無限 - C-faculty

数学入門 - レジメ 1
2015 年前期, 西岡
1 無限と実数
1.1 無限のパラドクス
現代数学では“無限”を日常的に取り扱う. その際, 一見奇妙なことが生じる.
例題 1.1. 次の等式を証明せよ.
0.999 · · · = 1. ⋄
(1.1)
例題 1.2 (アキレスと亀). 俊足のアキレスが亀と競争することになった. しかし「アキレスは俊足,
亀は鈍足」の定評があり, 亀にハンディキャップを与えることにした.
するとゼノンが「このハンディキャップは極めて有効で, アキレスは亀に追いつけない」との論
証を以下のように展開した:
(i) アキレスが亀のスタート地点 a に到着したとき, 亀は地点 b まで進む.
(ii) アキレスが (亀の居た) 地点 b に到着したとき, 亀はさらに先の地点 c まで進む.
(iii) アキレスが (亀の居た) 地点 c に到着したとき, 亀はさらに先の地点 d まで進む.
..
.
#$%&'()*+,(iv) これは無限回繰り返すが, それぞれの繰り返しには正の時間が必要で
, 結局アキレスは亀に追い
!
#$%&'()*+,つけない
.
6
#$%&'()*+,!
6
"
!
.$%/01&23+&'()45%6%789
!
"
.$%/01&23+&'()45%6%789
6
"
!
"
6
"
6
>
.$%/01&23+&'()45%6%789
:$%/01&2;%32<=45%>%789
!
"
:$%/01&2;%32<=45%>%789
6
>
!
"
>
?
6
:$%/01&2;%32<=45%>%789
!
>
6
"
この論証は正しいのか
? > ⋄?
6
[例題 1.1 証明] Step 1 (簡単な方法). 小学校で学ぶ割り算
1
= 0.333 · · ·
3
(1.2)
を認めるなら, 極めて簡単に (1.1) が証明できる. (1.2) の両辺に 3 を掛けて
1=3×
1
= 3 × 0.333 · · · = 0.999 · · ·
3
となる. つまり (1.2) と (1.1) は同値である.
1
!
"
>
?
Step 2. しかし厳密には, 「無限小数 0.333 · · · に 3 を掛ける」演算が可能かどうかに疑問点が残る.
そこで
x ≡ 0.999 · · ·
とおき, 10 x − x を計算する:
+)
つまり 9x = 9 ⇔ x = 1.
10x
−x
9x
= 9.999 · · ·
= −0.999 · · ·
= 9.000 · · ·
2
[例題 1.2 解答] むろん正しくない. 例えば,
アキレスが 10m/sec, 亀が 1m/sec で 100m 先からスタート
としてみる.
1 アキレスが亀のスタート地点に到着するまで 10 sec.,
2 その間に亀は 10 m 進む ( b 地点),
3 アキレスが b 地点到着するまで 1 sec,
4 その間に亀は 1 m 進む,
..
.
結局, アキレスが亀に追いつくのに要する時間は
10 + 1 +
で 11.2 秒足らずである.
1
1
1
+
+ · · · = 10 ·
= 11.11 · · · sec
10 100
1 − 0.1
2
• 現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う 点にあるが, 例題 1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱
うには特別の注意が必要である.
• さらに 現代数学では「小さな無限, 大きな無限, より大きな無限, · · · 」など“無限の大小関係”
を比較することが可能である.
• 本節では,「小さな無限=自然数」から「大きな無限=実数」をどうやって作り, 得られた実数
がどのような性質を持っているかを大雑把に述べる.
• 基礎数学の目的である ‘微積分’ の根底にあるものは極限であり, この極限は実数の上で展開さ
れる. そのため，極限＝微積分を理解するためには「無限の厳密な理解」および「実数の理解」
(=無理数論) が是非とも必要となる.
1.2 自然数から有理数へ
まず自然数 N とは,
N = {1, 2, 3, · · · }
のことである. m, n ∈ N にたいし
(1.3)
四則演算:
和 m + n, 差 m − n, 積 m × n, 除
を自由に使いたい.
