平成4年度 教育研究員研究報告書 高等学校 数学

高等学 校
平
成4
年
度
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
学
数
東 京 都 教 育 委 員 会
平 成4年
班
研rhテ
ー
度教 育 研 究 員(数 学)名 簿
学
マ
校
名
氏
名
都
立
広
尾
高
等
学
校
長
津
美
都
立
深
川
高
等 学
校
若
井
文 隆
都
立
武
蔵
高
等 学
校
田
中
洋
都
立
狛
江
高
等 学
校
大
石
隆
都
立
青
山
高
等
学
校
三
保
和
彦
関連 付 け,自 ら類 推 し.帰 納
都 立鳥山工業
高
等
学
校
福
井
宏
昌
的 な考 え方 を 育 て る指導 法 の
都 立 南 葛 飾
高
等
学
校
佐
藤
則
夫
研究
都 立東大 和 南
高
等 学
校
古 川
邦
夫
都
立
蒲
田
高
等
学
校
坂
本
良
一
一
都
立
淵 江
高
等
学
校
藤
田
都
立
城
東
高
等
学
校
黒
崎
健
二
都
立
砂
川
高
等 学
校
吉
田
順
一
都
立
永
山
高 等
校
小
林
雅
史
吉 野
恒
夫
幾 何学 的 な解 釈 を 通 して の
発 見学 習 の 指 導
明
i
一放物 線 を 例 に と って 一
一
数 列 の 和 と数 学 的 帰 納 法 を
皿
パ ソ コ ン を 活 用 し た 数 学C
1
の 指導
学
担当 教育庁指導部高等学校教育指導課指導主事
泉
主題
身近 な 事 象 や 作 業 を通 して
数 学 的 な 見 方や 考 え 方 の よ さ を理 解 させ る指 導 法 の 工 夫
次
目
1幾
何 学 的 な解 釈 を通 して の 発 見 学 習 の指 導 一放 物線 を例 に と って
2
L
は じめ に
2
且
研 究 の ね らい
3
3
研究内容
3
4
研究方法
4
5
使用テ キス ト
7
6
小 テ ス トの結 果 分析
7
7
研究の成果
8
8
ま とめ と今 後 の 課 題
皿
数 列 の和 と数 学的 帰 納 法 を 開連 付 け,
自 ら類 推 し,帰 納 的 な 考 え方 を 育 て る指 導 法 の研 究
9
上
は じめ に
9
a
研 究 の ね らい
-←
■■
5
研 究 の成 果 と今 後 の 課 題
4
丘
皿
1←
4
分析 と考察
0
a
研究内容
パ ソ コン を 活 用 した数 学Cの 指 導
6
1
1
は じめ に
6
1
2
研 究 ・実 践 例
6
1
関係 数 の 指導
B.極
座 標 と極 方 程 式 の 指 導
0
2
A.相
4
2
3.お
わ り に
一1一
1幾
何学 的な解 釈 を通 しての発 見学 習の指導
一
1.は
放 物 線 を 例 に と って
一
じめ に
数 学 の 学 習 で 大 切 な こ と は,「
や 公 式 を 覚 え,そ
数 学 を 理 解 す る こ と 」で あ る。 しか し実 際 の 学 習 で は定 理
れ らを 使 っ て 問 題 を 解 く こ と は で き る が 何 を や っ て い る の か よ く分 か ら な
い こ と が あ る。 数 学 の 理 解 を 容 易 に す る た め に は,数
あ る と い う こ と を 知 る こ と が 必 要 で あ る。 ま た,身
学 は 単 純 明 快 で あ り,数
学 は有 機 体 で
近 な 事 象 と数 学 の 内 容 を 関 連 付 け,イ
メ
ー ジ しや す くす る こ と が 重 要 で あ る
。
以 上 の 観 点 に 立 っ てs本
取 り上 げ,放
研 究 で は 「幾 何 学 的 解 釈 を 通 して の 発 見学 習 の 指 導 」を テ ー マ に
物 線 と い う対 象 を 通 し て,初
等 幾 何 と2次
関 数,2次
関数 の グ ラ フの平 行 移動
と座 標 軸 の 平 行 移 動 に つ い て 指 導 法 の 改 善 を 図 っ た 。 幾 何 は い ろ い ろ な 数 学 の 概 念 を 視 覚 化
し て くれ る も の で あ り,人
れ らの こ と を 踏 ま え,様
2.研
間 の 直 観 に 基 づ い て い る。 本 研 究 で は,教
材 の 作成 に当 た って こ
々 な工 夫 を 試 み た 。
究 の ね らい
今 回改 訂 され た学 習 指導 要 領 に よ れ ば,数 学1の2次
関数 の 指 導 に は い ろい ろ な工 夫 が望
まれ て い る。 現 行 の学 習 指導 要 領 と比 較 して,代 数 的 な計 算 が 簡 略 化 され,特 に2次 関 数 の
グ ラフの平 行 移 動,す な わ ち,2次
関 数 を 標 準 形 に変 形 して,グ ラ フの 位 置 関 係 を 調 べ る こ
と に工 夫 が 求 め られ て い る。 また変 化 す る もの の代 表 と して2次 関数 は数 学1で 取 り扱 わ れ
るが,中 学 校 と の 関連 に も留意 す る こ とが望 まれ て い る。
これ らの 指 摘 を うけ,今 回 改 訂 され た数 学1の
目標 「中学 校 数 学 との 関連 を踏 ま え,生 徒
の 日常 生 活 に 関係 が深 ぐ,学 習 す る こ との 意 義 が 分 か りや す い もの を取 り上 げ る。 その 具 体
的 な事 象 の 考 察 を 通 して数 学 的 な見 方 や考 え 方 の よ さを 認 識 させ る。 」に 留意 して,幾 何 的
な考 え 方 を 重 視 し,次 の点 に ね らい を定 め て研 究 を す ♂め た。
{1}中 学 校 で学 ん だ放 物 線 が 日常 生 活 の 上 で どの よ うに 活 用 され て い るか,具 体 的 に例 示 し,
その 根 拠 と な る幾 何 学 的 な性 質 を 初 等 幾 何 を 用 い て導 く。
(21放 物 線 の 幾何 学 的 性 質 は,座 標 軸 を適 当 に と る こ とに よ って2次 関数y=aX2の
な る ことを 導 き,2次
関数 の一 般 形y=ax2+bx+cは
一Z一
形に
座 標 軸 の取 り方 に よ る もの で
あ り,y=ax2と
3.研
本 質 的 な 違 い は な い こ と を 理 解 さ せ る。
究 内容
2次 関 数 は 高 校 数 学(数
学1)で
配 慮 が 必 要 で あ る。 そ こ で,現
を 問 題 点 と し て 指 摘 し,そ
(112次
扱 う関 数 の 基 本 的 な 対 象 で あ り,そ
行 の 指 導 法 で は 生 徒 が 誤 解 し た り,計
の 指導 法 に は十 分 な
算 で い きづ ま る と ころ
れ を 改 善 す る い くつ か の 工 夫 を 試 み た 。
関 数 の 導 入 に お い て,生
徒 の 日 常 生 活 との 関 連 が 希 薄 で あ る。y=ax2と
い う対
象 を 考 え る 前 に 導 入 を 工 夫 す る。
(21y=ax2の
グ ラ フ(放
物 線)を
散 的 な デ ー タ の 値 を 計 算 し,グ
学=習 す るの に,x=-2,-1,0,1,2…
等 の離
ラ フ の 概 形 を 理 解 さ せ よ う と し て い る 。 そ の 結 果,生
徒の
中 に は グ ラ フ が 折 れ 線 に な っ て し ま う もの が い る。 放 物 線 と い う 曲 線 を も っ と 身 近 に 体 験
させ る 方 法 を 工 夫 す る。
(3)y=ax2+bx+cの
グ ラ フ は,y=ax2の
の 際y・=aX2+bx+cの
右 辺 を 変 形(平
完 成 と い う計 算 に こ だ わ り,グ
グ ラ フ を 平 行 移 動 し て 得 ら れ る が,そ
方 完 成)す
る必 要 が 生 じ る。 そ の 結 果,平
方
ラ フ の 平 行 移 動 と い う幾 何 学 的 な 性 質 の 理 解 に つ な が っ て
い な い こ と が 多 い。 こ の 点 を 改 善 す る。
4.研
究方法
(11共
通 テ キ ス ト(4ペ
考 え させ,そ
(21曲
使 用 し て,身
近 に あ る放 物 線(面)と
思 わ れ る もの を
の 性 質 を 中 学 校 で学 ん だ 初 等 幾 何 を 用 い て 明 らか に さ せ る。
線 の 性 質 を 明 ら か に して い く過 程 で,簡
曲 線 を も と に,グ
(3)作
ー ジ 参 照)を
単 な 作 業 を 通 し て 放 物 線 を 描 か せ,描
かれ た
ラ フ の さ ま ざ ま な 幾 何 学 的 性 質 を 確 認 さ せ る。
業 や 証 明 を 通 し て,放
物 線 と い う曲 線 に 対 し て ど の よ う な 感 想 を も っ た か ア ン ケ ー ト
を と る。
{4}座
標 軸 を 導 入 し,曲
(5)点
の 座 標 に よ る表 し 方 は,座
行 移 動 し たXY座
(6}応
線 の 方 程 式 がy=aX2に
(7)従
標 軸 の 平 行 移 動 に よ り変 化 す る。 そ こ で,xy座
標 軸 を 考 え,2つ
標 軸 を平
の 座 標 軸 に お け る座 標 の 関 係 に つ い て 理 解 さ せ る 。
用 と し て 放 物 線 の 平 行 移 動 を 考 え,xy座
軸 の 平 行 移 動 に よ りXY座
な る こ とを示 す。
標 に お け るy=ax2+bx+cは,座
標 に 対 し て は,Y=aX2の
来 の 平 方 完 成 に よ る 方 法 と の 比 較 検 討 を 行 う た めT指
形 に表 せ る こ とを示 す。
一3一
導 後 共 通 テ ス トを 実 施 す る。
標
5.使
用テキス ト
放物線の幾伺学的性質
【殴 間1】
中 学 絞 で学 ん だ放 物 線 は 文 宇 通 りポ ー ル を 椴 げ 上 げ た
と きの 軌 跡 と考 え る こ とが で き る が 、 こ れ と同 じ形 を
した も の で 日:R見 られ る もの に どんt;も の が あ り ま す
か.
【設 問II】 そ れ ら に 共 通 な 性 質 と して 、 どの よ う な も の が あ る と
思 い ます カ㌔
⇒ 図V
そ の こ とを 次 の手 順 で示 せ.
△MPF琶
△SPF⇒PM=PS
△PMA響
△PSW⇒PA=PW・
△PAFa△PWT
m
【設 問VI】 の 図 よ り
△SFP$△STP
SF=STと
鉱り
SF=STと
なゐ 胤Sを 描 い て い け``放 物 線 とな る
実 際 に、 描 い て み よ う.
