岩澤主予想の保型形式による証明

岩澤主予想の保型形式による証明
栗原 将人 (東京都立大・理)
0
Introduction
現在のところ、岩澤主予想の証明は大きく分けて 2 つ知られている．
Euler 系を使うものと保型形式に伴う表現を使うものである．どちらも証
明のための証明といったものではなく、円分体の研究を大きな文脈の中で
とらえられるという点で、岩澤理論の研究に深い示唆を与えるものである
と私には思われる．
岩澤主予想は Mazur と Wiles によって最初に証明された ([5])．論文
を見て頂ければわかるが、150 ページに及ぶ大論文 (序文を読むだけで
大論文を書こうという意気込みがわかる) のほとんどが modular 曲線の
Arithmetic に費やされている．しかしながら、その後肥田理論ができた
ことにより、かなりの部分が簡略化されることになった．ここでは、主に
Wiles [13] に基づき、岩澤主予想の証明を述べる．青木氏の稿と同様に、
最も簡単な Q(µp∞ ) の場合を述べる．また、その前に Ribet の定理 [9]
についても詳しく解説する．
Notation
この解説では、p は常に奇素数であるとする．代数体 K に対し、AK で
K のイデアル類群の p 成分 (p Sylow 部分群) を表すことにする．正の整
数 n に対し、µn は 1 の n 乗根の群を表す．GQ = Gal(Q/Q) を有理数
体の絶対 Galois 群とし、Q の p の外不分岐な最大の拡大の Galois 群を
GQ,p と書く．κ : GQ −→ Z×
p を円分指標 (1 の p 巾乗根への作用) とし、
×
κ : GQ,p −→ Zp など円分指標から導かれる写像もすべて κ と書く．ω を
i
Teichmüller 指標とし、Zp [Gal(Q(µp )/Q)] 加群 M に対し、M ω で M
の ω i 成分 (cf. 尾崎氏の稿) を表す．
1
Herbrand-Ribet の定理
保型形式に伴う 2 次の表現を不分岐 abel 拡大の構成という 1 次の問
題に使おうというアイディアは既に Serre (や Swinnerton-Dyer) の論文
1
に現れているようにも思われる (Serre [10], [11] 参照)．しかしながら、こ
の考え方をはっきりと使って、岩澤主予想証明への突破口を作ったのは、
Ribet による Herbrand の定理の逆の証明 [9] であった．
1.1. 定理の statement とその精密化
Theorem 1.1 (Herbrand-Ribet) k を 2 ≤ k < p − 1 をみたす偶数とす
るとき、
1−k
p | Bk ⇐⇒ AωQ(µp ) 6= 0
(1)
が成立する．ここに、Bk は Bernoulli 数である．
Riemann zeta 関数の値を使って書き換えると、上は、
1−k
ω
6= 0
p | ζ(1 − k) ⇐⇒ AQ(µ
p)
(2)
と書き直せる (このとき k の範囲は正の偶数でよいことに注意しておく)．
Ribet の定理は左から右が得られる、という部分であり (右から左が導
かれることが Herbrand の定理)、我々はこれを 1.3 で証明する．
さて、尾崎氏の稿にあるように、この式の右側をもっと詳しく知りたい
と考えると、
1−k
#AωQ(µp ) = #(Zp /B1,ωk−1 )
という精密化が (岩澤主予想から) 得られるが、左側 (すなわちゼータの
値) が大事だと考えると次の定理が得られる．
X = limAQ(µpn )
←
とおき、γ を Gal(Q(µp∞ )/Q(µp )) の生成元として、以下固定する．岩澤
主予想からは次も得られる．
Theorem 1.2 k を 2 ≤ k < p − 1 をみたす偶数とするとき、
#X ω
1−k
/(γ − κ1−k (γ)) = #(Zp /Bk ).
