コンピュータ工学演習 解説と課題 (6)

コンピュータ工学演習 解説と課題 (6)
日浦 慎作∗
あることから，平行移動と一次変換を何度繰り返しても
1 講義内容
一定の計算により合成変換を実現できることがわかる．
第６回の演習では，OpenGL により行われている座
このようにベクトルの末尾に要素を追加することで平
標変換を自前で実装し，どのように３次元世界が２次元
行移動を統合的に扱う変換を同次座標変換といい，コン
画像として描かれるのかを理解することを目標とする．
ピュータグラフィックスの他には，コンピュータビジョ
ン（画像認識）やロボット工学（ロボットの関節角度と
2 OpenGL における変換
手先の位置・姿勢の関係の計算など）に多用される*2 ．
第２回の演習でも説明したように，OpenGL では図
1 に示すような３段階の座標変換が用いられている．こ
2.2
ビューポート変換
れらについて，どのような計算により実現できるかを示
変換である．図 1 に示すように，(−1, −1) から (1, 1)
す．またそれに先立ち，平行移動と一次変換を統合的に
の範囲の正規化デバイス座標をウィンドウ座標に変換す
扱うことが出来る同次座標変換について述べる．
る．ウィンドウの幅と高さをそれぞれ Wx , Wy とする
2.1 同次座標変換
と，ウィンドウ座標は，左上が (0, 0) で右下が (Wx , Wy )
ビューポート変換は，２次元平面から２次元平面への
一次変換は座標の回転や拡大縮小を統合的に扱うこと
であるので，ビューポート変換を行う同時座標変換行列
が出来る変換であり，コンピュータグラフィックスにお
は以下のようになる．
ける物体の変形や配置などに便利である．しかし原点は

常に原点へ変換されるため，平行移動を取り扱うことが
 0
0
出来ない．そこで一般に，一次変換と平行移動の組み合
*1
わせ（アフィン変換 ）が用いられる．２次元平面上の
アフィン変換は以下のような式で表される．
[
x2
y2
]
[
=
r11
r21
r12
r22
][
x
y
]
[
+
tx
ty
2.3
]
(1)
r12
r22
0
透視変換

Xc


 x=fZ
c

Y

 y=f c
Zc

tx
x
ty   y 
1
1
(3)
1
係は以下の式で表される．
うに３行３列の行列の積で表すことが出来る．
r11
x2
 y2  =  r21
1
0
0

視点座標系における点と正規化デバイス座標上の像の関
たものを考える．すると，式 (1) と同じ変換を以下のよ

Wy
2
を通る．図のように視点座標 (Xc , Yc , Zc ) を定めると，
それぞれのベクトルの末尾に値が１の要素を１つ追加し

−

る画像上の１点を直線で結ぶと，その点はレンズの中心
一次変換に比べるとやや取り扱いが面倒である．そこで

Wx
2
Wy
2
0
図 1 に示すように，実世界中の１点と，それに対応す
しかしこの変換は２つの項に分かれているため，単純な

Wx
2
(2)
(4)
ただし，この式中の定数 f は焦点距離といい，画角を表
す．つまり f が大きいと望遠レンズとなり写る範囲が
この式を p
⃗2 = F p⃗ と置くことにする．また，さらに p⃗2
狭くなる（遠くのものが大きく写る）．逆に f が小さい
から p
⃗3 への変換が p⃗3 = G⃗
p2 と表されるとする．こ
と広角レンズとなる．
のとき，これらの合成変換は行列 F と G の積により，
この式は除算が含まれ，行列演算などの線形演算で取
p⃗3 = G · F p⃗ と表され，G · F もまた３行３列の行列で
り扱うことが出来ないという問題がある．そこで媒介変
∗
大阪大学大学院 基礎工学研究科 システム創成専攻 システム科
学領域 准教授，[email protected]
*1 直線上の等間隔な点は変換後も直線上で等間隔に並び，また，
平行線は変換後も平行になるような変換．
*2
1
電子システム学コースでは，３年次前期の講義「ロボット工学
Ａ」で学習する．また３年次後期の学生実験Ｂのテーマ「距離
計測」「ロボットアーム」でも実習する．
ウィンドウ座標
正規化デバイス座標
視点座標
Yc
y
xs
世界座標
Zw
(1,1)
Zc
ys
レンズ
x
(-1,-1)
ビューポート変換
Xc
透視変換
Yw
Xw
モデルビュー変換
図 1 OpenGL で用いられる座標系
数 h を用い，式 (4) を次のように表す．

