1 Daily Work 式の計算：数学I「数と式」

富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
1
Daily Work 式の計算：数学 I「数と式」
1
展開
まず展開計算でウォーミング・アップしましょう。
やってみよう 1.1
次の式を展開しなさい。
例題
1.
2.
3.
!
"2 !
"!
"
x − 2 = x − 2 x − 2 = x2 −2x−2x + 4 = x2 −4x + 4
要注意
−2
!
!
$
"2 要注意 !
"!
" 要注意 #
x − 2 = −2 x − 2 x − 2 = −2 x2 −2x−2x + 4 = −2x2 + 2·4x−2·4 = −2x2 + 8x − 8
"!
"
x − 1 x − 2 = x2 −2x−x + 2 = x2 −3x + 2
問題
1.
2.
3.
4.
!
x+2
"2
!
"2
− x+2
!
"!
"
x+1 x+3
!
"!
"
x+1 x−3
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
5.
6.
7.
8.
9.
10.
!
"!
"
x−1 x+3
!
"!
"
x−1 x−3
!
"!
"
x−1 x−4
!
"!
"
x−2 x−8
!
"2
x−4
!
"2
−3 x − 3
2
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
%
3
x+
2
&2
11.
1
−
2
12.
%
13.
−
"2
1!
x−2
3
14.
%
1
x
3
x−
2
x+
3
&2
&2
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 1 の 1∼2 へ ✆
♥
やや難♥チャレンジ
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
4
Daily Work 式の計算：数学 II「式と証明」
2
次は分数式の計算、特に約分と通分です。やや難しいかもしれません。例題をまねて、ていねいな計算
をしましょう ♥
やってみよう 2.1
次の式を計算しなさい。
例題
1.
4
4· ̸ x3
4
3
×
x
=
= 2
5
x5
x
x
'()*
x2 ·̸x3
2.
4
4x3
3
×
x
=
x5 + 1
x5 + 1
（注意）
4· ̸ x3
4
= 2
とはできない ＞ω＜
5
x +1
x +1
'()*
x2 ·̸x3
3.
分母=分子
2
x−3
+
x+1 x+3
=
=
分母=分子
) *' (
) *' (
2
x+3
x+1 x−3
·
+
·
x+1 x+3
x+1 x+3
1
x4
−36x ×
2.
2
4
+ 2
x+2 x −4
ここが通分♥ 分母をそろえる
!
" !
"!
"
2 x+3 + x+1 x−3
2x + 6 + x2 − 2x − 3
x2 + 3
!
"!
"
!
"!
"
"!
"
=
=!
x+1 x+3
x+1 x+3
x+1 x+3
問題
1.
···
!
"!
"
ヒント：x2 − 4 = x + 2 x − 2
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 1 の 3∼4 へ ✆
♥
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
5
Daily Work 方程式：数学 I「因数分解・平方根・ 2 次方程式」
中学 ♥ 「連立方程式」
3
ビジネス・エコノミクスでは、現実問題をモデル化して「方程式」にもちこみ、ソリューション（解）を
求めます。中学生の範囲も含む、ロー・マセマティックス1 ですが、すごく役に立ちますので、復習しましょう。
やってみよう 3.1
例題
1.
次の連立方程式の解を求めなさい。
⎧
⎪
⎨ 2x − y
⎪
⎩ −x − y
=
1
1
···⃝
=
4
2
···⃝
答.
1 −⃝
2 を計算する：
⃝
2x −y
−） − x −y
3x
∴ x = −1
2.
⎧
⎪
⎨ y
⎪
⎩ y
=1
=4
= −3
2 に x = −1 を代入する：
⃝
−(−1) −y
−y
y
=4
=3
= −3
/
x = −1
y = −3
//
=
x
=
9
x
1
···⃝
2
···⃝
答.
1 =⃝
2 を計算する：
右辺 ⃝
9
x
9
x
=
x2
=
x
= ±3
1 に x = 3, −3 を代入しそれぞれ計算する：
⃝
/
x=3
y=3
/
x = −3
y = −3
//
1 経済学でのロー・マセマティックスの有用性は野口悠紀雄『超「超」整理法 知的能力を飛躍的に拡大させるセオリー』講談社（2008）
で強調してあったと思います（たぶん）。
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
3.
⎧
⎪
⎨ x+y
⎪
⎩
y
=
4
=
3
x
6
1
···⃝
2
···⃝
答.
2 を⃝
1 に代入する：
⃝
3
x
x2 + 3
x+
x2 − 4x + 3
!
"!
"
x−1 x−3
2 に x = 1, 3 を代入しそれぞれ計算する：
⃝
= 4
=
4x
=
0
· · · 両辺に x をかけた
/
x=1
y=3
/
x=3
y=1
· · · 左辺因数分解
= 0
x = 1, 3
//
問題
1.
2.
⎧
⎪
⎨ 2x + 3y
⎪
⎩ 3x − y
⎧
⎪
⎨ y
⎪
⎩ y
= 7
1
···⃝
= 5
2
···⃝
=
2x
=
8
x
1
···⃝
2
···⃝
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
3.
