走り幅跳びにおいて初速v0（x方向：vx0、z方向：vz0）で飛び出したとき

2004 年度後期
力学２
期末試験問題
工学部・齊藤 正
【注意】
・解答は順番通りでなくても良いが，問題番号を明記すること．
・計算が必要な解答については途中の計算式も書くこと．
・空気抵抗はすべて無視する．
・必要な場合には，以下の値を用いよ．
地表での重力加速度 g = 9.80 [m/s
]
2
地球の質量 M = 5.97 × 10
24
[kg]
万有引力定数 G = 6.67 × 10
[N ⋅ m 2 /kg 2 ]
円周率 π＝3.14
地球の半径 R = 6400 [km]
〔１〕2004 年アテネオリンピックで，日本は男子
体操団体で 28 年ぶりの金メダルを獲得した．
富田洋之選手の最後の演技に対する NHK 頭
刈屋富士雄アナウンサーの「伸身の新月面 右腕
が描く放物線は，栄光への架け橋だ！」は
左腕
オリンピック史に残る名実況であったと言
われている．さて，この富田選手の演技に 胴体
−11
質 量
〔kg〕
10
体 積
〔cm3〕
4000
慣性モーメン
ト〔kg・cm2〕
500
5
1250
65
-30
110
5
1250
65
30
110
30
15000
6000
0
100
250
-10
50
250
10
50
関して以下の問いに答えなさい．
右足
10
6500
(a) 鉄棒を離れてから着地するまでの間に富 左足
10
6500
田選手の全身が放物線を描いたわけではな
い．空中姿勢が右図のようであったと仮定して，放物線を描いた点の座標（座
標軸は図示の通りで，z 軸は考えない．）を求めよ．ただし，全身は腕，足，頭，
胴体に分けることとし，必要に応じて表の値を用いよ．
(b) 鉄棒から離れてから着地するまでの間の運動における保存量（運動量，角運動
量，力学的エネルギー）について，重心運動と相対運動の観点から述べよ．
(c) 鉄棒演技では屈伸宙返りよりも伸身宙返りの方が技の難易度が高い．この理由
を角運動量の観点から論じよ．
重心位置〔cm〕
x 座標 y 座標
0
150
ｙ
+頭
右腕 +
右足
胴体
+
+
+
x + 左腕
左足
x
〔２〕大阪と札幌を結ぶ直線状の地底トンネルを掘ったとする．これについて次の問に答えよ．ただし，摩擦
などによるエネルギー損失はないものとし，列車の車輪の回転運動のエネルギーは考えないでよい．ま
た，大阪-札幌間の直線距離 s は 1000 km とする．
(a) 地球が球形で密度が一様であると仮定したとき，地球の中心 O から半径 r の P 地点（地表からの深さ
R-r）での重力加速度 g’は，地上の重力加速度を g とすると g’=(r/R)g となることを示せ．ただし，地
球内部の質量分布は球対称で，球殻からの引力はその内部にははたらかず，球体の引力は全質量がその
中心に集中するとして扱ってよい．
(b) 物体をトンネルの大阪側の入口から静かに落とすと，大阪-札幌間で単振動することを示せ．
(c) このトンネルを利用して動力を用いずに列車を走らせたとすると，大阪を出た列車はおよそ何分後に
札幌に着くか．
(d) この列車の最高速度を求めよ．
〔３〕右図のように，質量 m ，半径 a ，長さ b の一様な円柱が，傾斜角θの斜面を滑ることなく転がり落ち
r
r
ている．重心の速度を v （大きさ v）
，重心周りの角速度を ω （大きさω）
，斜面から円柱に働く垂直抗
r
r
力を R ，摩擦力を F として以下の問いに答えよ．
(a) この円柱の回転中心軸まわりの慣性モーメントは I = ma / 2
であることを示せ．
(b) 円柱に働く（軸方向へ分解する前の）力を全て図示せよ．（余
計な力を書き込んだ場合には減点する）
(c) 重心運動の方程式を書け．
(d) 回転運動の方程式を書け．
(e) 滑らないで転がり落ちるときの v と ω の関係を示せ．
(f) 重心の加速度の大きさαを求めよ．ただし，円柱の慣性モーメ
2
ントは I = ma / 2 を使って，I を含まない式で答えること．
2
ω
v
θ