1 線形代数問題・解説

1
線形代数問題・解説
1.1
問題１−１．
¯
¯

¯ 15 11 5 ¯

¯
¯
 15x + 11y + 5z = 0...(1)
¯
¯
3x + 5y + 4z = 0...(2) , |A| = ¯ 3 5 4 ¯ = 0,
¯
¯

 21x + 21y + 13z = 0...(3)
¯ 21 21 13 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 15 11 5 ¯
¯ 11 5
¯ 11 5 ¯
¯ 5 4 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 = ¯ 3 5 4 ¯ = 15 ¯
¯ + 21 ¯
¯−3¯
¯ 5 4
¯ 21 13 ¯
¯ 1 列で展開 ¯ 21 13 ¯
¯
¯ 21 21 13 ¯
15 × (−19) + 3 × (−38) + 21 × 19
(3) − (1) = 2 × (2)
{
[
]
15x + 11y = −5z...(1)′
15
解は
:
x = 19
z, y = − 14
z
′
42
3x + 5y = −4z...(2)
1.2
問題 1 −２．
１．（１）
(i)A の行列式の値が 0 でない小行列の最大の幅。
(ii)A の一次独立な列ベクトルの最大個数。
(iii)A の一次独立な行ベクトルの最大個数。
(iv)A で定まる線形変換の値域の次元。
¯

¯
¯ 1 0
4 ¯¯
1 0
4 2
¯
¯

¯
（２） 3 1
2 ¯ = −25 ̸= 0, 階数: 3
2 6 ,¯ 3 1
¯
¯
¯ 1 −2 −1 ¯
1 −2 −1 2


1 0
4 2 2


（３） 3 1
2 6 3 , 階数: 3
1 −2 −1 2 −1


x + 4z + 2u = 2

[
]
9
− 2u, y = 35 , z = 25
3x + y + 2z + 6u = 3 解は: x = 14
25

 x − 2y − z + 2u = −1
¯
¯


¯ 1 1 1 ¯
1 1 1
¯
¯
¯
¯


２．（１）A =  1 2 3  , |A| = ¯ 1 2 3 ¯ = a − 4,
¯
¯
¯ 2 3 a ¯
2 3 a
1
¯
¯
¯
¯=
¯
(i)a = 4 → rank(A)
= 2, (ii)a 
̸= 4 → rank(A) = 3

1 1 1
1


（２）B =  1 2 3
0 
2 3 a a−3


1 1 1 1


(i)a = 4 →  1 2 3 0  rank(B) = 2
2 3 4 1
(ii)a ̸= 4 → rank(B) = 3
（３）
(i)a = 4 → rank(A) = rank(B) = 2（解の自由度＝３−２＝１）


 x+y+z =1
x + 2y + 3z = 0 解は: [x = z + 2, y = −2z − 1]

 2x + 3y + 4z = 1
(ii)a ̸= 4 → rank(A) = rank(B) = 3（解の自由度＝３−３＝０）


x+y+z =1

, 解は: [x = 3, y = −3, z = 1]
x + 2y + 3z = 0

 2x + 3y + az = a − 3


1 1 1 0
 2 5 −1 3 


３．（１）
 階数: 2（解の自由度＝４−２＝２）
 1 3 −1 2 
2 3 1 1
(1) + (4)
{ = (2), (1) − (4) = (3), (1) と (3) は独立 →→→ 階数: 2
x + z = −y
（３）
→ x = −2y − u.z = y + u
x − z = −3y − 2u
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + (u − 1)2 = (−2y − u − 1)2 + (y − 1)2 +
(y + u − 1)2 + (u − 1)2
= 6uy − 2u + 3u2 + 6y 2 + 4
= 6(y − 12 u)2 + 32 u2 − 2u + 4
= 6(y − 21 u)2 + 32 (u − 23 )2 + 4 − 23
→→→ u = 32 , y = 12 u = 13 , x = −2y − u = − 43 , z = y + u = 1



0 1 −2 
0
1
−2
 2 2 a 



４．（１）
  4 3 0  行列式＝ 0,
 4 3 0 
2 1 1
2 1 1
2
¯
¯
¯ 0 1 −2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 2 a ¯ = 4a + 4
¯
¯
¯ 4 3 0 ¯
(i)a = −1 → rank(A) = 2 解は一意でない（自由な解が１つ）
(ii)a ̸= −1 → rank(A) = 3 このときに rank(B) = 3 ならば解が存在し
て一意。¯
¯
¯ 0 1 −2 1 ¯
¯
¯
¯ 2 2 a b ¯
¯
¯
|B| = ¯
¯ = 2a − 2b + 4c − 2ab + 4ac + 2 = 0
¯ 4 3 0 b ¯
¯
¯
¯ 2 1 1 c ¯
の時にだけ解を持つ。


