いろいろな力

いろいろな力
力を考える時のポイント
（１）重力
・・地球上の物体に働く
大きさ
：
ｍｇ
、向き
：
鉛直下向き
（２）垂直抗力・・ 物体が面と接している時働く
大きさ
：
N とおいて、釣合の式を立てて計算する。
いつも N ＝ mg とはならないことに注意すること
はじめからｍｇとおいてはいけない。
向き
：
面に垂直、物体を押し返す向き
（３）摩擦力・・粗い面で働く。
静止摩擦力・・物体が粗い面上で力を受けて止まっている時
大きさ
：
ｆとおいて、釣合の式を立てて計算する。
向き
：
物体を動かそうとする力と逆向き
最大静止摩擦力・・物体が動き出す瞬間の摩擦力。
大きさ
：
μ N、ただし、μは静止摩擦係数
動摩擦力・・物体が粗い面上で動いている時
大きさ
：
μ’N、
ただし、μ’は動摩擦係数
向き
：
物体を動かそうとする力と逆向き
（４）張力・・物体が伸びているひもや糸で結ばれている時働く。
大きさ
：
T とおいて、釣合の式を立てて計算する。
糸の両端の張力は同じ。糸が違うと張力も変わる。
向き
（１）
：
止まっている 2kg の物体
N
糸に沿って、糸をもとの長さに戻す向き
（２）滑らかな面上を動く 2kg の物体
５(N)
ｙ
Ｎ
ｙ
２０(N)
２ｇ
ｘ
２ｇ
ｘ
力の釣合よりＮを求める。
なめらかな面なので、摩擦力は働かない
上向きの力＝下向きの力の和
ｙ方向は釣り合っているので、
Ｎ＝５＋２ｇ
Ｎ＝２ｇ＝１９．８（Ｎ）
＝２４．８（Ｎ）
Ｎ＝２ｇではないことに注意
-1-
（３）粗い面上を動く 2kg の物体 （摩擦係数μ’＝ 0.2）
重力
摩擦力
N
ｙ
２０(N)
μ’N
垂直抗力
2g
ｘ
ｙ方向： 力が釣り合っているので、上向きの力（抗力）＝下向きの力（重力）。
∴
Ｎ＝２ｇ＝１９．８（Ｎ）
・・①
摩擦力は、μ’Ｎ＝ 0.2・19.8 ＝３．９６（Ｎ）
（４）粗い斜面上を滑り降りる 2kg の物体（動摩擦係数μ’＝ 0.2）
重力
N
ｆ
ｙ
（静止）摩擦力
垂直抗力
2g
θ
ｘ
垂直抗力 N は斜面に垂直な向き（鉛直下向きではない）
動いているので、動摩擦力μ’Ｎ
(注意！)物体が動き出す時は、最大静止摩擦力μＮ
斜面の物体のポイントと解答の順序
(1)
座標軸の取り方
斜面に沿ってｘ軸、
それに垂直上向きにｙ軸をとる。
(2) 働く力をすべて、図に書き入れる。必ず図を書くこと。
(3) 力をｘ、ｙ成分に分解する。
(4) ｙ軸方向は動かないので釣合の式をたて、垂直抗力 N の大きさを求める。
(5) ｘ軸方向は、静止している時は釣合の式を立て、摩擦力を求める
動いている時は、ｘ方向の合力を求め、運動方程式を立てる
重力２ｇをｘ、ｙ成分に分解すると、Ｆｇ＝（2gsin θ、− 2gcos θ）
ｙ成分は負の向きなので、−を付ける。
従って、ｙ方向の釣合の式は、
Ｎ＝ 2gcos θ・・・①
（または、N ー 2gcos θ＝０）
物体は滑り降りているので、ｘ軸方向負の向きに動摩擦力が働き、
ｆ＝μ’Ｎ・・・②
これに①式および、μ’＝ 0.2、θ＝３０°を代入すると、
ｆ＝ 0.2・2gcos30 °＝ 0.4g ・（1.73 ／ 2）＝ 3.4（N)
-2-
（５）糸で結ばれて静止した物体
F
質点が２コ以上ある時のポイント
2g
(1)
2kg
図を書き、力を書き入れる。
どの力が、どの質点に働くかを
T1
同じ
きちんと分かるようにしておくこと
(2)
T1
違う
3g
それぞれの質点について、
3kg
静止している時は、釣合の式、
