中高一貫コース 中学 2 年 数 学 ハイレベル 「練習問題」見本

中高一貫コース
中学 2 年
数 学
ハイレベル
「練習問題」見本
＊「練習問題・解答解説、添削問題・解答解説」は『Z Study トレーニング』に掲載して毎月お届け。
添削問題の解答解説は、実際の教材では、翌月号に掲載します。
AM0231931C-01
円1
Û 次の図の∠ x の大きさを求めなさい。ただし，点 O は円の中心である。
¸
¸
¹
¹
O
O
A
D 80゜
x
26゜
A
x
C
B
C
110゜
B
º
º
»
A
A
»
42゜
O
20゜ 72゜
B
x
x
E
C
B
33゜
C
O
D
例題 1
Ü 次の図の∠ x の大きさを求めなさい。
¸
¸
¹
A
¹
D
A
B
58゜
42゜
30゜
70゜
E
x
C
B
x
C
P
D
例題 2
ܹ 円周角の定理と二等辺三角形の性質を使って∠ DPC の大きさを求め，U PBC で内角と外角の関係を利用する。
AM0231931C-02
%
%
Ý 右の図のように，円の周上に 4 点 A，B，C，D があり，AD
＝ DC
A
70゜
である。∠ A ＝ 70 °
，∠ ACD ＝ 33 °
のとき，∠ x の大きさを求めな
D
さい。
B
33゜
x
C
例題 3
Þ
右の図で， 4 点 A，B，C，D は同じ円周上の点であ
A
%
%
り，AB ＝ BC である。また，点 P は AD の延長と BC の延
48゜
D
長との交点である。∠ BAC ＝ 48 °
，∠ DBC ＝ 24 °
のとき，
y
24゜ x
∠ x，∠ y の大きさをそれぞれ求めなさい。
B
P
C
例題 2，3
ß 右の図の四角形 ABCD において
∠ ADB ＝∠ ACB
D
A
であるとき，
∠ ABD ＝∠ ACD
が成り立つことを証明しなさい。
C
B
例題 5
%
%
Þ AB ＝BC より，∠ ACB ＝∠ BAC が成り立つ。さらに，円周角の定理より，∠ CAD ＝∠ CBD が成り立つので，
U ACP で内角と外角の関係を利用するとよい。
ß 円周角の定理の逆を利用して， 4 点 A，B，C，D が同一円周上にあることを示す。
9
8
EXCELLENT! GOOD!
S
A
7
6
5
4
3
AVERAGE
NEVER GIVE UP!
B
C
2
1
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AM0231931E-01
円1
Û
¸ U ODC で内角と外角の関係より
[ ∠ ODA ＝∠ O ＋∠ C
∠ ODA ＝ 80 °
＋ 26 °
＝ 106 °
円周角と中心角の関係より
∠BAC＝
1
× 80 °＝ 40 °
2
[ ∠BAC＝
1
∠BOC
2
よって，U ABD で内角と外角の関係より
40 °＋∠ x ＝ 106 °
[ ∠ A ＋∠ B ＝∠ ODA
∠ x ＝ 66 °
66 ° （答）
¹ 円周角と中心角の関係を利用すると
%
[点 B をふくまない AC に対す
る中心角は
2 ∠ ABC
∠ AOC ＝ 360 °
− 110 °
× 2 ＝ 140 °
OA ＝ OC より
180 −140
∠x＝
＝20°
2
○
○
[二等辺三角形の底角は等し
い。
20 ° （答）
º 円周角と中心角の関係より
A
1
∠BAC＝ × 72 °＝ 36 °
2
BO の延長と辺 AC との交点を D とすると
U ABD で内角と外角の関係より
[ ∠BAC＝
O
D
20゜ 72゜ x
∠ ODC ＝ 36 °
＋ 20 °
＝ 56 °
よって，U OCD で内角と外角の関係より
1
∠BOC
2
[ ∠ BAD ＋∠ ABD
B
C
∠ x ＝ 72 °
− 56 °
＝ 16 °
