確率に関するパラドックス（その2）

確率に関するパラドックス（その２）
美添泰人 1
はじめに
ム理論のもじりで，いたずらのようでもある．
本 稿 で は ，前 回 に つ づ い て 確 率 に 関 す る 比
囚人のジレンマ
較 的 興 味 深 い パ ラ ドック ス を 紹 介 し ，ベ イ ズ
仮釈放を申請している 3 人の囚
人 A，B，C は 同 程 度 に 良 好 な 服 役 記 録 が あ る ．判
統計学の立場からそれらにどのように答える
事が 3 人のうち 2 人を釈放する決定を下したこと
こ と が 出 来 る か を 示 す．
は 囚 人 に 知 れ た が ，ど の 2 人 か は 知 ら さ れ て い な
今 回 の パ ラ ドック ス は「3 人 の 囚 人 」の 問 題
い ．囚 人 A の 友 人 で あ る 看 守 は 誰 が 釈 放 さ れ る か
であり，ベイズの定理そのものによって答えら
を知っている．囚人 A は，看守に自分が釈放される
れ る ．た だ し ，こ の 解 答 に 関 し て は い く つ か
かどうかを直接聞くことは信義に反すると考えた
の 反 対 意 見 も あ る ．そ れ ら に つ い て も ，わ ず
が，
「 彼 を 除 く 」他 の 2 人 の 囚 人 の う ち の「 一 人 の 」
か で は あ る が 触 れ る こ と に し よ う．問 題 は ベ
囚 人 の 名 前 を 聞 い て み よ う と 考 え た ．彼 は ，こ の
イ ズ の 定 理 を 認 め る か 否 か で は な く，ベ イ ズ
質 問 を す る 前 に は 彼 が 釈 放 さ れ る 確 率 は 2/3 で あ
の定理を実際に適用する際の条件付き確率の
る と 考 え て い た ．とこ ろ で 彼 は ，仮に 看 守 が「B は
設 定 に あ る と 考 え ら れ る ．例 に よって 基 本 的
釈 放 さ れ る 」と 答 え た な ら ば ，釈 放 さ れ る の は「A
な考え方は参考文献 [1], [2], [3], [8] などに譲る．
と B」か「B と C」か の い ず れ か だ か ら ，彼 自 身 が
釈放される確率は 1/2 に減ってしまうと考えた．結
2
局 A は ，自 分 が 釈 放 さ れ る 確 率 を 小 さ く し て し ま
3 人の囚人のパラドックス
うので，質問をすることは中止した．しかし，A の
計 算 は 誤 り で あ る ．こ の こ と を 説 明 せ よ ．
筆者の知る限り，この問題には 2 つの版があ
る．第 1 は Mosteller(1965) のもので，次の問題
実 は ，筆 者 は 初 等 レ ベ ル の 統 計 の 講 義 で こ
である．なお表題によれば，Mosteller の本には
の 問 題 を と き ど き 利 用 し て い る ．ベ イ ズ の 定
確率に 関す る問題が 50 題あることになってい
理を理解し，納得させるのにこのパラドックス
るが，実際は冗談を含めて 56 題ある．Mosteller
は な か な か 有 効 で あ る ．解 答 は さ て お き ，も
と 話 を し て い る と き に は ，ど こ ま で が 本 気 で
う 一 つ の 版 は Lindley(1971) に あ る ．
どこからが冗談だか分からないことがよくあ
るので，この問題も冗談なのかもしれない．そ
3 囚人のパズル Alan, Bernard, Charles という 3 人
もそも「囚人のジレンマ」という題自体，ゲー
の 囚 人 が い て ，担 当 の 看 守 以 外 に は 誰 と も 連 絡 を
1
と る こ と が 出 来 な い ．ア ラ ン は 彼 ら の う ち の 2 人
と答えた」という命題と，単に「B は釈放され
が 処 刑 さ れ て ，も う 一 人 は 釈 放 さ れ る こ と を 知っ
る」という命題とは異なる，という点である．
ている．しばらく考えた後，彼は 3 人とも同程度に
い ま 囚 人 A，B，C が「 釈 放 さ れ な い 」と い う
事象を，それぞれ記号 a，b，c で表すと，これ
釈放される可能性があるという結論を得た．A，B，
ら は 排 反 な 全 事 象 で あ る ．仮 定 か ら ，囚 人 A