2
m
n
(i) しかし (1.3) の“差 m − n”が一つの集合の中で完結するためには, 自然数の全体 N では不十
分で,
整数
Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }
まで広げなければならない.
(ii) さらに (1.3) の“除 m/n”が一つの集合の中で完結するためには, 整数の全体 Z でも不十分で,
有理数
Q={
m
: m, n ∈ Z, n ̸= 0}
n
まで広げる必要がある.
(iii) ところが, 一辺の長さ 1 の正方形 ABCD の対角線 AC の長さ x は, 有理数 Q の範囲に留ま
らないことが証明できる (有理数の不完全性, 例題 1.3 ).
A
D
B
C
(iv) また x2 = 2 という方程式を解こうとすると, 有理数 Q の中では解が見つからないことも証明
できる ( 例題 1.3 ).
(v) さらに, 近代数学では, 頻繁に極限操作を行うが,
√
2 = 1.41421 · · · に収束する数列
a1 = 1, a2 = 1.4, a3 = 1.41, a4 = 1.414, · · · ,
を考えると「収束先が見つからない」という不都合がおこる.
(vi) 0.3333 · · · などの無限小数の存在はよく知られているが，すべての無限小数で四則演算が可能
かどうかは自明ではない. 例えば末位の数字が判らない場合の乗法
1.73205 · · · × 2.23607 · · · (=
√
√
3 × 5)
はどうやって計算するのだろうか?
など多くの不具合が発生する. そのため Q をさらに広げる必要がある.
例題 1.3. 辺の長さが 1 である正方形 ABCD の 対角線 AC の長さ x は有理数ではない. ⋄
[例題 1.3 解答] まず ピタゴラスの定理 より
x2 = (AB)2 + (BC)2 = 12 + 12 = 2.
(1.4)
つぎに, もし x が有理数だとすると, ある 整数 k, j があり

 x = j/k,
(1.5)

j, k は既約
k ̸= 0,
(つまり 1 以外の公約数を持たないこと)
3
と表される. ところで (1.4) より
j2
= x2 = 2 ⇒ j 2 = 2 · k 2 ⇒ j は偶数
k2
⇒ ある整数 q があり, j = 2 · q
すると
2 · k 2 = j 2 = (2 · q)2 = 4 · q 2 ⇒ k 2 = 2 · q 2 ⇒ k は偶数
⇒ ある整数 r があり, k = 2 · r.
結局
j
2·q
=
k
2·r
となり (1.5) で仮定した“既約”に反する. よって, (1.5) が間違っており, x は有理数ではない.
なお上記の議論により, “x2 = 2 の解が有理数でない”ことも示されている.
2
1.3 有理数から実数へ
そこで私達は 前述 I, (v) の不具合を解消するために,「次に述べる (1.6) の方法」で, 有理数 Q を
拡大する.
すると具合の良いこと, §1.2, (iii) – (vi) の難点もすべて解消されることが証明できる*1 .
(1.6)
“有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質 (1.7) を
備えたものの極限全体を考え, それを 実数 R とよぶ.
直ぐには理解しにくいが, これが 実数 R で,「 数直線上の全ての点の集合と直感できる」ことが示さ
れる.
まず 基本列 の定義を述べる.
定義 1.4. (実数でも有理数でも) 数列 {an } が 基本列 とは,
任意の ε > 0 にたいし, ある自然数 N があり,
(1.7)
m, n ≥ N → |am − an | ≤ ε
をみたすことである.
⋄
注意 1.5. (i) (1.7) の言い方が「ε, δ 論法」の典型例である.
(ii) (1.7) の意味を大雑把ににいう. 基本列 {an } とは, n が大きくなるにつれ, |an − an+1 | がいく
らでも小さくなる数列のことである. 任意の基本列 {an } の極限をすべて付け加えて, 実数 R を作っ
たので, 前述 (v) の不具合は解消された.
⋄
こうやって得られた 実数 R は次のような良い性質を備えている.
命題 1.6 (実数の性質). (i) (四則演算が閉じている) a, b ∈ R
⇒ a + b, a − b, a × b ∈ R,
*1
b ̸= 0 なら a/b ∈ R.
