Comments
Description
Transcript
1．複素数 2．複素数の計算 重要ポイント1 重要ポイント2 11章 複素数と
本科 ／ Z Study サポート ／ 数学 高1（一貫）見本 １１章 PM05A1-Z1J1-01 複素数と方程式１：ポイント整理 学習時間のめやす 20分 １．複素数 複素数は新しい数の概念であるが，基本的な計算は実数の計算とあまり変わらない．ただし，い くつか重要なルールがあるので，しっかり理解した上で演習を行ってほしい． 重要ポイント1 正の数 負の数の平方根 に対して，− の平方根は ± − ＝± １−１ は虚数単位， ＝ −1 複素数 複素数とは，実数 ， と虚数単位 を用いて ＋ と表される数のことであり( これより，実数も複素数である) ， 0のとき，この数を虚数といい， ＝ 0かつ いう．とくに １−２ ， をこの複素数の実部， を虚部と 0のとき純虚数という． 複素数の相等 ， ， ＋ が実数のとき ＝ ＋ ＝ かつ ＝ である．すなわち，２つの複素数が等しいとは 実部，虚部がともに等しい ことである．これより ＋ ＝0 ＝ 0かつ ＝0 であることも理解できるだろう． ２．複素数の計算 重要ポイント2 複素数の四則演算 複素数の加減乗除は，複素数を虚数単位 についての整式とみなし，通常の計算を行う．た だし， が現れたら，それを −1と置き換える． ２−１ 複素数の加法，減法，乗法 これより，複素数の加法，減法，乗法の計算方法は次のようになる( 除法については， ポイント 整理２−３ で紹介する) ． 加法 ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ 減法 ＋ − ＋ ＝ − ＋ − 乗法 ＋ ＋ ＝ − ＋ ＋ 一般に， ＜ 0， ＜ 0のときは ＝ が成り立たないことに注意しよう．たとえば， −2 −3を計算する場合に −2 −3＝ −2 −3 ＝ ６ とするのは誤りである．正しくは −2 −3＝ ２ ３ ＝ ６ ＝− ６ である． 88 PM05A1-Z1J1-02 ２−２ 共役な複素数 複素数 α＝ ＋ は実数 に対して， − ， を αと共役な複素数といい， αで表す． このとき αα＝ ＋ − ＝ − ＋ − ＝ ＋ となり，ααは実数になることがわかる． なお，複素数 α，β に対して，次が成り立つことも押さえておこう． α＋β＝ α＋ β， α−β＝ α− β，αβ＝ α β， αは実数 α＝ α， αは純虚数または 0 α＝ −α １１章 複素数の除法 複素数の除法では，次のように， ＋ ＋ 除法 ＋ ＋ ＝ 母， 子に − − ＝ ３．２次方程式の解の 母と共役な複素数をかけて計算すればよい． ＋ ＋ ＋ − ＋ 式 重要ポイント3 次方程式の解の ＋ 実数係数の２次方程式 ＋ ＝ 0の解は，解が虚数になる場合も含めて，次のよう に表される．これを２次方程式の解の ＝ − ± −4 式という． ………………………………………………( ＊) 2 ＋2 ′＋ ＝ 0の解は，次のように表される． また，２次方程式 ＝ 式 − ′ ± ′− （例）２次方程式 3 −5 ＋6＝ 0を解く． 解の 式より ＝ − −5± −5 −436 5 ± −47 5± 47 ＝ ＝ 23 6 6 なお，実数係数の２次方程式 ＝ ＋ ＋ ＝ 0において −4 を，この２次方程式の判別式という． ２次方程式の解と判別式 判別式 については，次のことが成り立つ． ＞0 異なる２つの実数解をもつ ＝0 重解( ただ１つの実数解)をもつ ＜0 異なる２つの虚数解をもつ は，解の については，判別式 ４ 式(＊) の根号の中身に他ならない．もちろん，２次方程式 の符号の代わりに ＝ ′− の符号を考えてもよい． 89 ＋2 ′＋ ＝ 0 複素数と方程式１：ポイント整理 ２−３ α α ＝ ， α＝ α， β β PM05A1-Z1J1-03 ４．２次方程式の解と係数の関係 ４−１ 次方程式の解と係数の関係 ＋ ２次方程式 ＋ と因数 ＋ ＝ 0の２つの解が α， βのとき ＋ ＝ −α −β 解される．