花火の運動のコンピューターシミュレーションによる3次元表現 II : 星の

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Title
花火の運動のコンピューターシミュレーションによる3次元表現 II :
星の燃焼による星の質量減少効果を考慮した開花半径
Author(s)
福山, 豊; 平田, 景子
Citation
長崎大学教育学部紀要. 教科教育学. vol.33, p.27-35; 1999
Issue Date
1999-06
URL
http://hdl.handle.net/10069/5872
Right
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1
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5
花火の運動のコンピューターシミュレーションによる 3次元表現 Ⅱ
一畳の燃焼による星の質量減少効果を考慮 した開花半径一
福山
豊*
平田
景子 '
(
平成 1
1
年 3月1
5日受理 )
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c
h.1
5,1
9
9
9)
1. は じめに
花火 の代 表である割物 は,図 1に示 す ように玉皮の内側沿 いに球形 に星 を並べ,内部 に
詰 め込 んだ割 り薬 に火 をつけて,強い力で破裂 させ,点火 した星が四方八方 に飛 び散 るこ
とで球形 の花 を咲かせ るように作 られている1
)
｡前 の報告で, この よ うな一 見複 雑 そ うな
花火の運動 を,力学の間選 として どの よ う
に取 り扱 う事 が で きるか を考 察 した2
)
｡こ
れは学生 たちに,運動方程式が解析 的 に解
けな くて も,初期条件が与 え られれ ば, コ
ンピュー ターを利用 した簡単 な言 語 に よる
数値計算 によ り,その後 の速度 と位 置 が求
め られ,運動方程式の解 が求め られ る こ と
や この結果 をグラフィックス と して視 覚化
す ることな どの学習 を体験 させ る こ とは,
力学教育の なかで極 めて重要であると考 え,
いろいろな花火の形 を措 きだす力学 教材 の
開発 を試み た ものであ る｡ この と き星 の運
図 1 割物 の構造
動 は,･
よ り現実的な花火 の運動 を表現 す るため に,速度の二乗 に比例 した空気 の抵抗 を考
慮 した三次元 の花火の運動 を考察 した｡ しか し, この場合 は星 の燃焼 による質量の変化 を
無視 した非現実 なモデル となっていたので,色 々な花火の形態 にのみ関心 を もち描 き出す
こととなった｡そ こで,今 回は,現実 の花火のモデルに近い星 の燃焼 の効果 を考慮 した場
合 について考察す る ことに した｡ この結果,星 の燃焼 の様子 の違 いや星の大 きさの違い に
よる花火の運動の様子 を理解す る ことがで きる ようになった｡
*長崎大学教育学部理科教室物理学
2
8
長崎大学教育学部紀要
教科教育学
I
b3
3(
1
9
9
9
年)
2.花火の運動方程式
一般 に,ニュー トンの運動 の第 2法則 は,微小時間 △tとその時働 いた力 F,運動 量 の
T
nU)
)とす る と
変化 を △p (- △(
= =
H
Ap-F･At
(
1)
と表 される｡
m
v
dm
v+ ∂Ⅴ
図 3 星の燃焼 による運動量変化
図 2 星 に働 く力
花火の運動 を記述す る座標系 を,x軸 を右側横軸 ,y軸 を垂 直上方 ,Z軸 を手前 側 に取
る と,速度 を持 って飛 んでいる星 に働 く力 は,y軸下方 に働 く重力 と,速度の向 きと逆 向
0
きに働 く速度の二乗 げに比例 した空気の抵抗力 と考 えることがで きる (
図 2)
この ときの運動量の変化 は,燃焼 に よる質量の減少 を考慮 しなければならないため,質
