
三角関数の積分
三角関数の積があれば和に変換する等、積分しや
すい形に変形する。
1
√
dx
1−x
練習問題 以下の不定積分を求めよ。また，答を微分
することにより検算せよ (答 32 。
∫
(1)
sin(3x) sin xdx
1
dx
(1 − x)2
∫
sin2 x cos xdx
(2)
x
dx
1 + x2
(3)
sin2 xdx
∫
log x
dx
x
cos2 2xdx
(t = 2x と置く)
三角関数を多項式に置き換える変数変換
t = tan x2 とおくと三角関数で構成される関数を t の
多項式に変形できる。
1√
練習問題 以下の問に答えなさい。
0
(答 29
1
√
dx
1 − x2
cos(ax + b)dx
1 − xdx
(8)
積分
(1) x log x − x + C (2) x(log x) − 2x log x + 2x + C
x
(3) 12 (log x)2 +C (4) −(1+x)e−x +C (5) e2 (sin x−cos x)+C
2
(1) 準備: t = tan x2 とおく。
√
√
(1) 21 (x 1 − x2 +sin−1 x)+C or 21 (x 1 − x2 −cos−1 x)+
C (2) sin−1 x + C or − cos−1 x + C (3) tan−1 x + C
(答 32
(1) 18 (2 sin 2x − sin 4x) + C (2) 12 x − 41 sin 2x + C (3)
1
1
x
+
sin 4x + C
2
8
(答 30
11
1
以下で C は積分定数である。
√ (1) 11a (ax − b) 1 + C
1
(2) a sin(ax + b) + C (3) −2 1 − x + C (4) − x−1 + C
(5) 13 sin3 x + C (6) 12 log(1 + x2 ) + C (7) 12 (log x)2 + C
(8) 23
(答 31
12
2.4
面積・体積・曲線の長さ
2
積分
(a) sin x, cos x, tan x をそれぞれ t の多項式で
表しなさい (答 33 。
(b)
dt
dx
を t の多項式で表しなさい (答 34 。
y
1
(2) 以下の不定積分を求めよ。また，答を微分する
ことにより検算せよ (答 35 。
∫
1
dx
sin x
1−x
面積・体積・曲線の長さ
2.4
dS = dx · (1 − x)
y
x
O
x + dx
x
1
dx
閉曲線に囲まれた面積は，以下の手順で求めるこ
とができる。
(a)
y
1
(1) ある図形を微小断片に分割する。ただし，微小
断片が長方形や三角形等に近似的にみなせるよ
うな分割をする。
dS = dy · (1 − y)
y + dy
y
1−y
(2) 微小断片の面積を求める
(3) それを足しあわせる
O
同様にして体積や線分の長さを求めることができる。
y
1
1
x
x
(b)
dS =
√
2x ·
dx
√
2
面積
x
O
dx
(c)
(14)
≤ −x + 1
y
1
x
1
x
dS = ds · 2s
O
ds
t
2s
s
s+
ds
√1
2
求める面積は，図 3(a) で示すように底辺のある位
置 x での微小長さ dx およびその点での高さ f (x) =
−x + 1 の積である微小面積 dS = dx · f (x) を 0 ≤
x ≤ 1 の範囲で足し合わせ，すなわち次式で与えら
1
s
≥0
y



y
√ 2x
もう一度面積と定積分の関係を復習するために，
次式で表される三角形の面積を求めてみよう。



