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「数論」
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2006/3/15(20:16)
Daniel DUVERNEY: “THÉORIE DES NOMBRES”
c Dunod, Paris, 1998,
This book is published in Japan by arrangement with DUNOD
Editeur through le Bureau des Copyrights Français, Tokyo.
◇本書のサポート情報などをホームページに掲載する場合があります．
下記のアドレスにアクセスしご確認下さい．
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■本書の無断複写は，著作権上での例外を除き禁じられています. 複写
される場合は，その都度事前に（株）日本著作出版権管理システム（電
話 03-3817-5670，FAX 03-3815-8199）の許諾を得てください．
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まえがき
カール フリードリッヒ ガウス (1777–1855) によれば，数学は「科学の女王」であ
り数論は「数学の女王」である．
「数論はその成果の量と多様性，証
ルイ モーデル (1872–1952) は次のように述べた．
明の美しさと力強さにおいて比類がない．それは数学のもつロマンチシズムの主要な
部分を秘めている．ガウスがソフィー ジェルマンに宛て書いたように，数論の美しさ
はそれを深く学ぶ勇気をもつ者だけに明かされる．
」
数論の命題はしばしばきわめて簡単に述べることができる．そして命題の単純さと
その証明の複雑さとの対照が数論の魅力の核心をなしている．
本書は読者に数論の美しさを紹介することを意図している．予備知識としては大学
の 1,2 年程度の微積分，線形代数，群，環，体などの代数系の初歩を学んでいること
が望ましい．初等数論については有理整数環 Z，素数，合同式などの初歩的知識さえ
あればよい．第 7 章と第 12 章においてのみ複素関数論，コーシーの積分公式と最大
値の原理，が用いられる．
たった一冊の本で数論の完全な展望を与えることができないことは疑問の余地がな
い．本書の内容は本質的にはアレクサンドリアのディオファンタス (A. D. 150–350
の間，生存年不詳) の名を冠したディオファンタス問題に限定されている．それは 2
つの主要な側面，すなわちディオファンタス近似とディオファンタス方程式からなる．
そしてこの 2 つの側面は密接に関連している．
講義をより効果的に進めるためいくつかの定理の証明を演習問題とした．言うまで
もなくその解答は，他の演習問題と同様，鉛筆を手に辛抱強く探し求めなければなら
ない．
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目 次
第 1 章 無理性とディオファンタス近似
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
√
d の無理性 . . . . . . . . . . . .
e の無理性 . . . . . . . . . . . . .
π の無理性 . . . . . . . . . . . . .
チャカロフ関数の値の無理性 . . .
ディオファンタス近似 . . . . . . .
証明法に関する注意 . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
4
6
第 2 章 実数の級数および無限積による展開
2.1
2.2
2.3
9
実数の p 進法展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
実数のエンゲル級数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
カントールの無限積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
第 3 章 連分数
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
序 論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
収束の判定条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
零による割り算の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Σ における連分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ベッセル関数の比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
連分数と無理性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 4 章 正則連分数
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
17
17
20
23
24
26
28
32
実数の正則連分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
e の正則連分数展開 . . . . . . . . .
ディオファンタス方程式 ax + by = c
正則連分数とディオファンタス近似 .
2 次無理数と連分数 . . . . . . . . .
ペル方程式 . . . . . . . . . . . . . .
第 5 章 2 次体とディオファンタス方程式
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36
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38
40
43
47
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iii
目 次
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
2 次体 . . . . . . . .
2 次体の整数環 . . . .
2 次体の単数 . . . . .
Z における素因数分解
素元と既約元 . . . .
ユークリッド整域 . .
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ディオファンタス方程式 .
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49
52
54
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57
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62
62
63
66
70
71
76
第 6 章 平方数と平方数の和
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
2 つの平方数の和 .
有限代数系の構造 .
ルジャンドル記号 .
F∗p における計算 . .
整係数 2 元 2 次形式
4 つの平方数の和 .
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第 7 章 数論的関数
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ランベルト級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ヤコビの 3 重積公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 つの平方数の和 . . . . . . . . . . . .
4 つの平方数の和に関するヤコビの定理
オイラー関数 ϕ(n) . . . . . . . . . . . .
lcm(1, 2, · · · , n) の大きさ . . . . . . . .
r2 (n) の平均値 . . . . . . . . . . . . . .
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第 8 章 パデ近似
8.1
8.2
8.3
8.4
一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ガウスの超幾何関数と 2 項関数 (1 − x)α のパデ近似 . . . . . . . . .
合流型超幾何関数と指数関数のパデ近似 . . . . . . . . . . . . . . .
数論への応用
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第 9 章 代数的数と無理測度
9.1
9.2
9.3
.
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.
81
81
83
85
88
90
90
92
93
100
. 100
. 101
. 104
. 105
110
代数的数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
代数的整数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
超越数とリューヴィルの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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iv
目 次
9.4
9.5
9.6
無理測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
ディオファンタス方程式と無理測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
トゥエ-ロスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
第 10 章 代数体
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
代数体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
共役，ノルム，およびトレース . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
単 数 . . . . . . . . . . . . . .
判別式と整基底 . . . . . . . . .
フェルマーの方程式 x5 + y 5 = z 5
数体の整数環
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第 11 章 イデアル
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
数体のイデアル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
整イデアルの算術 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
イデアルのノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(p) の素イデアル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
数体の類数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
モーデルの方程式 y 2 = x3 + k への応用 . . . . . . . . . . . . . . .
第 12 章 超越数論入門
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
127
. 127
. 130
. 132
. 133
. 135
. 139
145
. 145
. 147
. 149
. 151
. 154
. 157
161
代数関数と超越関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
基本不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
マーラーの方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
.
エルミート-リンデマンの定理 . . . . . .
ゲルフォント-シュナイダーの定理 . . .
ジーゲル-シドロフスキーの方法 . . . . .
証明法に関する注意．ジーゲルの補題
.
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. 166
. 168
. 169
. 170
演習問題解答
173
訳者あとがき
255
参考文献
256
索 引
258
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1
第1章
無理性とディオファンタス近似
第 1 章では
√
d，e，π ，およびチャカロフ関数 (§1.4) 値の無理性の簡単な証明を述
べる．そして証明からディオファンタス近似の概念をひきだし，その無理性の問題と
の関連を示す (§1.5)．最後に，証明の方法についていくつかの注意を述べる (§1.6)．
1.1
√
d の無理性
定理 1.1 自然数 d が完全平方数でないならば
√
d は無理数である．
√
√
証明 背理法による． d を有理数と仮定する．すなわち d = a/b．ここで a, b を
たがいに素な正整数として選ぶ．両辺を 2 乗して b2 d = a2 を得る．d は平方数では
ないから，素因子 p と整数 k が存在して d = p2k+1 δ と書ける．ただし p δ である．
このとき p2k+1 |a2 ．したがって pk+1 |a．そこで a = pk+1 α とおくと b2 δ = pα2 とな
る．ゆえに p|b．以上より p|a かつ p|b．これは a と b がたがいに素であることに矛盾
する．よって定理 1.1 が証明された．
系 1.1 自然数 d が完全平方数でないならば，1 と
√
√
d は Q 上線形独立である．すな
わち p, q ∈ Q，p + q d = 0 ならば p = q = 0 である．
実際 q が 0 でないならば
√
d = −p/q ∈ Q となり，定理 1.1 に矛盾する．ゆえに
q = 0．したがって p = 0 である．
系 1.1 は第 4 章と第 5 章においてしばしば用いられる．
1.2
e の無理性
定理 1.2 e は無理数である．
証明 自然数 n に対して
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2
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第1章
無理性とディオファンタス近似
e=
n
1
+ Rn ,
k!