量が一定の場合 の ように,単 に Ap-m△Uとなるか どうかの検証が必要である｡
(
-m図 3に示す ように,始めの星の質量 を m,速度 を U とし, △t後 の星 の質量 をm'
n)
,その ときの速度 をL
l
'
(-U+△U)とす る 星が燃焼 して離 れ てい った部分 の質量 を
△T
△T
n,速度 を U+Suとす る. この ときの運動量の変化 は, 2次の微少量 を無視す ると
O
A
+
p-
(
m-A,
n)(
I+J
㍍ )+△m (
I+ 87)-mT
>
S
T
nU
と近似 され る｡
以上の ことを考慮す る と,星の運動方程式のx,y,Z
成分 は,
m告
ニー β
m告
-- mg-P uu,
m告
--
と表す ことがで きる｡
u ux
p out
(2)
福山 ･平田 :花火の運動のコンピューターシミュレーションによる 3次元表現 Ⅱ
2
9
ここで βは,空気抵抗 の係数 とす る｡ また,gは重力加速度である｡
この とき,速度の大 きさU は,速度の成分 との間に
L
J
-
Vx
2+
(6)
vy
2+ V
1
2
の関係がある｡
(3)∼ (5)式 に記述 している速度の二乗 に比例す る空気抵抗の係数 βは,星の半径
をr,空気 の密度 を β｡と表す る と
β - iW
2
(
7)
と表 され ることが知 られているい)
｡燃焼 によって この係数 βは小 さ くなることが分かる｡
しか し, この運動の加速度 に寄与す るのは βを m (- 4/3･'
rpT
J:pは星の密度)で割っ
た値 k,す なわち,
k- P/
m
(8)
1
6
pr
であ り,む しろ星の燃焼 とともに増加す ることがわかる｡
以上の考察か ら,今 回の花火の運動方程式 (3)∼ (5)は, (8)式の kを用いて
虫
dt - -k
y
2
+v
z
2
･V=
vr2+ v
包
3
2
+v
y
2
+v
z
2
･vy
dt-- 一g-k v
也
r
2
+v
y
2
+v
z
2
dt - -k v
･vz
と表す ことがで きる｡
3.星の燃焼 による質量変化
これ らの微分方程式 を数値計算 において解 く
ために,kの時間 tに よる変化 の式 と定 数 の値
を与 えなければな らない｡星の本当の密度分布
と半径の時間依存性 は,花火の意匠の構想 に よ
り星の作 り方はかな り異 なっているようなので,
ここでは力学問題 としての興味か ら単純化 して,
星の密度 を一定 と仮定 し,星の半径 の時間依存
性 として,次の 4つの場合 を取 り扱い比較 を行 っ
た
｡
これ らは, a)星の大 きさが変わ らない場合
(
㍗-r
｡
),b)星の表面積 に比例 して減少す る場
合 (
r- r
o(
1
at
)
l
/2 :
a-1
/2)
, C)星 の半径 に
r- r
o
(
1
at
):
a-1
/
2)),
比例 して減少する場合 (
d)星の半径が指数関数 に比例 して減少す る場
r-r
o
e
xp(
bt
):b-1) とした｡ また, こ
令 (
0
0.5
1
1
,5
t(
秒)
図 4 星の葉tの時間変化
2
3
0
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教科教育学
r
h3
3(
1
9
9
9
年)
れ らの花火の開花 の大 きさを比較す るため星 の初速度 uoと花火の開花時間 tを一定 とし,
それぞれ U0
-l
o
om/s
e
cと t-2秒 としたo これ らの半径 T
･と時間 tの様子 を図 4に示 す .
a)は実際の花火の運動 としては意味 をな さないが,前の報告の場合 に対応 し,後 との比
較のために採用 した, b) と C)は 2秒 で星が燃 え尽 きる もの としたが, d)は星の中心
に,燃 えない芯がある もの とした｡
また,空気 の密度 は, p｡
-1.