(3)
もう少し一般に、k を 2 ≤ k, p − 1 6 | k をみたす偶数とすれば、
#X ω
1−k
/(γ − κ1−k (γ)) = #(Zp /ζ(1 − k))
が成立することにも注意しておく．
Z[1/p] の etale (Galois) cohomology H 2 (Z[1/p], Zp (k))(= H 2 (GQ,p , Zp (k)))
を考えると、(limH 2 (Z[1/p, µpn ], Zp (k)))Gal(Q(µp∞ )/Q) = H 2 (Z[1/p], Zp (k))
←
より、
Xω
1−k
/(γ − κ1−k (γ)) = H 2 (Z[1/p], Zp (k))
2
(4)
となるので、Theorem 1.2 は Lichtenbaum 予想の特別な場合であると
みなせる (H 1 (Z[1/p], Zp (k)) = 0 に注意する)．H 2 (Z[1/p], Zp (k)) が
K2k−2 (Z) ⊗ Zp と同型であるという Quillen の予想を認めれば、
#K2k−2 (Z) ⊗ Zp = #(Zp /ζ(1 − k))
を述べていると考えてもよい．1.4 では、岩澤主予想を使わずに、(3) の
(左辺) ≥ (右辺) を証明する．このことはまた、(3) の左辺の群の元が、す
べて保型形式から作られることも意味する．
1.2. 保型形式についての基本的なこと
k を正の偶数とし、Mk (C) で重さ k 、SL2 (Z) に対する保型形式全体
を表すとする．すなわち、
f ∈ Mk (C) とすると、f は上半平面で正則で、
Ã
!
a b
k
∈ SL2 (Z) に対し、f ( az+b
cz+d ) = (cz + d) f (z) をみたし、また
c d
n
2πiz ) と表される．Eisenstein series
f = Σ∞
n=0 an q (q = e
∞
X
1
σk−1 (n)q n ∈ Mk (C)
Gk = ζ(1 − k) +
2
n=1
(ここに σk−1 (n) = Σd|n dk−1 ) が存在していることが我々にとっては大変
重要である．(以上については Serre「数論講義」など参照.)
n
Theorem 1.3 f = Σ∞
n=1 an q を重さ k の cusp form で、a1 = 1, Hecke
作用素 T` たちの eigenform になっているとする．F を Qp に an たちを
添加して得られる体とすると、[F : Qp ] < ∞ であり、
(1) (Deligne [1]) p の外不分岐な既約表現
ρf : GQ,p −→ GL2 (F )
で、p 以外のすべての素数 ` に対して、Tr(ρf (Frob` )) = a` 、det(ρf (Frob` )) =
`k−1 をみたすものが存在する．ここに、Frob` ∈ GQ,p は ` での Frobenius
写像．
(2) (Mazur-Wiles [6]) f が p で ordinary (p は ap を割らない) であると
すると、表現の基底を適当に取りかえれば、GQ,p の p での分解群 Dp へ
の制限は、
!
Ã
κk−1 ²1 ∗
ρf |Dp =
0
²2
²1 , ²2 は不分岐指標、となる．
1.3. Ribet の定理の証明
1.3, 1.4 では、[4] §3 の方針で進み、まず Ribet の定理を証明する (cf.
