4．4 RCアクティブフィルタ

４．４ RCアクティブフィルタ
連続時間信号を扱う標準的な回路
（単一出力タイプの回路は、ディスク
リート回路でも頻繁に使われている）
1
伝達関数の回路実装方法
•
アナログ回路
– 連続時間アナログ回路
• s変数の積分、加減算、定数倍の要素によりブロック図を作成し、積分回路と
R、Cを使って実現する
– 離散時間アナログ回路
• z変数の積分、加減算、定数倍の要素によりブロック図を作成し、積分回路と
CMOSスイッチを使って実現する
•
ディジタル回路
– 離散時間のみ
• z変数の遅延要素、加減算、定数倍の要素によりブロック図を作成し、遅延
要素をレジスタに、加減算を加算器、定数倍を乗算器、加算器、シフタなど
に割り当てる
アナログ回路： 考え方は種々あるが、ここでは、最もシンプルな積
分器を用いる方法を学んでおこう。
ディジタル回路： z変数のブロック図が与えられれば、演算フローを
HDLコードに書き直すだけなので非常に簡単。
2
アナログ回路の方式
同じ伝達関数でも、各種の回路方式が考えられるが万能の回路
方式というものはない
連続／不連続
連続時間
離散時間
回路の方式
信号を表す物理量（特徴）
RC（アクティブフィルタ）
OPAを使用
電圧（低周波向き。低消費電力。高
精度化には、高精度R, Cが必要）
Gm-C (OTA-C)
OTAを使用
電圧（数10MHzまでの中程度の周
波数向き。低消費電力。高精度化
には、Gm制御回路が必要）
Switched Capacitor (SC) 電圧（演算には電荷量を使用してい
る、高精度・低周波向き）
OPAを使用
Switched Current (SI)
インバータを使用
電流（低電圧で動作可能、高速）
3
G(1/R)とCのラプラス変換
v(t)
v(t)
Q
C
G
G = 1/R
i(t)
i(t)
dQ (t )
dv(t )
i (t ) 
C
dt
dt
I ( s )  sC  V ( s )
1
V ( s) 
I ( s)
sC
1
i (t )  v(t )  G  v(t )
R
I ( s)  G V ( s)
キャパシタCは、電流を
入力すると、時間積分
して電圧を出力する回
路だと考える。（変換係
数=1/C）
電圧を入力すると、時
間微分して電流を出力
する回路だと考える。
（変換係数=C）
コンダクタGは、電圧
を電流に変換する
V→I変換回路だと考
えられる。（変換係数
=G=1/R）
4
連続時間RC積分器
Vin
G1
I

1
sC 2
Vout
I  G1  Vin Vout  
1
I
s C2
C2
G1

1
b
H ( s )  G1(
)  C2 
s C2
s
s
I
R1
Vin
I
Vout
0V
R1 
1
G1

1
s C2
1 1
 ( R1  C 2) 1
H (s) 

R1 s  C 2
s
回路内部では、電流 I を介して演算を行っている。
（Gは電圧→電流、-1/sC は電流→電圧に変換する関数と考える）
5
1次LPF
I1 + I2 = I3
G2
電流I1, I2の加算を行って
積分器に入力
R2 
1
G2
R2
I2
C2
Vin
Vout
G1
+

1
sC 2
Vout
1
 (
)(G1 Vin  G 2  Vout )
s C2
H (s) 
b
 G1 / C 2

G2
sc
s
C2
I1
R1
I3
Vin
R1 
1
G1

Vout
1
s C2
1
1
1
Vout )
)( Vin 
s  C 2 R1
R2
1
1
H (s)  
R1  C 2 s  1
R2  C 2
Vout  (
（1pole LPF）
G2によりポールを原点からずらす量を調整
6
1次HPF
R2 
1
G2
R2
G2
C2
Vin
sC1
+

1
sC 2
Vout
1
( sC1  Vin  G 2  Vout )
sC 2
C1

s
as
C
2
H ( s) 