1


y
−
2z
=
1
 x = 2a+2 (4c − 3b − a + ac + 2) ,

1
2x + 2y + az = b →→→
y = a+1
(a + 2b − 2c − 1) ,



 2x + y + z = c
1
(b − c − 1)
z = a+1
（２）¯a = −1 → rank(A)
=2
¯
¯ 0 1 −2 1 ¯
¯
¯
¯ 2 2 −1 b ¯
¯
¯
|B| = ¯
¯
¯ 4 3 0 b ¯
¯
¯
¯ 2 1 1 0 ¯
¯
¯
¯ 2 −1 b ¯
¯
¯
¯
¯
しかも、¯ 3 0 b ¯ = 3c = 0 → c = 0
¯
¯
¯ 1 1 c ¯
¯
¯
¯ 1 −2 1 ¯
¯
¯
¯
¯
更に、¯ 2 −1 b ¯ = 3 − 3b = 0 → b = 1
¯
¯
¯ 3 0 b ¯


y − 2z = 1

2x + 2y − z = 1 → y = 2z + 1, 2x = −3z − 1

 2x + y + z = 0
(x+ 1 )
→→→ y−1
= −32 = z2
4
¯
¯
¯
¯ 1 0
1
1
¯
¯
¯
¯ 1 1
a
a
+
1
¯
¯
５．¯
¯
¯ a 0 a+1
1 ¯
¯
¯
¯ 1 −a
1
a+1 ¯
= 2a − a2 + a3 = a (a2 − a + 2) →→→
3
(i)a ̸= 0 ならば拡大係数行列 B の階数（rank) が４となる。一方係数行
列 A の階数（rank) は３以下なのでこの場合は解を持たない。




1 0 1
1 0 1
 1 1 1 
 1 1 1 




(ii)a = 0 の場合を考える。A = 
 →→→
 →→→ 
 0 0 1  (4)−(1)→(4)  0 0 1  (2)−(1)→(2)
0 0 0
1 0 1




1 0 0
1 0 1
 0 1 0 
 0 1 0 





 →→→ 

[3]−[1]→[2]
 0 0 1 
 0 0 1 
0 0 0
0 0 0
従って、rank(A)
rank(B)



 ＝３は明らかだから連立方程
 ＝３。この場合に

x + z = 1...(1)
1
1 0 1  


 x + y = 1...(2)
 1 
 1 1 0  x
   

式は解を持ち、
  y  =   即ち、

 1 
 0 0 1 
z = 1...(3)


z

x + z = 1...(4)
1
1 0 1
を解く。
（１）と（４）は同じだから、
（１）、
（２）、
（３）から z = 1, x =
0, y = 0 を得る。
¯
¯
¯ 3 2−k ¯
¯
¯
６．¯
¯ = 4k − 2 →→→
¯ 1
k ¯
(i)k ̸=
1
2
ならば、方程式は自明な解しか持たない。
{
3x + 32 y = 0...(1)
(ii)k = 12 ならば、
(１) = ３ × (２) は明らかだか
x + 12 y = 0...(2)
ら、(2) より y = −2x, x; f ree の解。
1.3
問題２−１．
(4)
4
1.4
問題２−２．






a11
a21
a31






１．⃗a1 =  a12  , ⃗a2 =  a22  , ⃗a3 =  a32  と置くと、任意のベ
a
a23
a33
 13
x
 
クトル ⃗x =  y  に対して
z
 
x
 
f (⃗x) = f  y  = f (x⃗e1 + y⃗e2 + z⃗e3 ) = xf (⃗e1 ) + yf (⃗e2 ) + z(⃗e3 )
z






 
a11
a21
a31
a11 a21 a31
x






 
= x  a12  + y  a22  + z  a32   a12 a22 a32   y  と
a13
a23
a33
a13 a23 a33
z
なる。


a11 a21 a31


ここで、A =  a12 a22 a32  と置くと、行列 A が逆行列を持つこ
a13 a23 a33

 

 
a31
a21
a11

 