also [2])．まず、もう少し保型形式についての基本的なことを続ける．Z
3
n
上の cusp form の空間を Mk0 (Z) = {Σ∞
n=1 an q | an ∈ Z for all n > 0}
0
で定義し、任意の環 R に対し、Mk (R) = Mk0 (Z) ⊗Z R と定義する．
Mk0 (Z) に作用する Hecke 作用素 T` を考え、Hecke 環 T を Z 上すべ
ての T` (` は素数) で生成される End(Mk0 (Z)) の部分環とする．T ∈ T
と f ∈ Mk0 (Z) に対し、T f の q の係数を対応させることのより、perfect
pairing T × Mk0 (Z) −→ Z が得られる．
さて、k を Theorem 1.1 の通り (2 ≤ k < p − 1 なる偶数) とし、
ordp (Bk ) = n > 0
とする．ζ(1 − k) = −Bk /k より、Gk mod pn は mod pn cusp form であ
る (Gk mod pn ∈ Mk0 (Z/pn ))．もし、Gk mod pn が標数 0 の cusp form
で eigenform になるものに持ち上がるなら、何の苦労もない．このときは、
1−k
ω 1−k
直ちに Aω
Q(µp ) の非自明な元が作れる (以下の議論参照)．しかも AQ(µp )
が巡回群であることも直ちにわかる (この巡回性は Vandiver 予想からは
導かれるが、一般に正しいかどうかを信じている人と信じていない人が両
方いるような微妙な問題である)．したがって、このような eigenform の
存在を仮定するわけにはいかない (もっとも、計算されている範囲の例で
はいつでも n = 1 だからこのような eigenform は存在しているのだが)．
そこで、Eisenstein ideal というものを考える．Gk mod pn の存在と上の
perfect pairing から T −→ Z/pn (T` 7→ 1 + `k−1 ) なる環準同型が得られ
るが、Eisenstein ideal I を T` − (1 + `k−1 ) たちで生成される T のイデ
アルと定義すると、次が得られる．
'
Lemma 1.4 T` 7→ 1 + `k−1 により、(T/I) ⊗ Zp −→ Z/pn は同型になる．
m を p と I で生成される T ⊗ Zp の極大イデアルとし、T ⊗ Zp の m
進完備化を TE と書く．I = ITE とおく．上から、TE /I ' Z/pn である．
TE ⊗ Qp の各 eigenform 成分に対応する Theorem 1.3 の表現をあわ
せて、
ρTE : GQ,p −→ GL2 (TE ⊗ Qp )
で、p 以外のすべての素数 ` に対して、Tr(ρTE (Frob` )) = T` 、det(ρTE (Frob` )) =
`k−1 をみたすものができる．この表現を与える GQ,p の作用をもつ加群
Ã
!
を (TE ⊗ Qp )e1 ⊕ (TE ⊗ Qp )e2 とする．また、ρTE (σ) =
a(σ) b(σ)
c(σ) d(σ)
と書く．
Lemma 1.5 a(σ) ≡ κk−1 (σ) (mod I), d(σ) ≡ 1 (mod I).
b, c の像で生成される TE ⊗ Qp の中の TE 加群を IB , IC と書くことに
する．IB , IC はもちろん基底の取り方によるが、次は成り立つ．
4
Lemma 1.6 IB IC = I.
M = (TE /I)e1 ⊕ (IC /IIC )e2 とおく．Lemmas 1.5, 1.6 により M に
は GQ,p が作用し、また Lemma 1.6 より
0 −→ IC /IIC −→ M −→ TE /I −→ 0
(5)
なる GQ,p 加群の完全系列が存在する．ここに、Lemma 1.5 より IC /IIC
には GQ,p が自明に作用し、TE /I には GQ,p が κk−1 で作用する．
F を M/p への GQ,p の作用の核に対応する体であるとする．作り方か
ら、F (µp )/Q(µp ) は非自明な Abel p 拡大であり、Gal(F (µp )/Q(µp )) に
Gal(Q(µp )/Q) は ω 1−k で作用する．また、作り方から F (µp )/Q(µp ) は
p の外不分岐である．一方、Theorem 1.3 (2) より c|Dp = 0 であるから、
Dp 加群として (5) は分裂している．したがって、F (µp )/Q(µp ) は p で
1−k
も不分岐である．以上により、Aω
Q(µp ) 6= 0 となる．
1.4. Ribet の定理の精密化
完全系列 (5) はもっと詳しい情報をもっているので、もう少し進もう．
Lemma 1.7 #(IC /IIC ) ≥ pn .
