組合せデザイン

理
工
学
部
情
報
科
学
科
宮
本
研
究
室
組合せデザイン
符号・暗号の数理
COMBINATORIAL DESIGNS AND THEIR APPLICATIONS
z
研究テーマ
z
組合せデザインって ？
「3人組で対戦するゲーム（ダイヤモンドゲームなど）を７人で
組合せデザインの構成
遊びたい．皆が公平に対戦できる（自分以外の人とは必ず1回ず
組合せ配列の構成
つ対戦し，各人は3回のゲームを行う）ような組合せを考えなさ
光直交符号の構成
い．」というような問題は，離散数学の分野で組合せデザイン
有限幾何の組合せ構造
の研究 と呼ばれています．では，どのように構成できるのでしょうか？
‥など
有限射影平面と組合せデザイン
７人を左の図の各頂点にとり，対戦する組を直線と考
えてみましょう．各頂点はちょうど３本の直線に含ま
れ，どの２つの頂点もちょうど１つの直線に含まれて
いることがわかります．このような組合せ構造は位数
が２の射影平面と呼ばれています．ちょうど上の問題
の答えになっていますね！
光ファイバーを用
いた通信で，重なり
合った信号から自分
宛てのものだけを取
り出したい．そんな
ときに使えるのが光
代数系と組合せデザイン
直交符号です．光直
交符号を射影平面上
の直線を用いて構成
する方法を発見しま
した．
♥
♣
♦
♠
♦
♠
♥
♣
♠
♦
♣
♥
♣
♥
♠
♦
では次に７人の人を0から6までの数字で表現してみ
ましょう．このとき対戦する組をブロックと呼び，各
ブロックの要素が対戦するメンバーとなります．右の
B1 , . . . , B7 がブロックの集合で，B1 の各要素に１ずつ
加えると，他のブロックが巡回的に表現できます．少
し難しくなりますが，B1 の２つの要素の差を考えて
みると法7の下で0から6までのすべての数字が1回ず
つ出現するという差集合と呼ばれる代数的性質を持っ
ていることがわかります．
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
=
=
=
=
=
=
=
{0, 1, 3}
{1, 2, 4}
{2, 3, 5}
{3, 4, 6}
{4, 5, 0}
{5, 6, 1}
{6, 0, 2}
実験計画法と組合せデザイン
J
Q
K
A
K
A
J
Q
A
K
Q
J
Q
J
A
K
実験計画法は，実験によってデータを獲得する前の計画のための統
計的手法です．例えば，農業実験で小麦の７種の品種の収量を比較
したいとしましょう．広大な農地に適当に植えて，収量を測るので
は，日照条件や土壌条件がそろわず正確な判断が下せません．そこ
で農地を７つのブロックに分け，さらに各ブロックを3つのプロッ
トにわけ品種を作付けします．この割り付け方に上記のブロックを
用います．各ブロックごとに環境条件が圴一になるように管理する
と，品種の効果をより精度を高く推定することができます．