2k
g/m3 (
2
0℃ ,1気圧 ) とし,星の密度 は p-1
0
3k
g/m3と
仮定 した ｡
4.数値計算 と星の初期値
これ らの運動方程式は,解析 的 には解が求め られない ことが知 られているため,数値計
算 を行 う事 になるが,一番簡単 な
オイラー法 を用いることにす る｡
ル ンゲ ･クッタ法で も計算 してみ
たが,星の運動 に急激 な変化がな
いので 目立 った違いはなかったの
で,以後の計算 はオ イ ラ一法5)で
行 った｡
そ こで,花火の星 の運動方程式
図 5 星の初速度の角度の求 め方
を,オイラー法で,実際に解 くためには,各 々の星の速度 と位置の初期値が必要 となる｡
前の報告 と同様 に行 った2
)
0
通常,花火玉の破裂 は,打 ち上 げた後,ほほ頂点に達 した ときに起 こるように考慮 して
作 られていることが多いので, この頂点の位置 を座標 の原点 とし,飛 び出す星の位置の初
期値 は,
x-0
,y -0
, I-0
ととることにす る｡
(
12)
次 に,速度の初期値 を決めることが必要 となる｡ 半径2
0
c
m程 の結晶解析 で用 いる透明 な
半球の内側 に,紙粘土 を薄 く張 り付 け,その上か らビー玉 を隙 間な く並べ て押 し付 けた｡
その結果, ビー玉 を押 し付 けて粘土が押 しのけ られた場所 を,半球の外側か ら印を付 け,
その点が星が飛 び出す方向を決めるの緯度 と経度
に相当す る角皮 (
正確 には極座標の βと≠の角度)
と見 な した｡す なわち,半球 によってで きる球の
中心 とその点 を含 む断面 を,座標軸の原点 と エー
y面 ととり,それに直角 に Z軸 をとる と, Oは半
球上の点 を庫座標 で表 した ときの Z軸 となす角 で
あ り, ≠はその点 を x-y面 に射影 したときの xy軸 となす角 を表す.具体的 な数値 は, ビー玉 の
位置の印 を付 けた透明 な半球 を, βと 卓を読み取
0
ることので きる結晶儀に被せて読み取った (
図 5)
この値 を もとに, ビー玉 に見立てたそれぞれの星
の初速度 は,それぞれの βと 少のデータを用いて
図 6 極座棟 による初速度の成分表現
福 山 ･平 田 :花 火の運動 の コンピュー ター シ ミュ レーシ ョンに よる 3次元表現 Ⅱ
｡
U.
y
- U｡s
i
nOs
i
n≠
31
Ux- U｡s
i
nβc
os≠
u
(
1
3)
o
z
- uoc
osO
で決定 した (
図 6)｡
5.星の燃焼速度の違 いによる開花半径
今 回は, BA S IC言語6) を用 いて これ らの計算 とグラフィックス を措 かせ てみた｡
図 7か ら図 1
0に, a) ∼ d)の場合 の花火 の開花 の様子 を示 した｡前 の報告 の場合 に比べ
て,星の燃焼 を考慮す る と,開花直径 (
盆 )が小 さ くなっている｡ さらに, これ らの図か
ら, a)
, b)
, C)
, d)の順 に開花直径が小 さ くなってい ることがわか る ｡ また, これ
か ら同 じ時間花火が 開花 して も,星が始め速 く後でゆっ くり燃焼す る方が,始めゆっ くり
ll)式
後で速 く燃焼 す る よ り開花直径 は小 さ くなることが読み取 れる｡ これは (9)∼ (
の右辺の項 か ら,星 に働 く空気抵抗 が,星が速 く小 さ くなればなるほ ど減速効果が大 き く
C プ ログ ラム を付 録 に
効いて くることか ら予想で きることである｡ この ときの基本 BASI
示 しておいた｡
〟の場合
図 7 r-r
図 8 r-r
o(1-0.
5t)1/2の場合
o(
1
-0.
5t)の場合
図 9 r-r
図1
0 r-r
o
e
xp(
-i
)の場合
3
2
長崎大学教育学部紀要 教科教育学
N
Q
3
3(
1
9
9
9
年)
6.星の大 きさの違いによる開花半径
花火の本 によると,花火の運動 は,星の大小 によって,次の ような違いがあることが知
られている1
)
｡星が大 きくて燃焼速度 も大 きい ときは,遠方 に到達 して開花 半径 が大 き く
な り,運動的 に見 える 他方,星が小 さ くて,燃焼速度が小 さい と最初 だけ急速 に広が る
｡
が,後 はほ とん ど広が らない ように見 える これ らは,それぞれ,連動型 と静止型 と呼ば
れている｡ これ らの運動の特徴 を,表す ことがで きるか どうかを明 らかにす るために,星
｡
.