この“拡大の方法”とか, “それで不具合が解消される”ことなど論ずることが, 「実数論」で
ある. またどちらも無限個だが, 「実数の個数 > 有理数の個数」となることが証明できる.
4
(ii) a, b ∈ R ⇒ a < b , a = b , a > b のどれかが成立*2 .
(iii) a, b ∈ R, a < b ⇒ a < c < b となる c ∈ R が存在する*3 .
(iv) 実数列 {an } ⊂ R が (1.7) を満たせば, 必ず limn→∞ an ∈ R が存在する*4 .
⋄
注意 1.7. 命題 1.6 の証明には, ‘実数論’ と呼ばれる理論に体系付けられており, ここでは述べない.
厳密な実数論の教科書を挙げるので, 興味がある人は通読されたい.
• 田中一之, 鈴木登志雄, 数学のロジックと集合論, 2003, 培風館; ISBN4-563-00337-9 C3041
• 高木 貞治, 解析概論 改訂第 3 判, 1983, 岩波書店; ISBN-10: 4000051717.
注意 1.8. 有理数 Q を (1.6) の方法で拡大し, 実数 R が得られた.
• では, 実数 R をさらに拡大して, 命題 1.6 の性質を備えたものが得られるだろうか?
⇒ 得られないことが証明されている. つまり 実数 R は, 頻繁に極限操作を行う現代数学の出発点と
して丁度よい物と言える.
⋄
2 無限の数え方
現代数学の特徴の一つは「無限を頻繁に扱う」ことである. ここでは「無限」を分類し, “小さな無
限”,“大きな無限”などが有ることを述べる. 無限を数えるための準備を行おう.
2.1 数の数え方
学生 a, b, · · · , から数人を選び, 集合 X を
X ≡ {a, b, c, d, e, }
と定義する. X の人数は 5 と直ぐに数えられるが, ここで“数える” とはどういうことかを説明する:
U を自然数の部分集合
U ≡ {1, 2, 3, 4, 5}
とすると X と U とに 1 : 1 関係がある = 次で定義するが, 簡単に言うと「X の要素に番号をつ
ける」.
定義 2.1. ある集合 A と B とに 1 : 1 関係があるとは, 以下の条件をみたす関係式 h : B → A が存
在することである:
(2.1)
x ∈ B にたいし h(x) ∈ A かつ
h(B) = A,
x, y ∈ B かつ x ̸= y ⇒ h(x) ̸= h(y).
(この (2.1) をみたす関係式を 全単射, bijection とよぶ.)
⋄
注意 2.2. (i) とくに B が自然数の部分集合 B = {1, 2, · · · , n} の場合, 「集合 A の要素の個数は
n 個」という. 例えば, 前述の X と U の場合, 全単射 h は
*2
この性質を“線形順序性”という.
この性質を“稠密性”という.
*4 この性質を“実数の完備性”という. 有理数全体 Q は完備性を備えていない.
*3
5
集合 U
1
2 3
4
5
全単射 h
↕
↕ ↕
↕
↕
集合 X
a
b
d
e
c
つまり h は a, · · · e に番号を振ることである.
(ii) 定義 2.1 の方法を使えば (数を数えられなくても) 「集合 A と B が同数」を確かめられる.
定義 2.3. (i) 集合 A と B の要素の個数が同数*5 ,
( Card [A] = Card [B] という記号を使う. )
⇔ A と B とに 1 : 1 関係式 h が存在することである.
(ii) 集合 A の要素の個数は B より少ないか等しい.
( Card [A] ≤ Card [B] という記号を使う.)
⇔ B の部分集合 C で, 「A と要素の個数が同数」のものが存在する.
⋄
例題 2.4. 学生の集合 X = {a, b, c, d, e} と 椅子の集合 Y = { ア, イ, ウ, エ, オ, カ } の要素の個数
を比較せよ.
[例題 2.4 解答] X と Y の間には, どんな全単射も存在しない.
a
b
ア
イ
c
ウ
d
エ
e
オ
カ
1:1 対応がない
つまり, 二つの集合 A, B の要素の個数が同じでなければ, A と B の間には全単射が存在しない.