C を そ れ ぞ れ ア ラ ン ，バ ー ナ ー ド，チャー ル ズ が 釈
の 評 価 す る ，釈 放 に 関 す る 事 前 確 率（ 主 観 確
放 さ れ る 事 象 を 表 す も の と す る と ，こ の 結 論 は ア
率 ）は 次 の 式 で 表 現 さ れ る ．
ラ ン の 判 断 で は P {A} = P {B} = P {C} = 1/3 と
P {a} = P {b} = P {c} =
な る こ と を 意 味 す る ．そ こ で ア ラ ン は 次 の よ う に
看 守 に いった ．
1
3
また，
「 囚人 A の質問に対して看守が『B は釈
「 バ ー ナ ー ド か チャー ル ズ の う ち の ど ち ら か が
放される』と答える」事象を B ∗ で表すことに
処 刑 さ れ る こ と は 確 実 な の だ か ら ，彼 ら の う ち の
す る ．以 上 の 記 号 を 用 い れ ば ，わ れ わ れ の 解
ど ち ら が 処 刑 さ れ る か を 教 え て く れ て も ，私 自 身
かねばならない問題は条件付き確率 P {a | B ∗ }
が釈放される可能性にについては何の情報も与え
を 評 価 す る こ と で あ る ．こ れ は ，ベ イ ズ の 定
な い だ ろ う．
」
理 そ の も の を 用 い て 答 え る こ と が で き る ．ベ
看 守 は こ の 議 論 を もっと も だ と 思 い ，
「バーナー
イズの定理によれば，事象 B ∗ を観測したあと
ドは処刑される」と事実を答えた．そうすると釈放
の事象 a の事後確率は次の式で与えられる．
さ れ る 可 能 性 の あ る の は ア ラ ン か チャー ル ズ か で
あり，さきほど考えたように 2 人が釈放される可能
P {a | B ∗ } =
性 は 同 程 度 で あ る ．し た がって 彼 の チャン ス は 1/3
=
か ら 1/2 へ と 大 き く なった の で ，ア ラ ン は 喜 ん だ ．
P {aB ∗ }
P {B ∗ }
(1)
P {B ∗ | a} P {a}
P {B ∗ | a} P {a} + P {B ∗ | b} P {b} + P {B ∗ | c} P {c}
ア ラ ン が 看 守 を 納 得 さ せ た 議 論 と ，そ の あ と の 議
論のどちらが正しいのか．
このとき
い ず れ の 問 題 も 似 た よ う な も の だ か ら ，モ
P {B ∗ | b} = 0,
ス テ ラ ー 版 に つ い て の 解 答 を 示 そ う．ち な み
にモステラーの模範解答はベイズの定理を直
P {B ∗ | c} = 1
は明らかだが，P {B ∗ | a}，すなわち「B と C と
接 利 用 し て お ら ず，リ ン ド レ ー 版 に つ い て 問
が 釈 放 さ れ る 」と き に「 囚 人 A の 質 問 に 対 し
題を提起した松原 (1989) などの立場にある人々
て看守が『B は釈放される』と答える」事象の
を納得させないかも知れない. （1988 年 9 月の
確 率 は ，問 題 の 中 に は 明 確 に 定 義 さ れ て い な
「ベイズ統計学とその応用」コンファレンスに
い．そこで P {B ∗ | a} = π とおいてみよう．そ
お け る 松 原 望 氏 の Lindley 版 に つ い て の 報 告
う す る と ，(2) 式 の 事 後 確 率 は
が ，松 原 (1989) の 第 1 節 の も と に なって い る ．
本 稿 の 以 下 の 議 論 は ，コ ン ファレ ン ス で の 筆
P {a | B ∗ } =
者のコメントである．
）
ここでの注意点は「看守が『B は釈放される』
となる．
2
π·
1
3
π·
+0·
1
3
1
3
+1·
1
3
=
π
1+π
(2)
こ こ で π の 値 に つ い て ，次 の よ う な 3 つ の
う 一 度 見 た 方 が よ さ そ う で あ る ．Mosteller の
可 能 性 が もっと も ら し く 思 わ れ る ．
π=
1
,
2
π = 1,
問 題 の 意 図 は（ 冗 談 で な い と す れ ば ）こ う い