4c
mとして,計算 を行 った 比較 のため,
の半径の大小 の例 として,それぞれ, 1cmと0
どち らの花火 も開花の時間は 2秒 ,初速度 を1
2
0
m/
s
e
cとした｡両方 の花 火 の時 間的 な広
｡
が りが分か りやすい ように, まず,二次元の花火 を描かせ,1
/
2
秒 , 1秒 ,3
/
2
秒 ごとの星
の位置 に小 さな丸 を付 けた (
図1
2,図1
3)
｡これ らの図か ら,大 きい星 の場合 は, 開花 半
/2秒 後 の星 の広
径が大 きくな り,小 さい星 の場合 は, 2秒後の星の広が りの円に対す る1
が りの円の大 きさの割合が,大 きい星の場合 よ り大 きい事がわか り,確 かに連動型 と静止
型の違いを表 していることが分かる｡ これ を 3次元表示 で描かせた連動型割物 と静止型割
4と図1
5に描かせた｡ ここで,星の減少 は C)の場合 とした｡
物花火 を,それぞれ,図1
図1
1 2次元表示 による運動型花火
図1
2 2次元表示 による静止型花火
図1
3 3次元表示 による運動型花火
図1
4 3次元表示 による静止型花火
福山 ･平田 :花火の運動のコンピューターシミュレーションによる 3次元表現 Ⅱ
3
3
7 おわ りに
以上の結果か ら,星の燃焼 に よる質量 の減少 と星 の半径 の違 い を考慮す るこ とに よ り,
この ときの運動方程式 を数値計算 によ り実際の花火 の運動の様子 をかな りよ く表現 で きる
ようになった｡ これ を要約す る と,(a)
星 の燃焼 による貿量の減少 は,同 じ時間で燃 え尽
きる星 の場合 ,始め速 く燃 えて後でゆっ くり燃焼す るほ うが,始めゆっ くり燃 えて後で速
星 の半径が大 きい方が,小 さ
く燃 える方 よ り,花火の開花直径が小 さ くなることと,(b)
い半径 の花火 に比べ 開花半径が大 きくな り,最後 まで動 きがある連動型 とな り,小 さい星
は,開花半径が小 さ く,後半 に動 きの無い静止型 となることがわか った｡
さらにこれ らの応用 とし,風 による花火の開花 の影響や千輪花火 な どの運動 の様子 も力
学の問題 として措 くことがで きたが,つ ぎの機会 に報告 したい｡
付鐘
100
110
120
130
140
150
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410
420
430
440
プログラム
I HANAB工
1999.2.ll
I
SCREEN 3,0
W工DTH 80,25
CONSOLE 0,25,0,1
CLS 3
-
-
P工=3.14159
G=9.8
DT= .02
V=100
R0-.01
ALFAl=1/2
:
ALFA2=1
M工TUDO=1000
COL=2
W工NDOW(-120,-68)-(120,82)
READ A,
B
WI
I
工LE A<>一999
TH=5●A :F工=B
VZ = Ⅴ ●COS(P tTH/180)
VX = V+SIN(PZ*TH/180)+COS(PI+FI/180)
S工N(P工tT打/180)●S工N(P ●F工/180)
VY = ●
Ⅹ =0
Y =0
Z =0
FOR C= O TO 99
T=C●DT
Kl=PI+1.2/4
'
K2=4●P MITUDO●RO/3
'
K2=4●P工 ●M工TUDO●RO●SQR(1-ALFAl ●T)/3
K2=4*PZ *MZTUDO+RO+(1-ALFA +T)/3
K2=4●P M工TUDO●RO●EXP(-ALFA2●T)/3
K=Kl/K2
工F C=O THEN PSET(Ⅹ,-Y),COL ELSE LINE-(X,-Y),COL
Ⅹ=Ⅹ+ⅤⅩ ●DT
Y=Y+VY ●DT
'
Z=Z+VZ●DT
工
Ⅴ
工
-
'
工
●
工
●
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長崎大学教育学部紀要 教科教育学
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1
9
9
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年)
一2 8
一5 15 一
CD
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･･ ･ ･･ ･ ･･
･0 0 0⊥ ⊥ 2 2 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7
EN
02 34 55 6 67 7 8 8 9 9 1 1 11 1 1 11 1 1 1 11 1 11 ⊥ 11 11 11 1 1 1
TRE
X W
E
D
N
N Am ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA ATA 崇 ATA ATA ATA ATA ATA ATA m A
EI D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D
000 00 0 0 0 0 00 00 0000 0 00 00 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 00 00 00 0 0 0
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
AXニ ーK●SQR(
ⅤⅩ ●ⅤⅩ+VY ●VY+VZ●VZ)●ⅤⅩ
Ay二-G-K●SQR(
ⅤⅩ◆ⅤⅩ+VY ●VY+VZ●VZ)●VY
AZ= -K*SQR(
VX+VX+VY +VY+VZ+VZ)+VZ
VX=ⅤⅩ+A ●DT
VY=VY+AY●DT
VZ=VZ+AZ●DT
X
A,
ち
1.