Rn =
k=0
∞
k=n+1
1
k!
(1.1)
とおく．あきらかに Rn > 0 である．さらに
1
1
1
+
+
+ ···
(n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!
1
1
1
1
1+
+
+
+ ···
=
(n + 1)!
n + 2 (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3)(n + 4)
1
1 1 2 1 3
2
<
1+ +
.
+
+ ··· =
(n + 1)!
2
2
2
(n + 1)!
Rn =
したがって (1.1) より
0 < n! e − n!
n
2
1
<
.
k!
n+1
(1.2)
k=0
ふたたび背理法を用いる．e = a/b と仮定する．ただし a と b は正整数である．(1.2)
より次式を得る．
0 < n! a − bαn <
2b
.
n+1
n 1
は整数である．すなわち βn = n! a − bαn は正整数の列で n を
k=0 k!
無限大に近づけるとき 0 に近づくことがわかる．0 でない正整数は 1 以上だから，こ
ここで αn = n!
れは不可能である．この矛盾は e が無理数であることを示している．
1.3
π の無理性
定理 1.3 π は無理数である．
証明 P (x) を次数 2n の多項式とする．
F (x) = P (x) − P (x) + P (4) (x) − · · · + (−1)n P (2n) (x)
とおく．P (x) sin x = (F (x) sin x − F (x) cos x) に注意して，次のエルミートの等
式を得る．
π
P (x) sin x dx = F (0) + F (π).
(1.3)
0
1
π = a/b (a, b ∈ N) と仮定する．エルミートの等式 (1.3) を P (x) = xn (a − bx)n
n!
π
に適用する．In = 0 P (x) sin x dx とおく．区間 (0, π) 上で P (x) sin x は連続かつ
a2
1 a2 n
正であるから In > 0．さらに (0, π) 上で x(a − bx) ≤
π
だから，In ≤
．
4b
n! 4b
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3
1.4 チャカロフ関数の値の無理性
したがって lim In = 0 である．
n→∞
一方，すべての自然数 n に対して F (0)，F (π) ∈ Z が証明できる (演習問題 1.1 と
する)．したがって In ∈ Z (n ≥ 0) である．すなわち In は正整数の列で 0 に近づく．
これは前定理 1.2 の証明で述べたように不可能である．ゆえに π は無理数である．
1.4
チャカロフ関数の値の無理性
q ∈ C, |q| > 1 とする．チャカロフ関数は
Tq (x) =
∞
n=0
xn
q
n(n+1)
2
(x ∈ C)
(1.4)
により定義され，関数方程式
Tq (qx) = 1 + xTq (x)
(1.5)
をみたす．次の結果を証明する．
定理 1.4 q ∈ Z, |q| ≥ 2 とする．このとき任意の x ∈ Q∗ に対して，Tq (x) は無理数
である．
この定理の証明では下記の補題を必要とする．この補題は第 8 章においても用いら
れる．
補題 1.1 K を C の部分体とする．f (x) =
∞
n=0
an xn (an ∈ K) は正の収束半径 R
をもつとする．p, q, r は p < r ≤ p + q + 1 をみたす自然数とする．このとき K の
元を係数とする多項式 P, Q，ただし Q = 0, deg P ≤ p, deg Q ≤ q ，とベキ級数
g(x) =
∞
n=0
bn xn (|x| < R) が存在して，次式が成り立つ．
Q(x)f (x) + P (x) = xr g(x).
(1.6)
証明 演習問題 1.2 とする．
証明 (定理 1.4) x = α/β (α, β ∈ Z) とする．結論を否定し，Tq (x) =
と仮定する．
関数方程式 (1.5) から帰納法によって，Tq
µ
(µ, ν ∈ Z)
ν
x
An
=
, An ∈ Z (n ≥ 0) が示さ
n
q
ναn
れる．
ρ を固定された整数で |α/q ρ | < 1 をみたすとする．補題 1.1 を K = Q, f (x) =
Tq (x), p = q = 2ρ, r = 3ρ に対して用いる．このとき多項式 P と Q は有理係数を
newmain :
4
2006/3/15(20:16)
第1章
無理性とディオファンタス近似
もつ．しかし (1.6) にこれらの係数の分母の最小公倍数を乗ずることにより，P と Q
は整係数をもつと仮定してよい．よって次式を得る．
Q(x)Tq (x) + P (x) = x3ρ g(x).
(1.7)
ただし P, Q は整係数多項式で deg P ≤ 2ρ, deg Q ≤ 2ρ, Q = 0 をみたす．
ところで g は零関数ではない．実際もしそうであるとすると，(1.7) より Tq は有理
関数となる．しかも C 上のすべての点で定義されているので多項式となる．これは
テーラー展開 (1.4) に矛盾する．ゆえに x = 0 における g のテーラー展開の係数の少
なくとも 1 つは 0 でない．すなわち，次式をみたす整数 σ ≥ 0 と関数 h が存在する．
Q(x)Tq (x) + P (x) = x3ρ+σ h(x),
h(0) = 0.
(1.8)
上式において x = α/β を x/q n = α/(βq n ) に取りかえ，両辺に ναn β 2ρ q 2ρn を乗ず
る．こうして得られた数を Bn とおくと
να3ρ+σ α n α h
β ρ+σ q ρ+σ
βq n
α α α = β 2ρ q 2ρn Q
· ναn Tq
+ ναn β 2ρ q 2ρn P
.
(1.9)
n
n
βq
βq
βq n
α α α n
2ρ 2ρn
ここで，β 2ρ q 2ρn Q
，
να
T
q
P
,
β
∈ Z である．ゆえに
q
βq n
βq n
βq n
Bn ∈ Z．さらに n → ∞ のとき
να3ρ+σ α n
Bn ∼
h(0)
β ρ+σ q ρ+σ
Bn =
(一般に an ∼ bn は lim an /bn = 1 を意味する)．上式は一方において ρ の選び方
n→∞
|α/q ρ | < 1 より lim Bn = 0 を，他方において α = 0，h(0) = 0 より十分大きいす
n→∞
べての n に対して Bn = 0 を示す．我々はふたたび 0 に収束する零でない整数の列
Bn を得た．この矛盾が定理 1.4 を示す．
1.5
ディオファンタス近似
与えられた実数 α に対して，関数 f ，不等式
Pn α −
≤ f (Qn ) → 0 (n → ∞),
Qn
(1.10)
およびその有理数解 Pn /Qn を総称して，ディオファンタス近似とよぶ．
e および Tq (α/β) の無理性はディファンタス近似の構成によって示されたことがわ
かる．e の場合，(1.2) は次のように書ける．
newmain :
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1.5 ディオファンタス近似
0<e−
ただし Pn = n!
