平成28年度 京都数学オリンピック道場（第2回） H28.11.20

平成28年度　京都数学オリンピック道場（第２回）　H28.11.20
１ " 2005　日本数学オリンピック予選 第 4 問 #（改題）
1 から 6 までの目があるさいころが 1 個ある。このさいころを 6 回投げるとき，何回目かまでに出
た目の数の総和がちょうど 6 になることがある確率を求めよ。ただし，さいころのどの目が出る場合
も同様に確からしいものとする。
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２ " 2009　日本数学オリンピック予選　第 9 問 #（改題）
ある数学の国際大会に 10 人の通訳が招待された。各通訳は，ギリシャ語，スロベニア語，ベトナム
語，スペイン語，ドイツ語のうちちょうど 2 つを話すことができる。また，どの 2 人についても，話
せる言語の組合せは異なる。
この通訳たちを 2 人ずつ 5 つの部屋に宿泊させることになった。どの部屋に宿泊する 2 人も共通の
言語を話せるような部屋割りにしたい。このような部屋割りの方法は全部で何通りあるか。
ただし，部屋を替えただけで人の組合せが全く同じ部屋割りは，同一のものとして数える。
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３ " 2011　日本数学オリンピック予選　第 9 問 #（改題）
赤色の玉，青色の玉，黄色の玉合わせて 12 個を横一列に並べるとき，次の条件を満たす並べ方は全
部で何通りあるか。ただし，並べる玉の色が 2 種類以下の場合も考えるものとする。
条件：どの玉に対しても，その玉と同じ色で，その玉に隣接するような玉が存在する。
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※この問題は事前にＨＰにアップした問題です。答え合わせは各自で行ってください。
４ 正 28 角形の対角線の中から 2 本を選ぶと互いに平行であった。このような対角線の組は全部で何組
あるか。
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※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください。
５ " 2010　日本数学オリンピック予選　第 6 問 #（改題）
赤色の島，青色の島，黄色の島がそれぞれちょうど 3 つずつある。これらの島に次の 2 つの条件を
ともにみたすようにいくつかの橋をかける。
（ 条件 1 ）どの 2 つの島も，1 本の橋で結ばれているか結ばれていないかのいずれかであって，
橋の両端は相異なる 2 つの島につながっている。
（ 条件 2 ） 同色の 2 つの島を選ぶと，その 2 つの島は橋で直接結ばれておらず，その 2 つの島
の両方と直接結ばれている島も存在しない。
橋のかけ方は全部で何通りあるか。ただし，1 本も橋をかけない場合も 1 通りと数える。
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※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください。
６ " 2001　日本数学オリンピック予選　第 7 問 #（改題）
Ⅰ図のような 4 % 4 のマス目をつくり，横に並んだ 4 つのマス目を行，縦に並んだ 4 つのマス目
を列とよぶ。1 から 4 までの数字をそれぞれ 4 つずつ，次の 3 つの条件をすべてみたすように 1 つ
のマス目に 1 つずつ 書き込む。
（ 条件 1 ）どの行にも 1，2，3，4 が 1 回ずつあらわれる。
（ 条件 2 ）どの列にも 1，2，3，4 が 1 回ずつあらわれる。
（ 条件 3 ）Ⅱ図のようにマス目を太線で 2 % 2 のマス目 4 つに分けたとき，どの 2 % 2 のマス目
にも 1，2，3，4 が 1 回ずつあらわれる。
このような数字の書き込み方は全部で何通りあるか。
Ⅰ図
Ⅱ図
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※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください。
７ " 2007　日本数学オリンピック予選　第 6 問 #（改題）
1，2，3，…，15 の数が書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつある。この中から 1 枚以上のカードを
選んだところ，選ばれたどのカードに書かれた数も，選んだカードの枚数以上であった。選んだカー
ドの組合せとして考えられるものは何通りか。
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※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください。
８ " 1991　日本数学オリンピック予選　第 11 問 #（改題）
2 つの文字 A，B を使って作られる長さ 15 の順列のうち，次の条件をみたすものは何個あるか。
条件：連続する 2 文字の（順序）対として AA が 5 回，AB，BA，BB が各 3 回現れる。
例えば，順列
AABBAAAABAABBBB
は，AA が5 回，AB が 3 回，BA が 2 回，BB が 4 回現れるので，上の条件をみたしていない。
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