4.
⎧
⎪
⎨ x+y
⎪
⎩
y
⎧
⎪
⎨ x+y
⎪
⎩
y
=
10
=
16
x
=
8
=
16
x
1
···⃝
2
···⃝
1
···⃝
2
···⃝
因数分解にこまったら、Daily Work 1 のやってみよう 1.1 を参考に ♥
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 1 の 5 へ ✆
♥
7
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
4
8
Daily Work ビジネス・エコノミクスと直線のグラフ
ここからはビジネス・エコノミクスの問題として定式化できるものを扱います。応用問題になりますが、
ロー・マセマティクスで現実的な問題が解けることを実感してください。
1 y = ax + b のグラフ
⃝
例題 4.1 ( y = ax + b )
なかぼう
そば屋「 中坊 庵」では、そばを１杯 400 円で出している。コストとして、そばを
作るのにかかる材料代などの変動費が１杯につき 200 円、ガスの基本料金などの固定費が毎週 10 万円かかる。
1. 一週に作るそばが 100 杯だとコストはどれだけかかるか？また収入はいくらだろうか？
2. 一週に作るそばを x 杯とするとコストと収入はどうなるだろうか？ x の式で書きなさい。
3. ふたつの式をグラフによって表しなさい。
答.
1. （試算）例えば週に 100 杯作って売るとすると：
コスト： y =
収入 ： y =
200 · 100 + 100, 000 = 120, 000
400 · 100 = 40, 000
2. （数式表現）上式の 100 を x に変えることで次の式を得る：
コスト： y =
収入 ： y =
200 x + 100, 000
400 x
3. （グラフ表現）
y
100, 000
O
✻
y = 400x
✁
✁
✁
✟ y = 200x + 100, 000
✟
✟
✁ ✟
✟
✁
✟
✟
✟ ✁
✁
✁
✁
✲
x
注意：スケールは適当 ♥
//
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
9
2 px + qy = m のグラフ
⃝
直線はその通る２点が定まれば描けます。特に x 切片と y 切片は重要な働きをします。次の問題を見
て下さい。
例題 4.2 ( px + qy = m )
ビュヴェ
Buvez 社で製造販売している缶コーヒー
カフェ・ノワール
Café Noir
カフェ・クレーム
(CN) と Café Crème
(CC) は１箱売る毎に、それぞれ $50 (CN), $60 (CC) の利益をもたらす。
1.
CN を 24 箱、CC を 20 箱売ったときの総利益を求めなさい。
2.
CN を x 箱、CC を y 箱販売して上と同じ利益を上げるための x, y に関する条件式を記述しなさい。
3.
CN だけを販売して、上と同じ利益を上げるためには何箱売らなければならないか求めなさい。同様
に、CC だけを販売して、上と同じ利益を上げるためには何箱売らなければならないか求めなさい。
答.
1.
2.
50 · 24 + 60 · 20 = $2, 400.
(4.1) 式の 24 を x に、 20 を y に変えることで次の式を得る：
50 x + 60 y = 2, 400.
3.
(4.1)
(4.2)
CC を販売しないとすると、(4.2) 式に y = 0 を 代入 することで、次の計算式を得る：
50 x = 2, 400,
（∴） x = 48 箱.
同様に、CN を販売しないとすると、(4.2) 式に x = 0 を 代入 することで、 y = 40 箱を得る。
//
(4.2) 式は直線を表します。(4.2) 式の表す直線上にある (x, y) -量を販売すれば、どんな組み合わせでも
ぜったいに一定の収益 $2, 400 が得られますので、ビジネス・エコノミクスではこの直線を等収入線とよび
ます。いっぽう px + qy = m の形をした式のグラフを描くのなら、 x -切片と y -切片を求めることが実際的
です。上の例題では小問 3 で既に、 x = 48 , y = 40 と求めているので、直ちに直線が描けます。一般の
m
m
px + qy = m に対しては x = , y =
となります。
p
q
y
y
✻
40 %
❩
50x + 60y = 2, 400
❩
❩
❩
❩
❩% ✲x
48
✻
m
%
q ❩
❩
px + qy = m
❩
❩
❩
❩% ✲x
m
p
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
やってみよう 4.1 (予算線)
10
カシノ
ポー市のスーパー Cassino では牛肉 1 kg を 10 ユーロ、ワイン 1 リットル
を 5 ユーロで売っている。ジョン・ポールは 100 ユーロ持って Cassino へ買い物に出かけた。
1. ジョン・ポールは、ちょうど 100 ユーロを使い切って、牛肉 x kg、ワインを y リットルを買うとす
る。 x, y の関係を表す式を求めなさい。
2. 上で求めた式の表す直線のグラフの x− 切片と y− 切片を求めなさい。
3. この直線のグラフを次図に描きなさい（スケールは適当でよい）。
y
✻
✲
O
x
例題 4.2 の直線は 等収益線 とよんだが、この直線は 予算線 とよぶのがふさわしい。