Pn
2
2
<
≤
.
Qn
(n + 1)Qn
Qn
5
(1.11)
n 1
, Qn = n! である．
k=0 k!
Tq (α/β) の場合はそれほど自明ではない．まず関数方程式 (1.5) から帰納法によって
α kn α ln
Tq
Tq
=
+ n (kn , ln ∈ Z)
βq n
αn
β
α
が示される．したがって (1.9) より
α n 1
α P c
n
−
≤
.
Tq
≤ c ρ+σ β
Qn
q
|Qn |
Qn
(1.12)
ただし Qn = kn β 2ρ q 2ρn Q(α/βq n ), − Pn = αn β 2ρ q 2ρn P (α/βq n ) + ln Qn /kn , c =
max n ∈ N |α3ρ+σ β −ρ−σ h(αβ −1 q −n )| である．
e と Tq (α/β) の場合の相違は，(1.11) に与えられたディオファンタス近似が明示的
である，つまり Pn と Qn が n の関数として具体的に計算できるのに対し，(1.12) に
与えられたものがそうではないことにある．後者の場合 Pn と Qn は多項式 P と Q の
関数として表されている．補題 1.1 は多項式 P と Q の存在を保証してはいるが，そ
れらを計算するいかなる手段も与えていない．
我々はこれら 2 つの場合に無理性の結果に到達できた．それは良いディオファンタ
ス近似，つまり Qn を乗じたのちも，積 Qn f (Qn ) が 0 に近づくような近似を構成で
きたからである．これを定理とする．
定理 1.5 α ∈ R に対して
Pn ε(n)
0 < α −
≤
Qn
Qn
(n ≥ 0),
lim ε(n) = 0
n→∞
をみたす有理数列 Pn /Qn が存在するならば，α は無理数である．
証明 演習問題 1.3 とする．
逆にディリクレ (1805–1859) による次の定理は，任意の無理数に対して良いディオ
ファンタス近似が存在することを示している．
定理 1.6 任意の無理数 α に対して，次式をみたす無限個の有理数 Pn /Qn (n ≥ 0) が
存在する．
まず次の補題を示す．
1
Pn 0 < α −
< 2.
Qn
Qn
newmain :
6
2006/3/15(20:16)
第1章
無理性とディオファンタス近似
補題 1.2 任意の実数 α と任意の整数 Q > 1 に対して，有理数 p/q で 1 ≤ q < Q, 0 <
|qα − p| ≤ 1/Q をみたすものが存在する．
証明 Q + 1 個の数 0, 1, α − [α], 2α − [2α], · · · , (Q − 1)α − [(Q − 1)α] を考える
([x] は実数 x の整数部分，すなわち 0 ≤ x − [x] < 1 をみたす整数を表す)．これ
らの数はすべて区間 [0, 1] に属し，aα + b の形をしている．ただし a と b は整数で
0 ≤ a ≤ Q − 1 をみたす．ここで，引き出し論法を用いる．区間 [0, 1] を Q 個の部分
区間 [0, 1/Q], [1/Q, 2/Q], · · · , [(Q − 1)/Q, 1] に分割する．このとき先の Q + 1 個の
数のうち少なくとも 2 つが同一の部分区間に含まれる (これは引き出しと靴下に例え
ることができる)．
それらを ξ1 = a1 α + b1 , ξ2 = a2 α + b2 と書く．ただし 0 ≤ a1 ≤ Q − 1, 0 ≤ a2 ≤
Q − 1, a1 = a2 である (なぜなら同時に ξ1 = 0, ξ2 = 1 となることはないから)．た
とえば a1 > a2 と仮定してよい．ξ1 と ξ2 は長さ 1/Q の同じ部分区間の中にあるから
|ξ1 − ξ2 | = |(a1 − a2 )α + b1 − b2 | ≤ 1/Q，0 < a1 − a2 ≤ Q − 1 となる．これは補題
1.2 を示す．
証明 (定理 1.6) 帰納法を用いる．整数 Q > 1 を任意に固定する．補題 1.2 より有理数
P1 /Q1 が存在して，0 < |α − P1 /Q1 | < 1/(QQ1 )，1 ≤ Q1 < Q をみたす (α は無理数
だから等号をはずしてよい)．したがって 0 < |α − P1 /Q1 | < 1/Q21 ．ふたたび補題 1.2
を用いる．ただし整数 Q は 1/Q < |α−P1 /Q1 | となるように選ぶ．すると有理数 P2 /Q2
が存在して 0 < Q2 < Q，0 < |α − P2 /Q2 | < 1/(QQ2 ) < 1/Q22 をみたす．そして
P1 /Q1 = P2 /Q2 である．実際 |P1 /Q1 − P2 /Q2 | ≥ ||P1 /Q1 − α| − |P2 /Q2 − α|| = 0．
なぜなら |P1 /Q1 − α| > 1/Q, |P2 /Q2 − α| < 1/(QQ2 ) ≤ 1/Q．この操作を続ける
ことにより，たがいに異なる有理数列 Pn /Qn (n ≥ 0) で |α − Pn /Qn | < 1/Q2n をみ
たすものが構成できる．以上で定理 1.6 が証明された．
1.6
証明法に関する注意
本章において特筆すべき 3 つの証明法が用いられている．
√
√
√
d の無理性の証明の中で背理法が用いられた．すなわち d = a/b から出発して，
d = a /b , a < a, b < b を示した．このような状況では最小性論法 (ここでは a/b
の既約性，つまり分母 b の最小性) を用いることができる．または次のように考えても
よい．与えられた値 a から出発して真に減少する正整数の無限列 a > a > a > · · ·
を構成する．これはあきらかに不可能である．後者を降下法という．
2 番目の方法は e, π ，および Tq (α/β) の無理性の証明に用いられたもので，0 に収
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2006/3/15(20:16)
演習問題
7
束する正整数の列を構成することによる．一般にこの種の証明の最も困難な部分は，
問題となる整数の列が零列ではないこと，すなわち零でない項が無限に多く存在する
ことの証明である．それは第 12 章における超越性の証明の基礎をなしている．
第 3 の方法は引き出し論法である．n + 1 足の靴下を n 個の引き出しにしまうとき，
少なくとも 1 つの引き出しに少なくとも 2 足の靴下が含まれる．この原理により導き
出される結果の例として次の命題を挙げる．
命題 {un }n∈N を有界な整数列とするとき，um = un をみたす整数 m, n (m = n)
が存在する．
演習問題
1.1 定理 1.3 の記号を用いる．P (0) = P (0) = · · · = P (n−1) (0) = 0 を示せ．そして
F (0) ∈ Z，F (π) ∈ Z を導け．
1.2 補題 1.1 を証明せよ．
1.3 定理 1.5 を証明せよ．
√
√
1.4 α = 3 2 + 5 が無理数であることを示せ．
1.5 β = log10 2 が無理数であることを示せ．
1.6 α を整数を係数にもつ多項式 P (x) = xd + ad−1 xd−1 + · · · + a1 x + a0 , d ≥ 1 の根とす
る．このとき α が整数かまたは無理数であることを示せ．