 
とと３つのベクトル  a12  ,  a22  ,  a32  が一次独立であること
a33
a23
a13
とは同値であるから（１）と（２）は同値である。


 
 


X
x+y+u
1
1


 
 


２．
（１） Y  =  x + 2y + z + u  = x  1  + y  2  +
Z
x−z+u
1
0
 


1
0
 


z 1  + u 1 
1
−1
x⃗a1 + y⃗a2 + z⃗a3 + u⃗a4 と置くと、明らかに、⃗a1 = ⃗a4 , ⃗a
a
⃗a4 で、
2 =⃗
3 +

1
1
   
⃗a1 , ⃗a2 は独立だから、Im(f ) は２次元で基底は、例えば、 1  ,  2 
0
1
 

x

x+y+u=0

 y 
 
4
（２）Ker(f ) = {  ∈ R ;
x + 2y + z + u = 0 }

 z 

x−z+u=0
u
5


x + y + u = 0...(1)

だから、 x + 2y + z + u = 0...(2) を解くと、（１）からこの連立方


x − z + u = 0...(3)
程式の係数行列の階数（rank）は２だから、
（１）と（３）を２つの変数
について解けば良い（１）から、



 x =−y −u、これを（３）に代入して
−1
−y − u
x
 1 


 y 
y




 
=
y
z = −y − u + u = −y. よって   = 
+




 −y
 z 
−1 
0
u
u

 



−1
−1
−1
 1   0 
 0 

 



u

,
。だから、基底は例えば、
 −1   0 
 0 
1
0
1


 


x
X
x+X
  ⃗



⃗ =
=  Y  ∈ V, ⃗x + X
３．
（１）⃗x =  y  , X
 y + Y ,x +
z
Z
z+Z
X + y +Y + z
+Z =x+y+z+X +Y +Z =0+0=0
kx


k⃗x =  ky  , kx + ky + kz = k (x + y + z) = k0 = 0
kz
（２）
z=0→
−(x + 
y),
 ⃗x ∈ V → x+ y + 
 z =
x
1
0






⃗x = 
y
 = x 0  + y 1 
−(x + y)
−1
−1


1


⃗x1 =  0 
−1
y=0 
⃗x1 · ⃗x = 0 → x + x +


x
1




→ y = −2x → ⃗x2 =  −2x  = x  −2 
x
1




1
1
 ⃗

1 
⃗ 1 = √1 
→→→ X
0 ,X
1 = √6  −2 
2
−1
1
6

 
 
y
0 1 0
x
  
 
（３） z  =  0 0 1   y  = A⃗x
x
1 0 0
z




 1  
√
0
1
2

 




（４）f (⃗e1 ) = f  0  =  − √12  = x √12  0 +y √16 
√1
−1
− √12
2
 √

3x + y = 0

√ ]
[
√
−2y = − 3 , x = − 12 , y = 12 3

 −√3x + y = √3




 1  
√
− √26
1
1
6



 √2   √1 
1
1
f (⃗e2 ) = f  − 6  =  6  = x √2  0  + y √6  −2
√1
√1
−1
1
6
6
 √

 3x + y = −2 [
√
]
, x = − 12 3, y = − 12
−2y = 1
 √

− 3x + y = 1
1.5
問題３−１．


0 2 2 1



→
１．(i)A =  2 6 4 3 

(2)−2×(4)→(2)
1 4 3 2


0 0 2 0


 2 0 4 0  → 階数 (rank)=2
1 0 3 0
 
 x

0 2 2 1  
 y 

(ii)Im(fA ) =  2 6 4 3    =
 z 
1 4 3 2
u
 
 
 
 
1
2
2
0
 
 
 
 
x 2  + y 6  + z 4  + u 3 
2
3
4
1

       
1
2
2
0

       
 2  ,  6  ,  4  ,  3  の中で 
2
3
4
1

7

1

−2  →
1


→

0 0 2 1

→
2 0 4 3 
(1)+(3)−2×(4)→(4)
1 0 3 2

u + 2y + 2z


 3u + 2x + 6y + 4z  =
2u + x + 4y + 3z

  
2
0
  
2  ,  4  が独立で基底。
3
1





{
x
y
z
u


  
u
+
2y
+
2z
0



  
 ∈ Ker(fA ) →→→  3u + 2x + 6y + 4z  =  0  →→→
rank=2

2u + x + 4y + 3z
0
u + 2y + 2z = 0
2u + x + 4y + 3z = 0

1 1

２．(i)A =  1 −1
2 0
: [u = −2x − 2y, z = x]



