B32. ベクトルの外積の意味

埼玉工業大学
テーマ B32：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
ベクトルの外積の意味－1/3
ベクトルの外積の意味
１．ベクトルの外積の定義
 
 
2 つのベクトル a と b の外積は， a  b と表記し，演算結果はベクトル量（大きさと方向
 
を持つ）となります． a と b のベクトル間の角度をθとすると，外積の大きさは
   
a  b  a b sin 


で定義されます．この大きさは，ベクトル a とベクトル b を隣り合う 2 辺とする平行四辺


形の面積になります．一方，外積の方向は，ベクトル a とベクトル b を含む平面に直角で，


しかも， a から b の方向にねじを回したときに，ねじの進む方向と定義されます．
面積 S
ねじの回転方向
ベクトルの外積
２．座標値によるベクトルの外積計算

 

平面ベクトル a と b を， a  a x , a y ， b  bx , b y と座標で表したとき，外積は
 
a  b  0, 0, a x b y  a y bx 
で表されます．これは，平面ベクトルの外積が z 軸方向を向いていることを示しています．
空間ベクトルの場合は，少し複雑になります．

 

空間ベクトル a と b を， a  a x , a y , a z  ， b  bx , b y , bz  と座標で表したとき，外積は
 
a  b  a ybz  azby , azbx  axbz , axby  a ybx 


で表されます．空間ベクトルの場合も，外積がベクトル a とベクトル b を含む平面に直角
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ベクトルの外積の意味－2/3
であることに変わりはありません．
３．ベクトルの外積の応用
図のように，右ねじ（ボルト）をレンチで時計方向に回すとき，右ねじに作用するトル
クは
力 F×うでの長さ L sin  = FL sin  >0
となります．このトルクは，L と F の外積の大きさに等しく，外積の方向は右ねじが締ま
る方向に等しいことがわかります．
右ねじ（ボルト）をレンチで反時計方向に回すときは，
FL sin  <0
となり，外積の方向は右ねじが緩む方向に等しくなります．外積の符号（正の方向か負の
方向）で，右ねじが締まるか緩むかを判定することができます．
うでの長さ
L
力F
ねじの回転方向
外積の方向＝ねじの締まる方向
外積の方向＝ねじの緩む方向
力F
うでの長さ
ねじの回転方向
まとめ
ベクトルの外積は
   
a  b  a b sin 
と定義されます．

 

平面ベクトル a と b を， a  a x , a y ， b  bx , b y と座標で表したとき，外積は
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ベクトルの外積の意味－3/3
 
a  b  0, 0, a x b y  a y bx 
で表されます．

 

空間ベクトル a と b を， a  a x , a y , a z  ， b  bx , b y , bz  と座標で表したとき，外積は
 
a  b  a ybz  azby , azbx  axbz , axby  a ybx 


で表されます．空間ベクトルの場合も，外積がベクトル a とベクトル b を含む平面に直角
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/OuterProduct.pdf
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