定 規 を 使 って 放 物 線 を 描 い て み よ う
【殴 悶 皿 】紙 の う え に 、1本 の 直 纏1と そ の纏 上 に な い1点Fを
と る。(商 線 と点 は で き るだ け近 い 方 が よ い)次 に 三 角
定 規 を使 っ て 、 直 角 の 頂 点Pが 常 に 直 線1に 、 斜 辺 以
外 の辺 が 点F上 に 来 る よ う定 規 を お い てPを 端 点 とす
る 半 画線 を 引 い て み よ う。Pの 位 置 を'上 で変 えttが
ら 、 そ の 作業 を繰 り返 し て い くと ど うt;り ます かe
さ らに 直線 と 点の 距 離 を 変 えて 同 じ作 業 を して み よ う。
⇒ 図1
.Q
【殴 問VI】AF=ALと
な る よ う にLを π1上に と る
Lを 通 り'に 平 行 な 直 縁TLを
引 く。
線 分TPを
引いた とき
TPFは
一直線上にあ り
PはTFの
中 点 で あ る。 ・・・… ③
折 り紙 で 放 物線 を 描 い て み よ う
【設 問W】
④ の 性 質 を 使 っ て 実 際 に折 り紙(B4程
い)で 放 物 線 を擶 い て み よ う。
関 し て 折 り 曲 げTに
合 わ せ る と 折 り 目 の 線1r
が で き る 。 同 様 に し て 、 点Fをn上
【殴 問1V】
図 の よ う に1上
に2点P、Qを
Rと
この と き
す る。
LQRF=LAPF・
とn.2直
わ せ る と 、 折 り 目 の 線h'、'tが
線 の 交 点 を
合
図n
【設 閥H】
近 づ く とす れ ば
●
⇒図 皿
Sは 設 問 田 で求 め た 曲線 上 の 点 で あh.PSは
お け る接 線 で あ る こ とを 確 か め よ。
その 曲 線 上
の 点Sに
【綬 問V】
の 点T'、T"に
で き る。
こ の作 業 を繰 り返 す と放 物 線 が で き る.
・●
を 示 せv⇒
段 問1VでQがPに
近 づ くと、 交 点RがSに
① の 性 質 が その ま ま保 たれ るか ら
LPSF=LAPF・
度の薄紙 がよ
⇒ 図VI
(1)図 の よ うに 、 まず 直 線nと 点Fを 蟹 上 に 書 く。
nとFは
で き るだ け近 い ほ うが よい 。
(2)FをPに
P
⑤
図 の よ う にSを 通 ってn:に 平 行 な直 線 を 引 く。
この と き
LVSU=LPSF
を示 せ.⇒
図N
従 って
Uの 方 か ら光 を あ て る とF忙 集 ま る こ とが 分 か る。
こ の 点Fを 焦 点 と い う.
逆 にFに 光 源 を お くと反 射 してす べ てmに 平 行 な 光線 とな る。
!/
一4一
折 り紙 で作 っ た グ ラ フに 座 傑 軸 を導 入 して み よ う。
ま ず、
AW2=4AF・AZ
を示 せ 。
⇒ 図VO
[ヒント ムSPWGO△PFAを
用 い よ。]
よ っ て 、AW2はAZに
比 例 して い る こ と が 分 か る。
ここ で 、 直 線AWをx軸
、 直 線AZをy軸
、Aを 原 点 とす る
座 標 平 面 を 導入 し、S(x,y}と
す る。
AW=x,AZ=yだ
か ら ⑥ よ りx輩=4AF・
ン
1=α
とす る と ン ‐axeと
な るe
4AF
これ よ り、 放 物 線 の 形 はQの
る こ とが 分 か る。
値 す 蹴わ ちAFの
長 さ で決 ま
[図II}
一10123
x
UIu
/
x
t
一2-1012
X
X=z-1
R
此
間1公
P4
[図 皿]
式 ① が成 り立 つ こ と を整 散 の 座 標 で確 か め よ。
間2κ
軸 を 正 の方 向 に 一1だ け 平 行 移 動(負 の 力 向 に1だ け 平 行
移 助)し て 得 ら れ る 座 憬軸 をX軸 とす る。 この と きκ 軸 とX
軸 の 整 数 の 間 の 対 応 を 書 き表 せ。 ま た同 じ点 に お け る両 軸 の
座 標 の 間 には どの よ うな 関 係 が あ るか0
S
曾'
F
慶
印
⇒
一 般 にκ 軸 を 正 の 方 向 にpだ
F
ｺaa
A
け 平 行移 動 して 得 られ る座 標 軸 をX
軸 と し同 じ点 の 両 軸 の 座 標 を それ ぞ れx、Xと
には
9■
A
P
[図N]
す る とxとxの
X=x-P
[図V]
臥
と い う関 係 が あ る。
012
II!
PP+1
x
u
1
Oi
X=x-p
x
X
1
一p-P41'P+Z
問3κ
[図V1]
軸 を平 行 移 動(正 ま た は負 の 向 きに)し て得 られ る座 標 軸 を
X軸 とす る。 同 じ点 の 両 軸 の 座 標 を それ ぞれx、Xと
す る。
x、Xの
間 に次 の 関 係 が 成 り立 つ と きX軸 はx軸 を ど の よ う
に平 行 移 動 して 得 られ るか 、 図 示 して答 え よ。
[図W]
・.﹃
κノ
κ
1
ミ
z
/
51+.7
「
,
ρ'
P ゴ
'
r
P
、.
匪
F
層
「一
..
問
(11X=x+2
(2)x,κ
{3)x=X+2
f4)x-x+ノ
一拒
万
τ
. ■
「
,,
て
T
墜
'
貞風01
橘
暫 1
,
[2]平
面 上 の座 標 軸 と そ の平 行 移 動
¶
右 の 図 ≪x軸
を正 の 方 向 に2.
.v軸 を正 の 方 向 に1だ け そ れ ぞ
れ 平 行 移 動 して 得 られ る座m
を それ ぞれX軸 、Y軸 と した も
ので あ る。
座 標 軸 の 平 行 移 動 と2次 関 融 の グ ラ フ
吊y
島Y
一
1
0
0
1
卿
[t]座
x
標軸の平行移動
下 の 図 はx軸 を 正 の 方 向 に1だ けr行 移 動 して 得 られ る 新 しい 座
標 軸 をX軸 と し、 κ 軸 とX軸 の 座 標 の 対 応 を 表 した も の で あ る 。
x軸y軸
で 定 め ら れ る 平 面 をxy座
標 平 面 、X軸Y軸
で 定 め られ
る平 面 をXY座
標 平 面 と呼 ぶ こ と にす る。 こ の と き次 の 悶 いに 答
え よ。
一3-2-1D123456
UuUu日
問4xy座
標 平 面 の 次 の 各点 はXY座
も っ 点 に対 応 す る か。
x
X
xy座
(1)
ca)
(3)
κ 軸 を 正 の 方 向 に1だ け平 行 移 助 した も の がX軸 で あ る か ら、 両
軸 の 同L'点 の座 標 はX軸 上 の 座 標 の 力 が κ 軸 上 の座 標 よ り も1だ
け小 さ くな る.
⊥ の図 で はκ 軸 、X軸 の 両 軸 上の 整 数 の 間 の対 応 を表 して い る。
同 し点 に お け るx軸 上 及 びX軸 上 の 座 標 を それ ぞ れX.Xで
衷すと
X-x-1①
と な る.
問5こ
(一1、
xY座
・(
s
(1、a)・
訓 ←一
一一(,
標平面
噛)
れ ら の緒 果 か ら 座 標 平 而 上 点Pに 対 しxy座
標平而 で、
P(x、y)XY座
標 平 而 で 、P(X、Y)と
す る と き、 座
標(x、Y)(X、Y)の
間 に は どの よ う な閲 係 式 が 成 立 す る
か。
X=Y=
一5一
標準面
(o,o)一
})
一4-3-2-1012345
標 平 面 の どの よ うな 座標 を
間6x、y軸
を 次 の 方 向 に 平 行 移 動 し てX、Y軸
座 標(x、S')(X、Y)の
を 得 る と き 、
さて 、 ③ は 右 辺 を 展 開 して整 理 す る と
問 の凹 係 式 を 求 め よ。
.v=2x2-sx-f-9......
と な る 。 ④ の 形 で 与 え ら れ た2次
(Dx軸
の 正 の 方 向 に1、3,軸
(2)x軸
の 正 の 方 向 に 一1、.v軸
(・)x軸
の正 の方 向 に12y軸
(a)x軸
の 負 の 方向 に2、y軸
問7座
グ ラ フ を 甫 く こ と が で き る 。 ③ の グ ラ フ は .yゴ2κ2の
の 正 の 力 向 に3
行 移 動 し て 揖 ら れ た の だ か ら 、 ④ の グ ラ フ と.v-2x2の
グ ラ フは
昌}般
にa≠0の とき
の 正 の 方 向 に 一2
ン軸
一2
一
したものである。(証明略)
【例 題12次
関 数y=2xz-8x十5の
〔解 〕
」ノ==2xz-8♪
悪一
亘建動
グ ラ フ をか け。
①②
Y-y+2(2){;二Y+1
一般 にκ 、y軸 を そ れ ぞれ 正 の
方 向 にρ 、9だ け 平 行 移動 して
X軸 、Y軸 を 得 ると きκy座 標
軍 面 上 の 点P(x
.ン)とxY座
標 平 面 上 の 点PiX、Y)に
対 し
て座 擦 の 問 に 次 の 閲 係 式 が成 り立 つ。
グ ラ フ をT'
1司じ 形 で あ り そ の 位 置 が 異 な る だ け で あ るe
の正 の 方 向 に 号
標(x、S')(.X、Y)の
間 に 次 の関 係 が あ る と きX、
を どの よ う に平 行移 動 す れ ば ♪(、Y軸 が 得 られ るカ㌔
{1){x=X-一
関 数 は③ の 形 に 変 形 して 、 そ の
の 正 の 方 向 に 一1
ご+5
Y=2Xx
X=x-p
4Y
Lr
0
Y=y-4
g
0
0
A
P(x.Y)
P(x.r) ●
一
① の グ ラ フ はy=2xzの
X
xlr1.ン
グ ラ フ を平 行 移 動 し た もの で あ るか ら
軸 を そ れ ぞ れ 正 の 力 向 にp、q平
を 作 る と き ① はXY座
x
行 移 動 し てx軸
、1T軸
標rF'一面 で ② と か く こ と が で き る 。 ③ は 座 標
の問 の関 係 式 で あ る。
③ を② へ 代 入 して
X=x-P
Y=y-4
ン ーq=2cピ
ー ρ)2=2x2-4Fx+2ρ2'
'y-2x2
-4px十2p2十q....
① と④ の 右 辺 は 同 じ式 で あ るか ら係 数 を 比 較 して
[3コ
ン=axe十bx十Cの
=axzの
一4P=-8
グ ラ フ
グ ラ フの 平 行 移 動
2px+q=5・
右 の図 は2次 関bc .v=axeの
グラ フ をX軸 の 正 の方 向 に2,
y軸
移動
この
うに
ゆ えに
の正 の方 向 に1f'け 平 行
し た グ ラ フを 示 して い る。
グ ラ フの 方 程 式 が どの よ
な る か を翼 べ よ う。
れ より{∴2
X=x-2
Y=.y-(-3)=ン+3
すなわち
y-(-3)-2(x--2)Z
X
,'..v=2{κ
D
一2}2-3
と な る。
い ま 図 の よ う にX軸
こ の と きXγ
、Y軸
を と る0
座 標 平 面 で は グ ラ フ
こ れ よ り① の グ ラ ヲ は 頂 点 が(1ρ
の 方 程 式 は
、9)=(2,-3)で
軸 がx=2
で 下 に 凸 の放 物 線 で 吹 の 図 の よ う に な る。
Y=9¥'E.....0
と 鉱 る。
[別 解]
と こ ろ で 、xz座
標 平 面 、XY座
う に次 の 閲係 が成 り立 つ
標平 面 の 間 に は 、 す で に み た よ
,v°2x2-8x十5
=2(x2-4x)十5
X-x-2
=2{(κ2-4x十4)-41→-5
{Y=y-1②
②
を ① へ 代 入
=2{{」 コ
じ一2)2-4}十5
=2(x-2}x-3
す る と
.v--1=2tx-2)窩
・'一.v=2(x-212+1...............