1
1 1 0



1  →→→  1 −1 0  , rank = 2
2
2 0 0

 
1 1 1
x

 
3
(ii)Im(A) = {A⃗x; ⃗x ∈ R } = { 1 −1 1   y  ; ⃗x ∈ R3 };
2 0 2
z

 

 



1 1 1
x
x+y+z
1
1

 

 



 1 −1 1   y  =  x − y + z  = x  1  + y  −1  +
2 0 2
z
2x + 2z
2
0

  
 
1
1
1

  
 
z  1  , Bases = { −1  ,  1 }
2
0
2


 
 
x+y+z
x
8


 
 
(iii)⃗b =  0  は、Ker(AT ) = {⃗x =  y  ; A⃗x = 0};  x − y + z  =
2x + 2z
z
8

 

0
 x+y+z =0
 
x − y + z = 0 解は: [x = −z, y = 0]
 0 →


2x + 2z = 0
0


x


⃗x ∈ Ker(AT ) → ⃗x =  0  →→→ ⃗x · ⃗b = 0
−x


 x+y+z =8
(iv) x − y + z = 0 解は: [x = 4 − z, y = 4]

 2x + 2z = 8

 

 
1
x
x

 

 
3
3
３．⃗v =  2  ∈ R , ⃗x =  y  ∈ R → f (⃗x) = 6  y  − (
−1
z
z
8

 
 
 
1
5x − 2y + z
5 −2 1
x

 
 
 
x + 2y − z)  2  =  −2x + 2y + 2z  =  −2 2 2   y 
−1
x + 2y + 5z
1
2 5
z
と定義する。以下に答えよ。

 

5x − 2y + z
1

 

(i) −2x + 2y + 2z  ·  2  = 0
x + 2y + 5z
−1


5 −2 1


(ii)A =  −2 2 2 
1
2 5

 
x
5 −2 1

 
3
(iii)Im(f ) = {A⃗x; ⃗x ∈ R } = { −2 2 2   y  ; ⃗x ∈ R3 } =
z
1
2 5
 


 




1
−2
1
−2
5
 


 




{x  −2  + y  2  + z  2 } = {y  2  + z  2 }
5
2
5
2
1
  



1
−2
5
  



( −2  = −2  2  +  2 )2 次元
5
2
1
  
 

x
x
5x − 2y + z
 
  

Ker(f ) = {⃗x =  y  ; A⃗x = 0} = {⃗x =  y  ;  −2x + 2y + 2z  =
z
z
x + 2y + 5z

 

0
 5x − 2y + z = 0
 
−2x + 2y + 2z = 0 解は: [x = −z, y = −2z]
 0 } →


x + 2y + 5z = 0
0
 




x
−z
−
 




⃗x =  y  ∈ Ker(f ) → ⃗x =  −2z  = z  −2 1 次元
z
z
1

 

   
−2c + d
1
−2
0

 

   
(iv) 0  ̸= ⃗x ∈ (Im(f )) → ⃗x = c  2 +d  2  =  2c + 2d 
2c + 5d
5
2
0


 
−2c + d
1


 
⃗e =  0  · ⃗x =  2c + 2d  = 0 → −2c + d = 0 → d = 2c →→→
2c + 5d
0
9

 

−2c + d
0

 