ここで 右辺 ＝ − α＋β ＋αβ ＝ − α＋β ＋ αβ となるので，両辺の係数を比較することにより次の式を得る． 重要ポイント4 ＋ ２次方程式 次方程式の解と係数の関係 ＋ ＝ 0の２つの解を α， βとすると α＋β＝ − ，αβ＝ が成り立つ．これを２次方程式の解と係数の関係という． これより，２数 α， βを解にもつ２次方程式は，α＋β＝ ，αβ＝ − ＋ ＝0 とすると は０でない定数 となる． （例） ＝ 1± を解にもつ２次方程式． 1＋ ＋ 1 − ＝ 2， 1 ＋ 1 − ＝ 1− ＝ 2 であるから，求める方程式は −2 ＋2 ＝ 0 ４−２ は０でない定数 次方程式の解の符号 ２次方程式の解と係数の関係を利用すると，次のことがいえる． 重要ポイント5 ＋ ２次方程式 ＋ ＝ 0の２つの解を α， βとし，判別式を （Ⅰ）α＞ 0，β＞ 0 ≧ 0，α＋β＞ 0，αβ＞ 0 （Ⅱ）α＜ 0，β＜ 0 ≧ 0，α＋β＜ 0，αβ＞ 0 （Ⅲ） αと βが異符号 αβ＜ 0 いずれも （Ⅰ） 次方程式の解の符号 が成り立つのは明らかであるから， とするとき が成り立つことを示しておこう． ≧ 0であるから， α， βは実数である．よって，αβ＞ 0と合わせると， α， βは同符号 であることがわかる．ここで，α＋β＞ 0であるから，α＞ 0，β＞ 0を得る． （Ⅱ）(Ⅰ)と同様に α， βは同符号であるから，α＋β＜ 0より α＜ 0，β＜ 0を得る． （Ⅲ）解と係数の関係より αβ＜ 0 であるから，この両辺に ＜0 ＞ 0 をかけると ＜ 0 ………………………………………………………………………( ＊) ここで ＝ −4 ＞ ≧0 ∵ ＊ であるから， α， βは実数である．よって，αβ＜ 0のとき， αと βは異符号になる． 90 PM05A1-Z1J1-04 ５．剰余の定理，因数定理 まず，剰余の定理を紹介しよう． 重要ポイント6 整式 を１次式 また， を１次式 ＝ 剰余の定理 −α で割ったときの余りを とすると α ′ ＝ ＋ ′ とすると で割ったときの余りを − 複素数と方程式１：ポイント整理 １１章 この定理は，次のように考えると容易に導かれる． を −α で割ったときの商を ＝ −α ，余りを とすると ＋ ＝ α を代入すると が成り立つ．したがって，両辺に α＝ ＋ となるわけである． ＋ ＝ で割る場合は − − であるから， ＝ − を代入すればよい．つまり，割りたい１次式について １次式 ＝ 0 という方程式の解を に代入すれば，余りが得られるわけだ． （例） ＋1を 2 ＋1で割ったときの余り． 2 ＋1＝ 0を解くと − ＝− １ であるから， ２ ＝ ＋1とおくと求める余りは １ １ １ 127 ＝ − ＋1＝ − ＋1＝ ２ ２ 1 2 8 128 次の因数定理は，剰余の定理において余りを０とすることで導かれる． 重要ポイント7 の整式 因数定理 に対して が１次式 −α を因数にもつ ＋ が１次式 （例） ＋ ＋ が − −2＝ であるから， ＝ α ＝0 − を因数にもつ − −2で割り切れるときの定数 ， ＝0 の値． ＋1 −2 ＋ ＋ とおくと， は ＋1， −2で割り切れる．よって，因数 定理より −1 ＝ 1 − ＋ ＝ 0， ２ ＝6 4＋2 ＋ ＝ 0 これらを連立させて解くと ＝ −2 1， ＝ −2 2 91 複素数と方程式１：重要例題 PM05A1-Z1J1-05 学習時間のめやす 各10分 例題1 重要ポイント２ α＝ 2−3 ，β＝ 1 ＋ とするとき，次の各問に答えよ．ただし， ＝ −1とし， は と 共役な複素数を表すものとする． （１） α を計算せよ． β （２） ＋ ＝ 1をみたす実数 α β 着眼 ， の値の組を求めよ． （１）複素数の計算規則についての確認問題．複素数の除法では， 領で， 母と共役な複素数を 母， 子の両方にかけ， （２）複素数の相等についての理解を試す問題． 母の有理化と同じ要 母を実数に直せばよい． 