証明には Fitting ideal というものを使う．一般に R 加群 M に対し、
f
Rm −→ Rn −→ M −→ 0
という R 加群の完全系列があるとき、線型写像 f に対応する R 係数の行
列 A を考え、A の n 次の小行列式全体で生成される R のイデアルを M の
Fitting ideal とよび、FittR (M ) で表す．この定義は上の完全系列のとり
方によらない．定義から、I を R のイデアルとすると FittR/I (M/IM ) =
FittR (M ) mod I となる．また、M が有限 Zp 加群のとき、単因子論に
より FittZp (M ) = (#M ) である．この二つの性質は上の Lemma の証明
に使われる．
Lemma 1.7 の証明. c は各 eigenform 成分で 0 でないので、FittTE (IC ) =
0．したがって、上で述べた性質 FittR/I (M/IM ) = FittR (M ) mod I を
使うと、FittTE /I (IC /IIC ) = 0．Lemma 1.4 より TE /I ' Z/pn なので、
FittZ/pn (IC /IIC ) = 0 となるが、これは FittZp (IC /IIC ) ⊂ (pn ) を導く．
かくて、上で述べた性質 FittZp (M ) = (#M ) により結論を得る．
M への作用からできる体を考えると、1.3 と同じに考えて、Galois 群
が IC /IIC の分だけ、不分岐拡大ができている．かくて、
#X ω
1−k
/(γ − κ1−k (γ)) ≥ #IC /IIC ≥ pn
5
が出る．あるいは次のように考えてもよい．
、M (1 − k) を考える ((1 − k)
は Tate twist) と、完全系列 (5) から、M (1 − k) は TE /I = Z/pn の
extension を与えているので、IC /IIC だけ H 1 (Z[1/p], Z/pn (1 − k)) の
元ができるが、これらは local には分裂するので、
# Ker(H 1 (Z[1/p], Z/pn (1−k)) −→ H 1 (Qp , Z/pn (1−k))) ≥ #IC /IIC ≥ pn
となる．ここで、左辺は Tate Poitou の双対定理により H 2 (Z[1/p], Z/pn (k))
と同型なので、
#H 2 (Z[1/p], Zp (k)) ≥ #H 2 (Z[1/p], Z/pn (k)) ≥ pn
となる．いずれにせよ、Theorem 1.2 の (左辺) ≥ (右辺) が出る．
Theorem 1.2 の (左辺) ≤ (右辺) は、Euler 系の議論からも出るし、岩澤
主予想を最初に証明しておけば、そこからもちろん出る．ここで、Theorem
1.2 と上の考察を合わせると、次が得られる．
Theorem 1.8 X ω
1−k
/(γ − κ1−k (γ)) ' H 2 (Z[1/p], Zp (k)) ' IC /IIC .
1−k
つまり、X ω /(γ −κ1−k (γ)) の元はすべて保型形式から得られる (Serre
予想は、有限体への 2 次の既約表現で odd なものは必ず modular であ
ると述べているが、可約なイデアル類群の元を作るようなものも、上の
ような意味では必ず保型形式から得られるのである)．また、この定理は
Euler 系の議論 (青木氏の稿参照) とはまったく異なる方面からイデアル
1−k
類群 (岩澤加群) の構造についての情報を与えている．上から、X ω
が
∞
Zp [[Gal(Q(µp )/Q(µp ))]] 加群として cyclic であることは、IC が TE 加
群として cyclic であることと同値だから、
Corollary 1.9 X ω
1−k
が cyclic ⇐⇒ IC ' TE
この判定条件は、Euler 系の議論から得られる cyclicity の判定条件と
は明らかに異質のものである. (たとえば、TE が離散付値環なら、この
条件は自動的にみたされている.) cyclicity の判定条件でもっと詳しいも
のについては、[4] 参照．もっと詳しく調べるためには、⊗Qp する前の
Galois 表現をその構成から見る必要がある (etale cohomology で構成する
にせよ level が p 巾の modular 曲線の Jacobian の等分点で構成するに
せよ)．Eisenstein cohomology class の理論を使って (⊗Qp する前の) 表
現をさらに詳しく調べることもできる (cf. Harder-Pink [2])．
2
岩澤主予想の証明
岩澤主予想を証明するためには、1.4 で示した不等式を岩澤理論の文脈
で証明すればよい (肥田理論を使うことになる)．ここでは Wiles [13] に
6
従うが、Ohta [7], [8] ではより簡明に証明されていることに注意しておく
(Eisenstein cohomology class を使って、Galois 表現についてのより詳し
い情報もわかる)．
この節では §1 の記号と同じ記号を別の意味で使うことがあるので、注
意する．この節については Wiles [13], [12] を参照．まず、肥田理論にお
ける Λ-adic form とそれに伴う大きな Galois 表現について簡単な場合に
述べる．Λ = Zp [[T ]] とおく．局所体の整数環 O に対し、ΛO = O[[T ]] と
書く．F = Σan q n (an ∈ ΛO ) が level N の Λ-adic form であるとは、任
意の k ∈ Z≥2 , ζ: 1 の原始 pr 乗根に対し、Fk,ζ = Σck,ζ (an )q n が level
N pr , 重さ k の保型形式ということ、とする．ここに、ck,ζ : ΛO −→ O[ζ]
は T 7→ ζκ(γ)k−2 − 1 で定義される写像.