1.7 m ∈ Z, m ≥ 2 とする．
∞
P
n=0
1
が無理数であることを示せ (2 つの異なる証明を与えよ)．
mn2
1.8 無理数 α が 2 次であるとは整数 a, b, c，ただし ac = 0，が存在して aα2 + bα + c = 0 が
成り立つことである．
1) 黄金数 Φ = (1 +
√
5)/2 が 2 次無理数であることを示せ．
2) e が 2 次無理数ではないことを示せ．
n
1.9 フェルマー数 Fn は Fn = 22 + 1 (n ≥ 0) により定義される．数 χ =
であることを証明しよう．|x| < 1 に対して
f (x) =
∞
X
n=0
とおく．このとき
“
1) f (x) − g(x) = 2 f (x) −
n
x2
,
1 − x2n
g(x) =
x ”
を示せ．
1−x
∞
X
n=0
n
x2
1 + x2n
∞
P
1
が無理数
n=0 Fn
newmain :
2006/3/15(20:16)
100
第8章
パデ近似
第 8 章でははじめに原点の近傍で正則な関数のパデ近似を定義する．そしてディオ
ファンタス近似において基本的な補題 8.1 を証明する．
§8.2 ではガウスの超幾何関数の性質を復習し，2 項関数 (1 − x)α , α ∈ Z のパデ近
似を具体的に構成する．この表示から極限移行により，指数関数のパデ近似を合流型
超幾何関数を用いて構成できる (§8.3)．
最後に，構成されたパデ近似からディオファンタス近似や無理性の結果を導く．(§8.4，
演習問題)．
8.1
一 般
論
∞
定義 8.1 f (x) =
ak xk (|x| < R) を原点 0 の近傍で正則な関数とし，(m, n) ∈ N2
k=0
とする．次の条件 a)，b)，c) をみたす (Qm , Pn , Rm,n ) を f の [m/n] パデ近似という．
a) Qm , Pn は多項式で，deg Qm ≤ m, deg Pn ≤ n．
∞
b) Rm,n (x) =
bk xk (|x| < R) は 0 の近傍で正則．
k=0
c) Qm (x)f (x) + Pn (x) = xm+n+1 Rm,n (x) (|x| < R)．
特に m = n のとき，(Qn , Pn , Rn,n ) を対角型パデ近似とよぶ．
パデ近似の存在は補題 1.1 からいえる．f の第 n 部分和 Sn (x) =
n
ak xk が [0/n]
k=0
パデ近似を与えることに注意しておく．実際
1 · f (x) − Sn (x) = xn+1
∞
an+k+1 xk .
k=0
なお (Qm , Pn , Rm,n ) を f の [m/n] パデ近似とすると，任意の λ ∈ C に対して
(λQm , λPn , λRm,n ) も同様である．
数論では本質的には対角型パデ近似が用いられる．次の補題はパデ近似において基
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2006/3/15(20:16)
8.2 ガウスの超幾何関数と 2 項関数 (1 − x)α のパデ近似
101
本的重要性をもつ．
補題 8.1 (Qn , Pn , Rn,n ) を f の対角型パデ近似とする．Qn (0) = 0, Rn (0) = 0 (n ≥
0) と仮定する．このとき，すべての n ≥ 0 に対して
Q (x)
Pn (x) n
= cn x2n+1 ,
Qn+1 (x) Pn+1 (x)
cn = 0
が成り立つ．
証明 Qn (x)f (x) + Pn (x) = x2n+1 Rn (x)．ゆえに
Q (x)
Pn (x) Qn (x)
Pn (x) + Qn (x)f (x) n
=
Qn+1 (x) Pn+1 (x) Qn+1 (x) Pn+1 (x) + Qn+1 (x)f (x)
Q (x)
x2n+1 Rn (x) n
=
Qn+1 (x) x2n+3 Rn+1 (x)
= x2n+1 (−Qn+1 (x)Rn (x) + x2 Qn (x)Rn+1 (x))
となる．したがって
∞
Q (x)
Pn (x) n
bk xk .
= x2n+1 −Qn+1 (0)Rn (0) +
Qn+1 (x) Pn+1 (x)
k=1
(8.1)
ところで左辺の多項式の次数は 2n + 1 以下である．ゆえに (8.1) より，bk = 0 (k ≥ 1)
である．そこで cn = −Qn+1 (0)Rn (0) とおけばよい．
8.2
ガウスの超幾何関数と 2 項関数 (1 − x)α のパデ近似
任意の複素数 a に対して

(a)0 = 1
(a) = a(a + 1) · · · (a + n − 1),
n
n≥1
(8.2)
とおく．a, b, c, x ∈ C，|x| < 1 に対して次式により超幾何関数 2 F1 を定義する．
2 F1
∞
a, b (a)n (b)n n
x .
x =
c
(c)n n!
n=0
例 8.1 a = b = c = 1 のとき，幾何級数を得る．
2 F1
∞
1, 1 1
.
xn =
x =
1
1−x
n=0
(8.3)
newmain :
102
2006/3/15(20:16)
第 8 章 パデ近似
例 8.2 a = −α, b = c のとき，2 項級数を得る．
2 F1
∞
−α, b (−α)(−α + 1) · · · (−α + n − 1) n
x = (1 − x)α .
x =
b
n!
n=0
注意 8.1 (8.3) においてあきらかに c = 0, −1, −2, · · · を仮定しなくてはならない．a が負の
˛ ”
“
˛
整数のとき，2 F1 a,c b ˛ x は多項式となり，その次数は −a 以下である．この場合 c < a なる
限り c は負の整数でもよい．なぜなら，この条件のもとでは (a)n が 0 となった後に (c)n が 0
“
˛ ”
˛
となるからである．すなわち a と c が負の整数で c < a ならば，2 F1 a,c b ˛ x は次数 −a の
多項式である．
定理 8.1 超幾何関数 2 F1 a,c b x は微分方程式
x(1 − x)y + (c − (a + b + 1)x)y − aby = 0
(8.4)
をみたす．さらに c ∈ Z のとき，(8.4) の (0, 1) 上の一般解は
a, b a − c + 1, b − c + 1 x + Bx1−c 2 F1
x
c
2−c
(A, B ∈ C は任意定数) によって与えられる．
y = A 2 F1
(8.5)
証明 演習問題 8.1 とする．
定理 8.1 から関係式
a, b c − a, c − b (8.6)
x (1 − x)a+b−c = 2 F1
x
c
c
が導かれる (演習問題 8.2 参照)．上式よりパデ (1900) 自身にしたがい，2 項関数
2 F1
(1 − x)α のパデ近似を得ることができる．
定理 8.2 α ∈ Z, m, n ∈ N とする．|x| < 1 に対して，次式が成り立つ．
2 F1
−m, −n + α −n, −m − α x (1 − x)α − 2 F1
x
−m − n
−m − n
n + 1 − α, m + 1 (−1)m (−m − α)m+n+1
= xm+n+1
F
x .
2 1
m+n+2
m+n Cm (m + n + 1)!
