6. 音の強さと音の重ね合わせ

6. 音の強さと音の重ね合わせ
6. Sound intensity and composition of wave
このテーマの要点
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
音響エネルギーの考え方を理解する
平面波、球面波の音の強さを導出する
音の重ね合わせと各種音源の特性を理解する
教科書の該当ページ


4. 1. 4 音響エネルギー [p.25]
4. 1. 5 音波の重ね合わせ [p.27]

4. 1. 6 音源 [p.29]
音響エネルギー
平面波
x 方向のみ
音の伝搬をエネルギーの観点から考える

粒子の動き： 運動エネルギー 1 mv 2
2
1
V, ρ dV u, p
単位体積あたりでは
ρu2
2
1 p dV
 圧力の変化： 位置エネルギー −
2
p2
− p = K dV , K = ρ c 2 を用いると 単位体積あたりでは 1
2 ρc2
V

音響エネルギー密度は：
p2
w = 1 ρ (u 2 + 2 2 )
2
ρ c

(J/m3)
(4.32)
音の強さ(Intensity)は： 単位面積を単位時間に通過するエネルギー
p2
1
2
I = wc = ρ c (u + 2 2 )
2
ρ c
(W/m2)
(4.34)
音源の強さ



3次元波動方程式
右辺が0
∂ 2p − c2 ( ∂ 2p + ∂ 2p + ∂ 2p ) = 0 (4.8)
∂t2
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2
音源を含んでいない
(どこかで発生した
音波の伝搬)
音源の強さ
z
呼吸球がv0で調和振動
表面における粒子速度の垂直成分の総和
4π a 2 v0
(m3/s)
v0
体積速度
音源の強さ QS

a
x
点音源
a→ 0 のときの呼吸球を点音源という
点音源の基礎方程式
音源の強さQ Sを用いた音圧、粒子速度の方程式を導出する

呼吸球の基礎方程式において
p (r, t) = 1r Ae jω (t− c )
r
(4.20)'
A = ρ cav0 j k a e j k a
1+ j k a
a → 0 とすると
= jρ ck a 2v0
QS = 4π a 2 v0 を適用すると
= jρ ck

(4.22)', (4.23)'に代入すると
jρ ckQS j (ω t − k r)
e
(4.50)
4π r
Q
u (r, t ) = (1+ j k r) S 2 e j (ω t − k r)
4π r
p (r, t ) =
(4.51)
QS
4π
y
球面波の音の強さ

(4.34) 式より
p2
I (r, t ) = 1 ρ c (u 2 + 2 2 )
2
ρ c
QS2
= 1 ρ c {(1+ j k r) 2
e j 2(ω t − k r)
2
4
2
(4π ) r
− ρ 2c 2k 2QS2 j 2(ω t − k r)
+ 1
e
}
ρ 2c 2 (4π ) 2 r 2
k 2QS2 j 2(ω t − k r) (1+ j k r) 2
= 1 ρc
e
{
− 1}
2
k 2r 2
(4π ) 2 r 2
k 2QS2 j 2(ω t − k r) 1
= 1 ρc
e
{(
+ j ) 2 − 1}
kr
2
(4π ) 2 r 2

k r >> 1 の場合の実効値は
I(r ) = ρ c
k 2QS2
(4π ) 2 r 2
距離の2乗に
反比例
(4.53)
音の重ね合わせ


重ね合わせ
p (x, y, z, t ) = Σ pi (x, y, z, t )

ϕ2
(4.40)
ϕ1
p1 e j ϕ 1
Ex. 2つの平面波
p1 (x, t ) = p1 e j (ω t − k r + ϕ 1 )
p2 (x, t ) = p2 e j (ω t − k r + ϕ 2 )

p2 e jϕ 2
複数の点音源
pi (x, y, z, t ) = pi e j (ω t − k r + ϕ i )
任意の点の音圧
p e jϕ
合成
p (x, t ) = p1 (x, t ) + p2 (x, t )
= ( p1 e jϕ 1 + p2 e jϕ 2) e j (ω t − k r)
実効値
ベクトル合成
T
P 2 = 1 ⌠ p2(t) dt
T ⌡0
逆相で相殺：Active消音
 同相で増強：定在波、VR

無相関なら
= P12 + P22
(4.47)
p12(t ) + 2p1(t ) p2(t ) + p22(t )
いろいろな音源
p (r, θ , t )
二重音源

r2
jρ ckQS jω t e − jk r1 e − jk r2
p (r, θ , t ) =
e ( r − r )
4π
1
2
(4.55)
r1 ≈ r − 0.5l cosθ , r2 ≈ r + 0.5l cosθ
l/r に関するテーラー展開近似
k r >> 1 , r が大きい
=

ρ ckQS
kl cosθ e j (ω t − k r )
4π r
平面音源
jρ ckQS dS j (ω t − k r)
dp (r, t ) =
e
2π r
p (r0, t ) =
θ
− QS
(4.57)
jρ ckQS j (ω t − k r0)
e
2π r0
r1
QS
l
8の字指向性
r0
QS = π a 2v0
面Sで積分、k r >> 1 , r が大きい
r
a
v0
r
dS
S, QS
バッフル
平面波の音の強さ

粒子速度と音圧は
u (x, t ) = v0 e j (ω t − k x)

(4.16)'
p (x, t ) = ρ c v0 e j (ω t − k x)
(4.15)'
音の強さ(Intensity)は：
p2
I (x, t ) = 1 ρ c (u 2 + 2 2 )
2
ρ c
= 1 ρ c {v02 e j 2(ω t − k x) + 21 2 ρ 2c 2 v02 e j 2(ω t − k x)}
2
ρ c
= ρ c v02 e j 2(ω t − k x)

∴ I = ρ c v02 実効値
ところで…
ρ cI (x, t ) = ρ 2c 2v02 e j 2(ω t − k x)
= p 2 (x, t )
p 2 (x, t )
∴ I (x, t ) = ρ c
(1.4)