G2 s  c
s
C2
Vout  
（1pole, 1zero HPF）
C1
Vin
Vout
s  C1

Vout  (
H (s)  
1
s C2
1
1
Vout )
)( s  C1 Vin 
s C2
R2
C1
s
C2 s  1
R2  C 2
7
1次フィルタの一般形
R2 
G2
1
G1
R1
R1 
Vin
G1
+

1
sC 2
Vout
Vin
1
( sC1 Vin  G1 Vin  G 2  Vout )
sC 2
G1
C1

s
C2  a  s  b
H (s)  C 2
G2
sc
s
C2
Vout  
（1pole, 1zero Filter）
Vout  (
R2
C2
C1
s  C1
sC1
1
G2
Vout

1
s C2
1
1
1
){( s  C1  )  Vin 
Vout }
s C2
R1
R2
1
1
s
R1  C1
R1   C1
H ( s)  
1
C2 s  1
C2 s 
R2
R2  C 2
C1  s 
8
全差動型１次フィルタの構成
R2a
C1a
Vin+
Vin-
R1a
R1b
C1b
I
C2a
+
Vout
Vout-
- +
+ -
• 上下対称にする
• 電圧、電流の向き
を反対にする
C2b
R2b
I
回路方程式を解いて、前頁と同じ伝
達関数になることを確認すること。
演算増幅器の±入力端子間は、電
位差がゼロ（仮想接地）である。
9
４．２節の2次LPF（２）のブロック図
c
s2  d  s  e
Vin
Vout
対応関係
c   0  1  
d   0  1
e   0  1   0



Vin
Vout 
/s
1
s
1

/s
Vout
0, 1 < 0, 0 > 0
となるように細工をして
おく

Vin
0, 1 < 0 のとき、
 < 0
V1
/s
V1
poleを左半面に作るた
めには
d, e > 0 つまり
/s

Vout
10
2次LPFのブロック図
G2
G3
Vin
G1
V→I変換
-1/sC1
-1/sC2
G4
V1
V→I変換

Vout
G4
1
)(
){G1 Vin  G3  V1  G 2 Vout }
sC 2
sC1
sC 2
G4
1
 ( 
 Vout  G 2  Vout }
){G1 Vin  G3
)(
G4
sC 2
sC1
G1G 4
G1G 4

 2
c
C1C 2
s  C1C 2
 2

H (s) 
G3
G 2G 4 s  d  s  e
sC 2G3G 4
G 2G 4
s2 
s
 2
1 2
C1
C1C 2
s  C1C 2G 4 s  C1C 2
Vout  (
11
2次LPFの回路
Gain = -1
G1G 4

回路方程式を解いて、伝達関数から求
1
2
C
C
H (s) 
めた計算と一致することを確認しよう。
G 2G 4
G3
2
s
s 
C1C 2
C1
1

C1C 2 R1R 4

1
1
s2 
s
C1R3
C1C 2 R 2 R 4
12
全差動型2次LPFのブロック図
全差動型では、逆位相の信号を利用してパラメータの符号を変更する
ことができるので、フィードバック電圧にマイナスを掛けておこう。
G2
-Vout
-1
G3
Vin
G1
V→I変換
-1/sC1
-1/sC2
G4
V1
V→I変換
Vout
1
1
)(G1 Vin  G3  V1  G2 Vout )
)(
sC2
sC1
sC2
1
1
 G 4( 
) Vout  G2  Vout )
)(G1 Vin  G3  (
)(
sC2
sC1
G4
G1G4
G1G4
s 2 C1C2
C1C2
H ( s) 

sC2G3G4
G3
G2G4
G2G4
 2
s2 
s
1 2
s C1C2G4 s C1C2
C1
C1C2
Vout  G4(
13
全差動型RC２次LPF
Vin+
R1a=1/G1
VinR1b=1/G1
R2a=1/G2
R3a=1/G3
C1a
R4a
=1/G4
- +
+ -
C1b
R4b
=1/G4
C2a
- +
+ -
Vout+
Vout-
C2b
R3b=1/G3
R2b=1/G2
14
2次伝達関数のブロック図
G3
G4
G1
Vin
G5
+

