6.1 Leibnitz の公式 6.2 Taylor の定理 (Taylor`s theorem)

6.1 Leibnitz の公式
1
6.1 Leibnitz の公式
第 n 次導関数に関して次の定理が成り立ちます．
定理 6.1 f (x), g(x) が C n 級のとき，次の公式が成り立つ．
(1) {f (x) ± g(x)}(n) = f (n) (x) ± g (n) (x)
(2) {cf (x)}(n) = cf (n) (x) (c : 定数)
n µ ¶
X
n (n−i)
(n)
(3) {f (x)g(x)} =
f
(x)g (i) (x)
i
i=0
例題 6.1 f (x) = sin x の第 n 次導関数を求めてみましょう．
例題 6.2 f (x) =
1
の第 n 次導関数を求めてみましょう．
1 − x2
例題 6.3 h(x) = xn e−x の第 n 次導関数を求めてみましょう．
解 g(x) = xn , f (x) = e−x とおくと，
g (k) (x) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)xn−k , f (k) (x) = (−1)k e−x (k = 0, 1, 2, . . . , n)
したがって，Leibniz の定理より，
n µ ¶
X
n!
n
(−1)n−k e−x xn−k
k!
k
k=0
µ
¶
1
= (−1)n n! xn − xn−1 + · · · + (−1)n
¥
n!
h(n) (x) = (f (x)g(x))(n) =
演習問題
1.
次の公式が成り立つことを示そう．
nπ
nπ
)
(b) (cos x)(n) = cos (x +
)
2
2
= α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n
(a) (sin x)(n) = sin (x +
(n)
(c) [(1 + x)α ]
2.
次の関数の第 n 次導関数を求めよう．
(a) f (x) =
x3
1−x
(b) f (x) = x2 sin x
(c) f (x) = ex sin x
6.2 Taylor の定理 (Taylor’s theorem)
超越関数 f (x) を多項式を用いて表わすことができないでしょうか．もしそうなれば ，整関数さえ知っていれ
ば他の関数のことを知らなくてすむのです．そんな疑問に イギリスの数学者 Brook Taylor (1685-1731) は 1712
年に答えてくれました．
2
定理 6.2 (Taylor の定理) f (x) が点 a, b を含むある区間で C n 級であるならば，
f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) + · · · +
Rn =
f (n−1) (a)
(b − a)n−1 + Rn ,
(n − 1)!
f (n) (ξ)
(b − a)n , a < ξ < b
n!
となるような ξ が存在する．
ここで用いられた Rn を Lagrange の剰余数 (Lagrange’s remainder) といい，
f (a) +
f 0 (a)
f (n−1) (a) n−1
x + ··· +
x
1!
(n − 1)!
を Taylor の多項式 (Taylor’s polynomial) といいます．特に a = 0 とおいて得られる定理を Maclaurin の
定理 といい， b = x とおくと
f (x) = f (0) + f 0 (0)x + · · · +
Rn =
f (n−1) (0) n−1
x
+ Rn
(n − 1)!
f (n) (θx) n
x , 0<θ<1
n!
となります．
例題 6.4 Maclaurin の定理を使って f (x) = ex の Taylor の多項式と Lagrange の剰余数の誤差の限界を求めて
みましょう．
定理 6.3 次の級数展開が成り立つ．
x2
xn
+ ··· +
+ · · · ，(−∞ < x < ∞)
2!
n!
5
3
x
x2n+1
x
+
− · · · + (−1)n
+ · · · , (−∞ < x < ∞)
(2) sin x = x −
3!
5!
(2n + 1)!
x2
x4
x2n
(3) cos x = 1 −
+
− · · · + (−1)n
+ · · · , (−∞ < x < ∞)
2!
4!
(2n)!
2
3
x
x
xn
(4) log(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1
+ · · · , (−1 < x ≤ 1))
2
3
n
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
α
x + ··· +
x + ···
(5) (1 + x)α = 1 + x +
1!
2!
n!
ただし，(−1 < x < 1)
(1) ex = 1 + x +
演習問題
1.
次の MacLaurin 展開が成り立つことを示そう．
x2
x4
x2n
+
− · · · + (−1)n
+ · · · , (−∞ < x < ∞)
2!
4!
(2n)!
x2
x3
xn
(b) log(1 + x) = x −
+
− · · · + (−1)n−1
+ · · · , (−1 < x ≤ 1))
2
3
n
α
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(c) (1 + x)α = 1 + x +
x + ··· +
x + ···
1!
2!
n!
ただし，(−1 < x < 1)
x3
x5
(−1)n x2n+1
(d) tan−1 x = x −
+
− ··· +
+ · · ·, (−1 < x < 1)
3
5
2n + 1
次の極限値を Landau の記号を用いて求めてみよう．
log (1 + x)
x − sin x
ex − 1 − x
xα
(a) lim
(b) lim
(c) lim
(d) lim x
3
2
x→∞ e
x→0
x→0
x→0
x
x
x
(a) cos x = 1 −
2.