T２
運動している時は、運動方程式
をたてる。
同じ
→質点の数だけ、釣合の式、または
運動方程式をたてること。
T２
4kg
4g
この問題のポイント
・糸で結ばれているので、糸の両端に張力が働く（１つの糸に計２個の張力）。
・張力はＴとおき、計算をして大きさを求める。はじめからｍｇとしてはいけない。
・糸の両端の張力は同じだが、糸が違うと張力の大きさが変わる。
従って、2kg と 3kg を結ぶ糸の張力を T1 、3kg と 4kg を結ぶ糸の張力を T2 とする。
どちらも同じ T としてはいけない。
・静止しているので、力の釣合の式を立てる。
・３つ質点があるので、釣合の式を３個たてる。
４ kg の物体について、力の釣合を立てる。働いている力は張力 T
２
と重力 4g なので、
T ２ ＝４ｇ・・・①
３ｋｇの物体について、力の釣合の式を立てる。
図より、張力 T １（上向き）、T ２（下向き）、重力３ｇが働いているので、
T １ ＝ T ２＋３ｇ・・・②
これに①式を代入すると、 T １ ＝７ｇ ・・・②’
２ｋｇの物体について、力の釣合の式を立てる。
図より、力 F（上向き）、張力 T １（下向き）
、重力４ｇが働いているので、
Ｆ＝ T １＋２ｇ・・・③
これに②’を代入すると、Ｆ＝９ｇ
-3-
（６）糸で結ばれている物体（面との動摩擦係数μ’=0.2）
N
T
5kg
ｆ
重力
5g
摩擦力
垂直抗力
張力
T
20g
①
物体が静止しているとき
各質点について、
ｘ、ｙ方向の力の釣合を考える
摩擦力は、力の釣合より求める。
２０ kg の物体について
Ｔ＝２０ｇ
１０ｋｇの物体について
鉛直方向
： Ｎ＝５ｇ
水平方向
： Ｔ＝ｆ
以上より、張力
②
←
止まっているので、摩擦力をｆと置く。
Ｔ＝２０ｇ、静止摩擦力ｆ＝２０ｇ
物体が運動しているとき
運動方程式を立てる。
運動方程式の立て方のポイント
・質点の数だけ、運動方程式を立てる。
各質点の 動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
それに垂直な向きはつりあいの式
・糸でつながれているので、
質点は同じ加速度ａをもつ。
・動いているので、摩擦力はμ’Ｎ
③
物体が動き出す瞬間
最大静止摩擦力が働く。
物体に働く摩擦力は、最大静止摩擦力
μＮとなる。
ここでμは静止摩擦係数で、動摩擦係数μ’より大きな値を取る。
-4-
運動方程式
（１）
演習問題
質量 2.0kg の物体が軽い糸でつるしてある。次のそれぞれの場合について、糸の
張力 T の大きさを求めなさい。
(a) 物体が静止しているとき
働いているのは重力 2g と張力 T
静止しているので力がつり合うので、
T
Ｔ＝２ｇ＝１９．６（Ｎ）
2g
(b) 物体が等加速度 3.0 m/s2 で加速しながら上昇しているとき
正の向き
働いているのは重力 2g と張力 T
上昇しているので、上向きを正とし
加速度を上向きにａとすると、運動方程式は、
T
a
2a = T - 2 g
従って、張力Ｔは、
2g
T = 2a + 2 g
・・・①
題意より、a ＝ 3.0 （m/s2 ）を代入すると、張力は
T = 2.0 ´ 3.0 + 2 ´ 9.8 = 25.6(N)
静止している場合と、張力の大きさは違ってくる。
(c) 物体が一定の速度 2.0m/s で上昇しているとき
一定の速度なので、加速度ａ＝０
よって、張力は①式より、Ｔ＝２×９．８＝１９．６（Ｎ）
