宿題6 解答例 [ A B , C ]=[ A , C ] B + A[B , C ] [ A , B C ]=[ A , B ] C + B

宿題６ 解答例
問１．演算子 A, B , C について次の交換関係を証明せよ
1)
[ A B , C ] = [ A , C ] B + A[B , C ]
2)
[ A , B C ] = [ A , B ] C + B[ A , C ]
1)
左辺 = A B C – C A B
右辺 = A C B – C A B + A B C – A C B = A B C – C A B
2)
左辺 = A B C – B C A
右辺 = A B C – B A C + B A C – B C A = A B C – B C A
問２．次の演算子がエルミート演算子であるかどうかを確かめよ
x,
∂2
∂x 2
∂ ,
∂x
エルミート演算子が満たすべき条件： (ƒ (x) , Ag( x) ) = ( Aƒ (x) , g( x) )
∞
(ƒ (x) , xg(x) ) =
–∞
*
ƒ ( x) x g( x) dx=
∞
–∞
x ƒ * (x) g( x) dx = (x ƒ ( x) , g(x) ) エルミート演算子
x は x を掛けるの意味なので順序を変えても関数の形は変わらない
(ƒ (x) , ∂ g(x) ) =
∂x
∞
ƒ * ( x) ∂ g(x) dx
∂x
–∞
∞
∞
∂ ƒ * ( x) ) g( x) dx= – ( ∂ ƒ ( x) , g(x) )
( ∂x
∂x
–∞
２行目の第一項は波動関数は有限の値を取るので x → ± ∞ でゼロでなければな
らないことによる。エルミート演算子ではない。
= ƒ * ( x) g(x)
2
(ƒ (x) , ∂ 2 g(x) ) =
∂x
= ƒ * ( x)
–∞
–
2
ƒ ( x) ∂ 2 g(x) dx =
∂x
–∞
∂g( x)
∂x
∞
∞
*
∞
–∞
∂g( x)
ƒ * ( x) ∂
dx
∂x ∂x
∞
–
–∞
∞
∂g( x)
( ∂ ƒ * (x) )
dx
∂x
∂x
–∞
∞
∂ƒ * ( x)
∂ 2 ƒ * ( x) ) g( x) dx = ( ∂ 2 ƒ ( x) , g(x) )
+
= – ∂x g(x)
( ∂x
2
∂x 2
–∞
–∞
２，３行目の第一項についても上と同じ理由でゼロとなる。エルミート演算子
問３．軌道角運動量について以下の問に答えよ。
i , j , k を x , y , z 方向の単位ベクトルとすると位置は r = ix + jy + kz と、運動量は
∂
∂
∂
p = i p x + j p y + k pz = – i h ( i ∂x + j ∂ y + k ∂ z ) と ま た 角 運 動 量 は
L = iL x + jL y + k L z と表せる。角運動量は L = r × p で定義される。
1) 角運動量の各成分を求めよ。
2) 角運動量に対する交換関係を示せ。
[L x , L y ] , [L y , L 2 ] , [L z , L ± ] , [ L 2 , L ± ]
2
2
2
2
ただし L = L x + L y + L z , L ± = L x ± i L y である。
1) ベクトル積 i × j = k ,
に注意して
i
L=r × p =
j
j × k = i , k × i = j 及び i × i = j × j = k × k = 0 k
x y z
p x p y pz
= i (y p z – z p y ) + j (z p x – x pz ) + k (x p y – y p x )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
L x = y p z – z p y = – i h (y ∂z – z ∂y )
L y = z p x – x p z = – i h ( z ∂x – x ∂z )
L z = x py – y p x = – i h (x ∂y – y ∂x )
2.1) [L x , L y ] = L x L y – L y L
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
– z ) (z
–x
) – (z
–x
) (y
– z )}
∂z
∂y
∂x
∂z
∂x
∂z
∂z
∂y
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
= (– i h) 2 { y ( +z
– x 2 ) – z (z
–x
)
∂x
∂z ∂x
∂z
∂y ∂x
∂y ∂z
∂2
∂2
∂2
∂
∂2
– z(y
–z
)+ x(y
–
–z
)}
∂x ∂z
∂x ∂y
∂z 2 ∂y
∂z ∂y
∂
∂
= (– i h) 2 { y
–x
} = – (– i h L z ) = i h L z
∂x
∂y
同じようにして [L y , L z ] = i h L x , [L z , L x ] = i h L y （cyclic) と成ることを時間の
= (– i h) 2 { ( y
あるときに確かめよ。
以下 1) の結果を使って解く
2
+ L y L y2 + L y L z2 – L 2x L y – L y2 L y – L z2 L y
= Ly L x L x + Ly L z Lz – L x L x L y– Lz L z Ly
= (– i h L z + L x L y ) L x + ( L z L y + i h L x ) L z
– L x(i h L z + L y L x ) – L z (L y L z – i h L x )
2.2) [L y , L ] = L y L
2
x
=ih( – Lz L x+ L x Lz – L x L z + Lz L x )
+ L x L y L x + L z L yL z – L x L y L x – L z L yL z = 0
2
2
同じようにして [L , L y ] = [L , L z ] = 0 を時間のあるときに確かめよ
2.3) [L z , L ± ] = [ L z , L x ] ± i [ L z , L y ]
=ih L y± i( –ih L x)=± h L x+ih L y=± h L±
2
2
2
2
2.4) [L , L ± ] = [L , L x ± i L y ] = [ L , L x ] ± i [L , L y ] = 0