[ ∠ BOC −∠ ODC
16 ° （答）
» BC は円 O の直径より
[直径に対する円周角は 90 °で
ある。
∠ BAC ＝ 90 °
よって，
[ ∠ BAC −∠ BAE
∠ EAC ＝ 90 °
− 42 °
＝ 48 °
U AEC で内角と外角の関係より
[ ∠ EAC ＋∠ ACE
∠ x ＝ 48 °
＋ 33 °
＝ 81 °
81 ° （答）
Ü
¸ 円周角の定理と三角形の内角の和より
∠DBE ＝∠DAE＝ 180 °−（90 °＋ 58 °）
＝ 32 °
よって，円周角の定理より
[ ∠ ACD ＝∠ ABD
∠ x ＝∠ ABD ＝ 42 °
＋ 32 °
＝ 74 °
74 ° （答）
AM0231931E-02
¹ 円周角の定理より
∠ BDC ＝∠ BAC ＝ 70 ° ∠ ACB ＝∠ ADB ＝ 30 °
U DPC は二等辺三角形であるから
180 −70
＝55°
2
○
∠DPC＝
○
[ ∠ DPC ＝
180 °
−∠PDC
2
U PBC で内角と外角の関係より
＝ 55 ° ∠ x ＝ 25 °
∠ x ＋ 30 °
25 ° （答）
[ ∠ PBC ＋∠ PCB
＝∠ DPC
Ý
円周角の定理より
% に対する円周角。
[AD
∠ ABD ＝∠ ACD ＝ 33 °
%
%
AD ＝ DC より
[等しい弧に対する円周角は等
しい。
∠ DBC ＝∠ ABD ＝ 33 °
よって，U ABC の内角の和より
∠ x ＝ 180 °
−
（70 °
＋ 33 °
× 2）
＝ 44 °
44 ° （答）
∠ ABC の大きさが求められると，U ABC の内角の和より，∠ x の大きさは求められます。
∠ ABC の大きさを求めるとき
円周角の大きさは弧の長さに比例する
ことを利用し，次のように考えることもできます。
%
%
∠ ABC ：∠ ACD ＝AC：AD＝ 2 ： 1 より
∠ ABC ＝ 2 ∠ ACD ＝ 2 × 33 °
＝ 66 °
Þ
%
%
AB ＝ BC より
∠ x ＝∠ BAC ＝ 48 °
←弧と円周角
また，円周角の定理より
∠ CAD ＝∠ CBD ＝ 24 °
%
← CD に対する円周角
よって，U ACP で内角と外角の関係より
∠ y ＋ 24 °
＝ 48 ° ∠ y ＝ 24 °
∠ x ＝ 48 °，∠ y ＝ 24 ° （答）
ß
2 点 C，D は直線 AB に対して同じ側にあり
∠ ADB ＝∠ ACB
D
A
よって， 4 点 A，B，C，D は同一円周上にある。
ゆえに，円周角の定理より
∠ ABD ＝∠ ACD （証明終）
B
C
[ ∠ CPA ＋∠ CAP
＝∠ ACB
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AM0231941L-01
円1 D
次の各問いに答えなさい。
（配点 50）
¸ 右の図のように，円 O の周上に 4 点 A ∼ D があり，線分 CD は円 O の直
A
%
径である。また，点 E は AB と CD の交点である。∠ DEB ＝ 125 °
，BC：
%
（13 点）
CA＝ 1 ： 2 のとき，∠ x の大きさを求めなさい。
D
x
125゜
E
O
C
B
¹
%
%
右の図のように， 6 点 A ∼ F は円 O の周上の点であり，BC＝CD ，
A
%
%
DE ＝EF である。∠ BDF ＝ 46 °のとき，∠ CAE の大きさを求めなさい。
B
F
（13 点）
O
C
46゜
E
D
º 右の図のような AB ＝ AC の二等辺三角形 ABC の辺 BC 上に点 D
A
を AD ＝ BD となるようにとる。そして， 3 点 A，B，D を通る円と
E
辺 AC との交点を E とする。このとき，
!