1
sC1
-1
G2
+
+

1
sC 2
Vout
分子に1次と2次の項を
追加
sC3
1
1
)(G1  Vin  G3  Vout )  G 4  Vout  (G5  sC 3)Vin }
){G 2(
sC 2
sC1
G1G 2 G5  sC 3
C 3 2 G5
G1G 2
s 
s
 2

)
(
sC 2  C 2
C2
C1C 2
H ( s )  s C1C 2
G 2G3
G4
G4
G 2G3
1 2
s2 
s

s C1C 2 sC 2
C2
C1C 2
15
Vout  (
2次伝達関数のブロック図（別解）
G3
sC3
+
Vin
G1
G4
+

1
sC1
-1
G2
+

1
sC 2
Vout
+
sC4
1
1
)(G1 Vin  G3  Vout  sC 3 Vout )  (G 4  sC 4)Vin }
){G 2(
sC 2
sC1
G1G 2 G 4  sC 4
C 4 2 G4
G1G 2
s 
s
 2

(
)
s
C
1
C
2
sC
2
C
C
C
C
2
2
1
2
H ( s) 

（伝達関数の形は前頁と同じ）
G 2G3 sC 3G 2
C
3
G
2
G
2
G
3
1 2
s2 
s
 2
s C1C 2 s C1C 2
C1C 2
C1C 2
16
Vout  (
2次RCフィルタの回路
信号
R3=1/G3
C1
Vin
R1=1/G1
R6=R5
R5
+
積分
+
C4
C3
C2
R2=1/G2
+
Vout
積分
R4=1/G4
信号
17
全差動型2次RCフィルタ
G3
sC3
+
G1
Vin
+
-1

1
sC1
G2
+

1
sC 2
Vout
-1
G4
sC4
1
1
)(G1 Vin  G3 Vout  sC 3 Vout )  (G 4  sC 4)Vin }
){G 2(
sC 2
sC1
G1G 2
C 4 2 G4
G1G 2 G 4  sC 4



s
s
2
C1C 2
C2
sC 2
 C2
H ( s )  s C1C 2
（符号のみ反転）
G 2G3
C 3G 2
G 2G3 sC 3G 2
2
 2
s
1 2
s 
C1C 2
C1C 2
s C1C 2 s C1C 2
Vout  (
18
全差動型RC２次フィルタ
C4a
C3a
R4a
R3a
C1a
Vinp
R1a
Vinn
R1b
- +
+ -
C2a
R2a
- +
+ -
Voutp
Voutn
R2b
C1b
C2b
R3b
R4b
C4b
C3b
19
[参考] OPA数の削減
• 2次RCフィルターは、実はOPA１個でも実現できる
• ディスクリート回路設計(市販OPAを使った回路)では、な
るべく少ないOPA数で必要な伝達関数を実現するため、
別の考え方をしている（電子回路第1を参照）
– サレン・キー回路、インピーダンス変換回路など
– ただし、OPA数を削減した回路は、素子パラメータが少ないため、
伝達関数と回路定数の関係が複雑になり、パラメータ設定の自
由度は少ないので（伝達関数の各係数を独立には設定できな
い）。集積回路では、本節のような構成法が一般的
20
RC回路の問題点
• RC回路（アクティブ・フィルタ）は、RCによる時定
数（R*Cは単位がsecなので時定数と呼ばれる）を
使用
– RとCの絶対精度が要求される
– RおよびCのトリミングが容易なディスクリート回路で多
用される
– 集積回路中では、R,Cの絶対値は最悪10%程度の誤
差を含むため伝達関数の高精度化が困難
– 高精度化のためにはディジタル補正（トリミング）回路と
その設定を記憶する不揮発性メモリを組み込んでおく
必要がある
21
４．４節のまとめ
• s変数のブロック図は、下記の置き換えによりRC
アクティブフィルタとして実現される
–
–
–
–
積分→OPA積分回路
電圧-電流変換→抵抗によるV-I変換
微分→容量によるV-I変換
加算→電流加算
• RCアクティブフィルタは、RCにより伝達関数の定
数が決定される
– RとCの絶対値の精度が高くないと、高精度な伝達関
数を実現できない
22