x ≥ 0
√dx
2
2.4.1
dy
(d)
(答 33
sin x =
cos x =
(答 34 dt
dx
(答 35
2 sin x
cos x
2
2
cos2 x
+sin2 x
2
2
cos2 x
−sin2
2
cos2 x
+sin2
2
x
2
x
2
=
=
2
図 3 三角形の面積を求める。(a) x 軸に沿って分割。(b)
y 軸に沿って分割。(c) x 軸方向に分割して，斜辺と平行
な長方形に注目。(d) 斜辺と垂直な軸に沿って分割して，
斜辺と平行な長方形に注目。
2t
,
1+t2
1−t
,
1+t2
tan x =
2t
,
1−t2
= (1 + t2 )/2,
log | tan x2 | + C
13
2.4
面積・体積・曲線の長さ
2
y
a
れる。
∫
∫
1
dS =
三角形内
積分
√
dS = 2 a2 − x2 · dx
dx · f (x)
0
∫
1
−a
(1 − x)dx
0
∫ 1
=−
(x − 1)dx
=
0
x
x + dx
a x
O
−a
1
(x − 1)2 =−
2
0
1
=
2
(a)
y
a dS = 12 a · adθ
問 式 (14) の面積を以下の方法で求めなさい (答 36 。
−a
(1) y 軸方向に微小領域を分割して積分計算をする
(図 3(b))。
O
θ θ + dθ
a x
−a
(2) x 軸方向に微小領域を分割するが，斜辺と平行
な長方形に着目して積分計算をする (図 3(c))。
(b)
y
dS = 2πr · dr a
(3) 斜辺と直交する方向に微小領域を分割して積分
計算をする (図 3(d))。
r
r
練習問題 以下の各面積を積分計算を用いて求めなさ
い。どのように考えて計算式を導いたかは図示して
説明すること。可能なものは幾何学的方法でも面積
を求めなさい (答 37 。
−a
O
r + dr
a x
−a
(1) 直線 y = x, x = 1, x = 2, x 軸で囲まれた領域
(c)
(2) 曲線 y = x2 + 1, x = 2, x = 3, x 軸で囲まれた
領域
図 4 円の面積を求める。(a) 直交座標で。(b) 極座標で。
(c) 極座標で (その２)。
(3) 曲線 y = x2 + 1, y = 2, y = 3 で囲まれた領域
解説 この問により，円の面積 πr2 の微分が円
周 2πr を与える理由がわかる。正方形等も，中
心から各辺までの距離 s を用いて面積を表せば，
その微分は周の長さになる。
(4) 半径 a の円の面積
(a) 直交座標による積分で (図 4(a))
(b) 極座標の偏角方向の積分で (図 4(b))
(5) 半径 r の球の表面積 (図 5)
(c) 極座標の動径方向の積分で (図 4(c))
∫
(答 36
∫
∫
1
0
1
√
2
1
(1 − y)dy (2) S =
(1) S =
0
√
dx
2x · √ (3) S =
2
2.4.2
体積 (Volume) の計算も面積の場合と同様に，ま
ず微小な体積を dx を用いて表して，それを積分す
ることによって求めることができる。
例えば，底面が半径 r の円であり高さが h の円錐
の体積を求めてみよう。計算を簡単にするためこの
2sds
∫ 2
∫ 3
∫ 3√
(答 37
(1)
xdx (2)
(x2 + 1)dx (3) 2
y − 1dy
2
2
∫1 a √
∫ 2π
∫ a
1
a2 − x2 dx (b)
a · adθ (c)
2πrdr
(4) (a) 2
2
0
∫ h −a
∫ 2π
∫0 π
(??)