以下では k を 2 < k < p − 1 をみたす偶数とする．我々がこの節で使
う Eisenstein series は次の Λ-adic form
∞ X
X
1
Gk = gk (T ) +
(
ω k−2 (d)(1 + T )i(d) d)q n
2
n=1 d|n
である．ここに、i(d) ∈ Zp は < d >= d/ω(d) = κ(γ)i(d) で定義される
元、gk (T ) は gk (κ(γ)s − 1) = Lp (−1 − s, ω k ) をみたす巾級数 (∈ Λ) であ
る (Lp (∗, ω k ) は Kubota Leopoldt の p 進 L 関数．上で、Lp (1 − s, ω k )
ではないことに注意しておく)．
Λ×
O に値を持つ指標 χ̃ を使って、Λ-adic form には自然に指標 χ̃ の
Λ-adic form という概念が定義される．上の Gk は指標 (ω k−2 )∼ : n 7→
ω k−2 (n)(1 + T )i(n) の Λ-adic form である．
level が p 巾、指標 (ω k−2 )∼ の ordinary な Λ-adic cuspform の空間へ
の Hecke 作用素 T` を考え、Λ = Zp [[T ]] 上 T` たち全体で生成される環
を T と書く．T` − (1 + (ω k−2 )∼ (`)`) たちと gk (T ) で生成される T のイ
デアルを I と書く (Eisenstein ideal)．Lemma 1.4 に対応して、
Theorem 2.1 (Wiles) T/I ' Λ/(gk (T )).
次に、Hida による大きな Galois 表現について (level が p 巾のときに)
述べる [3]．F = Σan q n (an ∈ ΛO ) を指標 χ̃, level p 巾の Λ-adic cuspform
で、ordinary かつ Hecke 作用素について eigenform になっているものと
する．
Theorem 2.2 (1) (Hida) p の外不分岐な既約表現
ρF : GQ,p −→ GL2 (Frac ΛO )
で、p 以外のすべての素数 ` に対して、Tr(ρf (Frob` )) = a` , det(ρf (Frob` )) =
χ̃(`)` をみたすものが存在する．ここに、Frac ΛO は ΛO の商体．
7
(2) (Mazur-Wiles [6]) 適当に基底を取りかえれば、GQ,p の p での分解群
Dp への制限は、
Ã
!