(1)y-xz十6x十7
方 樫 式 を 求 め よ。
一6一
1
間9y-2x2の
グ ラ フを κ 軸 の 負 の 方 向2ン
軸 の 負 の力 向 に1
だ け 平 行移 動 し て得 られ る グ ラ フ をか け。 ま た そ の グ ラ フ の
=
ツ
t3)y=-xz十2x十1
関 数 の グ ラ フを か け
鄭
の2改
薫
ン
与 え られ る 放 物 線 の 軸 の 力 程 式 と頂 点
悶10次
︺
)
り凸 4
{
{
問8.v°2(x-2}2+1で
の座 標 を求 め よ 。
ゆ え に求 め る グ ラ フ は ッ=2κ2
.のグ ラ フ をx軸 の 正 の 方 向 に2,
ッ 軸 の 負 の 方 向 に3だ け平 行 穆 動 し た もの で あ る。
し ノ
㍑ ⊥2
こ の こ とか らa'=2x2の
グ ラ フをX軸 の 正 の 方 向 に2.ン 軸 の 正
の 方 向 に1だ け 平 行 移 動 して 得 られ る グ ラ フの 方 程 式 はxy座
標
平 面 で は③ の 形 で与 え ら れ る こ と が分 か る。
6.小
テ ス トの 結 果 分 析
4校 の 正 答 率 は 以 下 の 通 り で あ る。
参 考(小
次 の2次
問 題{D
問 題(21
問 題(3)
A校
399'0
30%
340
12%
B校
93qa
90%
82%
84%
C校
5390
5790
27qo
27qp
48%
35go
30%
テ ス ト)…
…20分
関数 の 頂 点 の座 標 を 求 め
問 題{4}
さ ら に,そ
の グ ラ フを 書 け 。
(1、y==2x2十1
(2)y==-x2十6x-9
(31y=2x2十5x十1Q
D校
..
{4}y--x・-32x+54
問 題 の 解 き方 を 分 折 す る と,各
(傾 向1)…
…(1)(2)の
校 に お い て 次 の よ う な 傾 向 が 見 ら れ た。
よ う な 比 較 的 計 算 が 簡 単 な 問 題 は,平
方 完 成 を 用 い る 方 法 と座 標
軸 の平 行 移 動 に よ る方 法 とで 正 答 牽 に大 差 は な か っ た。
(傾 向2)…
…(3)(4)の
よ う な,平
方 完 成 が 難 し い 問 題 で は,明
に よ る 方 法 の 方 が 正 答 率 が 高 く,答
(傾 向3)…
… 平 方 完 成 に よ る 方 法 は,と
Y=a(x-p)2+qと
らか に座 標 軸 の平 行 移 動
案 の 計 算 間 違 い が 少 なか っ た 。
か く計 算 間 違 い の 多 い 点 が 難 点 で あ り,
変 形 し た あ と,こ
れ がy=ax2の
グ ラフ を平 行
移 動 し た も の で あ る こ とを 幾 何 的 に 把 握 し て い る生 徒 は 非 常 に 少 な か っ た 。
(傾 向4)…
… 座 標 軸 の 平 行 移 動 を 用 い る 方 法 で は,座
y=ax2の
Z研
標 変 換X=x-P,Y=y-qと
グ ラ フの 平 行 移 動 と の 関係 を理 解 して い る者 が少 なか っ た。
究 の成 果
放 物 線 を 身 近 な も の と し て と ら え る こ と が 出 来 た か と い う点 に つ い て,生
徒 か ら寄 せ られ
た 感 想 の 中 か ら主 な もの を 取 り上 げ て み る。
(1)放
物 線 を 書 く こ と は 困 難 だ と思 っ て い た が,簡
(21直
角 に 直 線 を 書 く こ と に よ っ て,曲
単 な 作 業 で 書 け る こ と に お ど ろ い た。
線 が 書 け る こ と が 不 思 議 だ と 思 っ た 。 ま た,光
の屈
折 な どに つ いて も知 る こと が 出来 た。
(3)グ
ラ フ は難 し くや や こ し い と 思 っ て い た が,簡
浮 き 上 が っ て くる の で,2次
ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果,7割
単 に 書 け た り,折
り紙 を 折 る こ と で 形 が
関 数 が 身 近 に 感 じ られ た 。
以 上 の 生 徒 が,証
_7_
明 を 難 しい と 感 じ た 様 で あ る。
そ の 最 大 の 理 由 は,短
質 は,合
同 条 件,円
時 間 で 解 決 を 求 め た こ と に あ る と思 わ れ る。 証 明 に 使 っ た 幾 何 的 性
に 内 接 す る 四 角 形 に つ い て の 性 質,接
線 条 件 で あ り,全
て 中学 校 で学
ん だ 基 本 的 性 質 の み で あ る。 基 本 的 性 質 を 明 示 して お い て 証 明 に 向 か え ば 十 分 理 解 が 得 ら
れ る と思 わ れ る。 次 に 今 回 の 研 究 の 主 な 成 果 は 次 の と お り で あ る。
f1)数
学Aに
初 等 幾 何 が 導 入 さ れ た 際,そ
び つ き と し て,こ
X21従
れ と の 橋 渡 し,更
に は2次
関 数 との 有 機 的 な結
の 教 材 を 活 用 で き る こ と。
来 の 平 方 完 成 に よ る 方 法 を 用 い る と,そ
y=a(x-P)z+qの
の 計 算 そ の もの に と ら わ れ,
グ ラ フ がy=ax2の
が あ ま り理 解 さ れ な い 難 点 が あ る が,座
グ ラ フを 平 行 移 動 し た もの で あ る こ と
標 軸 の 平 行 移 動 を 用 い る と,平
行 移動の 認識が
は っ き り す る。
(3}平
方 完 成 に よ る 方 法 よ り 計 算 が 比 較 的 簡 単 に 済 み,特
に係 数 が複 雑 な分 数 の 場 合 に は
有 効 で あ る。
〔4)こ の 方 法 は,2次
関 数 の グ ラ フ に 限 ら ず,分
数 関 数,無
理 関 数 を は じ めrい
ろい ろ な
グ ラ フ を 書 く こ と に 応 用 で き る。
8.ま
とめ と今 後 の 課 題
具 体 的 な例 か ら発 生 し発 展 した幾 何 学 的 な考 え を 歴 史 の 流 れの 中 で見 て い くこ と は,幾 何
学 が文 化 の 発 展 に どれ ほ どの 貢 献 を して きた か を か い ま み る こと に な る。 本 研 究 で は,こ の
ような幾 何 学 の歴 史 的 経 過 を重 視 し,折 り紙 等 の作 業 や 体 験 を通 して数 学 的 な 見 方 や 考 え方を
育 て る指導 の方 法 を工 夫 して きた。 今 回 の 指 導 を通 して,2次
関 数 に つ い て の理 解 が 深 ま り,
2次 関 数 を よ り身近 な対 象 と して と らえ る こ とが で き た と考 え て い る。 ま た,座 標 軸 の平 行
移動 を 用 い て よ り簡 潔 に表 現 す る方 法 は,2次
関 数 だ け で な く,他 の 分 野 に も応 用 す る こ と
が 可 能 で あ ると思 わ れ る。
今 後,座 標 変 換 の 指導 に 十 分 時 間 を か け る と と もに,幾 何 学 的 立 場 か ら 曲線 を考 察 し,定
規
折 り紙,刺
し ゅ う等 を 用 い た作 業 を通 して,数 学 を よ り身 近 な もの,よ
して受 入 れ られ るよ うな授 業 を 創 造 して い くこ とが 課 題 で あ る。
一8一
り楽 しい もの と
H数
列 の 和 と数 学 的 帰 納 法 を関 連 付 け,自
ら類 推 し,
帰 納 的 な考 え 方 を育 て る指 導 法 の研 究
1.は
じめ に
特 殊 な 事 実 か ら一 般 的 な 結 論 ・法 則 を 導 き だ す 発 見 的 な 方 法,す
文 ・社 会 ・自 然 を 問 わ ず,あ
な わ ち 帰 納 的 推 論 は,人
ら ゆ る科 学 に お い て 用 い られ る 極 め て 有 効 な 方 法 で あ り,科
学
の 発 展 に 欠 か せ な い もの で あ る。
数 学 に お い て も,帰
納 的 推 論 を 使 っ て 一 般 的 な 法 則 を 推 測 し,推
測 した法 則 を厳 密 に証 明
す る こ と を 行 な う。 こ の 際 に 用 い られ る 証 明 方 法 が 数 学 的 帰 納 法 で あ る。
高 等 学 校 に お け る数 学 的 帰 納 法 の 学 習 で は,と
も す れ ば 帰 納 的 な 推 論 が 軽 視 さ れ,形
・技 巧 酌 な 証 明 の 書 き か た が 中 心 に な っ て お り
,数
な い 。 そ こ で,本
研 究 で は,帰
指 導 法 を テ ー マ に 取 り上 げ,研
z.研
式的
学 的 帰 納 法 の 必要 性 や 有 用 性 を 理 解 で き
納 的 推 論 を 重 視 し,自
ら類 推 して 帰 納 的 に考 え る 力 を 育 て る
究 を進 め る こ と に した。
究 の ね らい
現 行 の 多 くの 教 科 書 に お い て,数
入 に 用 い ら れ る問 題 は,既
る 。 そ の た め,生
学 的 帰 納 法 は,数
に 導 か れ た 「数 列 の 第n項
列 の 章 の 最 後 に 置 か れ て お り,そ
ま で の 和 」の 証 明 問 題 が 主 に な っ て い
徒 は な ぜ も う一 度 同 じ 問 題 の 証 明 を す るの か,と
へ の 興 味 を 失 い,「
の導
い っ た疑 問 を もち,数
列
数 学 を 学 習 し て い こ う と す る 意 欲 と主 体 的 に 活 用 し よ う と す る態 度 」を
養 う こ と が 難 し い。
そ こ で,生
徒 に 興 味,関
計 算 を さ せ る 中 で,試
心 を 持 た せ,帰
納 的 推 論 の 有 用 性 を 理 解 さ せ る た め に,具
行 錯 誤 を 繰 り返 し な が ら等 式 を 推 測 さ せ,そ
す る と い う授 業 を 試 み た 。 そ の た め 数 列 の 単 元 の 並 ぺ 方 を 変 え,数
体的 な
れ を 数学 的 帰 納 法 で証 明
列 の 和 の 公 式 の 指 導 時 に,
数 学 的 帰 納 法 を 導 入 す る こ とに した。
具 体 的 な手 順 は 次 の と お り で あ る。
(11実
際 に 計 算 を して直 感 的 に結 果 を 推 測 させ る。
(21結
果 は 推 測 で あ り,無
