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講義資料No.7

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講義資料No.7
確率論補助資料 No. 7
担当:松田晴英
3
確率変数と確率分布
3.4
確率分布モデル
ここでは,具体的な現象に適用できる代表的な確率分布を紹介します。前半では離散分
布を,後半では連続型分布を扱います。
3.4.1
離散分布 (2 項分布)
演習 No. 7 において,正答数を X (問)とするとき,次が得られます。
P (X
P (X
P (X
P (X
µ ¶5
µ ¶4 µ ¶
2
2
32
1
10
= 0) =
=
; 0.132
P (X = 4) = 5 C4
=
; 0.041
3
243
3
3
243
µ ¶5
µ ¶ µ ¶4
2
1
1
80
1
= 1) = 5 C1
=
; 0.329 P (X = 5) =
=
; 0.004
3
3
243
3
243
µ ¶2 µ ¶3
1
2
80
= 2) = 5 C2
=
; 0.329 P (X = x) = 0
(x 6= 0, 1, 2, 3, 4, 5)
3
3
243
µ ¶3 µ ¶2
2
1
40
= 3) = 5 C3
=
; 0.165
3
3
243
5
X
また,
P (X = x) = 1 が成り立ちます。
x=0
ある実験をしたとき,その結果が 2 通りしかない場合,あるいは 2 通りの結果にしか着
目しない場合があります。例えば,硬貨投げの実験では表か裏の 2 通り,ある製品の品質
検査では不良品であるかないかの 2 通りなどです。このように,2 通りの結果のみに着目
した確率分布のひとつに 2 項分布があります。
¶
³
n を整数とし,0 5 p 5 1 とする。離散型確率変数 X が次の確率関数をもつとき,X
はパラメータ n,p の 2 項分布 (binomial distribution) に従うという。
(
P (X = x) =
n Cx
px (1 − p)n−x
x = 0, 1, 2, . . . , n
0
その他の場合
µ
´
2 項分布を記号で Bin(n, p) と表すことがあります。
¶
³
確率変数 X がパラメータ n,p の 2 項分布に従うとき,
E(X) = np,
Var(X) = np(1 − p)
µ
´
1
証明 離散型確率変数に対する平均の定義によって,
E(X) =
n
X
x
n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!
x
n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!
x=0
=
n
X
x=1
= np
= np
n
X
x=1
n
X
x=1
(x = 0 のときは 0)
(n − 1)!
px−1 (1 − p)n−x
(x − 1)!(n − x)!
(n − 1)!
px−1 (1 − p)(n−1)−(x−1)
(x − 1)!(n − x)!
(x を約分し,np をくくり出す)
(n − x = (n − 1) − (x − 1))
= np{p + (1 − p)}n−1 = np
(2 項定理)
また,V (X) を導くために,E(X(X − 1)) を求めると,以下のとおりである。
E(X(X − 1)) =
=
n
X
x=0
n
X
x(x − 1)
n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!
x(x − 1)
n!
px (1 − p)n−x
x!(n − x)!
x=2
2
= n(n − 1)p
= n(n − 1)p2
n
X
x=2
n
X
x=2
(n − 2)!
px−2 (1 − p)n−x
(x − 2)!(n − x)!
(n − 2)!
px−2 (1 − p)(n−2)−(x−2)
(x − 1)!(n − x)!
2
= n(n − 1)p {p + (1 − p)}n−2 = n(n − 1)p2
ここで,E(X(X − 1)) = E(X 2 ) − E(X) だから,
E(X 2 ) = E(X(X − 1)) + E(X) = n(n − 1)p2 + np = np{(n − 1)p + 1}
を得る。したがって,
V (X) = E(X 2 ) − {E(X)}2 = np{(n − 1)p + 1} − (np)2 = np(1 − p)
¶
³
2 項定理
n
(a + b) =
n
X
n Ck a
n−k k
b = an + n C1 an−1 b + n C2 an−2 b2 + · · · + n Cn−1 abn−1 + bn
k=0
µ
´
復習問題 ゆがみのないサイコロを 5 回投げたとき,1 の目が 3 回出る確率を求めよ。
125
復習問題の答: 3888
2
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