(d) 物体が等加速度 4.0m/s2 で減速しながら上昇しているとき
加速度
ａ＝−４ m/s2
これを①式に代入して、
T = 2.0 ´ (-4.0) + 2 ´ 9.8 = 11.6( N)
すなわち、運動状態（加速度）によって、張力の値は異なる。
-5-
（２）右向きに動くので、右方向をｘ軸、鉛直上向きにｙ軸をとる。
ｙ
働く力は、重力
N
μN
F= 2.0(N)
ｘ
2g
ｍｇ
垂直抗力
N
引く力
F(＝ 2.0(N)）
動摩擦力
μN
（動摩擦力なので、μＮでよい）
ｙ方向には動かないので、合力が０となり、釣り合っているので、
Ｎ−ｍｇ＝０・・・①
ｘ方向には、加速度をａとして運動方程式を立てる。
右向きが正なので、右向きの力を＋、左向きを−とすると、ｘ方向の合力Ｆ x は
Fx ＝ F −μ’N
よって運動方程式は、
ｍａ＝ F −μ’N・・・②
ここで①より、垂直抗力Ｎは、
Ｎ＝ｍｇ
これを②に代入すると、
ｍａ＝ F −μ’ ｍｇ
∴
a=
F
- mg
m
・・・①
題意より、ｍ＝２，F=２．０，μ＝０．２を代入して計算すると、
ａ＝−０．９６(m/s2)
加速度が一定なので、等加速度運動の公式を使い、ｔ秒後の速度と位置を求める。
問題に、
「物体ははじめ原点にあり、初速度２０ m/s で動いているとする」とあるので、
最初の位置ｘ０＝０，初速度ｖｏ＝２０となる。
また、加速度ａは、運動方程式より①式のように得られているので、
これらを(a)、(b)に代入すると、ｔ秒後の速度と位置が得られる。
∴
v(t) = 20 − 0.96 t
・・・②
x(t) = 20 t − 0.48 t
2
・・・③
物体が止まる時は速さが０となるので、止まるまでの時間は②式に v(t)＝０を代入し、
０ = 20 − 0.96 t
∴
ｔ＝２０．８(s)・・・④
止まるまでに動いた距離は、④式を③に代入して、
ｘ＝ 20・20.8 − 0.48・20.82 = 208(m)
または、はじめの速度ｖｏ、最後の速度ｖ、加速度ａが分かっているので、
(c)式に、ｖｏ＝２０、ｖ＝０，ａ＝ー０．９６を代入しても求められる。
-6-
（３）右向きに動くので、右方向をｘ軸、鉛直上向きにｙ軸をとる。
ｙ
働く力は、重力
a
Ｎ
ｍｇ
Ｆ
垂直抗力
Ｎ
θ
動摩擦力
μＮ
（動摩擦力なので、μＮでよい）
μ’Ｎ
ｍｇ
ｘ
また、力Ｆをｘ、ｙ成分に分解すると、
Ｆ＝（Ｆ cos θ、Fsin θ）
ｙ方向には釣り合っているので
Ｎ＋ Fsin θ＝ｍｇ・・・①
ｘ方向には、加速度をａとして運動方程式を立てる。
右向きが正なので、右向きの力を＋、左向きを−とすると、ｘ方向の合力Ｆ x は
Fx ＝ Fcos θ−μ’N
よって運動方程式は、
ｍａ＝ Fcos θ−μ’N・・・②
ここで①より、垂直抗力Ｎは、
Ｎ＝ｍｇ−Ｆ sin θ
←
この場合、Ｎ＝ｍｇとならないことに注意
これを②に代入すると、
ｍａ＝ Fcos θ−μ’
（ ｍｇ−Ｆ sin θ）
a=
F (cosq + m¢ sinq )
- m¢g
m
（４）∼（６）
軽い糸でつながれた物体の運動のポイント
○
質点ごとに、運動方程式を立てる。
○
動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
それに垂直な向きは釣合の式
○
糸でつながれているので、 同じ加速度ａをもつ。
○
張力は糸を縮める向き、糸の両端での張力の大きさは等しい。
○
面がなめらかなときは、摩擦力は働かない。
