計測工学講義 第3回目 担当：西野信博 A3

計測工学講義
第3回目
担当：西野信博
A3-012号室
[email protected]
プラズマ実験装置NSTX(Princeton)
1
目
次
• 前回演習の答え
• 第一章 誤差論
– ヒストグラム、極限分布、確率分布
– 正規分布と最も確からしい値
– 推定と検定
• 正規分布から派生する分布
– 誤差の伝播
2
演習 １
• ある円柱の長さをものさしで10回測っ
たら､右のような結果を得た.
• 確率99％で真値の入る区間を推定せ
よ.必要なら､以下の数式と数字を使
用してよい.最後に有効数字３桁としな
さい.


x
z1    x 
z1
n
n
正規分布表からz1＝2.5758
s
s
x
t1    x 
t1
n 1
n 1
ｔ分布表からｔ1＝3.2498
測定回数 測定値
1
10.15
2
9.85
3
9.75
4
9.9
5
10.35
6
9.9
7
9.7
8
10.2
9
10.05
10
10.15
平均値
標準偏差
10
0.201246
3
演習 １ の 解答例
• ポイント：母分散が指定されていない（＝未知）ので、t分布を
使用する。
• よって、
• 表から平均値は10.0であり、自由度は９（＝10-1）である。
• 自由度９のｔ分布の信頼水準99％のｔ値は3.2498と与えられて
いるので、
s
s
x
t1    x 
t1
n 1
n 1
• より、答えを有効数字3桁で表すと 9.78    10.22
• これを間違えて、正規分布を使用すると多少計算が面倒にな
るが、 9.84    10.16
T分布より範囲が狭くなる理由を考えよ
4
前回までの授業の流れ
• これまでは，
• 第１回で、誤差論の基礎として，誤差の定義，代表的な誤差
について説明し，誤差論が確率・統計を利用することを勉強し
た。そして，ヒストグラムから確率分布関数を導いた。
• 第2回では，その応用として，点推定と区間推定の勉強をした。
• そこで，今回は，残りの検定について勉強する。
5
検定
•
検定とは、ある量に関して仮説を立て、次に、その仮説が正しい
かどうかをデータから推し量ることである。
•
基本的な考え方は、前回の推定と同様で、変量の従う確率分布
がわかっているか、あるいは、確率分布も（暗に）仮定して、ある
基準を仮説が満たすかどうかを判定する。
（日本語が多少ややこしいので注意すること）
仮説(統計的仮説)とは、母集団の分布に関する何らかの仮定の
こと。
仮説を採択するか棄却するかの判断基準を、危険率または、有
意水準と言い、通常、１％か５％である。
推定と同様100％の判断はない。
•
•
•
•
6
説明
• 一つの仮説の下で、ある事象が起こる確率がある値α以下で
あった。
• ところが、標本値を下に計算した結果、その事象が起こること
になる確率がαより大きい場合は、もとの仮説を間違いとして、
棄却する。
• 逆に、その事象が起こる確率がα以下であるなら、仮説が正し
かったとして、その仮説を採択する。
• すなわち、「仮説が採択される」ことは、「仮説が正しい」ことで
はない。「仮説が正しくないとはいえない」と言う意味となる。
• 仮説 H が正しいのに採択しなかった(第一種の誤り)
• 対立仮説 H が正しいのに、もとの仮説 H を採択した(第二種
の誤り)
7
代表的な検定の例
• 検定にも、推定と同様によく使用される例がある。以下に一部
を紹介する。
• 母平均の検定
– 母分散が既知の場合
– 母分散が未知の場合
• 母分散の検定
• 母分散の比の検定
• 母平均の差の検定
8
母平均の検定
• 母分散σ2が既知の場合
母平均の推定と同様に正規分布の応用
• 正規分布の母集団から､大きさnの標本x1～xnをとる．確
率変数 X は，正規分布(μ，σ2/n)に従う.
• Z   X    n /  の変換でZは正規分布(0,1)に従う.
9
母平均の検定（母分散が既知）
•
•
•
•
例題 1
ある工場のボルト製品25個の長さを調べたところ、平均50.１
mmであった。
これと同じ規格のボルトの全国の平均値は50.0mmである。
このボルトの分布が偏差0.25mmの正規分布に従っているとき、
この工場のボルトの長さが全国平均と比べてかけ離れている
かどうか有意水準（危険率）5％で検定せよ。
10
例題の解答例
• 仮説を「平均値が50.0mm」ととる。
X  50.1,   50.0,   0.25, n  25
• を正規分布(μ，σ2/n)に代入して、
Z  (50.1  50.0)  25 / 0.25  2.0
•
•
•
•
•
正規分布表より、5％の棄却域はZ１=1.96
標本のZはこのZ1より大きく棄却域である。
よって、この工場のボルトは、
有意水準（危険率）5％で、大きくかけ離れている
と判断できる。
11
正規分布表
• 外側の面積が与えられている場合が便利
12
演習 ２
• 前回の問題で、有意水準（危険率)が2％なら結論はどう
なるか。数字を用いて説明せよ。参考までに、下表は前
頁の正規分布表である。また、Z=2.0であった。
13
代表的な検定の例
• 母平均の検定
– 母分散が既知の場合
– 母分散が未知の場合
• 母分散の検定
• 母分散の比の検定