う こ と で あ ろ う．
π=0
第 3 の状況は最も情報の価値が大きい．なぜ
第 1 番目は，
「B と C とが釈放される」場合には，
なら，この場合には a でない事象 ¬a の確率は
看守はランダムに B または C と答える状況を
P {¬a | B ∗ } = 1，すなわち A は必ず釈放される
想定している．第 2 番目は，看守は必ず B と答
ということがわかって，A は大いに喜ぶに違い
える状況であり，A の質問は実際は囚人 B のこ
ないからである．
（ た だ し Lindley 版 の 状 況 で
と を 知 り た がって い る の で は な い か ，と 看 守
は 必 ず 処 刑 さ れ る 場 合 に 対 応 し て ，逆 に 絶 望
が 考 え る ，そ し て ，実 は A も 看 守 が そ う 考 え
することになる．
）
る と い う こ と を 知って い る よ う な 場 合 を 想 定
と こ ろ で ，以 上 の よ う な ベ イ ズ の 定 理 を 用
している．第 3 番目は，逆に A が C のことを知
い る 説 明 は 誤 り だ と す る ，次 の 議 論 も 可 能 で
りたがっていると看守が考えて，
「B と C とが釈
あ る.
放 さ れ る 」場 合 に は ，看 守 は 必 ず C と 答 え る
看 守 の 答 を 聞 く 前 に は ，3 つ の 可 能 な 事 象 は a，b，
状況である．
c であり，これらは等しい確率を持つ排反事象だか
それぞれの場合の事後確率は (2) 式から次の
ら P {¬a} = 2/3 で い い ．こ れ に 対 し て ，看 守 の 答
ようになる．
P {a | B ∗ } =
に よって 事 象 b す な わ ち「B が 釈 放 さ れ な い 」と い
1/2
1
1+1/2 = 3 ,
1
1
1+1 = 2 ,
う事象が排除され，a と c だけが残される．それら
P {a | B ∗ } =
P {a | B ∗ } = 0
は 当 然 等 確 率 だ か ら ，そ の と き A が 釈 放 さ れ る 確
率 は P {¬a | B ∗ } = 1/2 と 考 え る べ き だ ．
第 1 の場合が，囚人 A が看守を納得させた議
論 で あ る ．Mosteller の 問 題 に 対 す る 多 く の 人
筆 者 は ，赤 池 (1989) に 示 さ れ て い る よ う な ，
の 理 解 は ，こ の よ う な 状 況 を 想 定 す る こ と で
事前分布を絶対視しないという柔軟な考え方
あろう．Mosteller の解答は暗黙のうちにこの仮
に は 全 面 的 に 同 意 す る し ，余 り に 形 式 的 な ベ
定 を 用 い て い る ．こ れ に 対 し て 第 2 の 場 合 が ，
イズ統計の手法の応用には意味がないとも考
Mosteller 版 で は A が 悲 観 し ，Lindley 版 で は A
えるが，いまわれわれが考察している例では，
が喜んだ状況に対応している．特に Lindley 版
ベ イ ズ の 定 理 を 用 い る こ と に よって 結 論 に 差
で は 実 際 に A は 喜 ん で い る の だ か ら ，A は 看
が生ずる理由を明確にできるとも考えている．
守をだましたのであって，本当は第 2 の状況に
少なくとも π = 1 と考えられる状況であれば，
あ る こ と を 知って い た の か も し れ な い ．こ れ
P {a | B ∗ } = 1/2 という結論は，ベイズ的な決
に 対 し て Mosteller 版 で は A は 自 分 で は 正 し く
定 問 題 の 立 場 で も 自 然 に 得 ら れ る し ，そ の 意
確 率 を 計 算 し て い な い の で ，こ の 囚 人 に は ベ
味も事前確率（主観確率）の解釈によって明ら
イ ズ の 定 理 を 教 え て か ら ，ど う 考 え る か を も
かにし得る．
3
が 導 か れ る ．し た がって
ところで，講義などでこのパラドックスを紹
介すると，直観的に P {a | B ∗ } = 1/2 がおかし
P {a(B ∗ ∪ C ∗ )} = P {aB ∗ ∪ aC ∗ }
