微分積分 2 及び演習 第 6 回演習 第 6 回演習問題

微分積分 2 及び演習 第 6 回演習
第 6 回演習問題：次の追加問題とテキスト p.173 問題 A 1.，p.174 問題 A 2.，p.174 問題 B 1.(2)(4) です．
(ヒント) 追加問題は下の例題 1 を参考にせよ．p.173 問題 A 1. と p.174 問題 A 2 はこのプリント裏面の例題 2，p.174 問
題 B 1.(2)(4) はこのプリント裏面の例題 3 を参考にせよ．
し，x = 4 + h, y =
(答)
√
π
6
√
x cos y の点 (4, π6 ) における 2 変数のテイラー展開を h, k について 2 次の項まで 求めよ．但
+ k である．
追加問題. 関数 f (x, y) =
4 + h cos( π6 + k) =
例題 1. 関数 f (x, y) =
√
√
3+
√
3
8 h
−k−
√
3 2
128 h
− 18 hk −
√
3 2
2 k
+ ···
x log y の点 (1, 3) における 2 変数のテイラー展開を h, k について 2 次の項まで 求めよ．但し，
x = 1 + h, y = 3 + k である．
√
1
(解答例) f (x, y) = x log y = x 2 log y より
√
1 1
1
1 −1
1
x
−1
fx = x 2 log y = √ log y,
fy = x 2 = x 2 y =
,
2
y
y
2 x
3
1
1
1
1
1 11
fxx = · (− )x− 2 log y = − √ log y,
fxy = x− 2 = √ ,
3
2
2
2
y
2y x
4 x
より
1
2
fyy = x (−y
−2
√
)=−
x
y2
√
1
1
1
1
√
fx (1, 3) =
log 3 = log 3,
fy (1, 3) =
= ,
2
3
3
2 1
√
1
1
1
1
1
1
√ = ,
fxx (1, 3) = − √ log 3 = − log 3,
fxy (1, 3) =
fyy (1, 3) = − 2 = −
3
4
6
3
9
2·3 1
4 1
√
また, f (1, 3) = 1 log 3 = log 3．よって，f (x, y) の点 (1, 3) における 2 変数のテイラー展開を h, k について 2 次の項ま
で書くと
∂
∂
1
∂
∂
f (1 + h, 3 + k) = f (1, 3) + (h
+ k )f (1, 3) + (h
+ k )2 f (1, 3) + · · ·
∂x
∂y
2! ∂x
∂y
1 2
= f (1, 3) + {hfx (1, 3) + kfy (1, 3)} + {h fxx (1, 3) + 2hkfxy (1, 3) + k 2 fyy (1, 3)} + · · ·
2
1
1
1 2 1
1
1
= log 3 + {h( log 3) + k( )} + {h (− log 3) + 2hk( ) + k 2 (− )} + · · ·
2
3
2
4
6
9
1
1
1
1
1
= log 3 + (log 3)h + k − (log 3)h2 + hk − k 2 + · · ·
2
3
8
6
18
√
f (1 + h, 3 + k) = 1 + h log(3 + k) であるから，
√
1
1
1
1
1
1 + h log(3 + k) = log 3 + (log 3)h + k − (log 3)h2 + hk − k 2 + · · ·
2
3
8
6
18
例題 2., 例題 3. は裏面にあります.