証明 ε ∈ [−1/2, 1/2] とする．(8.6) において a = −m, b = −(n + ε) + α, c =
−m − (n + ε) とおくと次式が得られる．
−m, −(n + ε) + α −(n + ε), −m − α (8.7)
x (1 − x)α = 2 F1
x .
2 F1
−m − (n + ε)
−m − (n + ε)
−n + α (8.7) の左辺の超幾何関数は，ε → 0 とするとき，次数 m の多項式 2 F1 −m,
−m − n x
に収束する．
newmain :
2006/3/15(20:16)
8.2 ガウスの超幾何関数と 2 項関数 (1 − x)α のパデ近似
103
(8.7) の右辺に現れる超幾何関数を次のように 3 つの部分に分ける．
2 F1
n
−(n + ε), −m − α (−(n + ε))k (−m − α)k k
x
x =
−m − (n + ε)
(−m − (n + ε))k · k!
k=0
m+n
(−(n + ε))k (−m − α)k k
x +
(−m − (n + ε))k · k!
∞
(−(n + ε))k (−m − α)k k
x . (8.8)
(−m − (n + ε))k · k!
k=n+1
k=m+n+1
−m − α x に収束する．
ε → 0 とするとき，(8.8) の右辺の第 1 項は 2 F1 −n,
−m − n +
第 2 項は 0 に近づく．なぜなら n + 1 ≤ k ≤ m + n のとき
(−n − ε)k = (−n − ε)(−n − ε + 1) · · · (−n − ε + k − 1)
はつねに ε を因子としてもつからである．
第 3 項を g(x) とおく．これを次式を用いて単純化する．
(−n − ε)k = [(−n − ε) · · · (−ε)] × [(−ε + 1) · · · (−ε + m)]
× [(−ε + m + 1) · · · (−ε + m + 1 + (k − m − n − 1) − 1)],
(−m − n − ε)k = [(−m − n − ε) · · · (−n − 1 − ε)] × [(−n − ε) · · · (−ε)]
× [(−ε + 1) · · · (−ε + 1 + (k − m − n − 1) − 1)],
(−m − α)k = [(−m − α) · · · (n − α)]
× [(n + 1 − α) · · · (n + 1 − α + (k − m − n − 1) − 1)],
k! = (m + n + 1)! × [(m + n + 2) · · · (m + n + 2 + (k − m − n − 1) − 1)].
g(x) の一般項において (−n − ε)k /(−m − n − ε)k は (−ε)(−ε − 1) · · · (−ε − n) に
よって約分できる．g(x) の各項に上式を代入したあと，添字を l = k − m − n − 1 に
変えると
g(x) =
[(−ε + 1) · · · (−ε + m)] × [(−m − α) · · · (n − α)] m+n+1
x
[(−m − n − ε) · · · (−n − 1 − ε)] × (m + n + 1)!
×
∞
(−ε + m + 1)l (n + 1 − α)l xl
(−ε + 1)l (m + n + 2)l
l=0
.
|x| < 1 をみたす x を固定するとき，この級数は ε ∈ [−1/2, 1/2] に関して一様収束す
る．そこで ε → 0 とすると，第 3 項は
∞
(m + 1)l (n + 1 − α)l
m!(−m − α) · · · (n − α)
xm+n+1
xl
(−m − n) · · · (−n − 1) · (m + n + 1)!
l!(m + n + 2)l
l=0
に収束する．以上より，(8.8) で ε → 0 とすることによって，定理 8.2 が得られる．
newmain :
104
8.3
2006/3/15(20:16)
第 8 章 パデ近似
合流型超幾何関数と指数関数のパデ近似
b > 0, |x| < b とする．定義より次式を得る．
∞
a, b x (a)n
1 2 n − 1 xn
1+
=
1+
··· 1+
.
2 F1
c b
(c)n
b
b
b
n!
n=0
x を固定するとき，右辺の級数は b ∈ [2|x|, ∞) に関して一様収束するから
∞
a, b x (a)n xn
.
lim 2 F1
=
b→∞
c b
(c)n n!
n=0
右辺は任意の x ∈ C において収束する．この関数を合流型超幾何関数とよび，次の
ように書く．
1 F1
∞
a (a)n xn
.
x =
c
(c)n n!
n=0
注意 8.2 一般化された超幾何関数
p Fq
(8.9)
“a , a , · · · , a ˛ ”
1
2
p˛
˛x
b1 , b 2 , · · · , b q
は，q ≥ p − 1 をみたす p, q ∈ N に対し
p Fq
∞
“a ,a ,· ·· ,a ˛ ” X
(a1 )n (a2 )n · · · (ap )n xn
1
2
p˛
˛x =
b1 , b2 , · · · , b q
(b1 )n (b2 )n · · · (bq )n n!
n=0
によって定義される．上式が記号 2 F1 ,
1 F1
1 F1
(8.10)
を説明している．
に戻る．定理 8.1 で x を x/b に置きかえて，次の定理を得る (証明は演習問題
8.3 とする)．
定理 8.3 合流型超幾何関数 1 F1 a
c x は微分方程式
xy + (c − x)y − ay = 0
(8.11)
をみたす．さらに c ∈ Z のとき，(8.11) の (0, ∞) 上の一般解は
y = A 1 F1
a a − c + 1 x + Bx1−c 1 F1
x
c
2−c
(8.12)
(A, B ∈ C) によって与えられる．
a が負の整数のとき，1 F1 ac x は多項式となる．これを用いて指数関数のパデ近
似を具体的に構成することができる．
定理 8.4 すべての n, m ∈ N に対して，次式が成り立つ．
newmain :
2006/3/15(20:16)
8.4 数論への応用
1 F1
105
−n −m −x ex − 1 F1
x
−m − n
−m − n
m+1 (−1)m xm+n+1
(x ∈ C).
= m + n
x
1 F1
n
+
m
+
2
(m + n + 1)!
m
証明 定理 8.2 において x を −x/α に置きかえる．よく知られているように lim (1 +
α→∞
x/α)α = ex である．したがって
−m, −n + α x lim 2 F1
−
α→∞
−m − n
α
∞
n
(−m)k n − k + 1 (−x)k
1−
··· 1 −
= lim
α→∞
(−m − n)k
α
α
k!
k=0
−m
= 1 F1
−x .
−m − n
同様に
−n, −m − α x −n = 1 F1
−
x ,
α→∞
−m − n
−m − n
α
n + 1 − α, m + 1 x m+1 lim 2 F1
= 1 F1
−
x .