 2c + 2d  =  6c 
2c + 5d
12c
n
４．R が n 次元実ベクトル空間を表すとして、以下に答えよ。


0 2 2 1


(i) 行列 A =  2 6 4 3  の階数 (rank) を求めよ。(ii)(i) で与えた
1 4 3 2
行列 A により定まる Rm から Rn への線形写像を fA で表す。fA の像空間
fA (Rm ) の基底 (bases) を一組求めよ。また、fA の核空間 fA−1 (0) の次元を
求めよ。
５．(i)c1 + c2 x + ... + cn xn−1 = 0 → c1 = 0 → c2 x + ... + cn xn−1 =
x=0
0 → c2 + ... + cn xn−2 = 0 → c2 = 0 → ...cn = 0
x=0
x̸=0
(ii)Ker(T ) = {f (x) = c1 + c2 x + ... + cn xn−1 ; f ′ (x) = 0} → {f (x) =
c1 ; c1 ∈ R}, 1 次元
Im(T ) = {f (x) = c1 + c2 x + ... + cn xn−1 ; f (x) = g ′ (x), g(x) = d1 + d2 x +
... + dn xn−1 }f (x) = d2 + d3 x + ... + (n − 1)dn xn−2 , di ∈ R, (n − 1) 次元
６．問２−３．３．と重複。
７．問２−３．２．と重複。
８．問２−３．１．と重複。
1.6
問題. ４−１
{(
√
)}
√
↔ 12 a− 12 4a + a2 +
１.（１）固有ベクトル:
1
{(
)}
√
√
− 21 a + 12 4a + a2
1,
↔ 12 a + 12 4a + a2 + 1
1
和；a + 2、績；1
)}
{( )}
{(
1
−1
↔ 3、固有ベク
↔ −1,
（２） 固有ベクトル:
1
1
{(
)}
{( )}
−1
1
トル:
↔ − 12 ,
↔ 52
1
1
− 12 a −
1
2
10
4a + a2

 
 




−1
−1


 1 


 
 

（３） 固有ベクトル:  0  ,  1  ↔ −1,  1  ↔ 2





 1 

1
0



  



1
1 



 −1



  
固有ベクトル:  0  ,  1  ↔ 0,  −1  ↔ 3







1
0 
1




2 1 1
2 0 0
0 0
1




固有値:2（注意； 1 −1 1   1 2 0   3 0 1 )
1 0 0
0 1 2
0 1 −3










i

 −i 



 −1 






（４）固有ベクトル:  1  ↔ −1,  −1  ↔ −i,  −1  ↔












1
1
1
i


1
1
1
−
−
3
6
 3
5 
（５）固有値: 2, 3, 4、逆:  − 16 32
24 
1
1
1
− 3 12
3

  

1 

 −1




3
2
２.（１）特性多項式: X +4X +5X+2（２）固有ベクトル:  1  ,  0  ↔



1 
0





1




−1,  −1  ↔ −2




1

  

   

−1
1
1
1
 −x + y + z = 1


  
  
,
（３） 1  + 3  0  −  −1  =  2  , (
x−z =2


y+z =2
0
1
1
2
解は: [x = 
1, y =3, z = −1])



   

−1
1
1
−1
1



   

 
（４）An  2  = An { 1 +3  0 − −1 } = An−1 A{ 1 +
0
1
1
0
2

  
1
1

  
3  0  −  −1 }
1
1

 





−1
1
1
−1

 





= An−1 {(−1)  1 +(−1)3  0 −(−2)  −1 } = An−2 {(−1)2  1 +
0
1
1
0
11




1
1
 


(−1)2 3  0  − (−2)2  −1 }...
1
1


 




n
n


2
(−1)
−
(−2)
1
−1
1






n
n 
n
n
n 
= {(−1)  1 +(−1) 3  0 −(−2)  −1 } =  (−1) + (−2) 


 3 (−1)n − (−2)n 
1
0
1
1.7
問題５−１
)
) (
)(
cos θ − i sin θ
0
1 1
cos θ sin θ
=
（１）
0
cos θ + i sin θ
−i i
− sin θ cos θ
)(
)
)(
) (
9
6
1 1
1 6
−3 0
− 13
（２） 13
=
2
4
6
3
−3 2
6 6
0 10
13
13  


 

1
1
1
−3
0
0
1
1
0
1
2
−2
−
3
3

 32
 

1
1 
2 1 2   −1 2 1  =  0 3 0 
−
 3
3
3 
0 0 3
1 1 1
−2 2 1
−1 0
1



(
)
) (
)(
)(
−3
4
2
2
−2
−1
1
−1 0
1 1
1 2
−1



（３） 21 1 2
,  −1 2
=
1  0 1 0 
0 3
−1 1
2 1
2
2
−4 4 3
−1 0
1

 

1 1 0
−1 0 0



1
1 
 0 2 −2  =  0 1 0 
1 1 1
0 0 1



 

−3 2 −4
−1 2 −4
−1 0 −2
1 0 0



 

 2 −1 3   −5 4 −8   1 2 −1  =  0 0 0 
1 −1 2
−1 0 0
1 1 1
0 0 2


a 1 1


（４） 1 a 1  特性多項式: X 3 −3aX 2 +(3a2 − 3) X+(2a − a (a2 − 1) − 2)
1 1 a
→→→ X =0 → (2a − a (a2 
−
1) − 2) = −(a+ 2) (a − 1)2  