い と い う 人 が 多 い ．お か し く な い と い う 人 も
= P {aB ∗ } + P {aC ∗ } =
と き ど き い る が ，次 の よ う な 議 論 で ほ と ん ど
1
2
の人がおかしいという意見に賛成するようで
となる．ところが B ∗ と C ∗ とが排反な全事象
ある．
なら
P {a} = P {a(B ∗ ∪ C ∗ )} =
Mosteller 版の状況で，もしも「B が釈放され
1
2
る」と聞いたときに，A と C だけが等しい可能
と な る か ら ，初 め の 評 価 P {a} = 1/3 と 矛 盾
性 で 残 さ れ て い る ，と い う 理 由 で
する．
P {a | B ∗ } =
1
2
最後に，次のような状況はどうだろうか. い
(3)
ま Mosteller 版の状況で，囚人 A は看守に対し
と い う 命 題 が 正 し い の な ら ば ，まった く 同 様
て「B は 釈 放 さ れ る か 」と い う 質 問 を し て 看
の 理 由 づ け に よって 看 守 が「C は 釈 放 さ れ る 」
守 の 答 を 得 た も の と す る ．こ の と き A は ，自
∗
と 答 え た と き（ こ の 事 象 を C と 表 そ う ）に
P {a | C ∗ } =
1
2
分 が 釈 放 さ れ る 確 率 が 小 さ く なった と 悲 し む
べ き な の か ，そ れ と も さ き ほ ど の 場 合 と 同 様
(4)
に ，そ の 確 率 は 変 化 し な い の か ．
と い う 命 題 も 成 立 し な け れ ば な ら な い ．と こ
∗
こ こ で も ，ベ イ ズ の 定 理 に よ る 考 え 方 は 本
∗
ろで B か C のいずれかは必ず成り立つ，す
∗
質的である．看守が「B が釈放される」と答え
∗
なわち P {B ∪ C } = 1 だから，結局看守が答
る事象を B とすると，先ほどと同じようにし
える前に
て P {a | B} を評価することができる．ベイズ
1
P {a} =
2
の公式
が 成 り 立 つ こ と と 同 等 で あ る ．こ れ は 初 め の
P {a | B}
仮 定 と はっき り 矛 盾 す る ．
=
も う 少 し 厳 密 な 議 論 は 次 の よ う に な る ．ま
P {B | a} P {a}
P {B | a} P {a} + P {B | b} P {b} + P {B | c} P {c}
に，今の状況でははっきりわかっている条件付
ず B∗ と C ∗ と は 排 反 な 全 事 象 だ か ら
き確率
P {B ∗ } = p
および
P {C ∗ } = 1 − p
P {B | a} = 1,
P {B | b} = 0,
P {B | c} = 1
と お こ う．す る と (3) 式 と (4) 式 か ら
を代入して P {a | B} = 1/2 が容易に得られる．
1
P {aB ∗ } = P {a | B ∗ } P {B ∗ } = p
2
こ の 結 果 は ，ほ と ん ど の 人 の 常 識 的 な 答 と 一
致 す る で あ ろ う．
および
P {aC ∗ } = P {a | C ∗ } P {C ∗ } =
結 論 と し て は ，B お よ び B ∗ の い ず れ の 状
1
(1 − p)
2
態でも，A は「B が釈放される」ことを知って
4
い る が ，そ の 情 報 を い か に し て 得 た か が ，今
は，ほとんどの人の同意を得られるであろう．
の場合はパラドックスの状況と違っているので
P {B1 } = P {B2 } = P {B3 } =
あ る ．本 質 的 な 差 は「 囚 人 A の 質 問 に 対 し て
看 守 が『B は釈 放さ れ る 』と 答 え る」事象 B ∗
P {G | B1 } = 1,
と ，単 に「B が 釈 放 さ れ る 」事 象 B と は 異 な
こ れ か ら ，事 後 確 率 は
る ，と い う 点 に あ る ．後 者 の 状 況 は ，A が 偶
P {G | B2 } = 0,
P {B1 | G} =
然 の 機 会 か ら「B が 釈 放 さ れ る 」と 書 か れ た
=