• 母平均の差の検定
14
母平均の検定（母分散が未知）
•
•
母分散が未知である場合の母平均の検定を説明する。
使用すべき確率分布は、母分散が未知の推定と同一で、t分布
である。
s
s
x
t1    x 
t1
n 1
n 1
•
•
例題
母平均が5.4である正規母集団から10個標本を無作為抽出し
て（10回独立に測定），標本平均7.6，標本分散15.3を得たとす
る．さて，このような結果が出る確率は1%より小さいか？
15
母分散が未知であるt分布を使用
• ｔ分布表で自由度=10-1=9でα=0.01のところを読むと，
t=3.2498である．
n=9,α=0.01で、t=3.2498
• 一方､ｎ=10，μ=5.4，s2=15.3からs=3.912
T   X   n 1 / S
• に代入して，t=1.69
• t値1.69は､-3.2498と3.2498の間になるので､1%以上ある.
16
代表的な検定の例
• 母平均の検定
– 母分散が既知の場合
– 母分散が未知の場合
• 母分散の検定
• 母分散の比の検定
• 母平均の差の検定
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母分散の検定
• 母分散が従う確率分布であるχ２分布を利用する
•母分散の検定の仕方
•左図で、斜線部が棄却域でこの
範囲に入れば棄却する。
χ2分布の例、n=4
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
Tn(Z)
•ある計測で得られた測定値(標
本)から、それらが正規分布に従
っているとして、母分散＝σ２であ
ると言う仮説を有意水準(=危険
率とも言う)αで検定する。
0.1
面積α/2
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
2
Zlow
4
6
Z
8
10
Zhigh
18
例題
• 工場で生産している規格品のボ
ルトを適当に抽出して、その長さ
を計ったら表のようになった。
• もし、ボルトの長さが正規分布し
ているなら、その母分散が0.25で
ある仮説を有意水準0.05で検定
せよ。
No.1
No.2
No.3
No.4
No.5
No.6
No.7
No.8
平均値
分散
50 .1
49 .8
50 .2
49 .9
5 0.15
49 .8
50 .2
4 9.85
50
0 .2 2 5
19
χ2分布表
• 左図はχ2分布を数値
計算して作成した表で
ある.
• 斜線の部分の面積が
ある値α(行)のときの自
由度n(列)とχ2(表)の値
が示されている.
20
χ2分布を利用
• Z=ｎS2/σ2は、自由度７＝（８－１）のχ2分布に従う。
• 有意水準0.05では、0.025（=0.05/2）と0.975（=1-0.05/2）の
面積の横軸の値が必要。
• 数表を利用して、Zlow=1.690 、Zhigh=16.013
• 測定値からは、Z=ｎS2/σ2＝８ｘ0.225÷0.25=7.2
• このZの値は、棄却域に入っていない。
• よって、有意水準0.05では母分散=0.25の仮説は棄却でき
ない。
• ちなみに、Z=7.2を棄却域とするαは約0.25である(両側の
面積の和)。
• すなわち、有意水準0.3ではこの仮説は棄却される。
21
推定と検定のまとめ
• 母平均の推定・検定
– 母分散が既知の時、正規分布を利用
– 母分散が未知の時、t分布を利用（あるいは、F(1,n)分
布）（スチューデント分布ともいう）
• 母分散の推定・検定
– χ2分布を利用
• 母分散の比の推定・検定 (講義ではしていない)
– F分布を利用
22
誤差の伝播
•
•
•
色々な測定量を組み合わせて，必要な量を算出する場合がある.
– 例えば、直方体の体積を求めるときに、各々の辺の長さを計り、
その積を出す時などである.
– こういう場合、各々の測定量である辺の長さの誤差は最終的
な体積の誤差にどのように影響するのであろうか?
一般に，ｎ個の独立な測定量x1～xnから、それらの関数である
Q(x1,x2,･･,xn)という量を決定する場合､各x1～xnの誤差はどのよう
にQに影響するかであろうか？
この影響の伝わり方を誤差の伝播という。
– 伝播とは伝わり広まること
23
Qの誤差の考え方
•
今､各測定量x1～xnの誤差をδx1～δxnとすると、Qの誤差
δQは、Qの全微分の式より
Q
Q
Q
dx 2   
dx n
dQ 
dx 1 
x1
x 2
x n
•
であるから､Qの誤差は
Q
Q
Q
δQ 
δx 1 
δx 2   
δx n
x n
x 1
x 2
•
•
ところで、数学的には上式は正しいが、誤差論に使うにはまず
いことがある.
それは､なぜか？
24
誤差論での認識
•
なぜなら､誤差は正負の値を持つので､互いに打ち消しあう場合
が出てくる．
• そこで、 δQ 
Q
Q
Q
δx n
δx 2   
δx 1 
x n
x 2
x 1
• 各測定量が正規分布でばらついていれば（すなわち､各測定量
の確率変数が正規分布に従う時)
• Qの分散は
2
σQ
2
2
2
 Q 
 Q 
 Q 
2
2
2
 σ 1  
 σ 2    

