18 - Biglobe

数のイマージュ、形のパサージュ
―
数と戯れ、図形と遊ぶ
―
伊那
18.
闊歩
円周角と中心角
円は、その中に入ってきて円とかかわりをもつ多角形に魔法をかけ金
縛りにして遊んでいると見える。円は単純な形でありながら、円が勝手に決め
た独自のルールにしたがって多角形にアッと驚くような秘密の仕掛けをほどこ
して喜んでいるのだ。これからしばらくその精妙な仕掛けを観察しようと思う。
下の左図は、底辺 AB を共通に持つ２つの三角形△ABC と△ABD がひと
つの円に接している（捉われている？）ことをしめしている。三角形の頂点
A,B,C,D はひとつの円上にあり、この円が２つの三角形それぞれの共通の外接
円になっている。頂点 C,D は円上任意の位置にとられている。
∠ACB, ∠ADB を弧 AB あるいは弦 AB の上にたつ円周角という。この
時、円はすでに２つの三角形に魔法をかけていて、驚いたことにこの２つの円
周角が等しくなっているのだ。これはひとつの定理（円周角不変の定理）とし
て次のように述べることができる、
定理：4 点 A, B, C, D が同一円周上にあり C と D が弦 AB のおなじ側にあれば
∠ACB = ∠ADB
この定理の証明は後ほど行うとして、その前に右図について考えることとする。
右の図は、左の図のコピーに円の中心 O を書き入れ、O と頂点 A, B, C とを通
る補助線 OA, OB, EC を書きくわえたものである。
OA, OB, OC は円 O の半径で、OA = OB = OC であるから、△OAC,
△OBC は 2 等辺三角形である。∠AOE は△OAC の O における外角で
∠AOE ＝ ∠ACO + ∠CAO
= 2∠ACO
同じく
∠BOE ＝ 2∠BCO
この両方を合わせて
∠AOB = ∠AOE + ∠BOE = 2∠ACO + 2∠BCO = 2∠ACB
ここで ∠AOB を弧 AB または弦 AB の中心角という。これからわかったこと
は次の定理としてまとめられる、
定理：弧 AB の中心角∠AOB は、円周角∠ACB の 2 倍である。
定理はたまたま △ABC について証明されたが、状況は△ABD についてもまっ
たく同じである。つまり、中心角∠AOB は∠ADB の中心角でもあるわけであ
るから、それら円周角はすべて等しい。こうして最初の定理も証明された。
ところで次の図のような場合、 円の中心 O が△ABC の外に出ている
ため、弦 AB の上に立つ円周角∠ACB, ∠ADB が等しい事を証明するためには
ひと工夫必要である。2 等辺三角形とその外角の性質を使ってあれこれするうち
に、やがてガッテンしていただけると思うのでこの証明は省略する。
次の図左は、三角形△ABC と△ABD の共通の辺 AB が円の中心 O を
通る場合、つまり AB が円の直径になっている場合であるが、このとき中心角
∠AOB は 180°= 2∠R であるから、弦 AB の上に立つ円周角 ∠C, ∠D は
ともにその半分 90°= ∠R であることがわかる。
右上図においては、ふたつの三角形△ABC および △BCD がひとつの円に内接
している。BC = a として、∠A = ∠D であるから
=
であるが、三角形△ABC は直角三角形で、外接円の半径を R とすれば
sin A =
であるから、
= 2R
と書けることがわかる（第 10 回の宿題）。さらに
sin A =
であったから外接円の半径 R（の逆数） は
=
で与えられる。一方、△ABD（BC = a, CD = b, BD = c）の内接円の半径
r
=
であったから、任意の三角形について
rR
=
=
のような美しく整った関係式も得られる。
参考文献：H. S. M. コクセター「幾何学入門（上）(下)」
（銀林 浩訳、ちくま学芸文庫）
r
は