限 の 値 に 対 して 成 り立 っ て い る こ と を 確 か め るの は,不
可能 で あ
る こ と を 確 認 さ せ る。
(3)自
然 数nに
つ い て の 命 題 が,あ
る値 で 成 り 立 っ て い るの を 利 用 し て,次
一9一
の 値 の と き1ζも
成 り立 つ こ とを 示 す 。 す な わ ち,数
nニk+1の
学 的 帰 納 法 の 「n=kの
と き成 り立 つ な ら ば
と き に も成 り立 つ 」を 具 体 的 な 数 値 で 証 明 し,数
学 的 帰 納 法 の し くみ を 理
解 させ る。
(4)数
学 的 帰 納 法 が 形 式 的 に で き る よ う に す る。
(5)と
か く公 式 の 習 得 が 重 ん じ ら れ る 数 列 の 和 の 指 導 時 に,視
覚 に 訴 え る教 具(模
型)を
用
い て知 識 の定 着 を 図 る。
3.研
究 内容
(1)指 導 計 画
現 行 教 科 書 の数 列 に お け る 「数 学 的 帰 納 法 」の 配 置 を調 べ て み る と,次 の3種 類 が あ る。
① 等 差 数 列 → 等比 数 列 → い ろい ろ な数 列 → 漸 化 式 → 数 学 的 帰 納 法(6社)
② 等 差 数 列 → 等 比 数 列→ い ろい ろな 数 列→ 数 学 的 帰 納 法 → 漸 化式(3社)
③ 等 差 数 列 → 等 比数 列→ 数学 的 帰 納 法 → 漸 化 式(1社)
① お よ び② にお いて の 「数学 的 帰 納 法 」の 例 題 は,k2やk3の
和 や 部 分 分 数 に 分解 して
求 め た 分 数 の 和 を取 り扱 っ てい る。 従 っ て この 場 合 に は 「数学 的 帰 納 法 」が 等 式 の 証 明 方法
の 一つ と して,と らえ られ て し まいや す い。
一 番 多 い6社 の 配 列 を 次 の よ うに変 え て指 導 した
。
A社 の 「基礎 解 析 」の例
第3章
数 列16時
今 回の指導計画
間配 当
第3章
数 列15時
間配当
①
数 列 と その 項
1時 間
①
数 列 と その 項1時
間
②
等差数列
3時 間
②
等 差 数 列3時
間
③
等比数 列
3時 間
③
等 比 数 列3時
間
④
い ろ い ろ な 数列 の 和
3時 間
④
数 学 的 帰 納 法3時
間
⑤
数 列 の 一般 項 の 求 め 方
3時 間
⑤
い ろ い ろな数 列 の 和2時
間
⑥
数 学的帰納法
3時 間
⑥
数 列 の 一 般 項 の求 め 方3時
間
等差 数 列,等 比 数 列 の 指 導 の後 で,数 学 的 帰 納 法 の 指導 を す る。 まず,等 差 数 列 や等 比 数
列 で な い数 列(自 然 数 の3乗 の 和 と2乗 の和)の 第n項
まで の和 を具 体 的 に第5項
ぐ らい ま
で計 算 させ,そ の数 値 か ら第n項 の 式 を 生徒 自 身 に推 測 させ る。 しか し,そ の 具 体 的 な数 値
か ら予 想 し た式 は あ くまで 予 想 で あ る。 そ こ で,こ の予 想 が 正 しい こ とを 「数 学 的 帰 納 法 」
一10一
を 導 入 し,証
明 す る。
こ れ に よ っ て,高
校 数 学 で は あ ま り経 験 す る こ と の な い,「
具 体的 な い くつ か の数 値 か ら
一 般 的 な 法 則 を 考 え る 」 と い う数 学 の 発 展 に 欠 か せ な い 帰 納 的 推 論 を 体 験 させ
的 帰 納 法 の 必 然 性,重
ま た,こ
,同
時に数学
要 性 を 理 解 させ る
の 配 列 に よ って 多 くの 教 科 書 が 採 用 し て い る
恒 等 式(k十1)3-k3=3k2十3k十1
を 用 い た 自 然 数 の2乗
の 和 を,数
学 的 帰 納 法 と 同 時 に 指 導 で き る の で,指
導時間の短縮 に も
な る。
(21学
習 指 導 案 「数 学 的 帰 納 法 」(3時
1時 限 目 の 目標:既
間)
習 の 等 差 数 列 や 等 比 翻 列 で な い 数 列 の 例 と し て,自
n項
然 数 の3乗
の第
ま で の 和 を 生 徒 自 身 に 推 測 させ る。 そ の 推 測 し た 式 は 厳 密 に 真 と
は い え な い し,無 限 の 値 に 対 し て 証 明 で き れ ば よ い が,そ
い こ と を 理 解 さ せ る 。 そ こ で 数 値 で は な く,文
を 用 い る こ と に よ っ て,無
れが で きな
字(k)と(k十1)
限 回 の 証 明 を した こ と に な る 「 し く み 」を
理 解 させ る。
2時 限 目 の 目標:自
然 数 の2乗
の 和 を 推 測 さ せ,「
手 順 を 復 習 し,定
3時 限 目 の 目 標:練
間 の 授 業 の 中 で,式
然数 の 不 等 式 の 証 明 に も使 わ れ る こ とを 示 す 。
の 意 味 の 理 解 を 助 け,導
れ ぞ れ 視 覚 的 な 模 型 を 準 備 し た 。1時
限 目の 「 自然 数 の2乗
個 を 組 み 合 わ せ る と,直
然 数 の3乗
る と,直
の 和 」 に つ い て は,n=5ま
で の 立 体 模 型 を6個
方 体 に な る こ と を 示 し た 。 こ れ に よ っ て,分
で の 平 面 模 型 に よ っ て,奇
限 目 の 練 習 問 題 もn=5の
方 体 に な る こ とを 示 した。
一11一
で
の 和 が 平 方数 に な る こ とを 視 覚 的 に 示 し
の 和 」 に つ い て は,n;5ま
せ た 。 練 習 問 題 の 「奇 数 の 和 」 はn=5ま
こ と を 示 し た 。3時
き 出 し た 式 の 定 着 を 図 る た め に,そ
限 目 の 「 自 然 数 の3乗
の 工 作 用 紙 に よ る 平 面 模 型 に よ っ て,自
た 。2時
着 を は か る。
習 問 題 を させ る。 「数 学 的 帰 納 法 」の 証 明 方 法 は 等 式 の 証 明 ば か り
で は な く,自
こ の3時
数 学 的 帰 納 法 」の 証 明 方 法 と し て の
立 体 模 型 を3個
母 の6の
作 製 し,6
意味 をつか ま
数の和が平方数 に なる
作 製 し て,3個
を組 み 合 わ せ
学習 指導 案!1時
限)
学 習内容お よ
い ろ い ろ な 数 列 の 第n項
生
学習 活動
までめ和
[聞]Sn=13+23+3」+43+…+n3=匡
亟
{自 然 数 の3乗
コを 求 め て み よ う
実 際 に 計 算 し て 子 想 して み る
1=IZ
=9=
.32
=3b=6'
SZ=]3+23
S3-P+23+33
留意点
・等 差 で も 等 比 で も な い の で公 式 は
使 えない
・順 に計 算 し予 想 さ せ る
・あ る数 の2乗 に な るの は 早 く気 が
の 和)
St=13
の反応 お よ
つい た
=100=102
5,,=13+2'+3'+4」
Ss=P+23+33+r3+C3=225=152
1,3>6,10,15…
o
の 規 則 性 は?
2,3,4,5…
S、=P+23+33+93+・
Snの3乗
と増 え て い る
と 増 え て い る と い う答
もあっ た
)a
一+n3置(
・3乗 を と っ た と き の 数 値 に な っ て
を とっ て み ると
51=1
52=1+2
S3=1+2+3
54=1+2+3+4
・2,3,4,5…
=1
これ は既 習 の 初 項a=1,d=1の
-3
等 差 数 列 の和 に な っ て い る
いる
ニ6
=10
S5=1+2+3+4+5=15
2
よ っ て 、S。-1・+2・+3・+…+・
・あ くま で予 想 で あ る こ と を 強 調
・={n(菱+1)}2と
こ の 予 想 が 正 し い か ど うかn=6の
予想 され る
と き を確 認 す る(n=5ま
で を 利 用)
・両 辺 に6を 代 入 す る の で は な く
5ま で を利 用 し た式 変 形
33333+s3^(5xs}+s1・
ニ6イ(勢
量+6}
=6Zx49
4
=6zx/`z
(6x72警
躍 翫 縫 ㌘ 辺に
こ れ を 、 n=7,$,9,…
と無 限 に証 明 しな け れ ば な らな い が無 理 で あ る
文 字 を 用 い て そ れ が で き な い だ ろ う か(無 限 回 や っ た こ と にす る)
k番 目 ま で 成 り立 つ とす る と
1・+2・+33+…+k・={k(k2+1)}2ま
k+1番
目(次
の 数)の
一
・同 じ計 算 を無 限 に続 け な け れ ば 、
証 明 に な らな い
・文 字kを 使 っ てそ れ を 試 み る
では正 しい
と き を考 え る と
・kま で の 等 式 を利 用 した 式 変 形
」c+(k+1)・=lk{k+1)}+(k+1)・
a
・次 の 数 の と き が 示 さ れ た
・n=1の
k2+4k+4
=(4c+1}Zx4
_(k+D2(k+2)z
3乗
の 和(n=51
ユ3233'43
4
53
凡r人「{
こ れ は 右 辺 にn=k+1を
代入 したもの
よ っ て 、k+1番
目の と き も成 り立 つ
一]が
重要性 に気付 かせ る
冒1
示されたことによって
順 に数 値 を代入す る ことで
限 回証明 したことにな る
56 7
↓↓ ↓
456
■ →2kに
2→3無
3→4
nニ1の
と き が 、 出発 点 に な っ てい る
無_賠
薫驕
証明
・=k+1蟹
じ
施;としZ
7
成 りi蔽 ことを示す
■
1
これ を、 数 学 的 帰 納 法 と い う
一12一
(2時
限)
学 習内容お よび学習活動
[問]Sn!Z+22+32+92+…+n2=[亟
コを求 め て み よ う
{自 然 数 の2乗
実 際 に 計 算
生徒 の反応お よび留意点
し て 予 想
の 和1
し て み る
・差 を と っ て 、 そ の 差 が 平 方 数 に な
S,W12=1
っ て い と い う意 見 も あ っ た が 、 式
に す る こ と が で き な か っ た。
S2=la+22=・5
S,=12+22+32==14
S4=1Z+22+3z+42=30
Ss=1Z+22+32+4a+5255
'1
■
,5,14,30,55・
・の 規 則 性 は?