2πrdh or
hrdθ (5)
2πr sin θ · rdθ
0
0
0
体積
0
14
2.4
面積・体積・曲線の長さ
2
積分
z
z
z+dz
z
a
θ
o
dθ
r
a
r
dz
y
o
y
x
x
図 7 球の体積を求める方法例
図 5 球の表面積を求める方法例
(1) 半径 r の球
z
h
(a) 半径 a の球の表面積を S(a) とおいて求め
る。
r
z+dz
z
(b) 上記以外の方法で求める (例えば，図 7 参
照)。
r’
dz
(2) 底面が一辺の長さ r の正方形であり高さが h の
四角錐
O
y
解説 上問の (1) の (a) により，球の体積 34 πr3 の微
分が球の表面積 4πr2 を与える理由がわかる。立方体
等も，中心から各辺までの距離 s を用いて体積を表
せば，その微分は表面積になる。
x
図 6 円錐の体積
円錐を逆さにし，その頂点を原点に，z 軸が円錐の
中心軸と一致するようにとる (図 6)。
この円錐の微小高さ z ∼ z + dz における微小部分
z
の体積を半径 r′ = r, 高さ dz の微小円柱と同じと
h
みなすと、その体積 dV は次式で与えられる。
( z )2
dV = dz · πr′2 = dz · π
r
h
2.4.3
曲線の長さ
y
f(x+dx)
f(x)
よって体積 V は次式で与えられる。
∫
V =
dV
0
円錐全体
∫ h
0
∫
=
0
h
x+dx
x
dx
dz · πr′2
=
x
図 8 線分の長さを求める
( z )2
dz · π
r
h
２次元空間内の曲線 y = f (x), x ∈ [a, b] の長さを
知りたいとき，どのように計算すればよいか考えて
みよう。関数 y = f (x) は区間 x ∈ [a, b] で微分可能
であるとする。
1
= πr2 h
3
問 以下の立体の体積を求めなさい。どのように計算
式を導いたかを図を描いて説明すること。
15
広義積分
2.5
2
微小区間 [x, x + dx] における曲線の長さ dl は次式
で与えられる (図 8 参照)。
√
dl = (dx)2 + (f (x + dx) − f (x))2
√
(
)
f (x + dx) − f (x) 2
= dx 1 +
dx
2.6
2.6.1
力学と微積分
距離・速度・加速度
問 ある物体が直線上を運動している。この物体は時
刻 = 0 [s] には原点にあったが，0 ≤ t ≤ 3 [s] の間
a = 2 [m/s2 ] の等加速度運動を行った後，a = −1
[m/s2 ] の等加速度運動に移行し、時刻 tf に原点に
戻ってきた (答 40 。
よって，dx が十分小さいとき
√
dl ≃ dx 1 + (f ′ (x))2
(1) t = 3 [s] における物体の速度と位置を求めな
さい。
となる。求める曲線の長さ l は dl を区間 [a, b] で全
て足しあわせたものなので，次式で与えられる。
∫
∫ b √
l=
dl =
dx 1 + (f ′ (x))2
曲線上
積分
(2) 物体が原点に戻ってきた時刻 tf を求めなさい。
(3) t = 0 から tf までの物体の速度変化のグラフを
書き，tf とはどのような時刻かについて幾何学
的に説明しなさい。
a
練習問題 以下の長さを積分計算により求めなさい
。
(答 38
2.6.2
(1) y = x の区間 x ∈ [0, 1] における長さ
質量 m の物体の位置を x 座標を用いて表す。物体
に一定の力 F が x 座標の正の方向に働くときの運動
方程式は次式で与えられる。
(2) 円周の長さ
(3) y =
運動量・力積・運動エネルギー・仕事
ex + e−x
の区間 x ∈ [−1, 1] における長さ
2
mẍ = F
広義積分
2.5
v = ẋ とおくと次式をえる。
積分区間の一端 (もしくは両端) で被積分関数が発
散する場合や, 積分区間の一端 (もしくは両端) が正
もしくは負の無限大となる定積分を広義積分と呼ぶ。
例えば, 以下の定積分を考えよう。
∫ ∞
e−x dx
mv̇ = F
(1) F が常に 0 の場合，v は時間とともにどのよう
に変わるか。v の微分は v の時間変化率を表す
事に注意して v の時間変化のグラフを書いて説
明しなさい。
0
(2) F が一定値の場合，その符号に応じて v は時間
とともにどのように変わるか。グラフを書いて
説明しなさい。
この積分値は次のように定義される。
∫ a
lim
e−x dx
a→∞ 0
(3) 物体が力 F (t) をうけながら時刻 t から t + ∆t
までの間に x から x + ∆x まで移動した。この
とき以下の式が成立することを証明しなさい。
問 以下の計算をし，出来るだけ簡単な形で答えなさ
い (答 39 。
∫ ∞
(1)
e−x dx
(a) 運動量と力積の関係式
∫
0
∫
mv(t + ∆t) − mv(t) =
e
(log x)2 dx
(2)
F dt
t
0
x
=F ∆t
x
(3) e − e−1 , (注) y = a2 (e a + e− a ) は糸の両端を持って