BA ＝ BE であることを証明しなさい。
（12 点）
" U ADC ≡ U BDE であることを証明しなさい。
（12 点）
B
D
C
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AM0231941O-01
円1 D
次の各問いに答えなさい。
（配点 50）
¸ 右の図のように，円 O の周上に 4 点 A ∼ D があり，線分 CD は円 O の直
A
%
径である。また，点 E は AB と CD の交点である。∠ DEB ＝ 125 °
，BC：
%
（13 点）
CA＝ 1 ： 2 のとき，∠ x の大きさを求めなさい。
D
x
125゜
E
O
¹
%
C
B
%
右の図のように， 6 点 A ∼ F は円 O の周上の点であり，BC＝CD ，
A
%
%
DE ＝EF である。∠ BDF ＝ 46 °のとき，∠ CAE の大きさを求めなさい。
B
F
（13 点）
O
C
46゜
E
D
º 右の図のような AB ＝ AC の二等辺三角形 ABC の辺 BC 上に点 D
A
を AD ＝ BD となるようにとる。そして， 3 点 A，B，D を通る円と
E
辺 AC との交点を E とする。このとき，
!
BA ＝ BE であることを証明しなさい。
（12 点）
" U ADC ≡ U BDE であることを証明しなさい。
（12 点）
%
B
D
C
%
¸ BC：CA ＝ 1 ： 2 より
A
∠ ABC ＝ 2 ∠ BAC ＝ 2 ∠ x
ここで， 2 点 A，D を結ぶと
D
[円周角の大きさは弧の長さに
比例する。
x
125゜
∠ DAC ＝ 90 °
E
[直径に対する円周角の大きさ
である。
は 90 °
O
よって，
∠ DAE ＝ 90 °
−∠ x
B
C
また，円周角の定理より
∠ ADE ＝∠ ABC ＝ 2 ∠ x
%
[ AC に対する円周角。
ゆえに，UADE で内角と外角の関係より
（90 °
−∠ x）＋ 2 ∠ x ＝ 125 °
∠ x ＝ 35 °
[ ∠ DAE ＋∠ ADE
＝∠ DEB
35 ° （答）
(
¹ 半径 OB，OC，OD，OE，OF をひくと，BDF に対する中心角の大きさは
∠ BOF ＝ 360 °
− 2 × 46 °
＝ 268 °
[ ∠ BOF
＝ 360 °
− 2 ∠ BDF
AM0231941O-02
%
% %
%
BC＝CD，DE＝EF より
A
B
∠COE ＝∠COD＋∠DOE
1
1
＝ ∠BOD＋ ∠DOF
2
2
1
＝ ∠BOF
2
1
＝ ×268°
2
＝134°
F
O
C
[ ∠ BOC ＝∠ COD
∠ DOE ＝∠ EOF
E
46゜
[
1
_ ∠BOD＋∠DOF i
2
D
よって，円周角と中心角の関係より
∠CAE＝
1
× 134 °
＝ 67 °
2
[ ∠CAE＝
1
∠COE
2
67 ° （答）
º!
AB ＝ AC，AD ＝ BD より
∠ BAC ＝ 180 °
−（∠ ABC ＋∠ ACB）＝ 180 °
− 2 ∠ ABC
[ ∠ ABC ＝∠ ACB
∠ ADB ＝ 180 °
−（∠ DAB ＋∠ ABC）＝ 180 °
− 2 ∠ ABC
[ ∠ DAB ＝∠ ABC
また，円周角の定理より
%
∠ AEB ＝∠ ADB
[ AB に対する円周角。
以上のことから
∠ BAC ＝∠ ADB ＝∠ AEB
したがって，
BA ＝ BE（証明終）
"
U ADC と U BDE において，仮定より
AD ＝ BD
仮定の AC ＝ AB と!の BA ＝ BE より
AC ＝ BE
円周角の定理より
%
∠ DAC ＝∠ DBE
よって， 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから
[ DE に対する円周角。
∠ DAE ＝∠ DBE
U ADC ≡ U BDE（証明終）
¸ 1 つの円において，弧の長さと円周角の大きさは比例します。したがって，本問では
%
%
∠ BAC ：∠ ABC ＝BC：CA
が成り立ちます。
º!
本問のように，三角形の 3 つの辺のうちの 2 辺が等しいことを示すとき，三角形の合同などを使って
その 2 辺の長さが等しいことを直接示すか， 2 つの角の大きさが等しいことを示せばよいでしょう。
"
U ADC ≡ U BDE であり，U BDE は U ADC を点 D を回転の中心として，反時計回りに回転移動し
た図形とみることができます。