⋄
2.2 可算無限
自然数の全体
N = {1, 2, 3, · · · }
の要素の個数は無限個だか, この無限を特に 可算無限 ℵ0 (アレフ ゼロ) と呼ぶ ( ⇔「N の濃度は
ℵ0 」).
例題 2.5. 以下を証明せよ.
(i) 偶数の全体の個数は可算無限 ℵ0 .
(Card [偶数の全体] = ℵ0 .)
(ii) 整数の全体 Z の個数は可算無限 ℵ0 .
( Card [Z] = ℵ0 . )
(iii) 2 次要素整数の全体 Z2 = {(n, m) : n, m ∈ Z} 個数は可算無限 ℵ0 . ( Card [Z2 ] = ℵ0 .)
(iv) 有理数の全体 Q の要素の個数は可算無限 ℵ0 . ( Card [Q] = ℵ0 .)
*5
A の要素の個数が無限個の場合も許す. 我々は「無限」を更に詳しく分類したいので, 有限を前提とする「個数」の用
語は 不適切. そこで「個数」の代わりに, 「A の濃度 (Cardinal number)」と言う.
6
[例題 2.5 解答] (i) 偶数の全体を E とおく. k ∈ N にたいし h(k) ≡ 2 k とおく.
h(1) = 2,
h(3) = 6, · · ·
h(2) = 4,
h : N → E は全単射だから N と E の要素の個数は同じ.
(ii) 関係式 h を
{
h(k) =
−2k + 1
2k
k≤0
k≥1
とおく.
· · · , h(−2) = 5, h(−1) = 3, h(0) = 1, h(1) = 2, h(2) = 4, h(3) = 6, · · ·
-2
となるので,
-1
0
1
2
3
h : Z → N は 全単射. これは, 上図の方法で整数 Z を数えることである.
(iii) 2 次要素整数の Z2 を漏れなく数え上げる方法を言えばよい. 図で示すと, 下図の方法がそれ.
(iv) ある整数 m, n (n ̸= 0) があり, x = m/n と表現できる数の全体が 有理数 Q である.
このとき
x=
m
∈ Q にたいし φ(x) = (m, n) ∈ Z2
n
という対応を考えると, Q の要素の個数が Z2 より少ないことが判る.
( 例えば, 1/2 ∈ Q に対応する Z2 の要素は (1, 2), (2, 4), · · · と無限個ある. また n ̸= 0 なので
(1, 0), (2, 0), · · · ∈ Z2 に対応する Q の要素は存在しない.)
一方, Q ⊃ N なので Q の要素の個数は N の要素の個数 (=可算無限 ℵ0 ) より多い.
7
つまり (iii) の結果を使うと
ℵ0 = Card [N] ≤ Card [Q] ≤ Card [Z2 ] = ℵ0
となり, (iv) が証明された.
2
2.3 非可算無限
前節では, 可算無限 ℵ0 の例しか提示しなかった. では ℵ0 より“大きな無限”は有るのか?
この疑問に答えるため, 数直線上の 区間 I ≡ {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} に属する要素の個数を考える.
定理 2.6. I の要素の個数は可算無限 ℵ0 より真に大きい.
⋄
定義 2.7. I の要素の個数を“非可算無限*6 c (シー) ”と呼ぶ.
⋄
次の命題が証明されたものとして, 定理 2.6 を証明する.
命題 2.8. 集合 B の要素の個数が可算無限 ℵ0 なら, B の大きさ (=長さ) は 0.
定理 2.6 の証明
もし I の要素の個数が可算無限なら, 命題 2.8 より I の長さ |I| は 0. ところが
|I| = 1 なので矛盾. よって I は可算無限より大きい無限.
命題 2.8 の証明
⋄
2
集合 B は可算無限 ℵ0 なので, B の要素には番号がつけられる:
B = {b1 , b2 , b3 , · · · }
この B の長さ |B| を計る. δ を任意の小さな正の数とすると,
b1 −
δ
δ
< b1 < b1 + ,
2
2
b2 −
δ
δ
< b2 < b2 + 2 ,
2
2
2
··· ,
bn −
δ
δ
< bn < bn + n ,
n
2
2
··· .