α→∞
m+n+2
m+n+2
α
lim 2 F1
これらの式より定理がしたがう．
8.4
数論への応用
次の結果を証明する．
√
定理 8.5 K = Q( −d) を虚 2 次体とする．任意の α ∈ K ∗ に対して，eα ∈ K で
ある．
特に α ∈ Q∗ ならば eα は無理数である (演習問題 3.14 参照)．他の興味深い結果と
して次の系を挙げる (これは演習問題 3.15 からも得られる)．
√
系 8.1 すべての k ∈ N∗ に対して，π k は無理数である．
√
√
√
証明 実際 π k ∈ Q と仮定し， k = m d とおく．ただし d は平方因子をもたな
√
√
√
いものとする．このとき α = (π k)i k ∈ Q( −d) となる．ゆえに eα = eikπ =
√
(−1)k ∈ Q( −d)．これは定理に矛盾する．
定理 8.5 の証明は ex の対角型パデ近似から出発する．これは定理 8.4 で m = n と
して得られる．すなわち
newmain :
2006/3/15(20:16)
161
第 12 章
超越数論入門
e の超越性の証明はエルミート (1873) によってなされた (演習問題 12.14 参照)．エ
ルミートの方法を一般化することにより，リンデマンは 1882 年 π の超越性を証明し，
それによって円の平方化の不可能性が示された．
この最後の章において 1930 年代ゲルフォント，マーラー，シュナイダー，および
ジーゲルがエルミートの方法の延長線上に発展させた超越性の証明法を解説する．
はじめの 2 つの節は準備である．§12.1 では代数関数および超越関数が定義される．
§12.2 では代数的数のハウスを定義し，基本不等式を証明する．
§12.3 ではマーラーの方法を例にとり，超越性の証明の主要な段階を明示する．ま
た e と π の超越性を含むエルミート-リンデマンの定理をゲルフォントの方法によっ
て証明する (§12.5)．
そして，ゲルフォント-シュナイダーの定理 (§12.6) およびジーゲル-シドロフスキー
の方法 (§12.7) を証明なしで紹介する．
12.1
代数関数と超越関数
定義 12.1 K を可換体，A を K を含む可換環とする．α ∈ A に対し P ∈ K[x], P = 0
が存在して P (α) = 0 をみたすとき，α は K 上代数的であるという．A の元が K 上
代数的でないとき，その元を K 上超越的であるという．
たとえば代数的数は Q 上代数的な C の元である．
f を複素平面のある開集合 Ω 上で正則な関数とする．f が代数関数であるとは f が有
理関数体 C(x) 上代数的であること，すなわち多項式 P0 , P1 , · · · , Pd ∈ C[x], Pd = 0
が存在し，すべての x ∈ Ω に対して
Pd (x)(f (x))d + Pd−1 (x)(f (x))d−1 + · · · + P0 (x) = 0
(12.1)
が成り立つことをいう．f が代数関数でないとき，f を (C(z) 上の) 超越関数という．
newmain :
162
2006/3/15(20:16)
第 12 章 超越数論入門
例 12.1 有理関数は 1 次の代数関数である．
例 12.2 関数 f (x) = (1 + x)1/2 は 2 次の代数関数である．実際 f (x) は (f (x))2 −
(1 + x) = 0 をみたし，有理関数ではない．
次の 2 つの補題において超越関数の例を与える．
補題 12.1 指数関数 ex は超越関数である．
証明 背理法による．ex が代数的と仮定し
Pd (x)edx + Pd−1 (x)e(d−1)x + · · · + P0 (x) = 0,
(12.2)
P0 , · · · , Pd ∈ C[x] とおく．ただし d は最小にとる．したがって Pd = 0 である．この
とき任意の x ∈ C に対して
Pd (x) = −Pd−1 (x)e−x − · · · − P0 (x)e−dx
(12.3)
が成り立つ．x ∈ R, x → ∞ とすると，(12.3) の右辺は 0 に収束する．ゆえに Pd = 0
である．よって矛盾が導かれた．
補題 12.2 Ω = {x ∈ C| |x| < 1} において定義される関数
f (x) =
∞
n
x2
(12.4)
n=0
は超越関数である．
証明 はじめに f がきわめて簡単な関数方程式をみたすことに注意する．すなわち
f (x2 ) = f (x) − x.
(12.5)
f を代数的と仮定すると，任意の x ∈ Ω に対して
(f (x))d + Qd−1 (x)(f (x))d−1 + · · · + Q0 (x) = 0
(12.6)
が成り立つ．ここで Qi ∈ C(x) は d ≥ 1 が最小となるように選ぶ．(12.6) において
x を x2 に置きかえ，(12.5) を代入すると
(f (x) − x)d + Qd−1 (x2 )(f (x) − x)d−1 + · · · + Q0 (x2 ) = 0
となる．これを展開して
(f (x))d + (Qd−1 (x2 ) − dx)(f (x))d−1 + · · · = 0
を得る．(12.6) から上式を引くと，d の最小性より，Qd−1 (x) = Qd−1 (x2 ) − dx が成
り立つ．そこで Qd−1 (x) = A(x)/B(x) とおく．ただし A, B ∈ C[x] はたがいに素と
する．分母を払って次式を得る．
newmain :
2006/3/15(20:16)
12.2 基本不等式
A(x)B(x2 ) = A(x2 )B(x) − dxB(x)B(x2 ).
163
(12.7)
上式より B(x2 )|A(x2 )B(x)．B(x2 ) と A(x2 ) はたがいに素であるから B(x2 )|B(x)．
これは B(x) = b ∈ C∗ を意味する．したがって (12.7) は A(x) = A(x2 ) − bdx と書け
る．deg A ≥ 1 のとき，これは不可能である．ゆえに deg A = 0．すなわち A(x) ∈ C．
よって bdx = 0 である．これは bd = 0 矛盾する．
12.2
基本不等式
無理性の証明の多くは正の整数の列は 0 に収束することができないという事実に基
づく (1.6)．これは次の命題に帰着される．
α ∈ Z∗ ⇒ |α| ≥ 1
(12.8)
ここで Z を数体 K の整数環 AK に置きかえることはできない (注意 8.3)．ただし K
が虚 2 次体の場合は例外である (補題 8.2)．ところで超越性の証明は一般の数体にお
いて行われる．そこで次の量を導入することが必要となる．
定義 12.2 α ∈ C を d 次の代数的数とし，α1 = α, α2 , · · · , αd をその共役根，すな
わち最小多項式 Pα の根とする．このとき
α = max |αi |
i
(12.9)
を α のハウスとよぶ．
定理 12.1 α を代数的数とし，K を α を含む数体とする．σ1 , σ2 , · · · , σm を K の共
役写像とする．このとき次式が成り立つ．
α = max |σi (α)|.
i
(12.10)
証明 演習問題 12.1 とする．
定理 12.2 α, β を代数的数とするとき
α+β ≤ α + β ,
αβ ≤ α
β .
証明 演習問題 12.2 とする．
定理 12.3 α = 0 を代数的整数とするとき， α ≥ 1 が成り立つ．
証明 演習問題 12.3 とする．
(12.11)
(12.12)
newmain :
2006/3/15(20:16)
164
第 12 章 超越数論入門
定理 12.3 は (12.8) の一般化である．超越性の証明においてしばしば次の基本不等
式 (12.13) が用いられる．この式は任意の代数的数 α = 0 に適用できるが，その中に
はハウス α だけでなく残念ながら分母 den α (定理 9.3) も含まれている．
定理 12.4 α を零でない d 次の代数的数とする．このとき次式が成り立つ．
|α| ≥ α
−d+1
(den α)−d .