1
例題 2. 関数 f (x, y) = log(e + 2x + y) の 2 変数のマクローリン展開を x, y について 2 次の項まで 求めよ．但し，e は
自然対数の底である．
(解答例) u = e + 2x + y とおくと (e は定数だから) ux = 0 + 2 + 0 = 2, uy = 0 + 0 + 1 = 1 となり f (x, y) = log u より
1
2
·2=
,
u
e + 2x + y
2
20 u − 2ux
0·u−2·2
= ( )x =
=
=
u
u2
u2
2
20 u − 2uy
0·u−2·1
= ( )y =
=
=
u
u2
u2
10 u − 1uy
0·u−1·1
1
=
=
= ( )y =
u
u2
u2
fx = (log u)0 · ux =
fxx
fxy
fyy
fy = (log u)0 · uy =
1
1
·1=
,
u
e + 2x + y
−4
,
(e + 2x + y)2
−2
,
(e + 2x + y)2
−1
(e + 2x + y)2
より
2
=
e+2·0+0
−4
fxx (0, 0) =
(e + 2 · 0 + 0)2
−1
fyy (0, 0) =
(e + 2 · 0 + 0)2
fx (0, 0) =
2
,
e
1
1
= ,
e+2·0+0
e
−2
−2
fxy (0, 0) =
= 2,
(e + 2 · 0 + 0)2
e
fy (0, 0) =
−4
,
e2
−1
= 2
e
=
また, f (0, 0) = log e = loge e = 1．よって，f (x, y) の 2 変数のマクローリン展開を x, y について 2 次の項まで書くと
∂
∂
1
∂
∂
+ y )f (0, 0) + (x
+ y )2 f (0, 0) + · · ·
∂x
∂y
2! ∂x
∂y
1
= f (0, 0) + {xfx (0, 0) + yfy (0, 0)} + {x2 fxx (0, 0) + 2xyfxy (0, 0) + y 2 fyy (0, 0)} + · · ·
2
2
1
1
−4
−2
−1
= 1 + {x( ) + y( )} + {x2 ( 2 ) + 2xy( 2 ) + y 2 ( 2 )} + · · ·
e
e
2
e
e
e
2x + y 4x2 + 4xy + y 2
2x + y (2x + y)2
=1+
−
+ ··· = 1 +
−
+ ···
e
2e2
e
2e2
2x + y (2x + y)2
−
+ ···
以上より, log(e + 2x + y) = 1 +
e
2e2
f (x, y) = f (0, 0) + (x
例題 3. 関数 f (x, y) = e2y sin 3x の 2 変数のマクローリン展開を x, y について 3 次の項まで 求めよ．
(解答例)
fx = 3e2y cos 3x,
fy = 2e2y sin 3x,
fxx = −9e2y sin 3x,
fxxx = −27e2y cos 3x,
fxy = 6e2y cos 3x,
fyy = 4e2y sin 3x,
fxxy = −18e2y sin 3x,
fxyy = 12e2y cos 3x,
fyyy = 8e2y sin 3x
これより
fx (0, 0) = 3e0 cos 0 = 3,
fxx (0, 0) = −9e0 sin 0 = 0,
fxxx (0, 0) = −27,
fy (0, 0) = 2e0 sin 0 = 0,
fxy (0, 0) = 6e0 cos 0 = 6,
fxxy (0, 0) = 0,
fxyy (0, 0) = 12,
fyy (0, 0) = 4e0 sin 0 = 0,
fyyy (0, 0) = 0
また，f (0, 0) = e0 sin 0 = 0. よって，f (x, y) の 2 変数のマクローリン展開を x, y について 3 次の項まで書くと
∂
∂
1
∂
∂
1
∂
∂
+ y )f (0, 0) + (x
+ y )2 f (0, 0) + (x
+ y )3 f (0, 0) + · · ·
∂x
∂y
2! ∂x
∂y
3! ∂x
∂y
1
= f (0, 0) + {xfx (0, 0) + yfy (0, 0)} + {x2 fxx (0, 0) + 2xyfxy (0, 0) + y 2 fyy (0, 0)}
2!
1 3
2
+ {x fxxx (0, 0) + 3x yfxxy (0, 0) + 3xy 2 fxyy (0, 0) + y 3 fyyy (0, 0)} + · · ·
3!
1
1
= 0 + x · 3 + y · 0 + {x2 · 0 + 2xy · 6 + y 2 · 0} + {x3 · (−27) + 3x2 y · 0 + 3xy 2 · 12 + y 3 · 0} + · · ·
2!
3!
9 3
2
= 3x + 6xy − x + 6xy + · · ·
2
9
以上より, e2y sin 3x = 3x + 6xy − x3 + 6xy 2 + · · ·
2
f (x, y) = f (0, 0) + (x
2