書 類 を 見 た の と 同 等 で あ ろ う．
このパラドックスは，心理学的，形而上学的
1
3
P {G | B3 } =
1
2
P {G | B1 } P {B1 }
P {G}
1 · 13
2
1
11 = 3
1· 3 + 23
と求められる．
な 問 題 も 含 ま れ て い る と の 松 原 (1989) の 指 摘
こ の 問 題 に は さ ら に 多 く の 変 種 が あ る ．思
も あ り，実 際 の 問 題 と し て は そ れ ほ ど 単 純 な
い つ く ま ま に ，い く つ か 例 を あ げ て み よ う．
も の で は な い ．し か し ，こ こ で 述 べ た よ う に
問 題 を 設 定 す れ ば あ と は ベ イ ズ の 定 理 に よっ
問 題 １ ． 3 枚 の コ イ ン が あ る が ，普 通 の コ イ
て 単 純 に 答 え ら れ る の で は な い か ，と い う の
ン は 1 枚 だ け で ，1 枚 は 両 面 と も 表 ，も う 1 枚
が筆者の主張である．
は両面とも裏であるという．いま 1 枚のコイン
を取り出して片面を見たところ，表であった．
このコインが普通のコインである確率はいく
3
らか．
各種の変形
問題２． あるホテ ルの 3 つの並んだ部屋に 宿
泊している 3 組みの客は男性 2 人，男性と女性，
3 人 の 囚 人 の 問 題 の 原 形 は Bertrand の 問 題
女性 2 人の組み合わせである．メイドがある部
と 呼 ば れ る ，つ ぎ の よ う な 問 題 で あ る ．
屋をノックしたとき，男性の返事が聞こえた．
箱 B1 , B2 , B3 が あ り，そ れ ぞ れ の 中 身 は B1 :
(G, G), B2 : (S, S), B3 : (G, S) と す る ．た だ し ，
この部屋が男性 2 人の部屋である確率はいく
G, S は ，そ れ ぞ れ 金 貨 お よ び 銀 貨 を 表 す．い ま ，1
らか．
つの箱をでたらめに選んだとき，1 枚目が金貨だっ
問題３． 棚には 3 枚のレコードがあり，1 枚は
た と す る と ，2 枚 目 も 金 貨 で あ る 確 率 は い く ら と
両 面 と も モ ー ツァル ト，1 枚 は 両 面 と も シュー
考えるか．
ベ ル ト，も う 1 枚 は 片 面 に モ ー ツァル ト，片 面
に シュー ベ ル ト が 録 音 さ れ て い る ．と こ ろ で
この問題の場合には心理的な条件を考える
いま聴いたレコードがモーツァルトだったとす
必 要 は 全 く な く な る の で ，解 答 は ベ イ ズ の 定
る と ，こ の レ コ ー ド を ひっく り 返 し た と き に
理 を 形 式 的 に 適 用 す る こ と に よって 容 易 に 得
モ ー ツァル ト が 聴 け る 確 率 は い く ら か ．
られる．すなわち以下のような事前分布と，金
問題４． 比較的最近の話題として面白そうな
貨が観測される確率を想定することに対して
5
の は 以 下 の も の で あ る（ 文 献 [4]）．あ る ゲ ス
す．こ の と き ，事 前 確 率 は
トがテレビのゲーム番組に参加していて，3 つ
P {AGG} = P {GAG} = P {GGA} =
のドアのうちのひとつを選べるものとしよう．
1
3
ひ と つ の ド ア の 後 ろ に は 自 動 車 が ，残 り の ふ
とするのが適当であろう．また司会者の行動は
た つ に は ヤ ギ が 隠 さ れ て い る（ も ち ろ ん 車 が
必ずヤギのいるドアを開けるということから
欲しいわけである）．そこてゲストがたとえば
P {D3 | GAG} = 1,
第 1 のドアを選んだとすると，ドアの後ろに何
P {D3 | GGA} = 0
が 隠 さ れ て い る か を 知って い る 司 会 者 は ，も
となる．不確定なのは P {D3 | AGG} であるが，
うひとつのドア（仮に第 3 のドア）を開けてヤ
これを
P {D3 | AGG} = p
ギ を 見 せ る ．そ こ て ，司 会 者 は ゲ ス ト に「 第
2 のドアに取り替えますか？」と尋ねる．ゲス
