連絡プリント

筑波大学生物資源学類 平成 25 年度 基礎数学 II: 9 週目 (2013/12/05) 連絡プリント
担当： 奈佐原 (西田) 顕郎 ([email protected] 生農 E104 TEL:853-4897)
授業ウェブサイト： http://ryuiki.agbi.tsukuba.ac.jp/lec/13-math/
発展問題 B: (いつものやつ)
1 連絡
発展問題 C: a, b ∈ R とする。[a, b] で定義される, 何
秋学期テスト問題の問 132(2)(最後の問題) に誤りが
あります:
回でも微分可能な関数の集合を X とする。X の内積
誤: ポアソン分布の確率密度関数を導出せよ。
として,
Z
正: ポアソン分布を導出せよ。
b
f (x)g(x)dx
< f (x), g(x) >:=
注: ポアソン分布は離散的確率変数の確率分布ですか
a
ら, 確率密度関数は存在しません。確率密度関数が存
を導入する (f (x), g(x) ∈ X とする)。X における, あ
在するのは, 連続的確率変数のみです。
る線型微分演算子 F が, もし
∀f, ∀g ∈ X, < f (x), F g(x) >=< g(x), F f (x) >
2 誤植訂正
を満たすなら, F を「自己随伴型微分演算子」という
P67 右段 式 (19.63) の下の行
(定義)。
誤: ρs は面積低効率
さて, X の 2 つの要素 p(x), q(x) を考える。ただし,
正: ρs は面積抵抗率
p(a) = p(b) = 0 を満たすとする。その上で, 以下のよ
うな線型微分演算子 L を考える:
P99 左段 問 687 2 行目
L=
誤: 互いに線型独立であれば
正: 互いに線型従属であれば
d
d
p(x)
+ q(x)
dx
dx
この L は自己随伴型微分演算子であることを示せ。ヒ
ント: 部分積分。p(a) = p(b) = 0 を活用する。
P130 右段 21 行目
誤: P.82 式 (5.87)
発展問題 D: (前問の続き) 以下のような微分方程式
正: P.82 式 (5.88)
を考える (L は前問で出てきたものである):
Lf (x) = λf (x)
P161 右段 13 行目
誤: 空間のどこにいるのかわからなくない
ここで, λ は適当な実数であり, f (x) ∈ X とする。こ
正: 空間のどこにいるのかわからない
のとき, f (x) を固有関数, λ を固有値という。また, こ
のような微分方程式を, スツルム・リウビル型微分方
程式という (正確には, その中でも簡単な形式のもの)。
P162 左段 8 行目以降
誤: n が 1, 2, 3, ... のときのことを, K 殻, L 殻, M 殻,
このようなスツルム・リウビル型微分方程式について,
... と呼び, l が 0, 1, 2, ... のときのことを s 軌道, p 軌
互いに異なる固有値に対応する固有関数は, 互いに直
道, d 軌道, ... と呼ぶ
交することを示せ。すなわち, もし, f1 , f2 ∈ X につ
正: n が 1, 2, 3, ... のときのことを, それぞれ K 殻, L
いて,
殻, M 殻, ... と呼び, l が 0, 1, 2, ... のときのことをそ
Lf1 (x) = λ1 f1 (x)
れぞれ s 軌道, p 軌道, d 軌道, ... と呼ぶ
Lf2 (x) = λ2 f2 (x)
であり, かつ, λ1 6= λ2 ならば,
Z
3 発展問題
< f1 (x), f2 (x) >=
b
f1 (x)f2 (x)dx = 0
a
発展問題 A: (いつものやつ)
となることを示せ (ただし f1 , f2 は, いずれも, 「恒等
1
的に 0」ではないような関数とする)。ヒント: 対称行
4 昨年度までの受講生のコメント
列の固有ベクトルが互いに直交することの証明を参考
にせよ。
私にとって，数学は賢い連中らが何やらやっている
なという程度，とても自分がやろうとは思わない代物
注: スツルム・リウビル型微分方程式を, 様々な固有
でした。それに，できないし。しかし，この授業では数
値について考えて, それぞれに対応する固有関数を集
学を使って美しい自然を綺麗に記述していたため，
「た