(12.13)
証明 演習問題 12.4 とする．
12.3
マーラーの方法
マーラー (1929) の方法により，(12.5) のような型の関数方程式をみたす関数の代
数的数における値の超越性が証明できる．ここでは (12.4) で定義される関数 f (x) を
例として証明するに留める．
定理 12.5 代数的数 α, 0 < |α| < 1 に対して，f (α) =
∞
n
α2 は超越数である．
n=0
系 12.1
∞
1
は超越数である．
2n
2
n=0
証明 いくつかの段階に分けて行う．
第 1 段階 f (x), (f (x))2 , (f (x))3 , · · · は有理整係数のベキ級数である．
∞
k f (x) =
bkn xn ,
bkn ∈ Z
n=0
とおく．
m ∈ N∗ を十分大きく選び固定する．少なくとも 1 つが零でない m + 1 個の有理整
係数多項式
Pi (x) =
m
ain xn
(i = 0, 1, · · · , m)
n=0
とベキ級数 gm (x) が存在して
2
Pm (x)(f (x))m + Pm−1 (x)(f (x))m−1 + · · · + P0 (x) = xm gm (x)
(12.14)
が成り立つ．
実際，そのためには Pi (x) の係数を，左辺をベキ級数に展開したとき，xn (n =
0, 1, · · · , m2 − 1) の係数が 0 となるように選べればよい．すなわち
m min(m,n)
i=0
k=0
aik bi,n−k = 0 (n = 0, 1, · · · , m2 − 1).
(12.15)
newmain :
2006/3/15(20:16)
12.3 マーラーの方法
165
これは (m + 1)2 個の変数 aik をもつ Z 係数 bi,n−k の連立 1 次方程式である．未知数
の個数が方程式の個数 m2 より大きいから，この方程式は非自明な解を Q 内にもつ．
Z 内の解を得るためには共通分母を乗ずればよい．
ベキ級数 gm は零でない．なぜなら gm = 0 とすると，Pi のうち少なくとも 1 つは
零でないから f は代数的となり，補題 12.2 に矛盾するからである．そこで
σ ≥ 0, hm (0) = 0
gm (x) = xσ hm (x),
(12.16)
とおく．
第 2 段階 f (α) を代数的と仮定する．K = Q(α, f (α)), d = [K : Q] とおく．ま
た a = den α, α = β/a, β ∈ AK , b = den f (α), f (α) = γ/b, γ ∈ AK とおく．
(12.5) から得られる式
n
f (x2 ) = f (x) −
n−1
k
(n ≥ 1)
x2
(12.17)
k=0
を用いて
An
, An ∈ AK (n ≥ 1)
ba2n−1
n
と書ける．そこで (12.14)，(12.16) において，x を α2 に置きかえると
m
β 2n A i
2
n
n
n
Pi 2n
= α(m +σ)2 hm (α2 )
n−1
2
a
ba
i=0
n
f (α2 ) =
(12.18)
となる．(12.18) の左辺を Bn とおくと Bn ∈ K である．Pi は整係数で deg Pi ≤ m
であるから
n
n−1
den Bn ≤ am2 bm am2
n+1
≤ bm am2
(12.19)
が成り立つ．
第 3 段階 (12.18) において hm (0) = 0 に注意して n → ∞ とすると
Bn ∼ hm (0)α(m
2
+σ)2n
(n → ∞).
(12.20)
(12.20) より
Bn = 0 (n 十分大)
(12.21)
および
|Bn | ≤ c1 |α|m
2 n
2
(n ≥ 1)
が導かれる．ただし c1 は n に依存しない正定数である．
第 4 段階 Bn のハウスの評価．定理 12.2 より
(12.22)
newmain :
2006/3/15(20:16)
166
第 12 章 超越数論入門
≤
Bn
m m
j2n
|aij | α
i
n
f (α2 )
.
i=0 j=0
よって c2 = maxi,j |aij |, c3 = max(2, α ,
f (α) ) とおくことにより，次の評価
を得る (演習問題 12.5 とする)．
n+1
Bn ≤ c2 (m + 1)2 cm2
3
(n ≥ 1).
(12.23)
最終段階 Bn に基本不等式 (12.13) を適用する．(12.21) より Bn = 0 であるこ
とに注意する．また Bn ∈ K より deg Bn ≤ d である．(12.19)，(12.22)，および
(12.23) より
c1 |α|m
2 n
2
n+1
≥ (c2 (m + 1)2 cm2
3
)−d+1 (bm am2
n+1
)−d
を得る．両辺の対数をとると
−md log b + (−d + 1) log(c2 (m + 1)2 )
+2n (−m2 log |α| + 2m((−d + 1) log c3 − d log a)) ≤ log c1
(12.24)
となる．|α| < 1 であるから，m を十分大きく選び
−m2 log |α| + 2m((−d + 1) log c3 − d log a) > 0
とできる．このように m を選んだのち，n → ∞ とすると，(12.24) の左辺は +∞ に
近づく．これは矛盾である．よって定理 12.5 が証明された．
マーラーの方法については参考文献 [19] に詳しい解説がある．
12.4
証明法に関する注意．ジーゲルの補題
定理 12.5 の証明は超越性の証明の典型的な例である．それは次の 5 つの段階から
成る．
1) 補助関数の構成．無理性の証明の多くの場合と異なり，一般には非明示的
な方法による．つまり補助関数の存在は証明されるが，それが明示的に与
2
えられるとは限らない．前節の証明では (12.14) の xm gm (x) が補助関数
である．
2) 補助関数を用いて代数的数 β を定義する．ここでは数 Bn である．
3) |β|, den β, β の上からの評価．
4) β = 0 の証明．前節の証明では，(12.20) により簡単である．しかし一般
的にはこの段階は最も困難といえる．そのためにしばしば零に関する補題
とよばれる命題を準備する必要がある．
newmain :
2006/3/15(20:16)
12.4 証明法に関する注意．ジーゲルの補題
167
5) 基本不等式 (12.13) を β に適用することによって矛盾を導く．
第 1 段階に戻る．これは数体 K の整数環 AK (定理 12.5 の場合は Z) に係数をもつ
連立 1 次方程式を解くことに帰する．前節の証明はこの段階は簡単である．なぜなら
解 aik ∈ Z は存在すればよく，それらの大きさを知る必要がないからである．一般に
はしばしば次のジーゲルの補題 (1930) が用いられる．
補題 12.3 {Aij }1≤i≤m,1≤j≤n を有理整数とする．ただし n > m．A ∈ N は
max |Aij | ≤ A
i,j
をみたすとする．このとき次式をみたす (x1 , · · · , xn ) ∈ Zn が存在する．
m
0 < max |xi | ≤ (nA) n−m ,
i



A11 x1 + A12 x2 + · · · + A1n xn = 0





A21 x1 + A22 x2 + · · · + A2n xn = 0
 ..

.