・こ の 規 則 性 は な か な か で て こ な い
Sn=12+2Z+3z+4z+…+nz=
前 間 の よ う に2乗
を とっ た場 合 の 数 値 と比 較 し て み る と
s,
1z+22+32+
1
1+2+3+
1
S3 Sd s5
5 14 30 55
3
6 10 15
1z+2z+32+・
1
1
3
3
5
3
5
3
i+z+3+
S2
同上
12十22十32十
…2n十1
1十2十3十
…3
よって
i4
s
7
3
30
10
9
3
璽
ら
,■
●
Un
●
o■o
・左 の表 をプ リン トで 用 意 し数 値 を
55
15
旦
3
入 れ させ る
2n+1
●
●
●
3
・い き な り、 分 数 に し て は あ る が 、
試行 錯誤の結果 であ る ことを脱明
2n十112+22+32
-← …=
x(1+2+3+…+n)3
2n+IXn(n+1)
12+22+32+…=
32
n(n+1}(2n+1}
la+22+32+ 嘲=6"曜'①
① を数 学 的 帰 納 法 で証明す る
{1)n=1の
・出 発 点 で あ るn=1を
とき
① の 左 辺 =IZ=1,①
・.・
左 辺=右
の 右 辺==ユix2x3
6
はnニ1の
と き成 り立 つ
{H}n=kの
辺,①
強調
2乗 の 和{n=5)
と き ① が 成 り立 つ と す る と
!2十2'十32十
n罵k+1の
・
+kZ-k(k+1)(Zk+1)6
と き
① の 左 辺 二12+22+3'+…+k2+(k+1)2
k(k+1){2k+1)+{k+1)Z
6
=(k+1){k(2k6+1)+k+}
↓
/≠/〆
・nニ5の
6
はn=k+1の
り ① は す べ て の 自 然 数nで
[練 習]1+3+5+・
・+(2n-1}ニ
〆
fi
_(k+1)(k+2)(2k+3)
(置)(H)よ
ノ/ノ/
〆/〆
5
① の 右 辺=(k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}
辺,①
ノ
{
s
∴ 左 辺=右
今!≠/ノ
/!!ノ!ノ!ノ
〆!/
//T7
6
(k+1)(k+2)(2k+3}
/
ニ,
二
〆/////ノ
6//.///f/ノ//〆
11
と き の 立 体 模 型 を6個
見せ
と き も成 り立 つ
て、組み合わ せる直方体 にな るこ
成 り立 っ
とを示す
を予想 し、その結果 を数学 的帰納 法
で証 明 せ よ
一13一
・す ぐに 予 想 で き た
(3時 限)
学 習 内容お よ び学習 活動
[練 習]1・2+2・3+3・4+…+n(n+1}=を
生徒 の 反応 お よ び留 意 点
予 想 し、 そ の 結 果 を 数 学 的
帰納 法で証明せ よ
S1か らS5ま で を 計 算 し表 に し 、 自 然 数 の 和 と比 較 し て み る と
S1 SZ S3 S4 Ss
S.
・nニ5の
と き の 立 体 模 型 を3個 組 み
合 わせ ると、 直方体 にな る
■o●
Z
1・Z+2.3+3.4+…
1+2+3+…
1.2+2.3+3.4+・
・一
1+Z+3+一
同上
よ っ て
8
3
20
6
i
S
3
zo
s
6
8
10
3
3
1
z
-
15
■
■
曹
,.o
70
-
15
YO
12
19
3
3
2n+4
曹
」.
3
…2n十4
1十2十3十
…3
2n+4
1・2十2・3一
70
10
ao
-
3
1.2十2.3十3.4十
40
ト3・4十
・・。==
=
3
x(1十2十3十
2n+4
32
…
十n)
n(n+1)x
n(n+1)(n+Z)0
3'
① を 数 学 的 帰 納 法 で 証 明 す る(略)
[練 習]a>0で
、nが2以
上 の 自然 数 の と き 、 不 等 式
〔1+a}罰>1+na
が 成 り立 つ こ と を証 明 せ よ0
4.分
析 と考 察
研 究 授 業 で は,等
差 数 列,等
比 数 列 は そ の ま ま 教 科 書 ど お り に 進 め,等
指 導 案 の 内 容 で 授 業 を 行 っ た 。1時
の2乗
の 和 は,意
見 は 出 る の だ が,そ
限 目 の3乗
比 数 列 の す ぐ後 に
の 和 は 何 と か 気 が 付 い て くれ た が,2時
れ を 式 で 表 わ す こ とが で き ず,時
限 目
間 だけ が た って し ま
っ た 。 ヒ ン トと し て 学 習 指 導 案 の 中 に あ る よ う な 表 の プ リ ノ トを 配 布 し た 。
2乗 の 和 を 推 測 す る の は,や
は り難 し い よ うで あ る。
教 科 書 ど お り に 数 列 の 最 後 に 数 学 的 帰 納 法 を 指 導 した ク ラ ス と,本
ス の 両 方 に,中
問
間 考 査 に お い て 下 記 の よ う な 同 一 の 問 題 を 出 題 し,定
次 の 数 列 の 和 が す で に 予 想 さ れ て い る も の と して,予
証明せ よ
123in十
十
1・22・33・4n(n+1)n+1
十
十=
一14一
研究 の指導 による ク ラ
着 の様 子 を み た 。
想 が 正 しい こ とを数 学 的 帰 納 法 で
そ の 結 果,配
列 が 教 科 書 通 り の ク ラ ス と 本 研 究 の 指 導 ク ラ ス と で は,後
正 解 率 が 高 か っ た 。 教 科 書 通 り の ク ラ ス は,数
授 業 の ク ラ ス で は,数
も,数
学 的 帰 納 法 を 中 間 考 査 の 直 前 に 学 習 し,研
究
学 的 帰 納 法 を 中 間 考 査 の か な り前 に 学 習 して い る と い う こ とを考 え て
学 的 帰 納 法 の定 着 率 が 艮 か った と い え る。
指 導 案 の2時
限 目 の 〔練 習 問 題 〕(奇
数 の 和)を
帰 納 法 の 指 導 の 後,Σ
解 い た 。 中 間 考 査 後 に 研 究 授 業 実 施 ク ラ ス に お い て,Σ
ケ ー トを と っ た 。 そ の 結 果,数
た 生 徒 が2倍
5.研
者 の ク ラスの 方が
計 算 の 指導 の際 に
計 算 と数 学的 帰 納 法 に つ い て の ア ン
学 的 帰 納 法 の 方 が Σ 計 算 よ り も,解
答 が 分 か りや す い と答 え
以 上 い た。
究 の 成 果 と今 後 の 課題
成 果 と して 以 下 の よ う な こ とが あ げ られ る。
(1)「
帰 納 的 な 考 え 方 を 育 て る こ と 」に つ い て は,有
る が,無
限 な値 に 対 し て は,計
限 の 値 に 対 して は 計 算 で 確 か め る こ と は 不 可 能 で あ り,証
と い う 意 識 が 生 ま れ た 。 導 入 部 分 に お い て,生
算 で 確 か め られ
明 し な けれ ば な らな い
徒 は い つ に な く反 応 が 良 か っ た 。 受 け 身 で
は な く 自 ら考 え な が ら学 習 す る の で 興 味 を も っ た も の と 思 わ れ る。
(21「
視 覚 的 に 訴 え る 教 具 の 利 用 」に つ い て は,生
徒 は 大 変 興 味 を 持 った よ うで あ る 。 面 白
か っ た と い う生 徒 が 多 か っ た 。 中 間 考 査 の 結 果 を み る と公 式 の 定 着 率 が 例 年 に 比 べ て 高 か
っ た 。 こ れ は,視
(3)「
覚 的 な教 具 を 生 徒 に 提 示 し た た め と 思 わ れ る。
主 体 的 に 意 欲 を も つ て 学 ぶ 態 度 を 養 う こ と 」に つ い て は,授
組 ん で い た 生 徒 が 普 段 よ り 多 か っ た 。 全 体 に"考
え て い る"と
発 言 し な い よ う な 生 徒 も積 極 的 に 発 言 し て い た 。 こ れ は,導
の で 誰 で も計 算 で き る し,自
け た,発
(4)「
い う雰 囲 気 が あ っ た 。 普 段
入 部 分 がn=5ま
で の計 算 な
分 で 推 測 す る 面 白 さ の た め だ と 思 わ れ る 。 自分 か ら公 式 を 導
見 で き た と い う達 成 感 や 満 足 感 も味 わ っ た よ うで あ る。
数 学 的 帰 納 法 の 定 着 」に つ い て は,進
の で,あ
業 に 対 して意 欲 的 に取 り
ま り比 較 対 象 で き な い が,中
ン ケ ー トの 中 で も,3分
の1近
度 の 関 係 で 研 究 授 業 が1校
で しか で きな か った
間考 査 で は例 年 に比 べ て よ くで きて い た。 前 述 の ア
くの 生 徒 が 「数 学 を 学 ん で い る 」 と 感 じて お り,強
く興 味
を 持 っ た こ と が わ か る。
今 後 の 課 題 と し て は,2時
た が,帰
限 目 の 「 自 然 数 の2乗
の 和 」の 指 導 時 に,ヒ
納 的 な 考 え 方 の も つ 発 見 的 要 素 を 認 識 さ せ る に は,自
ン トと し て 表 を 与 え
ら発 見 す るの が,一
形 で あ る 。 こ れ か ら も 発 見 し や す い 問 題 ・指 導 法 の 工 夫 を 考 え て い きた い 。
一15一
番望 ま しい
皿
1.は
パ ソ コ ン を 活 用 した 数 学Cの
指導
じめ に
「数 学C」
は,今
回 の 学 習 指 導 要 領 の 改 訂 で 新 し く設 け られ た 科 目 で あ り,そ
「応 用 数 理 の 観 点 か ら,コ
ン ピ ュ ー タを 活 用 し て,行
計 算 ま た は統 計 処 理 に つ い て 理 解 さ せ,知
察 しY処
ろ い ろ な 曲 線,数
識 の 習 得 と技 能 の 習 熟 を 図 り,事
値
象 を 数 理 的 に考
理 す る 能 力 を 伸 ば す 。 」 と 示 さ れ て い る。
コ ン ピ ュ ー タ を 活 用 す る と は,具
数 値 計 算 を 行 っ た り,グ
そ こで,実
次 の2つ
体 的 に は,各
学 校 に 導 入 され て い る パ ソ コ ン を 用 い て,
ラ フ を 描 い た り す る こ とで あ る と と ら え て い る 。
験 的 な 作 業 を積 極 的 に 実 行 す る こ とに よ 吻
数 学 の 理 解 を 図 る と い う 観 点 か ら,
の 項 目に つ い て 研 究 す る こ と に した 。
A.相
関 係 数(統
B.極
座 標 と極 方 程 式(い
2.研
列 と 線 形 計 算,い
の 目標 は
計 資 料 の 整 理)
ろ い ろ な 曲 線)
究 ・実 践 例
A.相
関 係数 の 指 導
〔1〕 研 究 のね ら い
記 述 統 計 の 学 習 で は,コ
ン ピ ュ ー タを 利 用 す る価 値 は大 き い 。 電 卓 と は 違 い,デ
力 ミス は 検 索 しや す く,1度
に 多 くの 自 動 演 算 が 可 能 で あ り,計
グ ラ フ ィ ッ ク機 能 を 利 用 す る こ と に よ り,集
本 研 究 は,こ
量 の 間 に あ る 関 係 を 数 量 化 ・図 式
の 能 力 を 養 い 伸 ば す こ とを ね ら い と し た 。
fit)実 験 ・観 察 ・調 査 な ど か ら得 た 情 報 や 資 料 の 整 理 を,コ
(21集
算 は 瞬 時 に 終 わ る 。 ま た,
団 の 持 つ 特 徴 を 視 覚 化 す る こ とが で き る 。
の コ ン ピ ュ ー タ の 利 点 を 生 か し つ つ,2変
化 す ζ学 習 を 通 して ・ 次 の3つ
ー タの 入
ン ピ ュ ー タを 利 用 し て 行 え る 。
団 の 数 量 的 特 徴 を 知 る た め の 適 切 な 処 理 と 表 現 法 お よ び的 確 な 分 析 と 判 断 を す る こ
とが で き る。
{3}統
計 的 処 理 を し た デ ー タ か ら,客
観 的 ・合 理 的 な情 報 を 引 き 出 し,あ
る 対 象 に 対 して
何 ら か の 推 理 ・予 測 が で き る 。
ま た,理
論 的 な 側 面 は,実