面が粗く、物体が動いているとき、摩擦力はμ’Ｎ
物体が動きだす瞬間は、摩擦力はμＮ
-7-
（４）物体に働く力は、以下のようになる。
Ｂ
Ａ
ＮＢ
Ｔ
Ｔ
ここで、垂直抗力 N Ａ N Ｂについて、
NＡ
＝ｍＡｇ＝ 1.0・ｇ
NＢ
＝ｍ B ｇ＝ 2.0・ｇ
動いているので動摩擦力は、
ＮＡ
Ｆ
ＦＡ ＝μＡ’ＮＡ
ＦＢ ＝μＢ’ＮＢ
ＦＢ
ＦＡ
2g
1g
ｘ方向の加速度をａとして、Ａ，Ｂそれぞれに運動方程式を立てると、
Ａについて
：
1.0・ａ＝Ｆ−Ｔ−μＡ’ＮＡ
・・・⑦
Ｂについて
：
2.0・ａ＝Ｔ−μＢ’ＮＢ
・・・⑧
⑦＋⑧より、
3 ａ＝Ｆ−μＡ’ＮＡ−μＢ’ＮＢ
これに N Ａ 、N ＢおよびμＡ’、μＢ’、Ｆの値を代入すると、
3 ａ＝２０− 0.2 ｇ− 0.3・2g ＝２０− 0.8 ｇ
∴
ａ＝（２０− 0.8 ｇ）／３、
（５）
Ｔ＝２ａ＋ 0.6 ｇ＝（４０＋ 0.2 ｇ）／３
ａ
N
T
5kg
μ’Ｎ
ポイント
5g
質点の数だけ、運動方程式を立てる。
質点の動く向きを正の方向とし、
動く向きには運動方程式
T
それに垂直な向きは釣合の式
20kg
ａ
糸でつながれているので、同じ加速度
動いているので、摩擦力はμ’Ｎ
20g
２０ kg の物体について
物体は下に動くので、下向きを正とし、加速度をａとおくと、運動方程式は、
２０ａ＝２０ｇーＴ ・・・①
５ kg の物体について
上下方向は釣り合っているので、
Ｎ＝５ｇ・・・②
物体は右に動くので、右方向の加速度をａとすると、運動方程式は、
５ａ＝Ｔ−μ’Ｎ・・・③
②を③に代入すると、動摩擦力はμ’Ｎ＝μ’・５ｇ＝ 0.2・5g ＝ｇなので、
５ａ＝Ｔ−ｇ・・・③’
-8-
①＋③’式より、
２５ａ＝１９ｇ
∴ａ＝ 19/25 ｇ
これを③’式に代入して、Ｔ＝ｇ＋５ａ＝ 24/5 ｇ
（６）(a)
斜面がなめらかななので、摩擦力が働かない。働く力は、下図のようになる。
静止してとき、それぞれの物体について力がつり合っているので、
Ｍについて
Ｔ＝Ｍｇ
・・①
Ｔ
ｍについて
N
ｍ
斜面方向
： Ｔ＝ｍｇ sin θ
・・②
垂直方向
：
・・③
N ＝ｍｇ cos θ
mg sin θ
Ｔ
M
mg
mgcos θ
Mg
θ
①、②より、Mg ＝ mgsin θ
∴
(b)
M ＝ｍ sin θ
斜面が粗く、物体が動いているので、摩擦力は動摩擦力μ N
また、ｍ＜Ｍなので、質点 M は下向きに動き、ｍは斜面に添って上向きに動く。
よって、Ｍ，ｍの質点について運動方程式は、
Ｔ
Ｍについて（下向きに加速度ａ）
Ｍａ＝Ｍｇ−Ｔ
ｍ
・・④
Ｔ
ｍについて（斜面上向きに加速度ａ）
ｍａ＝Ｔ− mgsin θ−μ N
ａ
・・⑤
mg
斜面に垂直な方向は③式が成立するので、
これを⑤に代入すると、
・・⑤’
よって、④＋⑤’より、
（Ｍ＋ｍ）ａ＝Ｍｇ−ｍｇ（sin θ＋μ cos θ）
a=
M - m (s inq + m ¢ c osq )
g
M +m
張力Ｔは、このａを④式に代入して、
M - m (sin q + m cos q ) ü
ì
T = M (g - a ) = M í1 ýg
M
+
m
î
þ
Mm (1 + sin q + m cos q )
g
=
M +m
-9-
N
f=μ N
M
Mg
ｍａ＝Ｔ− mgsin θ−μ・ｍｇ cos θ
ａ
θ
（７）斜面上を動いている時
ａ
ｘ
ポイント
滑り上がるので運動方向は斜面に沿って上向
→斜面に沿って上向きにｘ軸をとる
N