 
x
f
h y  =  0
1
0

0
f
0
新たな変換を表す行列が掛け合わされることになる．ま

 X
0 0  c 
Yc 
0 0 
 Zc 
1 0
1
た glPushMatrix, glPopMatrix などはモデルビュー
変換行列を一時的に保存する役目を果たす．グラフィッ
(5)
クス描画ハードウェアには，様々な関数で指定した全て
の変換が合成された結果のモデルビュー変換行列が１個
だけ設定され，これにより座標変換が行われるので，そ
この３行４列の行列を透視変換行列と呼ぶ．
れまでにいくつ座標変換を行ったかにかかわらず変換に
この式の意味は，つぎのように考えると理解しやす
要する計算時間は変化しない．
い．まず，式 (4) を分母と分子に分けて考え，割り算だ
けは最後までやらずにおくことを考える．すると式 (4)
3 演習課題
の分子はそれぞれ f Xc , f Yc となり，分母は Zc で共通
以下の課題についてプログラムを作成し，そのソース
である．これを順に式 (5) の第１行目から第３行目と見
コードを提出するとともに，課題３で描いた画像のスク
なす．また左辺はそれぞれ hx, hy, h である．これらの
リーンショット（画面のハードコピー）を添付せよ．
３つの値から x の値を求めるには，hx
h ，すなわち第１行
の計算結果を第３行の計算結果で割ればいい（これが，
• 課題１：ウィンドウの幅と高さ，カメラの焦点距離
分数の分母と分子の除算を実際に行うことに相当する）
．
を指定すると，ビューポート変換と透視変換の行列
この割り算をやらずに延期しておくのが透視変換の行列
を計算するプログラムと，その変換を行う関数を作
表現のミソである．
成せよ．
2.4 モデルビュー変換
• 課題２：X 軸まわりの回転角と平行移動量を指定
モデルビュー変換は，アフィン変換，すなわち一次変
するとモデルビュー変換行列を作成するプログラム
換と平行移動の組み合わせにより表現できる．これは同
と，その変換を行う関数を作成せよ．
次座標変換を用いることで，４行４列の行列によって表
• 課題３：課題１と課題２で作成した関数と，前回の
される．以下の式で r11 から r33 までの９個のパラメー
演習で作成した自前の直線描画プログラムを組み合
タは一次変換を表し，また tx , ty , tz は平行移動を表す．
わせ，３次元空間中で定義された直線を２次元空間

r11
 r21

 r31
0
r12
r22
r32
0
r13
r23
r33
0

tx
ty 

tz 
1
へ変換して描画し，これにより立体的な物体（円柱，
球，グラフなど何でもよい）を描画するプログラム
(6)
を作成せよ（前回の課題がどうしても出来ていない
人は，第１回の演習で用いた直線を描画するプログ
ラムを元にしてもよい）．
２回目の演習で述べたように，OpenGL ではモデリ
ング変換と視点の変換（カメラの位置・姿勢）がモデル
ビュー変換として合成され，統合的に扱われている．こ
の合成変換のうち，透視変換行列に近い側（左よりの行
列）が視点の変換となる．glRotated や glTranslated
などの関数を呼び出すと変換が追加される（合成され
る）が，これは，既存のモデルビュー変換行列の右側から
2