母を払って両辺を整理するのが第一歩．あとは， ２つの複素数が 等しい とは，実部どうし，虚部どうしがそれぞれ一致することだから…． （ ） α＝ 2 −3 ＝ 2 ＋3 ， β＝ 1 ＋ ＝ 1− ， が実数のとき ＋ であるから ＝ − α 2 ＋3 ＝ β 1 ＋ ＝ 2 ＋3 1 − 1 ＋ 1 − 母 βと共役な複素数 β を 2 −2＋3−3 ＝ 1 − 母と 子の両方にかけ ＝ る．一般に，複素数 ＝ 2 −3 −1＋ −2 ＋3 1 − −1 ＝ 5 ＋ 2 ＋ ， は実数 に対 して ＝ ＋ ＝ − − ＝ ＋ は実数であるから，この操 ＝ 作によって ( 答) 母を実数に直 せる． （ ） を −1に置き換える． ＋ ＝1 α β 両辺に αβをかけて β＋ α＝ αβ 1 − ＋ 2 −3 ＝ 2 −3 1 − 母 を払う． − ＋2−3 ＝ 2 −2−3＋3 3 ＝ 3 −1 ＝ −3 ＋2 ＋ − −3 ＝ −1 −5 であり， ， は実数であるから，複素数の相等より ＋2 ＝ −1 ， − −3 ＝ −5 ， ， が実数のと き ＋ これらを連立させて解くと ， ， ＝ ＋ ＝ ( 答) 92 かつ ＝ PM05A1-Z1J1-06 例題2 重要ポイント４ −5 ＋8＝ 0の２つの解を α， βとするとき，次の各問に答えよ． ２次方程式 （１）次の各式の値を求めよ． （ⅰ）α＋β （ⅱ）α＋β （２）α−1，β−1を２解とする 着眼 の２次方程式のうち， の係数が１であるものを求めよ． ２次方程式の解と係数の関係についての確認問題． （１）与えられた２次方程式を解き， α， βの値を求めて代入することも可能だが，やや 計算が面倒である．そこで，値を求めるべき式は αと βの対称式(αと βを入れ替えても値の変わ らない式)であること，解と係数の関係より基本対称式 α＋β，αβの値がわかることに着目し，処 （２）α−1，β−1を２解とする − α−1 の２次方程式のうち， の係数が１であるものは − β−1 ＝ 0 と表せる．ここで，左辺を整理して解と係数の関係を利用すると…． （ ） α＋β＝ − α＋β ＝ α＋β −2 αβ ＝ 5−28 ） ，αβ＝ ( 答) に， αと βの対称式は，基 α＋β ＝ α＋β −3 αβ α＋β 本 対 称 式 α＋β，αβで 表 ＝ 5−385 せる． ＝1 2 5 −1 2 0＝ （ ＋ ＝ この変形がポイント．一般 ＝2 5 −1 6＝ （ ＋ 0の２解が α， βのとき −5 ８ ＝ 5，αβ＝ ＝8 1 １ α＋β＝ − （ ２次方程式 ）解と係数の関係より ( 答) ）α−1と β−1の和および積は ２数 を解にもつ の α−1＋ β−1 ＝ α＋β−2 ２ 次 方 程 式 の う ち， の ＝5 −2＝ 3 係数が１であるものは α−1 β−1 ＝ αβ− α＋β ＋1 − ＝8 −5 ＋1＝ 4 − の の係数が１であるものは よって， ＋ ， 与えられた２次方程式を解くと − −5± −5 −418 5 ± −7 5± ７ ＝ ＝ 21 2 2 となるので，(１) では α＋β ＝ 5 ＋ ７ 2 ＋ 5 − ７ 2 ，α＋β ＝ 5＋ ７ 2 ＋ 5− ７ 2 を計算すればよく，(２) では − 5 ＋ ７ −1 2 − ＋ 5 − ７ −1 ＝ 0 2 の左辺を整理すればよい．ただし，計算が面倒であり，得策とはいえない． 93 ＝0 の値を 求めることを考える． ( 答) ＝ ＝0 − ＋ であるから，解と係数の関係より，α−1，β−1を２解とする ２次方程式のうち， ， １１章 複素数と方程式１：重要例題 理の仕方を工夫してみよう． PM05A1-Z1J1-07 例題3 重要ポイント６ 次の各問に答えよ． （１）整式 −4 ＋3で割ったときの余りが 5 ＋2のとき， を を −3で割 ったときの余りを求めよ． （２）整式 ＋1で割ったときの余りが４であり， −4で割ったときの余りが −1 を であるとき， −3 −4で割ったときの余りを求めよ． を 整式の割り算における余りを求める問題． 