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 3 へ ✆
♥
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
5
11
Daily Work ビジネスエコノミクスと連立方程式
一次関数のグラフの交点は、連立一次方程式を解くことで求められます。
例題 5.1 (交点と連立方程式)
なかぼう
そば屋「 中坊 庵」では、そばを１杯 400 円で出している。そば１杯を作る
のにかかる変動費は 200 円、ガスの基本料金などの固定費が毎週 10 万円かかる。毎週何杯売れば利益が出る
だろうか？赤字（損失）と黒字（利益）の境界点（損益分岐点：break even point）を求めなさい。
答. 例題 4.1 で見たように、
0
コスト： y =
200x + 100, 000
収入 ： y =
400x
(5.1)
と表される。この関係を図示すると下のグラフが得られる。
y
✻
収入： y = 400x
&
&
&
&
&
& 益
✘
&
✘✘✘
✘
✘
&
✉✘✘
✘
✘&
✘
✘
&
コスト： y = 200x + 100, 000
100, 000
✘✘✘
✘✘
✘
&
✘
✘
損 &
&
&
&
&
&
❄
✲
&
✛
✲
x
&
&
損益分岐点
従って、損益分岐点は二直線の交点になるので、連立一次方程式 (5.1) を解いて、 x = 500 杯となる。
//
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
やってみよう 5.1 (優劣分岐点)
12
Ｔ大学ではコピー機をレンタルで使用している。レンタル会社はＡ社とＢ社
の２社がありそれぞれの費用は次表のようになっている。
Ａ社
Ｂ社
賃貸料
コピー費用
10,000 円/月
7,000 円/月
6 円/枚 9 円/枚 1. ひと月のコピー枚数が 500 枚のときは、どちらのコピー機を借りるのが有利か？
2. ひと月のコピー枚数が x 枚のときに、総費用 y はどうなるか？Ａ社とＢ社それぞれの式を求め、下の図
に描きなさい。*図はＡ社とＢ社との比較ができればよいので、 y 切片や傾きは、正確でなくてよい。
3. ひと月のコピー枚数によって、Ａ社とＢ社とどちらで借りるのが有利かは変わってくる。ひと月のコピー
枚数で何枚が、Ａ社とＢ社との有利さの分かれ目（優劣分岐点）になるのか？その枚数を求めなさい。
y
✻
✲
x
O
⇑ 適当なスケールで描いて概形がわかればＯＫ（小問 2. の*のこと ♥ ）
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 4 へ ✆
♥
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
6
13
Daily Work 曲線のグラフ：数学 I「関数とグラフ・２次関数」
ビジネス・エコノミクスで使われるいろいろな関数のグラフを描いてみましょう。一次関数のグラフは
直線なので簡単ですが、そうでないグラフは直線にはなりません。ここでは単調な曲線になるものを描いてみ
ましょう。
6.1
曲線のグラフ
ここでは中学生にもどった気分で（笑）、グラフを点描（プロット）してみましょう。
やってみよう 6.1
次の式で表される関数について、まず指定された x の値について対応する y の値を計算
し、表を完成させなさい。次にその表のデータをもとに曲線のグラフを描きなさい。
y = x2
x
−3
−2
0
−1
1
2
y
y
'
'
'
✻
❝
'
'
'
'
❝
'
'
'
'
'
'
'
'
✲
x
3
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
14
やってみよう 6.2
次の式で表される関数について、まず指定された
x☎の値について対応する y の値を計算
✞
し、表を完成させなさい。次にその表のデータをもとに✝x ≧ 0 の範囲 ✆
で曲線のグラフを描きなさい。
y=
16
x
同じ図に次の１次式のグラフを描き込みなさい。
次に 3 Daily Work のやってみよう 3.1 の小問
6・7 の結果と交点の座標とを比較しなさい：
1
x
2
4
8
16
1.
x + y = 10
2.
x+y =8
y
y
⇓ なるだけ正確にうつくしく ♥
✻
'
'
❡
'
'
'
'
'
'
'
'
'
❡
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
❡ '
'
'
'
'
'
'
'
'
❡ '
'
✲
x
富山大学経済学部 入学前準備学習【数学】
15
やってみよう 6.3
次の式で表される関数について、まず指定された
x☎の値について対応する y の値を計算
✞
し、表を完成させなさい。次にその表のデータをもとに✝x ≧ 0 の範囲 ✆
で曲線のグラフを描きなさい。
y=
1
9
0
x
√
ヒント： a2 = a
√
x
1
4
1
4
9
y
⇓ なるべく正確にうつくしく ♥
y
✻
'
❡
'
'
'
'
✓
'
'
'
'
❡
'
'
'
'
❡
'
x
✞
☎
ここまで終わったら✝まとめの問題の問 5 へ ✆
♥
おしまい ♥
以上で数学の学習はおわりです
✲
✏
おつかれさま
添削の提出締切は平成 26 年 3 月 10 日（月）当日消印分までです
✒
途中でも仕方ないので提出優先でおねがいします。
✑