垂らしたときにできる曲線 (懸垂線) を表す。
(答 39
(1) 1 (2) e
(答 38
t+∆t
(答 40
(F : 一定のとき)
物体の位置を x 座標で表すと
√ (1) ẋ(3[s]) = 6 m/s ,
x(3[s]) = 9 [m] (2) tf = 9 + 3 6 [s]
16
2.7
積分と定性的表現
3
(b) 運動エネルギーと仕事の関係式
1
1
mv 2 (t + ∆t) − mv 2 (t) =
2
2
∫
問 2 以下の各微分方程式の解の挙動をグラフに表し
なさい。
x+∆x
F dx
(1) ẋ = x
x
=F ∆x (F : 一定のとき)
2.7
微分方程式
(2) ẋ = 1 − x
(3) ẋ = (1 − x)x
積分と定性的表現
問 1 長さ l, 質量 m の棒がある。この棒に沿って x 軸
を取り, その原点は棒の一端にとる。この棒は位置
によって線密度 (単位長さあたりの質量) が異なる。
そこで位置 x における線密度を ρ(x) とおく。この棒
について以下の問に答えなさい (答 41 。
3.2
(1) ρ(x) と m の関係式を表しなさい。
(1) ある放射性物質の時刻 t における量を n(t) とす
る。n(t) が満たすべき微分方程式を書きなさい。
問 1 放射性物質の量は時間とともに減少し，その時
間減少率は常にその時の物質量に比例する。このと
き，下記の問いに答えなさい (答 42 。
(2) この棒の重心位置 X を表す式を書きなさい (注 9 。
(2) 前問の微分方程式を解き，n(t) を時間の関数と
して表しなさい。
(3) 線密度 ρ が実は位置によらない定数であった場
合について重心位置を求めなさい。ただし, ρ を
使わずに答えること。
(3) この物質の半減期を τ とおく。前問で求めた n(t)
を τ を用いた出来るだけ簡単な表現に書き直し
なさい。
(4) 線密度が ρ(x) が原点からの距離に比例する場合
について重心位置を求めなさい。ただし, ρ を使
わずに答えること。
3
3.1
(4) 放射性同位体であるセシウム 137 の半減期は
30.2 年である。セシウム 137 の量が元の 1/100
になるまで何年かかるかを求めなさい。必要な
ら log2 5 = 2.322 を使い，有効数字 3 桁で答え
なさい。
微分方程式
微分方程式の解の挙動
問 2 以下の問に答えなさい (答 43 。
問 1 ẋ > 0 の場合，x は時間とともに増えるだろう
か，それとも減るだろうか。|ẋ| の大きさにより，x
の時間変化の割合はどのように変わるだろうか。理
由とともに述べなさい。
∫
(答 41
微積分と定性的表現
(1) 空のバケツに毎秒 a リットルの水を入れる。入
れ始めてから t 秒後の水の量を V (t) を定積分を
使って表しなさい。また，V が満たすべき微分
方程式を書きなさい。
(1) ṅ = −an, a は正の定数。 (2) n = Ce−at (3) n =
(1) t
n0 2 τ , n0 は t = 0 における放射性物質の量。(4) 2.01 × 102
年
∫ t
(答 43
(1) V =
adt 微分方程式は V̇ = x。ただし V (0) = 0。
0
∫ t
kV dt (k は正の定数)。微分方
(2) 積分方程式は V = b −
(答 42
l
(1) m =
ρ(x)dx
∫ l 0
∫ l
xρ(x)dx
1
(2) X = ∫0 l
=
xρ(x)dx
m 0
ρ(x)dx
0
0
l
, (線密度は (1) の関係式を用いると ρ = m/l)
2
2
2m
(4) X = l, (線密度は ρ = 2 x)
3
l
(注 9
質量 m1 , m2 , · · · , mn の物体がそれぞれ位置 x1 , x2 , · · · , xn
n
∑
mi x i
程式は V̇ = −kV (k は正の定数)。ただし，V (0) = b. (3) 積
∫ t
分方程式は V =
(a − kV )dt (k は正の定数) 微分方程式は
(3) X =
にあるとき, その重心位置 X は X =
i=1
n
∑
0
V̇ = a − kV (k は正の定数)。ただし，V (0) = 0. (4) 前問の
微分方程式において V̇ = 0 となる時の V が求める値。すなわ
ち，V = a/k 。微分方程式の解を求めて limt→∞ V (t) を求めて
も良い。
で与えられる。
mi
i=1
17
3.3
簡単な微分方程式の解法
3
(2) バケツにはじめ b リットルの水が入れたが, 底に
小さな穴があいていて水が少しずつ漏っていた。
単位時間あたりに水の漏る量はバケツに残って
いる水の量 V に比例することがわかった。バケ
ツに水を入れてから t 秒後の水の量 V とする。
上記の文章を定式化することにより，V が満た
すべき積分方程式と微分方程式をそれぞれ書き
なさい。
3.3.2
微分方程式
斉次線形微分方程式
未知関数とその導関数 (高階導関数を含む) の線形
和のみを含む微分方程式を，斉次線形微分方程式と
よぶ。