着眼 （１）剰余の定理より， ３ の値を求めることが目標になるが， ていないので，すぐにはこの値を計算できない．そこで， を として， を割る式 −1 ＝ 4， （２）剰余の定理より， ある． −4 ＋3，商 を の式は与えられ −4 ＋3で割ったときの商 ，余り 5 ＋2で表すことから始めよう． ４ ＝ −1とわかるが，これらの利用の仕方がポイントで −3 −4で割った余りは１次以下の整式または０であるから，この余り を２次式 は文字係数を用いて具体的に表すことができ，この文字係数を決定することを目標にすればよい． やはり， −3 −4で割ったときの商を を （ −4 ＋3で割ったときの商を を ） として，条件を立式してみよう． と すると，余りは 5 ＋2であるから ＝ −4 ＋3 ＝ −1 −3 ＋5 ＋2 ＝ −3で割ったとき を とす ＋ −4 ＋3を 因 数 解す る． ３ ＝ 3 −1 3 −3 ３ ＋53 ＋2 ） で割ったと ，余りを ると ＋5 ＋2 と表せる．よって，剰余の定理より， を整式 きの商を の余りは （ 整式 を ＝ 20 ３ ＋1 7 ＝ ( 答) 整式 を −α で 割 ったときの余りは α −3 −4で割ったときの商を とする．ま た，余りは１次以下の整式または０であるから，この余りは ＋ ， は定数 求める余りをこのように表 とおける．このとき しておくのがポイント． ＝ −3 −4 ＝ ＋1 −4 ＋ ＋ ＋ ＋ ……………( ＊) と表せるので，与えられた条件と剰余の定理より −1 ＝ 4 −1 ＋1 −1 −4 4 ＋1 4 −4 解す る． −1− ＋ ＝ 4 − ＋ ＝ 4 ………………………① ４ ＝ −1 −3 −4を 因 数 ４ ＋4 ＋ ＝ −1 4 ＋ ＝ −1 ……………………② ①，②を連立させて解くと ＝ −1， ＝ 3 したがって，求める余りは ( 答) 94 ( ＊)に剰余の定理を適用す ることにより， 係式を導く． と の関 PM05A1-Z1J1-08 例題4 重要ポイント３ を実数の定数とする． の２次方程式 ＋ 3 −1 ＋ ＝ 0について，次の各問に答え よ． （１）重解をもつとき， の値をすべて求めよ． （２）異なる２つの実数解をもち，それらがともに正であるとき， のとり得る値の範囲を求 めよ． 着眼 ２次方程式の解の判別，および解の値の範囲についての問題． （１）２次方程式がどのような種類の解をもつかは，判別式の符号によって決まるのであ った． ２次関数 で学習したが，ここでは解と係数の関係を利 用する方法を身につけてもらう．異なる２つの実数解をもつ条件は，( １)と同じく判別式を用いて 立式すればよい．２つの実数解がともに正であるためには，これらの和および積の符号がどうなっ ていればよいだろうか？ （ ＋ 3 −1 ＋ ＝ 0の判別式を ）２次方程式 と すると ＝ 3 −1 −41 ２次方程式 ＝ 9 −1 0 ＋1 ＝ 0の判別式を とすると ＝ 9 −1 −1 重解をもつためには， ＝ ＝ 0であればよいから （ ， ＋ −4 の符号についての条件に 9 −1 −1 ＝ 0 ∴ ＋ 帰着させる． ( 答) ）与えられた２次方程式が異なる２つの実数解をもつためには， ＞ 0であればよいから の符号についての条件に 9 −1 −1 ＞ 0 ∴ ＜ １ または ９ 帰着させる． ＞1 ……………………………① 次に，２つの実数解を α， βとおくと，これらがともに正である ためには α＋β＞ 0，αβ＞ 0 この読み替えがポイント． であればよく，解と係数の関係より α＋β＞ 0 − 3 −1 ＞ 0 αβ＞ 0 ＞0 一方のみが０以下なら，積 ＜ １ ３ ……② …………………………………③ は０以下になり，両方が０ 以下なら和が０以下になる ことから言える． ＋ ＋ したがって，①∼③を同時にみたす ２次方程式 の値の範囲を求めると ＝ 0の ２ 解 を α， βと す ると ( 答) α＋β＝ − 95 ，αβ＝ １１章 複素数と方程式１：重要例題 （２）このタイプの問題の解法は数学Ⅰ