に 重 点 を 置 き,あ
験 的 方 法(シ
ミ ュ レ ー シ ョ ン を 繰 り 返 し 行 う)で
ま り深 入 り し ない よ う留 意 した。
一ls一
説明す ること
〔2〕研 究 内 容 。方 法
{1)実
験 ・実 習 の 作 業 を 簡 略 化 す る た め に,表
{21身
近 な10組
の 整 数 値 デ ー タ(身
計 算 ソ フ トの 有 効 性 を 積 極 的 に 活 用 す る。
長 と 体 重 の 関 係)を
用 意 し,相
関 図 を 描 き デ ー タの
標 準 化 さ れ た デ ー タ の 共 分 散 」 と し て 定 義 し,そ
れを算出す るための
持 つ特 徴 を つ か ませ る。
(3)相
関 係 数 は,「
処 理 手1贋 を 学 習 す る 。
(4)相
関 係 数 の 持 つ 意 味 を よ り深 く理 解 させ る た め に,相
れ る 市 販 の シ ミ ュ レ ー シ ・ ン ソ フ トを 活 用 し,操
と で,生
(5)変
ら変 数yを
立 ち,自
予 測 す る 直 線 を 考 え さ せ,統
計 処 理 の 良 さ が 実 生 活 ・実 社 会 に 役
らが 応 用 し て い く能 力 を 高 め さ せ る。 こ こ で は,回
ず,rxとyの
(6)生
作 ・実 験 ・観 察 を 繰 り返 し試 行 す る こ
徒 自 らが そ の 性 質 ・法 則 を 発 見 で き る よ う 指 導 す る。
数xか
示 し,活
関 図 と相 関 係 数 が 瞬 時 に 表 示 さ
帰 係 数 の 理 論 に は 深 入 りせ
関 係 を 最 も 良 く表 現 し て い る 直 線 」の 描 き方 と し て 回 帰 直 線 の 公 式 を 提
用 で き る よ うにす る。
徒 自 らが 輿 味 ・関 心 を 持 つ 『 身 近 に あ る 生 の 資 料 』 を 収 集 さ せ,課
題 研 究 と して
「相 関 係 数 」 と 「予 測 す る 直 線 」に つ い て レ ポ ー トを 作 成 さ せ る。 ま た,研
察 を 発 表 さ せ,分
究 内 容 と考
析 ・判 断 等 に つ い て 考 え て い く。
〔5〕 学 習 指 導 案
1,指
2.指
導単元
導 目標
相関 係数
相 関係数 の持 っ意味 を理解 す る
指 導上 の留意 点
指導 内容
導
入
10
分
(1)相
関 図を描 くこと
2変 数xとyの
デ ータの間 に
関 係 が あ る か ど う か を,視 覚 的
【1時 間 目 】
帯 状 デ ー タ の 相 関 図 が得 られ るの で,2変
数xとyの
間 に直線 的
な関 係 が あ る こ と を 観 察 させ る 。
「xとyの
間 には相 関が ある 」と いう。
に と らえ さ せ る た め に相 関 図 を
描 か せ る。
展
開
40
分
(2)相
共 分 散 」%Yが2つ
関 係 数 を求 め る こ と
標 準 化 さ れ た デ ー タ か ら相 関
Sxv
r篇
相 関 係 数 の 計 算 の た め に,x
差 平 方,偏
差積
の 平 方 を表 計 算 ソ フ トを利 用 し
差 の 積(X,-X)(y.-y)の
値 の正 負 を考 えるが
の 領 域 に 分 け た 図 と 偏 差 積 の 計 算 表 とで,丁
寧 な説
表 計 算 ソ フ トの 関 数SUM(合
計),融VO(平
均)を 利 用 し て 求 め さ せ
る 。 た だ し,標 準 偏 差 の 関 数 は 使 用 しな い0
相 関 係 数 は,2っ
の 変 量xとyの
間 の 直 線 的 な 関 連 性 の 「方 向 と
強 さ 」 を 数 量 的 に 表 して い る 。
て 求 め させ る 。
正 の 相 関,負
面 を4っ
明 に よって指 導す る。
5x5y
とyの 偏 差,偏
さ せ る 。 こ の 時,偏
xy平
係 数 の 公 式 を 導 く。
の変数 の直 線的 な関係 の強 さを表す ことを理 解
の 相 関,相
関が
共 分 散 の 和 の 平 均 か ら,実 用 的 な 相 関 係 数 の 公 式 を導 く。
な い,-1≦r≦1
一17一
指導 内容
指 導 上の 留意 点
シミュレーションの 実 行 前 に,そ
(3)相
関 係 数 の シ ミュ レー シ ョ ン
コ ン ピ ュ ー タ に よ る シミュレーションに
よ っ てr相
の 意 味 と 目 的 に つ いて よ く指 導 し て お く
す べ て の 点 が 一 直 綜 上 に あ る と き の み,r=-11に
関図 にお け る点の散
を実 験 的 に 感 じ と ら せ る 。-1≦r≦1の
ら ば り 具 合 と相 関 係 数 の お お よ
そ の 値 の 目 安 を,数
【2時 問 目 】
な るこ と
証 明 は い らな い 。
相 関 係 数 の 値 か ら相 関 の 程 度 を説 明 す る の は い が い に 難 し い0例
学 実験 的 に
え ば,相
理 解 させ る。
関 係 数0.7の
関 係 の 方 が 相 関 係 数0.fiの 関 係 よ り も,2変
数
間 の 関 係 が よ り強 い と い う よ う に相 対 的 に と ら え さ せ る 。 ま た,相
関 図 に お い て,「
直 線 状 の 帯 」 の 傾 き と,相
関係 数 の大 き さは無 関
係 で ある こ とを理 解 させ る。
練 習問題
テ キ ス トの[練
習1](Dを
や る よ う指 示 す る 。(2)は
時間 の あ る
と き に 練 習 し て お く よ う 伝 え るO
(5)課
題 研究
生 徒 が 興 味 ・関 心 を 持 っ て い る事 象 に つ い て 「生 の デ ー タ 」 を 収
生 徒 自 身 に 用 意 さ せ た2変 数x
とyの デ ー タ に つ い て 相 関 係 数
集 さ せ 相 関 係 数 を 求 め さ せ る 。 実 習 は 次 回 行 う。
求め させ る 。
(s)相
関係 数 の解 釈 につ いて
曲線的 な 関係,相 関関 係 は因
果 関係 では な い。
(因果連 鎖,疑 似相 関)
具 体例 を示 す 。
相 関係 数の 解釈 につ いて は,い ろい ろ と誤 解す る場台 も多 いの で
具体 的 な例 を あげ て指 導す る。
・変数x ,yの 曲線 的な 関係 は,相 関 係数 では表 現 で きな い。
・2っ の 変数 の相 関 関係 は必 ず しも2つ の変 数の 因果 関係 を示 す
もの で はな い 。
く表1>は,あ
る10人 の 生 徒 の 身 長 と体 重 を測 定 した 結 果 で す 。
変数＼生 徒
B
A
長(cm)
x体
重(kg)
149 147
y身
48
47
C
D
146 154
45
E
F
153 145
53
54
H
〔
…
46
1
一
J
151
52
55
匹
1
I
匿
1 ,
I
■ 1
i I
・
l l l
﹁ 1
I I
■
l l
■ 1
A
149
48
B
147
47
C
146
45
D
Ia4
53
E
153
54
F
145
G
151149
3.32
50(kg)
3.22
46
L
﹁
46485⑰525456体
■ 1
r 髄
﹂ 0 1
- ﹂ 口 ﹁ I
[ 1 1
5 1 幽
ー レ ー
l l I
国 = I i
` 幽 圃
囑 七 ■ 1 ■
} 幽 1
I I l l
圃1
﹂ 印
仁1
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﹂
l l
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14fi
O 騒 1 帥
l
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﹂
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闇
O ー
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i5a
ll
I l l l
15Z
﹂
,
l - 1 ■ i
I
154
長と体重 の相関 図
レ
ins
R体 重
標 準偏差
x体 重 身 長の標準化 体重の標準 化 標 靴 され た1
fkg) され たデ ータ され たデータ デ ー タ の 積
Y身 長
(c厄)
[実習1〕
相関図 を描 こう
く
図1>に 身長 と体重 の関係 を示す相関 図を描 いてみ よう。
<図1>身
『
一
均
150(c囲)
〈表2>
151 149 151 155
49
y
S
長 と体 重 の デ ー タ
平
r身 長
S
<表1>身
,
[
この デ ー タか ら相 関 図 を 求 め よ う 。
舗
轡
⋮
際
デー タの標 準化
相 関関係
1
1149i51
H
1
15f
5a
J
155
55
1
重(kg)
合計
翻
相関係数
ぐ一 平均
相 関 係 数 の 公 式 を導 こ う 。
n個 の,xの
こ の よ う に,x,yの
標 準 化 され た デ ー タ とyの 標 準 化 さ れ た デ ー タ の
標 準 化 され た デ ー タ の 積 の 和 を 平 均 した
値 を 相 関 係 数 と呼 び ま す 。
積 の平 均 を 考 え る 。
-■腸
鵬 式1
一
」■剛■層剛一
相 関係数r
÷ Σ 〔X;-XSx)(y量y)・
r=
L_
一18一
"一
劇 ■幽彫響'」匿ノ
ー「層曜'
]
」一
曜
」
一
昭
「表 示画 面 の説 明 」
予測する直線{回 帰直線)
Y切 片:予
X係 数:予 測 す る 直線 の傾 き→aの
r響 穫
雪繭「
_よ 墨 塑」
公 式2は,展
開 して整 理 す れ ばyニax+bの
R2乗:相
れ ぞれa
回 帰 分 析 で ゲ ー ム を しよ う
匠一
変数
1
2
3
4
5
照
フ ア イル か ら 「G甜E.NJ2」 を呼 ぴ 出 して くだ い0こ の デ ー タ
販
6
ワ
「
売 高 を 示 した もの で す 。販 売 高 は い ろ いろ な条 件 に依 存 しま す 。
8
9
画 面 に示 され た デ ー タを 使 っ て 販売 高 を予 測 す る の に最 も適 し
0
-1
12
13
14
Z5
1■
凸
た 式 を 作 りた い 。
予測 式 は,4つ
の変 数 か ら2っ を適 当 に選 ん でy=a。+alx,+a2x2
と 考 え て 下 さ い 。予 測 の 精 度 は,R2乗(決
定 係 数)の 値 が1
に近 くな るほ ど高 くな り ます 。 チ ャ レ ンジ は3回
闇臨z一
閉一惣 掴一一隅_一
数)xx+醐
片i
i
鰍■開酬_朋 一凋麟属 一剛蜀剛一 眉応
<3>
,bの 値 に対応 しま す 。
は 小 田 急 線 の 沿 線 に チ ェ ー ン店 を持 つ あ る ス ー パ ーの18の
れ を決 定 係 数 と いう)
Y=(X係
一閥■開 國 酬 昂 」w一悶 膨働 禰階
形で表すこと
く表3>参
関 係 数 の2乗(こ
値
値
公 式3
が で き ます 。 『回帰 分析 の 結 果 』 に表 示 され て い る 「X係 数 」
「Y切 片 」は,そ
回 帰 分析 の 結 果:
測 す る 直線 とy軸 との 交 点 →bの
。 あな たは ど
3r
xl
XZ
x3
X4
縫療
霞売高 乗降客数 周辺人口 取扱品 目 駐車台数
島畠ケ丘
129
2U2
224
iso
i6$
165
215
Z72
204
131
259
242
252
161
169
下北沢
藤沢
経堂
代 々木上原
小 田原
醗
成城学園前
大和
本厚木
大秦野
相模大野
142
18fi
224
174
2Q2
145
177
245
179
82
ziz
254
249
118
164
13.5
16.7
20.3
17.2
22.0
12.3
18.6
22.5
17.3
9.8
24.5
23.8
2z.s
19.2
17.4
1Q1
isa
158
lUfi
85
103
192
290
172
162
285
172
224
146
152
120
152
160
145
140
150
180
i5a
124
8U
144
iio
120
140
160i
れ だ け1に 近 づ け る で し ょ うか 。 さ あ,始 め ま しょ う!