動いているので、動摩擦力はμ N
ｙ
μN
ｍg
重力 2g をｘ、ｙ成分に分解すること
θ
ｙ方向は釣合の式
ｘ方向は運動方程式を立てる。
まず、運動方程式を立てて加速度ａを求める。
重力をｘ、ｙ成分に分解すると、（− mgsin θ、− mgcos θ）
（運動方向（斜面に沿って上向き）を正としているので、ｘ、ｙ成分どちらも−がつく）
よって、ｙ方向の釣合の式は、
N ＝ m ｇ cos θ・・・①
ｘ方向は、加速度をａとして、運動方程式を立てると、
m ａ＝− mgsin θ−μ N・・・②
ここで①を②に代入すると、
m ａ＝− mgsin θ−μ m ｇ cos θ＝− m（sin θ＋μ cos θ）g
∴
ａ＝−（sin θ＋μ cos θ）g・・・③
斜面を上がるにつれて減速していくので、加速度は負になる。
次に、ｔ秒後の速度と位置を求め、物体が斜面に沿って上がりうる距離を求めるために、
等加速度直線運動の公式
（ａ）∼（ｃ）を使う。
③で求めたａを公式に代入すると、ｔ秒後の速度と位置は、
v = v0 - (sin J + m cosq ) gt
x = v0 t -
1
(sin q + m cosq ) gt 2
2
・・④
・・⑤
④式より、加速度がマイナスなので、物体の速さは初速からだんだん遅くなっていく。
速さが０となった時が最高点となり、その時の時刻は、
v = v 0 - (sin J + m cosq ) gt = 0
t=
v0
(sin q + m cos q ) g
より、
・・・⑥
上がりうる距離は、④を（ｂ）に代入して、
x=
v02
2(sin q + m cosq ) g
・・・⑦
- 10 -
（別法）上がりうる距離ｓを求める時、等加速度直線運動の公式
v 2 - v 02 = 2 as
・・・(c)
を使っても良い。
最高点ではｖ＝０，加速度は③式で与えられるので、これを(c)に代入すると、
s=
v 2 - v 02
0 - v02
v02
=
=
2a
2 × {- (sin q + m cosq ) g } 2(sin q + m cosq ) g
ここまでは、一般的に
ｍ、θ、ｖ o、μを使って問題を解いたが、
この問題では、ｍ＝ 2(kg)、θ＝３０°、最初の位置ｘ o ＝０，初速度ｖ o ＝２０なので、
これらの値を③∼⑦に代入して、
加速度
ａ＝−６．６(m/s2)
ｔ秒後の速度
v(t)＝２０−６．６ｔ
ｔ秒後の位置
x(t)＝２０ｔ−３．３ｔ２
止まるまでの時間
ｔ＝３．０(s)
登りうる距離
ｘ＝３０．３(m)
＜運動量保存則＞
問題のポイント
衝突前後の運動量の和が保存されるので、運動量保存則を使う。
運動量保存則
ｍAｖA ＋
ｍBｖB ＝
ｍ A ｖ A’ ＋
ｍ B ｖ B’
で、
題意より、ｍＡ＝１ kg、ｍ B ＝２ kg、
衝突前の A, B の速度及び、衝突後の A の速度が与えられているので、
衝突後の B の速度ｖ'Ｂ
が未知数であり、運動量保存則を使ってｖ'Ｂ を求める。
速度の符号に気を付けることがポイント
衝突前の A の進行方向（右向き）を正とするので、左向きの速度には−がつく
（１）(a)
図を書くと、
Ａ
Ｂ
6 m/s
4 m/s
3 m/s
ｖ'Ｂ？
正の向き（衝突前の A の進行方向が正）
衝突前の速度：ｖＡ＝６ m/s、ｖ B ＝−４ m/s（左向きなので−がつく）
、
衝突後の速度：ｖ'Ａ＝−３ m/s、ｖ'Ｂ
が未知数である。
これを運動量保存則に代入して、
- 11 -