 
σn
 x1  x  x1
 x 2  x  x 2
 x n  x  xn
• で与えられる．(正規分布の重ね合わせの原理より)
25
誤差の伝播の式
• この誤差の分散の式を「誤差の伝播」の式という。
2
σQ
•
•
2
2
2
 Q 
 Q 
 Q 
2
2
2







σ1  
σ2  
σn



 x1  x  x1
 x 2  x  x 2
 x n  x  xn
実際の測定に関して重要なことは，δQの式から，各誤差の項
目をなるべく同じ大きさにするの方が、誤差を減らす効率が良い
ことが判る。
もっと判りやすく云うと，誤差の大きい項から測定方法を改善す
るのが効果的である.
– この考えを経営に生かすとVAやトヨタ生産方式となる。
26
誤差等分の原則
•
•
すなわち、各項目の分散の寄与を等しくする。
この原則(これは､測定の思想である)に基づいて､考えると､
2
2
2
 Q 
 Q 
 Q 
1 2
2
2
2
σ1  
σ2    
σ n  σQ




n
 x1  x  x1
 x2  x  x 2
 xn  x  x n
•
となるのが誤差の観点からは理想的な計測ということになる.この
考え方を「誤差等分の原則」（principle of equal effect）という．
•
では､実際にどのように利用するか見てみよう.
27
例題
• 円柱の体積Vは、底辺の直径D、高さLとして、
D 
V  L    LD 2
4
2
2
• もし、体積を２％の精度で測りたい場合､底辺の直径と高さは
それぞれ何％の精度で測るのが良いと思うか？
• 誤差の等分を使用して答えよ．
28
例題の答え
2
σQ
2
2
2
 Q 
 Q 
 Q 
2
2
2






σ


σ

σ


1
2
n





 x n  x  xn
 x 2  x  x 2
 x1  x  x1
• 上の式で、QVとして、 Vにおける誤差の伝播を計算する
V 
 LD
D 2
V  2
 D
L 4
• を考慮すると､
V
2
  V    L   2 D 
 V    L   D 
 


 
2
• よって、
 2 


2
  D   L   LD   D 2
4

2

2
2
2
2
29
誤差の等分を使用する
•
1  V 
  L   2 D 

 
  

L
D
V
2

 



2
∴
2
1 V 




2 V 
 L 
• よって、   
L
2
D

 D
誤差の等分
1  V 


V 
 2 2

• として測るのが､合理的である．
• よって､答えは
– Lが1.4％、Dが0.71％以内の精度である．
– 精度=精密さ=誤差の表現である。
– 第一回目の授業で、精密さと正確さの違いを理解した。
30
Qが測定値の積の形の場合 １
• いま求めたい変量Qが各測定値ｘ1-ｘnのべきの積の形である
場合、
Q  x x x
y1 y 2
1
2
yn
n
Q
 yi x1y1 x2y 2  xiyi 1  xnyn
xi
• すると、各測定値の誤差の分散は
2
 Q 
y 2

  Q
x
 xi 
2
i
2
i
2
yi2
1  Q 
 2
  2
Q  xi 
xi
31
Qが測定値の積の形の場合 ２
• 誤差の伝播をQ2で割って、
  ln Q  2
 Q 
2   xi 
  xi   yi 


  
i  xi 
i
 Q 
 xi 
2
2
2
• よって、Qが測定値の積の形で表されるなら簡便にでき、
• 誤差の等分は、
  xi 
1  Q 
yi 
  

x
n
Q


 i 
2
2
2
• すなわち、各測定値の誤差は全誤差の
1
とする。
yi n
32
演習
•
•
円錐の体積を求める時に、高さと底辺の直径を測って求めるこ
とを考える。
体積の誤差(=精度)を２％以内にしたければ、それぞれの長さを
測るときに、下記の問に答えよ。
1. 誤差等分の考えからは、それぞれの長さを何％の精度で計る
必要があるか？
2. 長さを測る計器が同じとすると、各辺の長さの誤差も同一となる。
この時、１の答えは変わるか？変わる場合は、どう変わるか？
33