以下の二階斉次線形微分方程式の解を求めよう。
ẍ + aẋ + bx = 0
(15)
(1) 微分方程式の解を x = Ceλt と仮定し，実際に
これが式 (15) の解となるには λ がどのような条
件を満たせばよいかを議論しなさい。
(3) 空のバケツに毎秒 a リットルの水を入れる。し
かし, このバケツには小さな穴が空いていて水
が漏る。単位時間あたりに水の漏る量はバケツ
に残っている水の量 V に比例する。バケツに水
を入れ初めてから t 秒後の水の量を V とすると
き，V が満たすべき積分方程式と微分方程式を
それぞれ書きなさい。
解説 x = Ceλt が式 (15) の解となるために λ が
満たすべき方程式を特性方程式という。
(2) 特性方程式の解を λ1 , λ2 とすると，微分方程式
の解は次のようになることを示しなさい。
(4) 前問のバケツにしばらく水を入れ続けていると
やがてバケツの水の量が変化しなくなった。a
は定数であったとして, このときの水の量 V を
求めなさい。
(a) λ1 ̸= λ2 の時
x = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t
ただし，λ = α ± iω, (ω ̸= 0) の場合には
以下のように書けることを示しなさい。
簡単な微分方程式の解法
3.3
x = eαt (C1 cos ωt + C2 sin ωt)
変数分離型微分方程式
3.3.1
(b) λ1 = λ2 の時
以下の微分方程式の解を求めよ。また，求めた解
を微分方程式に代入することにより検算せよ (答 44 。
x = (C1 + C2 t)eλ1 t
(1) ẋ = x
(3) 解の振舞を a, b の値によって分類し，図示して
説明しなさい。
(2) ẋ = 1 − x
(3) ẋ = x(1 − x)
練習問題 以下の微分方程式の解をそれぞれ求め，解
軌道を図示しなさい。また，求めた解を微分方程式
に代入することにより検算をしなさい (答 45 。
(4) y ′ = −ay, (a : 定数)
(5) y ′ = xy
(1) y ′′ + 6y ′ + 5y = 0
(6) v̇ = −av + b,
(a, b : 定数)
(2) y ′′ − 4y = 0
(7) y ′ = x(1 − y)
(8)
y′
−
4x3 y
(3) y ′′ + 4y = 0
=0
(4) ẍ + 4ẋ + 5x = 0
(9) y ′ + y tan x = 0
(答 44
(5) ẍ + 2ẋ + x = 0
(1) x = Cet (2) x = Ce−t + 1 (3) x =
y = Ce
−ax
1
2
(5) y = Ce
4
2
1x
2
(6) v =
b
a
+ Ce
1
1−Ce−t
−at
(4)
(1) y = C1 e−x + C2 e−5x (2) y = C1 e−2x + C2 e2x (3)
y = C1 sin 2x+C2 cos 2x (4) x = e−2t( C1 sin t +C2 cos t) (5)
x = (C1 + C2 t)e−t
(答 45
(7) y =
1 + Ce− 2 x (8) y = Cex (9) y = C cos x
18
3.3
簡単な微分方程式の解法
A
微分・積分ドリル
3
微分方程式
以下の式の微分および積分を求めなさい。特に微分か積分の指示があるものはそれに従いなさい。
(1) (3x − 1)10
(2) ex cos x
1
(30) √
1 − x2
1
(3) 2
x − 4x + 3
(32) cos−1 x,
−1
(4) tan
(31) xe−x
(−π/2 < y < π/2) (微分)
x,
(0 < y < π) (微分)
2
(33) sin x cos x
2
(5) (log x)
(34) ax (a > 0) (微分)
(6) e2x
(35) y x (x は定数，y が変数)
(7) sin2 x
(36) sin ax sin x
1
(8) √
1−x
√
(9) 1 − x
(37) cos2 x
(38) r exp r2 (r が変数)
(39) (3x2 − x − 1)4 (微分)
a
(10) t (a は定数，t が変数)
(40)
7x − 1
(11) 2
x −x−6
(41) 3log9 x
(12) tan x
(42) cos2 2x
sin x
(13)
(積分)
cos x + 7
x2 + x + 1
x2 − 1
1
(44) 2
(a は定数，t が変数)
a − t2
1
(45)
sin x
(46) ex sin x
(43)
(x + 1)2
x
√
(15)
4 − x2
(14)
(16) cos 2x sin 3x
(17) sin 2x cos2 x
(18)
2
2x2 + 5x − 3
(47) log(1 + x3 ) (微分)
1
(1 − x)2
log√2 x
(48)
2x
1 + x2
(49)
x4 + x3 + 2x2 + x + 1
1 + x2
(19) 2
(20) cos(4x + 3)