1
1
2
−
−
1
1
1
0
0
0
1
1
0
3
3


 
 3
1
1 
(i)a = 1,  13
1 1 1   −2 1 −1  =  0 3 0 
3
3 
−1 0
1
1 1 1
0 0 0
1 1 1
(
1
2
1
(2
1
i
2
1
−2i
)(
12

2
3
1
3

(ii)a = −2, 


−1



−2 1
1
1 1 0


1 
1 −2 1   −2 1 −1  =
3 
1
1
1 −2
1 1 1
− 13 − 31
1
3
0
−3 0 0


 0 0 0 
0 0 −3



 

1
1
1
1
1
0
3
2
−1
−2
0
0
−
3
6


 
 6
1
1 
（５） 56
2 0 2   −2 1 12  =  0 4 0 
−
3
6 
−1 2 3
0 0 4
−1 0
1
1 1 1
1.8
問題 5-２.
1.（１）互いの内積を考える。
（略）


 2x + y = 7
（２） x − y + z = 10 解は: [x = 5, y = −3, z = 2] → r = 5a1 −

 x−y−z =6
3a2 + 2a3
（３）Ar = A(5a1 − 3a2 + 2a3 ) = 2 · 5a1 − 3a2 + 3 · 2a3 , A2 r = A(2 ·
5a1 − 3a2 + 3 · 2a3 ) = (22 · 5a1 − 3a2 + 32 · 2a3 )
（４）An (5a1 − 3a2 + 2a3 ) = An−1 A(5a1 − 3a2 + 2a3 ) = An−1 (2 · 5a1 −
3a2 + 3 · 2a3 ) = An−2 (22 · 5a1 − 3a2 + 32 · 2a3 ) = ...


2n · 10


= A(2n−1 ·5a1 −3a2 +3n−1 ·2a3 ) = 2n ·5a1 −3a2 +3n ·2a3 =  2n · 5  −
2n · 5

 
 

3
0
10 × 2n − 3

 
 

 −3  +  3n−1 · 2  =  5 · 2n + 2 · 3n−1 + 3 
−3
−3n−1 · 2
5 · 2n − 2 · 3n−1 + 3


)
(
(
)
√ p
1
−
√
2
2
1−p
p
p +q 
2
, 固有ベクトル:
2.（１）
↔
↔ 1, 
q
1
√
√
q
1−q
2
2
2
1−q−p
p +q

（２）T = 
√1
2
1
√
2
(
, T −1 AT = D =
−√
√
p
p2 +q 2
q

 , T −1 =
p2 +q 2
1
0
0 1−q−p
)
√√
2 p2 +q 2
p+q
(
√
q
p2 +q 2
− √12
√
p
)
p2 +q 2
√1
2
→ A = T DT T −1 → An = (T DT T )n =
13
T Dn T −1
→→→ An = T Dn T −1

(
)
)(
p
q
p
√1
√
√√
−
√
√
2
2
2
2
2
1
0
2 p +q
p +q 
p2 +q 2
p2 +q 2

=
p+q
n
1
√1
√ q
0
(1
−
q
−
p)
√1
− √2
2
p2 +q 2
2


n
(
)
p(1−q−p)
1
q
p
√
√√
−√2 2
√
√
2 p2 +q 2
p +q
p2 +q 2
p2 +q 2
 2 q(1−q−p)

=
n
p+q
1
√1
√
√1
− √2
2
p2 +q 2
2


n
p(1−q−p)
p(1−q−p)n
q
p
1
1
√ (√
√ (√
√
√
√√
+
)
−
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 p +q
p +q
p +q
p +q
 2 p q+q

=
q(1−q−p)n
q(1−q−p)n
1 √ p
p+q
√1 (√
√
√
√
(
−
)
+
)
2
2
p2 +q 2
p2 +q 2
p2 +q 2
p2 +q 2


n
p(1−q−p)
p(1−q−p)n
q
1
1
√ (√
√ (√ p
√
√
√√
+
)
−
)
2
2
2
2
2
2 p +q
p2 +q 2
p2 +q 2
p2 +q 2
 2 p q+q

（３）limn→∞
q(1−q−p)n
q(1−q−p)n
p
1
1
p+q
√ (√
√ (√
√
√
−
)
+
)
2
2
p2 +q 2
p2 +q 2
p2 +q 2
p2 +q 2
)
(
=
q
p+q
q
p+q
p
p+q
p
p+q
14