１．６＋２・
（−４）＝１・
（−３）＋２・ｖ'Ｂ
∴
２・ｖ'Ｂ
＝１
よって、ｖ'Ｂ
＝０．５(m/s)
よって B は衝突後、速度０．５(m/s)、またｖ'Ｂ＞０なので、右向きに動く。
(b)
30 m/s
6 m/s
ｖ'Ｂ？
2 m/s
正の向き（衝突前の A の進行方向が正）
衝突前の速度：ｖＡ＝３０ m/s、ｖ B ＝６ m/s、
衝突後の速度：ｖ'Ａ＝−２ m/s（左向きなので−がつく）、ｖ'Ｂ
が未知数である。
これを運動量保存則に代入して、
１．３０＋２・６＝１・
（−２）＋２・ｖ'Ｂ
∴
２・ｖ'Ｂ
＝４４
よって、ｖ'Ｂ
＝２２(m/s)
よって B は衝突後、速度２２(m/s)で右向きに動く。
（２）
ｖ’
e=-
v'
v
Þ 0.6 = -
v'
\ v' = -6.0
10
ｖ
上向きに 6.0 m/s
（３）
下向きを正に取ると、ｖ＝２０， ｖ’＝−１６
∴
e=-
v'
- 16
== 0.8
v
20
（４）(ａ)
30 m/s
6 m/s
2 m/s
10 m/s
正
右向きを正とすると、ｖＡ＝３０，ｖＢ＝６， ｖＡ’＝−２，ｖＢ’＝１０より、
e=-
v 'B - v' A
10 - ( - 2 ) 12
==
= 0 .5
vB - v A
6 - 30
24
(ｂ)
Ａ
Ｂ
6 m/s
4 m/s
3 m/s
5 m/s
右向きを正とすると、ｖＡ＝６，ｖＢ＝−４， ｖＡ’＝−３，ｖＢ’＝５より、
e=-
v' B - v' A
5 - ( - 3)
8
==
= 0 .8
vB - vA
-4-6
10
- 12 -
（５）衝突後の速度を右向きにｖＡ，ｖＢ とし、右向きを正の向きとして図を書くと、
ｖ１＝３，
ｖ２＝−２
Ａ
ｖＡ，
ｖＢ
Ｂ
0.10 kg
衝突後、どちらも正の向きに進むとする。
0.20 kg
正の向き
①
ｍ１＝ 0.10 kg 、ｍ２＝ 0.20 kg，ｖ１＝３，ｖ２＝−２，ｖＡ，ｖＢ が未知数。
運動量保存則
ｍ１ｖ１ ＋ｍ２・ｖ２＝ｍ１ｖＡ＋ｍ２ ｖＢ、
に代入すると、
0.1・3 ＋ 0.2 ・(− 2)＝ 0.1 ｖＡ＋ 0.2 ｖＢ
∴− 0.1
＝
両辺を 10 倍して、
②
−１＝ｖＡ＋ 2 ｖＢ
・・・①
反発係数が０．８なので、
0 .8 = ③
0.1 ｖＡ＋ 0.2 ｖＢ
vB - v A
v - vA
= B
( -2) - 3
5
∴
４＝ −ｖＡ＋ｖＢ・・・②
以上より、①＋②より、ｖＡ を消去して、
３＝３ｖＢ
∴
ｖＢ＝１、ｖＢ＞０より右向きに 1.0 m/s
これを②に代入して、
ｖＡ＝ｖＢ−４＝−３ 、 ｖＡ＜０より左向きに 3.0 m/s
（６）
分裂の問題。運動量保存則を立てると、
ＭＶ＝ｍ（Ｖ−ｕ）＋（Ｍ−ｍ）ｖ
\ v=
( M - m )V + m u
m
=V +
u
M -m
M -m
（７）
- 13 -
衝突前後で運動量が保存されるので、
m 1 u 1 + m 2 u 2 = m1 v1 + m 2 v 2
・・①
反発係数が１なので、
e=-
v 2 - v1
=1
u 2 - u1
\
v 2 - v1 = - u 2 + u 1
①＋ｍ１×②より、
( m 1 + m 2 ) v 2 = ( m 2 - m 1 )u 2 + 2 m 1u 1
2 m1
m - m1
\ v2 = 2
u2 +
u1
m1 + m 2
m1 + m 2
同様にして、
v1 =
m1 - m 2
2m 2
u1 +
u2
m1 + m 2
m1 + m 2
- 14 -
・・②