A x + A x + · · · + A x = 0.
m1 1
m2 2
mn n
(12.25)
(12.26)
証明 引出しの原理による．i = 1, 2, · · · , m に対し，−Vi (または Wi ) を {Ai1 , · · · , Ain }
の中の負 (または正) の数の和とする．したがって Vi + Wi ≤ nA である．X ∈ N と
する．各点 (x1 , · · · , xn ) ∈ Zn (0 ≤ xi ≤ X) に
yi =
n
Aij xj
(i = 1, 2, · · · , m)
j=1
により定義される点 (y1 , · · · , ym ) を対応させる．あきらかに −Vi X ≤ yi ≤ Wi X (i =
1, · · · , m) である．(x1 , · · · , xn ) の集合 E は (X+1)n 個の元からなる．一方 (y1 , · · · , ym )
m の集合 F はたかだか (nAX + 1)m 個の元から成る．そこで X = (nA) n−m と選ぶ．
このとき (X + 1)n−m > (nA)m が成り立つ．したがって
(X + 1)n > (X + 1)m (nA)m ≥ (nAX + 1)m .
つまり card E > card F．ゆえにこの対応は単射ではない．したがって少なくとも 2
つの点 (x1 , · · · , xn ), (x1 , · · · , xn ) が同一の像 (y1 , · · · , ym ) をもつ．よって
n
j=1
Aij (xi − xi ) = 0 (i = 1, · · · , m)
newmain :
2006/3/15(20:16)
258
索 引
14
カントールの無限積
あ 行
ガンマ関数
アイゼンシュタインの既約判定条件
幾何級数
111, 123
80
65
位数
55
54
48, 130
共役
64, 145
40, 130
—根
—がたがいに素
最大公約—
164
基本不等式
既約元
一意分解整域
イデアル
44
基本解
アーベル-バルローの関係式
26
101
—写像
148
147
130
40
共役根
整—
145
クンマーの定理
156
素—
148
クンマーの補題
133
単項—
146
ゲルフォント-シュナイダー定理
分数—
145
原始根
—類群
154
70, 78
エルミートの等式
2
エルミート-リンデマンの定理
12
111
円分多項式
139, 149
合同
さ 行
44
最小性論法
6
110
オイラー関数
90
最小多項式
オイラー定数
216
最大公約数
オイラーの規準
66
7, 31, 40, 51
黄金数
84
コーシーの積分公式
168
最小解
128
円分体
6, 54, 58
降下法
ウィルソンの定理
エンゲル級数
70
33
92
最大指数
171
最大値の原理
31
サイデルの判定条件
か 行
167
ジーゲルの補題
指数
70
ガウスの定理
148
次数
111, 127
ガウスの補題
67
指数的増大度
カーマイケル数
49
可逆元
核
還元
商 (集合)
137
ガロアの定理
153
64
商群
128
剰余群
45
81
152
準同型写像
152
拡大 (体)
加群
78
64
64
シルヴェスター級数展開
1 の—
92, 96
16
169
newmain :
2006/3/15(20:16)
索
127
数体
16
ストラトメイヤーの公式
49
49
49
数体の—
生成関数
81
152
—写像
63, 154
—関係
生成元
130, 145
正定値
71
135
152
同型
48
同値
63
—類
83
63
50
同伴
線形回帰数列
37
99
ディリクレ級数
ディリクレの単数定理
132
2 次体の—
6
4
5
ディオファンタス方程式
ガウスの—
整数部分
104
良い—
アイゼンシュタインの—
59, 131
トレース
52
素因数分解の一意性
な 行
54
ソフィー ジェルマンの定理
79
2 項級数
102
2 次形式
71
簡約された正定値—
た 行
112
対称式
—の基本定理
112
161
代数関数
代数体
127
代数的
161
74
47
48
実—
2 次体
112
40, 111
簡約された—
99
双—
211
たたみ込み級数
48
49
2 次無理数
112
多項式の増大度
ノルム
41
46
48, 131, 150
49
単位的可換環
80
単項イデアル整域
49, 133
基本—
実 2 次体の—
163
76
バシェの定理
50
パデ近似
50
判別式
100
対角型—
49, 133
110
は 行
ハウス
51, 135
虚 2 次体の—
—群
73
虚—
—の分母
代数的整数
—の同値
—の類数
2 次体
110
代数的数
単多項式
101
ディオファンタス近似
48
49, 132
整数環
単数
161
合流型—
2 次の—
素元
114
超越的
超幾何関数
48, 132
整数
超越数
138
整基底
161
超越関数
83
数論的関数
整域
3
チャカロフ関数
156
—の類数
引
100
135, 138
p 進小数展開
11
73
259
newmain :
2006/3/15(20:16)
260
索
引
p 進法展開
11
や 行
6, 7
引き出し論法
ピタゴラスの 3 つ組
52
ヒルベルトの第 7 問題
169
83
86
90
85
ヤコビのテータ級数
7, 79
フェルマー数
約数の和
ヤコビの定理
31
フィボナッチ数列
83
ヤコビの 3 重積公式
143
ファンデルモンド行列式
約数関数
83
有理関数
フェルマーの小定理
65
ユークリッド整域
フェルマーの方程式
52
ユークリッドの互除法
56, 80
34, 60
—x2 + y 2 = z 2
52
ユニモジュラ行列
79
—x3 + y 3 = z 3
58
ユニモジュラ変換
71, 74
—x4
53
y4
+
=
z4
—x5 + y 5 = z 5
31
プリングスハイムの判定条件
分割数
23
リーマン球面
66
—の相互法則
リーマンの ζ 関数
68
67
リューヴィル数
68
リューヴィルの定理
56, 60, 148
108
ベータ関数
隣接関係式
26
172
26
ルカの公式
ベルヌーイ数
97
ルジャンドル記号
母関数
125
8, 43, 52
ルジャンドルの等式
92
182
211
81
18
97
99
ランベルト型—
84
ま 行
116
116
18
—の収束
18
—の同値
21
—の発散
18
—の部分分子
17
—の部分分母
17
ランベルトの—
98
メビウスの変換公式
36
35
—の (第 n) 近似分数
ディリクレ型—
モーデルの方程式
連分数
—の値
81
指数型—
メビウス関数
49
正則—展開
(通常の)—
最良—
零因子
e の正則—展開
91
無理測度
66
97
ポワソンの積分
包除原理
115
ルジャンドル多項式
ベルヌーイ多項式
望遠鏡級数
114
リューヴィルの不等式
ベッセル関数
ペル方程式
98
115
—の第 1 補充法則
—の第 2 補充法則
ベズーの等式
62
84
ランベルト級数
97
平方剰余
64
ラグランジュの定理
ラグランジュの等式
20
ブロンカーの公式
ら 行
139
98
57, 157
27
18
訳 者 略 歴
塩川 宇賢（しおかわ・いえかた）
東京生まれ
東北大学理学部卒業
現職：慶應義塾大学理工学部教授
理学博士
数 論
版権取得 2003
2006 年 3 月 31 日 第 1 版第 1 刷発行
【本書の無断転載を禁ず】
著 者 塩川宇賢
発 行 者 森北 肇
発 行 所 森北出版株式会社
東京都千代田区富士見 1-4-11（〒 102-0071）
電話 03-3265-8341 ／ FAX 03-3264-8709
http://www.morikita.co.jp/
日本書籍出版協会・自然科学書協会・工学書協会 会員
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印刷 / エーヴィスシステムズ・製本 / ブックアート
Printed in Japan ／ ISBN4-627-08142-1