(21) log(log x) (微分)
(23) r2 (r は定数。θ で微積分)
(50) sin10 2x2 (微分)
x
(51)
(x + 1)2
(24) xe−x
(52)
(22) log x
2
(25) ln(x +
√
x2 + 1)
(53) x3 e−x sin2 2x (微分)
2
x+2
(26) 2
x −1
1
(27)
1 + x2
(28) sin−1 x,
(29)
x3 + 2x2 + x + 1
(x + 1)2
(54)
ex − e−x
ex + e−x
(55) xx (微分)
(−π/2 < y < π/2) (微分)
2
2x + 5
19
B
B
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(1) 本 稿 の 著 作 権 は 西 井 淳 nishii@sci.
yamaguchi-u.ac.jp が有します。
(2) 非商用目的での複製は許可しますが，修正を加
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を被ったとしても著者は一切責任を負いません。
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20
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索引
A
た
antiderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
テイラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ド・モアブルの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
特性方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C
chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
constant of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
D
definite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
は
Heaviside の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
複素数
—の大きさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
—の偏角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
偏角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I
ま
indefinite integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
マクローリン展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
E
Euler, Leonhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
H
M
Maclaurin expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
T
tangent line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Taylor expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Taylor, Brook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V
Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
あ
オイラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
オイラーの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
オイラーの宝石 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
か
原始関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
さ
斉次線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
積分定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
接線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
21