〔4〕課 題 研 究 の 内容 と生 徒 の 感 想
{1> 生 徒 が 実 際 にデ ー タ解 析 を行 った 研 究 内 容 は 次 の よ うな も ので あ る。
①
乗 用 車 の 販売 台 数 の 伸 び率 の 予 測 と その 要 因
②
勤 労者 一 世 帯 当 りの可 処 分所 得 と家 計 収 支 の分 析
③
都 道 府 県 別 の病 院概 況 お よ び医 師 数 の 回 帰 分析
④
化 学 工 業 工 程 の収 率 と製 造 要 因 の デ ー タ分 析
⑤
プ ロ野 球 選手 の年 俸 の 予測 と その 選 手 の野 球 成 績
⑥
あ る組 の 男 子 の ロー レ ル指 数 と体 格 の統 計 解 析
⑦
世 界 各 国 の軍 事 力 状 況 と防衛 費の デ ー タ解 析
②
コ ン ピ ュ ー タ統 計 処 理 に 対 す る 生 徒 の 感 想 は,次
の よ うな も の で あ る 。
①
統 計 コ ン ピ ュ ー タ で は,目
る の で,今
②
見
関 係 な さ そ う な もの ど う し
互 い に 深 く関 係 し あ っ て い る こ と が 理 解 で き た 。
教 室 で の 数 学 授 業 よ り も,コ
い 。 コ ン ピ ュ ー タ数 学 は,勉
④
ー タを通 して 知 る こ とが で き
ま で の 数 学 授 業 よ り も楽 し い 。 作 業 を す る の で 飽 き な い 。
い ろ い ろ な 変 数 の デ ー タ を 関 連 さ せ て 見 る こ と で,一
一で も ,お
③
分 の 生 活 や 身 近 な こ と を,デ
ン ピ ュ ー タ に よ る数 学 授 業 の 方 が 分 か り や す い し,楽
し
強 の や り が い が あ る と 思 う。
授 業 が 進 む に つ れ て だ ん だ ん 便 利 な もの だ と分 か っ て きた 。 統 計 処 理 は,こ
会 の い ろ い ろ な 所 で 役 に 立 っ て い く と 思 う。
_19_
れ か ら社
〔5〕 ま と め と 今 後 の 課 題
ほ とん どの 生 徒 は,黒
る,楽
板 で の 統 計 授 業 よ り も コ ン ピ ュ ー タ で の 統 計 授 業 の 方 が 「 よ くわ か
し い 」 と 肯 定 的 で あ り,統
計 処 理 の 中 の 相 関 分 析 と 回 帰 分 析 の 実 用 性 を 十 分 に 認 識 し。
「役 に 立 つ 」 と感 じ て い る。 ま た,生
で や れ る 」 と,成
徒 そ れ ぞ れ の 能 力 に 応 じ て,「
主 体 的 に,マ
イペース
就 感 を 持 っ た よ う で あ る 。 「か た い 」関 数 関 係 で は な い 「や わ ら か な 」回
帰 関 係 の 数 式 化 に 驚 き と 興 味 を 持 っ た 生 徒 もい た 。
ま た,1変
数 で は な い,現
実 的 な 多 変 数 関 数 を 扱 う意 義 も 大 き い 。 生 徒 か ら は,1年
え る テ キ ス トが 欲 し い と い う声 が あ っ た 。 数 学Cの
統 計 処 理 は,文
科 系 志 望 の 生 徒,数
間使
い の 多 様 化 し た 生 徒 に 最 適 な 「 使 え る数 楽 」で あ る と 考 え る 。 教 科 書 的 で は な い,社
学嫌
会 人に
も気 楽 に 使 え る よ う な 高 校 生 用 の 「 デ ー タ解 析 テ キ ス ト 」を 作 っ て み た い 。
B.極
座 標 と極 方 程 式 の 指 導
〔1〕 研 究 の ね ら い
数 学 教 育 へ の コ ン ピ ュ ー タ の 活 用 は,他
具 体 的 に は,演
の 教 科 に 比 べ,導
入 しや す い 側 面 を 持 っ て い る。
算 の 高 速 度 を 利 用 し た 数 値 解 析 へ の 利 用,グ
ラ フ ィ ツ ク機 能 を 利 用 し た 数 学
的 概 念 や 図 形 の 視 覚 的 イ メ ー ジ の 理 解 と 定 着 へ の 利 用 が,2大
今 回,研
究 題 材 と し て 取 り 上 げ た 数 学C「
い ろ い ろ な 曲 線 」は,上
後 者 の 立 場 で の コ ン ピ ュ ー タ利 用 に よ っ て,よ
本 研 究 で は,「
い ろ い ろ な 曲 線 」 の 内,「
こ とを 目 的 と す るCAIソ
フ トを 開 発 し,さ
利 点 と考 え ら れ る 。
記 し た2大
り大 き な 教 育 的 効 果 の 期 待 で き る 分 野 で あ る。
極 方 程 式 で 表 され る 曲 線 」を 生 徒 に 体 験 さ せ る
ら に,そ
の 利 用 方 法 お よ び 学 習 効 果 を 研 究 ・考
察 す る こ とを ね ら い と し た 。
〔2〕 研 究 内 容 ・方 法
(1)「
極 方 程 式 で 表 され た 曲 線 」を 体 験 さ せ るCAIソ
な お,授
業 で 取 り上 げ る 曲 線 は 以 下 の もの と し た 。
①
ア ル キ メデ ス螺 線
r・=aθ
②
対 数 螺 線(等 角 螺線)
r=aB
③
レム ニ スケ イ ト(連 珠 形)
r2=a2cos2θ
④
カ ー ジオ イ ド(心 臓 形)
r=all+cose)
⑤
正 葉線
r=acos2θ
一一20一
利 点 の 内,
フ トを 作 成 す る 。
(作 成 上 の 留 意 点)
①
描 画 速 度 を変 更 で き る よ うに す る。
②
描 画範 囲を 変 更 で き る よ うにす る。(座 標 軸 の移 軌
③
曲線 を 重 ね 描 き で き る よ う に す る 。
④
描 画 色 を変 更 で き るよ うにす る。
⑤
描 画 を 一 時 的 に 中断 で き る よ うにす る。
(2)上
記 の 点 に 留 意 し た 自 作CAIソ
(3)目
作CAIソ
(4)授
業 に つ い て の 生 徒 へ の ア ン ケ ー トを 実 施 し,結
描 画 ウ ィ ン ドウの 変 更)
フ トを 実 際 に 実 行 さ せ,不
フ トを 利 用 し た 指 導 計 画 を 作 成 し,授
備 な点 を 修 正 ・補 強 して い く。
業 実 践 を 行 う。
果 に つい て考 察 す る。
〔5〕授 業 展 開(学 習指 導 案)
L教
n,単
材名
「極 座 標 で 表 され た い ろ い ろ な関 数 」
元 の 指 導 目標
新 学 習 指 導要 領 にお け る 「数 学C」 の単 元 と して 、現 行 の カ リキ ニ ラ ム に は な い 「
極 座 標 」 「極 方 程 式 」 を 紹 介 し、 直 行 座 撰系
で は表 せ な い 曲線 が 極 座 標 系 で は 表 す こ とが で き る こ とを 実 習 を 通 して 理 解 させ る。
皿.指 導計画
① 極座標
② パ ソ コン教 室およびパ ソコンの使 い方
③ 極方程式で表 された曲線(ア ルキ メデスの螺線)⇒ 本時
④ 極方程式で表 された曲線(い ろい ろな曲線)
V.本
時の展開
学
導
入
IV.本 時 の 指 導 目標
O配 付 済 の グ ラ フ用 紙 にrr冨
θ」 の 点 を プ ロ ッ トさせ る。
O曲 線 上 の点 が 意 味 す る こ と を 理 解 させ る 。
0自 分 で 考 え て 、 実 習 が 行 わ れ る よ うに 配 慮 す るO
習
内 容
生 徒
の
作
業
前 時 に 配 付 した プ リ ン トを確 認 す る0
前 時 に 指導 した と お り正 し く
フ ロ ッ ピ ーを 配 付 し、パ ソ コ ンの 電 源 を 取 り扱 う。
入れ る。
定 規 が な くて も、 グ ラ フ用 紙
グ ラ フ用 祇 に 手 順 に 従 って 点 を プ ロ ッ ト で 概 形 はか け る こ と を確 認 す
させ る。(ア ル キ メデ スの 螺 線)
る。
指
導
上
PC-NETで
の
留
意
点
時間
確 認 す る0
1Q
書 画 カ メ ラ を 利 用 す る。15の
時 を 説 明 し、
さ らに30の
時 を説 明 す る。(机 間 巡 視)
分
7
分
展
開
例示用 の画面を見 る。
プ ロ ッ トした グ ラ フ とパ ソコ
ン画 面 との 比 較 を す る。
を 起動 し、 途 中 で 停 止 さ せ 、 曲
線rPCURVE21」
上
の 点 に つ い て説 明 す る。
展
開
グ ラ フ用 紙 に カ ー ジオ イ ドを プ ロ ッ トさ
せ る。
アル キメデスの螺線の時 と同
様の作業をす る0
状 況 に合 わ せ て描 画 速 度 を 変 化 さ せ る 。
発
展
マ ニ ュ ア ル に 従 って 、 コ ン ピ ュ ー タ実 習
を 進 め る。
は 、 説 明 に 従 って 実 習 す る。
士
6
め⊂
L
次 回 は、 様 々 な 曲線 を 描 き記 録 す る こ と
を 予 告 す るO
rrこ
θ」 の 描 き方 につ い て
rPCURVE21」
を モニ タ ー で 描 く。 生 徒 の 進 行
は じめ は 、順 次説 明 し、 あ とは 自 由 に 描 画 さ
せ る。
8
分
20
分
5
分
.・
﹁
・
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・
一
一
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駒
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、
、
[〉
§
[1]極
極
方
程
式
で
表
さ
れ
る
曲
線
座標
平面上 の点 を表す方 法 につ いて考 えて みよ う。 今 まで は 、平面 上の点 は く図1>の
<図2>の
よ うに直交 座標 を用 いて表 して きたが 、見方 を変 える と 、
ように 、 「x軸 の正 の向 きとのなす 角」 と 「原点 か らの距離1に よ って 、平面 上の点 を表す こと もで き る。
・れを,+r.L標
とい う・ したが ・て ・ ・のD標
で 表す と ・・図1>の
y淋
而
点
再)・
・A<・
・n3>と
鉛
れる・
y滑
「一
A(1,
一 冒 「 一
商
》百)
a
x
1
<図1>
回
①
Y昂
1
こ こでは 「なす角 」が弧 度法 で
表 され てい る ことに注意す るこ と
●
0
1
X
<図2>
y福
③ ・。2
一 一 一 冨 一
1
.■,幽置1
瓶;
〆
の:
※
〉
晋
②
P
■智
A〈2,晋
r「--.冒
2
⇒
り
、
..ご
、
丑x
唖
晋1
2・.