と し て お こ う．こ の と き ，ド ア を 取 り 替 え て
トはドアを取り替えた方が有利になるのだろ
車があたる事後確率は
うか．
P {GAG | D3 } =
この問題はそれほど容易には解けないかも
=
し れ な い が ，基 本 的 な 考 え 方 は 今 回 紹 介 し た
P {D3 | GAG} P {GAG}
P {D3 }
1 · 31
1
=
1+p
1 · 13 + p 13
となる．この構造が Lindley 版の問題と全く同
パラドックスと同じである．したがってベイズ
じであることはこれ以上の説明を必要としな
の定理を正しく適用することが必要である．
いであろう．因みに文献 [4] では Lindley が言及
面 白 い こ とに ，文献 [4] の著 者 達 は この 問 題 に
さ れ て お ら ず，そ の 著 者 た ち が ベ イ ズ 統 計 学
関 す る 他 人 の 解 答 を 非 難 し て い る が ，彼 ら は
の論理を理解していないことが想像される．
くり返し不可能な状況における確率の概念，
筆 者 は ，ベ イ ズ 統 計 学 の 本 質 的 な 考 え 方 を
すなわちベイズ統計学を正しく理解している
理 解 さ せ る の に ，こ の 問 題 は な か な か 有 効 で
と は 筆 者 に は 思 え な い ．ま た ，彼 ら が 唯 一 の
あ る と 考 え て い る ．こ の よ う な 問 題 は い く 通
正 解 で あ る と 主 張 し て い る 解 答 に も 100% は
り も の 定 式 化 が 可 能 で あ り，問 題 の 設 定 に 応
賛成できない．
じ て そ の 解 答 も 異 な る こ と に な る ．読 者 も 是
こ こ で も 今 回 の 解 法 を 適 用 す る た め に ，以
非自らの解答を試みて頂きたい．
下のような記号を導入しよう．まず 3 つのドア
参考文献
に 隠 さ れ て い る も の を 順 番 に 記 述 し て ，た と
え ば AGG は 第 1 の ド ア に 車 (Automobile)，第
[1] DeGroot, M. H. (1970) Optimal Statistical De-
2，第 3 のドアにヤギ (Goat) を表すものとする．
cisions, McGraw-Hill.
また，司会者が第 3 のドアを開ける（当然その
[2] Jeffreys, H. (1967) Theory of Probability, 3rd
後 ろ に は ヤ ギ が い る ）と い う 事 象 を D3 で 表
ed. (corrected), Clarendon Press
6
[3] Lindley, D. V. (1971) Making Decisions, John
[7] 松原 望 (1989) 「主観確率の尺度調整」，鈴木
Wiley and Sons
雪 夫・国 友 直 人（ 編 ）『 ベ イ ズ 統 計 学 と そ の
応 用 』，東 京 大 学 出 版 会 ，第 2 章
[4] Morgan, J. P. et al. (1991) “Let’s Make a Deal:
The Player’s Dilemma,” The American Statis-
[8] 美 添 泰 人 (1983) 「 ベ イ ズ の 手 法 に よ る 統 計
tician, 1992, Vol. 46.
分析」，竹内 啓（編）
『計量経済学の新展開』，
[5] Mosteller, F. (1965) Fifty Challenging Prob-
東 京 大 学 出 版 会 ，第 6 章
lems in Probability with solutions, Addison-
[9] 美添泰人 (1990) 「効用についてのパラドック
Wesley
ス — ベ イ ズ 統 計 か ら の 解 答 —」，立 正 大 学
[6] 赤 池 弘 次 (1989) 「 事 前 分 布 の 選 択 と そ の 応
経 済 学 季 報 ，第 39 巻 ．
用 」，鈴 木 雪 夫・国 友 直 人（ 編 ）
『ベイズ統計
よしぞえ やすと
青山学院大学経済学部教授
学 と そ の 応 用 』，東 京 大 学 出 版 会 ，第 3 章
Sinfonica レ ポ ー ト No. 5 (1993)
7