めると, その集合は, X の基底になる。その基底の要素
だの代物」という思いを「とんでもない代物」へと変
を, それぞれノルムが 1 になるように定数倍する（これ
えました。物理の先生も数学は言葉とおっしゃってい
を規格化という）と, この集合 B は, X の正規直交基
ました。ちょっと何言ってるか分からなかったのです
底になる (互いが直交することは前問でみたとおり)。
が，段々その意味が分かってきました。英語のように，
数学は世界共通の言葉ということなのですね! まだ，
発展問題 E: (前問の続き) 上で定義された線型微分
あんまり数学はできないけれど，以前よりかは，数学
演算子 L を, X の任意の正規直交基底を使って行列で
の力は上がりました。これからも，楽んで数学とふれ
表現すると (その行列を A とする), A は対称行列にな
合っていこうと思います。実を言うと，基礎数学も物
ることを示せ。
理も初めは履修する気がなかったのですが，今となっ
てはなんて馬鹿なことを考えていたのだろうと思って
発展問題 F: (前問の続き) 特に, X の基底として, 上
います。
述の正規直交基底 B を用いると, 行列 A は対角行列に
なり, その対角成分は各固有関数に対応する固有値に
私は奈佐原先生の授業を受けて，数学というものの
なることを示せ。
すごさを知りました。高校まではただただ問題を解い
ていただけなので何が何だかよくわかっていませんで
注: これまで (名前だけでも) 出てきた, ルジャンド
したが，この授業を受けて，数学はこんなにも深いも
ル関数, ルジャンドル陪関数, エルミート多項式, ベッ
のなのかととても驚きました。よくわからない部分も
セル関数, ラゲール陪多項式, そして三角関数などは,
あり，相変わらず苦手に近い分野ではありますが，前
いずれも, スツルム・リウビル型微分方程式の解であ
よりもさらに少し数学が好きになれました。でもきっ
る。また, シュレーディンガー方程式は, 適当な条件の
と，もっと先生が言っていることやプリントの内容が
もとで, スツルム・リウビル型微分方程式に変形され
さらによく理解できていれば，もっと面白いと感じら
る。
れたんだろうなと最近思いました。でもこれが私が理
解できる最大限のレベルです。前と変わらず今でも数
注: 上述のような型式の線型微分演算子 L は, 対称
学は私にとって避けては通れぬものとして存在してい
行列と非常によく似た性質を持つ。それぞれの L につ
ますが，少しはその存在が明るいものへと変わりまし
いて、固有関数の集合から正規直交基底を得られる。
た。1 年間，ありがとうございました。最後の方の授
これは, 対称行列の固有ベクトルが互いに直交するこ
業はあまり理解できなかったけど，数学を履修してよ
と, そして, 固有ベクトルの集合が（規格化を行えば）
かったと私は思っています。厳しい講義ではあったが
正規直交基底になることと, 同様である。
（テストなど），とてもためになりました。本当にあり
がとうございました。
注: 従って, ある関数を, 自己随伴演算子 L の固有関
数の線型結合で表現すること（フーリエ級数展開もそ
1 年間，基礎数学の講義を受けてきて，高校までの
のひとつ) は, ある数ベクトルを, 対称行列の固有ベク
「数学のイメージ」が私の中で大きく変わりました。高
トルの線型結合で表現すること (主成分分析もそのひ
校数学は，ほとんど現実の現象に結びつけることはな
とつ) と, 数学的には同等である。
く，数学はテストや受験のために勉強している，とい
う感じでした。大学や社会に出てから，苦手な数学な
んて使わないし，と決めつけていました。でも，この
基礎数学の授業を受けたり，レポートを書いたりして，
2
数学はいろいろな現象の解明につながっていくことが
... そうなのです。「当たり前」なことって、当た
分かりました。生物の個体数とか，波の動きとか，温
り前すぎて、その重要さに気付かないよね。身近
度変化とか，大学 1 年生の時点でもこれだけの現象に
な幸せの大切さに気付きにくいのと同じ。
ついて学べたのだから，他にももっとたくさんの現象
• テストノート 1 枚目終わりそうです。嬉しいで
の解明ができるのでしょう。研究や将来の仕事で数学
が使えるように，来年度も数学に触れていきたいと思
す!!