となるので,
b1 の長さ < δ,
これらを合計して |B| ≤ δ +
b2 の長さ <
δ
,
2
· · · , bn の長さ <
δ
,
2n−1
··· .
δ
δ
+ · · · + n−1 + · · · = 2 δ.
2
2
ここで δ > 0 は, いくらでも小さくできるので, 次の練習問題 2.9 より |B| = 0.
練習問題 2.9. 次を証明せよ: 任意に小さな数 δ > 0 にたいし, 0 ≤ x ≤ δ ⇒ x = 0.
(∗)
2
⋄
無限が関わると“点の個数”に関して, いろいろ不思議な事が起きる.
例題 2.10. (i) 開区間 X ≡ (−1, 1) と 開区間 Y ≡ (0, 1) 上の点の個数は 等しい.
(ii) 数直線 R ≡ (−∞, ∞) と開区間 Y ≡ (−1, 1) 上の点の個数は等しい.
[例題 2.10 証明]
(i) 定義 2.9 より A と X 間に全単射が有ることを言えばよい. f (x) ≡
に f : X → Y で全単射の条件を満たしている.
*6
“連続無限”ともいい, ℵ1 (アレフ ワン) とも記す.
8
x
+ 1 とおけば, 上図 左様
2
f(x)= x/2 +1
1
1/2
0
-1
1
(ii) 上図 右の関数
f : Y → R;
1
1
−
1−x 1+x
2
を使い, 前と同じ議論を繰り返す.
例題 2.11. 次を証明せよ:
f (x) =
閉区間 X ≡ [0, 1] と半開区間 Y ≡ [0, 1) 上の点の個数は等しい.
[例題 2.11 証明] 定義 2.9 より X と Y 間に全単射が有ることを言えばよい.
X 上の点列 B, Y 上の点列 C を
1
1
1
, k = 0, 1, · · · } = {1, , · · · , k , · · · }
k
2
2
2
1 1
1
1
Y ⊃ C ≡ {ck = k+1 , k = 0, 1, · · · } = { , , · · · , k , · · · }
2
2 4
2
X ⊃ B ≡ {bk ≡
とおく. つぎに全単射 f : X ↔ Y を
1
{
f :X →Y;
f (x) ≡
x
ck
もし x ∈ X − B
もし x = bk ∈ B
1/2
1/2
とする. この f は,
f (1) =
1
1
,
2
1
1
f( ) = ,
2
4
···
であり, B, C 以外の点は同じ点に対応している. これは,
右図のように 全単射 X ↔ Y を定義している.
練習問題 2.12. 次を証明せよ:
2
1/4
1/4
1/8
1/8
0
0
閉区間 X ≡ [0, 1] と開区間 Z ≡ (0, 1) 上の点の個数は等しい.
2.4 まとめ
代表的な無限集合の要素の数は以下の通り:
9
可算無限 ℵ0
自然数 N
整数 Z
k 次要素格子点 Zk
点列 {1, 1/2, 1/3, 1/4, · · · }
有理数 Q
非可算無限 ℵ1
c
開区間 (0, 1) の点の数
閉区間 [0, 1] の点の数
実数 R
k 次要素実数 Rk
(∗) いくつかの事実.
例題 2.13. 「実数 R から 有理数 Q を差し引いた集合 =無理数」の要素の数を数えよ.
[解答] 無理数の個数 = ℵ1 である.
2
例題 2.14. 可算無限 ℵ0 と非可算無限 ℵ1 c との間には, 別の大きさの無限が有るのか?
[解答] 「証明が不可能」 ということが ゲーデル-コーエン によって証明されている. 「無い」とい
う主張が，カントール の“連続体仮説”で, こう仮定して不都合が無いことも証明されている. 一方,
「有る」と仮定しても不都合は無い.
2
例題 2.15. 連続無限 ℵ1 より真に大きい無限が有るのか?
[解答] この証明も易しくないが, 「有る」. “実数 R 上の関数全体 F ”の要素の個数は, 真に ℵ1 よ
り大きく, 2ℵ1 と表記できる (カントールの定理 ).
2
以上
10