0
1
2鳳
-2}㌔R
π
鉢 噛巳
・ 噛
り
b
、}
ax
X
・<海,n・Q・
〔問1〕
・(1・
・、 ÷
・>R〈2・
厄
・-1〉
直交 座標 で表 された点 を極座 標で表 せ 。
①A(∬,1)②B(z,0)③C{一,%3,-V万)
[2ヨ
極 方程式
直交座 標で は 、xとyと
の関係式 によ って 、いろいろ な曲線 を表 す ことがで きたが 、極 座標 で もrと
θ との関係 式に よ って 、いろ
い ろな曲線 を表す こ とが で きる 。これを 曲線 の極方 程式 とい う。
◎r=θ
で表 され る曲 線 を描 い てみよ う。
<手 順1>次
の表 を完成 しな さい 。
(但 し、rは 小数 第3位 を四捨 五入 せ よ)
B(deg)
o°
450
aa°
60°
〈 手順2>
配 られた数表 を用 いて 、次 の表 を完成 しな さい 。
8(deg)
90°
B(rad)
OD
15°
r
●
●
405°
r
<手 順3>配
・5の
点Aく
・ ・ 。3・
の臨
y
課
-
・-1・
2
Y.Y
η
0
く手順4>図
60°
1
[
60。
420
a
435°
一
ら れ た グ ラ フ用 紙 に 表 の点 を と りな さ い 。
(例)1!・.・
〈考察 〉
畳
ヨo。
B(rad)
●
づ2
x
の方向 を定 めるb定
}OL2
x
規 で1.05を
とる
⇒
点を図示する
示 された点 をな め らか な曲緑 で結 びな さい 。
さらに 、角度 を大 き くして い くと 、曲線 は ど うtoるのだ ろ うか?
この実 習で描 いた曲線r;θ
〔
問2〕r=4(1+cosθ
考察 しな さい 。
は 「アルキ メデ スの螺 線」 と呼 ば れて いる 。(た だ し 、一般 形 はr-a9で
あ る。)
〉 で表 され る曲線(カ ー ジオ イ ド1心 臓形)を 実 習の要 領で 、描 きな さい 。
_22
コ ン ピ ュ ー タ演 習
r1極方 程 式 で 表 され た 曲線(生
徒 実 習 用)」
○
コ ン ピュ ー タを 使 っ て 、 極 方 程 式 で 表 さ れ るい ろ い ろな 曲 線 を 描 い て み よ う。 昌
0
使用説明 書に従 って、実習を進め なさい。
1
ー
ま ず 、 ア ル キ メ デ ス の 螺 旋(r=θ)を
く
り臼
︹
で あ る。 このaの
りQ
ー
同 様 に 、 カ ー ジ オ イ ド(r=aq+CQSθ))に
値 を い ろ い ろ と 変 化 させ て み よ う。
っ い て も、 い ろ い ろ と試 して み よ う。
4
︻
そ の 他 の 曲 線 につ い て も、 ど う な る か 確 か め て み よ う。
コ ン ピ ュ ー タ を 利 用 した 授 業 に 関 す る ア ン ケ ー
∼
A高
項
1,以
も う一 度 描 いて み よ う0
ア ル キ メ デ スの 螺 旋 の 一 般 形 は 、r=aθ
目
∼_一
校
人数
B高
%
校
人数
%
fi5
57.0%
88
63.1%
② ない
49
43.0%
了6
4・8,9%
① 全 く問 題 な く う ま く い っ た
11
9.6
27
16.7%
② ま あ ま あ うま く い っ た
86
75.4
③ う ま くい か な か った
17
15.0%
① 教 室 で の 授 業 で は理 解 で き な い 所 が あ
る が 、 コ ン ピ ュ ー タ を使 った 授 業 で は
ほ と ん ど 理 解 で きた
10
① ある
前 に 、 コ ン ピニ ー タの 操 作 を した こ
ト
一 「}『
とが あ り ます か0
2.コ
ン ピ ュ ー タの 操 作 は う ま くい きま し
た か?
3.コ
ン ピ ュ ー タで の 授 業 と教 室 で の 授 業
で は 、 ど ち らが 理 解 しや す い で す か?
一
4.コ
ン ピ ュ ー タを 利 用 した学 習 で 特 に 印
象 に 残 っ た こ と は何 で す か?
一一
■}一
122
75.3%
13
8.9%
8.0%
23
14.23'0
② 教 室 で の 授 業 よ り は コ ン ピ ュー タを 使
っ た 授 業 の ほ うが 理 解 で きた
54
47.4
72
44.5%
③ どち らの授業 も変わ らない
32
i`L'L8.1
28.1
41
25.6%
④ 教室での授業の ほ うが理 解 しやす い
1815.7%
25
15.5%
① 画 面 が カ ラ フ ル で 、理 解 しや す か っ た
22匝
40
29.7%
② 簡 単 な 操 作 で 、 グ ラ フが 描 け た
37i32.5%
84
51,996
52
51
31.5%
黙
1
一
③ 性 格 な グ ラ フ が 描 か れ 、 特 徴 が よ く分
か った
%
i
13111.Q%
④ キ ーの 操 作 が 面 倒 く さ い
占
一.」
れ か ら も コ ン ピュ ー・タを 使 用 した学
習 を した い で す か?
7'16.1
6.(a)今
回 コ ン ピ ュ ー タを 使 用 して 極
座 標 を 学 習 し た こ とで 、極 座 標 が ど う
い う もの か 分 か りま し たか?
7.(b)実
十
gi7.9%
9D78.9%
① はい
一
8
一
② い いえ
14
8.6%
132
81.5%
5
③ ど ち らと もい え な い
1
15113.2%
25
① 大 変 よ く分 か った
1513.2%
15
■.-.一
3.1%
15.4
9.2
「}
② だ い た い 分 か った
76
66.7
③ よ く分 か らな か っ た
23
2a.ti
際 に極 方 程 式 で あ らわ され た 曲 線 を コ ン ピ ュー タで 描 い て み て ど う思 い ま した か?
手 で プ ロ ッ トす る と き に 比 べ 、 曲 線 が きれ い で 正 確 だ っ た の で 、 分 か り や す か った0
ち ょ っ と 数 字 を 変 え る だ け で グ ラ フが 変 わ って い くの が お も しろ か っ た。
遊 び の よ うで よ か っ た 。 数 学 に 対 す る認 識 が 少 し変 わ っ た 気 が す る。
手 書 き よ り、 グ ラ フ の 印 象 を 強 くも て た 。
とて も 分 か りや す く、 複 雑 な方 程 式 もす らす ら と解 く コ ン ピ ュー タ に驚 い た 。
この ま ま ず っ と パ ソ コ ンの 授 業 を 続 け た い 。
操 作 に慣 れ 、 コ ン ピ ュー タが 分 か っ て くる とお も しろ いc
・操 作 に夢 中 で 、 何 を や って い るの か 分 か らな か っ た。
・手 で 描 か な く て も い い の で 楽 だ っ た 。 で も、 頭 に は入 っ て い な い 気 が す る 。
・正 確 に は 描 け る け れ ど 、 そ れ だ け で は っ ま らな い。
・ もっ と 事 前 の 学 習 を して お き たか っ た 。
・目が 疲 れ た 。
・お も しろ か っ た 。
一23
4.9%
一
⑤特に ない
5.こ
45.6
114
33
70.4
20.4
〔4〕授 業 実 践 の 考 察
都 立 高 校 へ の コ ン ピ ュ ー タ導 入 が 始 ま っ て か ら数 年 が 経 過 した こ と,家
普 及 な ど,生
徒 が パ ソ コ ン に 接 す る機 会 は 増 え て い る。 今 回,授
庭 へ の パ ソ コ ンの
業 実 践 を 行 っ た2校
と も に,
半 数 以 上 の 生 徒 が 以 前 に コ ン ピ ュ ー タ を 操 作 し た 経 験 を 持 っ て い た 。 し か し な が ら,全
が パ ソ コ ン を 操 作 で き る こ と が 授 業 の 前 提 と な る と考 え,指
教 室 お よ び パ ソ コ ンの 使 い 方 」を1時
生徒
導 計 画 に も あ る通 り 「 パ ソ コ ン
間 指 導 し た 。 そ の 結 果,パ
ソ コ ンを 用 い た 授 業 が あ る
程 度 生徒 に 受 け 入 れ ら れ た。
次 に,自
作 ソ フ トに よ る 指 導 に 移 っ た。 導 入 と し て,極
プ ロ ッ トして,ア
ル キ メ デ ス 螺 線(r=・
θ)と
座 標 用 グ ラ フ 用 紙 に,実
カ ー ジ オ イ ド(r=4(1十cosθ))を
み る こ と に した 。 曲 線 を 手 作 業 で 描 く と い う 作 業 は,内
が,今
回 は,そ
際 に点を
描 いて
容 理 解 に は 重 要 な位 置 を 占め て い る
の 後 の パ ソ コ ン に よ る 曲 線 描 画 の 正 確 さ ・美 し さ ・速 さ ・容 易 さ と い っ た パ
ソ コ ンの 特 長 を 強 く印 象 づ け る導 入 と な っ た 。
パ ソ コ ンを 用 い て い ろ い ろ な 曲 線 を 描 く作 業 を 通 し て,「
お も し ろ か っ た 」,「
う も の の 認 識 が 少 し変 わ っ た よ うな 気 が し ま す 」,「 手 書 き よ り,グ
た 」等 の 感 想 や,約8割
ラ フ の 印 象 を 強 く持 て
の 生 徒 が 「極 座 標 」や 「極 方 程 式 」を 『理 解 で き た 』 と答 え て い る
こ と を 考 え 合 わ せ る と,パ
た だ,「
数 学 とい
ソ コ ン利 用 の 成 果 は 大 い に あ っ た 。
お も し ろ か っ た が 頭 に 入 って い な い 」 と い う感 想 や,「
し や す い 」と 答 え て い る生 徒 が2校
と も約15%い
る 。 こ れ は,コ
教 室 で の授 業 の 方 が 理 解
ン ピュ ー タ に対 して抵 抗
が あ る 生 徒 が ま だ ま だ い る と い う こ と を 示 し て い る。
3.お
わ りに
授 業 は 教 師 が 生 徒 と 向 か い 合 う 中 で,そ
で あ る 。 要 は,パ
て,あ
ソ コ ンの 活 用 の 仕 方 の 問 題 で あ る が,授
く ま で も 補 助 的 な 使 用 に 限 定 し,導
業 を 想 定 す る と い う こ と で,研
研 究 授 業 の 結 果,当
業 に パ ソ コ ンを 活 用 す る視 点 と し
入 や ま と め の 部 分 で,パ
ソ コ ンの特 長 を 活 か す 授
究 を 開 始 した 。
初 の ね ら い は一 応 達 成 で き た と考 え て い る。J¥°ソ コ ン の 使 用 が 日 常 化
さ れ て い な い 現 状 で,物
珍 し さ も あ っ た が,動
更 に よ る 変 化 が 即 時 に 確 認 で き る 点 は,生
こ れ は,授
の 方 法 を 十 分 工 夫 す る こ と に よ っ て 成 り立 つ も の
業 の 到 達 目標 に 留 意 し,パ
機 付 け に は 十 分 で あ っ た 。 特 に,デ
ー タの変
徒 に好 評 で あ った 。
ソ コ ン の 特 徴 に 注 意 して 使 用 す れ ば,パ
用 な 道 具 と な る こ と を 示 唆 し て い る も の と考 え ら れ る 。
一24一
ソ コ ンが有