4,-145
7,62,
1.5,-60,
2,1,
2.7,43,
5,96,
3.3,-172
3.3,-108
8,131, 4,-135,
-70,
4.
4.2,19,
2,-10, 4.5,158, 4.7,46,
4.8,102,
-91,
5.3,-158
5.5,-55,
5.5,-30,
8,123, 5.8,141,
5.9,26,
6,-179,
-75,
6.1,84,
6.2,64,
6.2,-12,
8,47,
6.8,167,
7,-90,
7.2,-116
7.5.-27. 7.8.-166
5,-129, 7.5,-47,
9,17,
7.9,33,
7.9,75,
7.9,134
8.1.114. 8.3.57.
150,
8,-180,
4,-13, 8.5,
-78,
9,-100,
9.2,-164,
3,44,
9.3,106,
9.5,-114, 9.5,-50,
7,24,
9.7.168,
9.8,125, 9.8,-36,
.72.
10.86.
10,142,
10,-175,
20,
10,-5,
10.2,154, 10.5,113,
,-127, 10.6,52, 10.6,36,
ll,-125,
80,
11,-44,
ll.1,175, ll.2,-58,
,-139, ll.8,135 ll.5,-74, ll.8,-95,
1.
12.
48.
12,66,
12,107,
119,
12,-68,
12,
-28,
12,-15,
1,152, 12.2,76, 12.5,-152 12.5,-130
9,88,
13,37,
13,178,
13,-107,
-42,
13,
-23,
13.1,115, 13.2,53,
5,9,
13.5,-138 13.5,-7, 14,22,
14,173,
14,-170, 14,-161,
144,
-75,
14,-63,
14.1,98, 14.2,
48,
3,82,
14.
4,127, 14.5.-32 14.6.-147
8,
-148, 14.8,-84, 14.9,147, 15,
-3,
-155,
15,-133,
15,-110, 15,42,
1,94,
15.2,121, 15.2,179, 15.2.-53
3,55,
15.5,-168 15.6,160, 15.8,39,
16.-72.
16.-25.
16,-93,
21,
2,100, 16.2,137, 16.2,171 16.2,-156
2,-123, 16.2,-103 16.2,-62 16.3,78,
16.8,129 16.9,51,
7,-39, 16.8,2,
146.
17.156.
17,-132, 17,-82,
17.2,13, 17.2,31,
17.1,59,
17,
,-112, 17.3,117
17.
4,111 17.5,
40,
17.9.139 -999.0
.177. 17.9.80.
2,148
3.5,-34
4.2,73
5,-118
5.7,6
6,-140
6.7,109
7.4,-153
7.8,-65
8,4
8.3,92
9.2,-137
9.6,-67
9.9,7
10,-89
10.5,-150
ll,-105
ll.5,15
ll.9,162
12,-160
12.1,27
12.8,-87
-52
13,
13.
4,157
14,69
14,-97
14.2,-120
14.8,29
15,104
15,-18
15.3,ll
15.9,67
16,-9
16.2,-142
16.5,-176
17,89
17,-48
17.2,163
17.5.165
福 山 ･平 田 :花火の運動の コンピューターシ ミュ レーシ ョンによる 3次元表現
Ⅱ
参考文献
1)清水武夫 :花火の話 (河 出書房新社 ,1
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5)例 えば,三井 田惇郎,荒井秀一 :数値計算法 (
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6)例 えば,河西朝雄 :入門ソフ トウェアシリーズ 3 BASIC (ナツメ社 ,1
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3
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