いました。
... おつかれ! 2 枚目はちょっと手強いかも。
• 物理に加えて、数理科学演習も履修したいです。/
5 前回 (11/28) のアンケートから
数学演習をとっていない私は、今、絶望の淵に立っ
みなさんが書いてくれたアンケートを TA が入力し
ている。
奈佐原や TA が返答をします。
• 数ベクトルを関数にあてはめて、
... 数理科学演習とってること、前提です。
Rπ
−π
• フーリエ級数楽しい！ / 正規直交基底の価値は分
f (x)g(x)dx
かりましたが、フーリエ級数の価値がまだちょっ
の説明していくれたのは分かりやすいよかった。/
とわかりません。
ベクトルが関数のように与えられること（数ベク
... 化学で, 電子や光子の、
「粒子性」と「波動性」っ
トルを関数のグラフのようにできること）に感動
て習ったでしょ? あれは実は, フーリエ変換 (フー
しました。
リエ級数を拡張した考え方) なのです。電子や光
... ああいう「イメージ」は、理解の助けになりま
子が「どこにいるか」に注目する見方が粒子性。
す。関数がベクトルである、ということの本質は
「どのような周期（波長）を持っているか」に注目
「線型結合できること」ですが、直感的には、数ベ
するのが波動性。位置で表された関数をフーリエ
クトルの各成分を棒グラフにすれば関数になる、
変換すると, 三角関数の周期ごとの重みになるで
というイメージです。
しょ? それが波動性の見方です。だから、フーリ
エ級数は, 単なる数学テクニックではなく, 人間が
• ほんとテストって当たり前のことしか聞いてない
世界を認識するやりかたというか枠組みのひとつ
ですよね。
として, 科学哲学的に重要なのです。
... そうです! だから, すらすらできて当たり前。
• 今日の数学おもしろかったです。
• 数学に酔ってしまった。
... ありがたい。板書の羅列・式の羅列だったか
... 気持よく? 気持ち悪く?
ら、みんなついてきてるか心配でした。何人か寝
てる人もいたしね。
• とても簡単だったけれど、なめずにこれからも勉
強していこうと思いました。
• 理解が進むように頑張りたい。
... あれが「簡単」と思える人は, 数学の考え方（当
... 当たり前のことをコツコツと。そして、「頑張
たり前のことを素直に論理的に緻密に積み重ねる
る」よりも「楽しむ」こと。
こと）が身についていると思います。
「難しい」と
思う人って、たいてい、基本をおろそかにして、い
• 予習の大事さが身に染みました。
らんことを考えているんだよね。
... 予習できてないと、何も楽しくないよね。
• リメディアル教材で出てきたときは、内積の性
• 忘れている定義を見直そうと思いました。
質は当たり前と思って読み飛ばしていたが、こう
... 数学は一方向の積み重ねではないところが面白
した当たり前のことが、大学数学になって重要に
い。学んだ時点で重要性がわからなかったことは、
なっていことがよく分かった。
忘れ去った頃にその重要性に気づくのです。だか
3
ら戻ってやり直すことも大切。
• レポートを家に忘れてきてしまいました。精神的
• 数学ってひたすら他のものを表すための道具を作
ダメージが大きいですが、次から気をつけます。
り続けている気がする。
... 失敗して学び, 成長するのです。よい勉強をし
... そうだね。そして、その道具自体が魅惑的なス
たね。
トーリーを持つから, 道具マニア・道具フェチがた
• 他人の気分の浮き沈みの波もフーリエ級数展開で
くさん生まれる。
数式で表せたらなあ・・・。
• 慣れたのか、前期よりも後期の授業の方が分かり
... まずどうやって気分を定量化するか, だよね。
やすいのでレポートにとりかかりやすいです。残
広島の有名なサッカー指導者は, 子供（サッカー選
り 15 日程度なので引き続き頑張ります。連日通
手）の精神状態を, 用具の整理整頓の仕方で見るそ
えるようにちゃんと復習します (笑)。
うです。いつもより乱れていると, 「今日の試合は
... 前期より後期の方がわかりやすいとは素晴ら
負けるな」と思うし、そして実際, 負けるらしい。
しい。数学的には, 後期のほうがずっと高度です。
でも, 同時に, 体系性が強いから, 数学の論理体系
に慣れた人は, 後期の方がわかりやすい, と思うか
もね。
• 色々なところに散りばめられた伏線を忘れかけら
れた時に回収して読者に驚きをもたらす。基礎数
学教材は読み物としてもとてもクオリティーが高
いですね。
... いや, 数学ってそういうものだよ。学問体系と
して, 随所に伏線がある。私は「教材に伏線を埋め
てやろう」と企むことよりも, 教材を淡々と作って
いるうちに「あれ? これって伏線になってるじゃ
ん」と気づくことの方が多いのです。ただ, 他の科
目もそうだけど, 数学って, 学校ではいくつかの小
分野に細分化されて教育されることが多いのです。
でもそうなると, 伏線がズタズタに切られてしま
う。それもあって, 資源の「基礎数学」はひとつの
科目としてひとりの教員が担当しているのです。
• 誰かに教えるような気持ちでぶうぶつ言いながら
レポートをしていたら、自分が何もわかっていな
かったこやあいまいに捉えていたことがわかりま
した。図書館にいたら通報されていたかもしれま
せんが (笑)、有意義でした。
... そうそう。そうやって自分との対話が大切。説
明する自分と, それにつっこむ自分。2 人の自分ど
うしの対話です。
• 最近特に黒板の写真さまさまです。
... 活用して下さい。間違いに気をつけてね。
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