²1 ∗
ρf |Dp =
0 ²2
²2 は不分岐指標、となる．
以上のように、§1 とまったく同じ状況にあるので、同じ議論が使える．
θ を Λ の既約な単多項式とする．T の素イデアル p で、局所化 Tp が
Tp /ITp ' Λθ /(gk (T )) をみたすものをとる (Λθ は Λ の θ で生成される
素イデアルでの局所化)．TE = Tp , I = ITp とおく．上の表現から、
ρTE : GQ,p −→ GL2 (TE ⊗ Frac Λ)
が得られる．IB , IC を §1 と同様に定義すると、同じ方法で、
IB IC ⊂ I
が得られる．M を M = (TE /I)e1 ⊕ (IC /IIC )e2 と §1 と同様に定義する．
ここで、Lemma 1.7 の証明と同様にして、
FittΛθ (IC /IIC ) ⊂ (gk (T ))
(6)
が得られる．一方、(5) の型の完全系列を考えると、TE /I には GQ,p は
(ω k−2 )∼ κ で作用し、IC /IIC には自明に作用するから、不分岐 abel 拡
大 L/Q(µp∞ ) で、その Galois 群が IC /IIC と同型で、円分体の Galois 群
Gal(Q(µp∞ )/Q) が次のように作用しているものが作れる．Gal(Q(µp∞ )/Q) =
Gal(Q(µp )/Q) × Gal(Q(µp∞ )/Q(µp )) と考えて、Gal(Q(µp )/Q) は ω 1−k
で作用し、Gal(Q(µp∞ )/Q(µp )) の固定していた生成元 γ は、κ(γ)−1 (1 +
1−k
T )−1 で作用する．1+T ↔ γ という対応により Λ を Zp [[Gal(Q(µp∞ )/Q)]]ω
と同一視する．上のような作用をもつ Λθ 加群を (IC /IIC )∗ と書くと、上
の (6) から、FittΛθ ((IC /IIC )∗ ) ⊂ (gk (κ(γ)−1 (1 + T )−1 − 1)) が得られ
る．ここで、gk (κ(γ)−1 (1 + T )−1 − 1) は
gk (κ(γ)−1 (1 + T )−1 − 1)|T =κ(γ)s −1 = Lp (s, ω k )
をみたすので、尾崎氏の稿にある f (T, ω k ) に他ならない．つまり、f (T, ω k )
を f (κ(γ)s −1) = Lp (s, ω k ) をみたす Λ の元とすると、FittΛθ ((IC /IIC )∗ ) ⊂
(f (T, ω k )) となる．L/Q(µp∞ ) は不分岐なので、
Xω
1−k
⊗ Λθ −→ (IC /IIC )∗
なる Λθ 加群の全射ができたことになる．そこで上の議論により、
FittΛθ (X ω
1−k
⊗ Λθ ) ⊂ (f (T, ω k ))
8
が得られた．Abel 体については µ = 0 だから (田谷氏の稿参照)、上がす
べての θ に対して得られることから、
FittΛ (X ω
1−k
) ⊂ (f (T, ω k ))
(7)
も得られ、両者の λ 不変量を類数公式を使って比較することにより
FittΛ (X ω
1−k
) = (f (T, ω k ))
(8)
alg
が得られる (左辺の λ 不変量を λ1−k 、右辺の λ 不変量を λan
1−k と書くと、
alg
an
Σ0<k<p−1,2|k λ1−k = Σ0<k<p−1,2|k λ1−k が Iwasawa によって類数公式を
alg
使って証明されている．そこで (7) のような包含関係からは λ1−k = λan
1−k
1−k
1−k
が導かれ、(8) が得られる)．FittΛ (X ω ) = char(X ω ) だから、
char(X ω
1−k
) = (f (T, ω k ))
となり、岩澤主予想が証明された．
[13] では総実代数体上で岩澤主予想を証明しているので、µ = 0 が使え
ないこと、trivial zero の扱い、基礎体が偶数次のときの表現の構成など
たくさんの困難があり、それらを乗り越えている．
また、有理数体上の楕円曲線に対する岩澤主予想 (Mazur によって定式
化された) が、最近 Skinner と Urban により、この方法の類似 (楕円曲線
に伴う 2 次の表現を扱うためにある 4 次の表現を考える方法) を使って
研究され、進展していることを remark しておく．
参考文献
[1] Deligne, P., Formes modulaires et représentations `-adiques, Sém.
Bourbaki Exposé 355, Lecture Notes in Math 179, Springer (1971),
139-172.
[2] Harder, G. and Pink, R., Modular konstruierte unverzweigte
abelsche p-Erweiterungen von Q(µp ) und die Struktur ihrer Galoisgruppen, Math. Nachr. 159 (1992), 83-99.
[3] Hida, H., Galois representations into GL2 (Zp [[X]]) attached to ordinary cusp forms, Invent. math. 85 (1986), 545-613.
[4] Kurihara, M., Ideal class groups of cyclotomic fields and modular
forms of level 1, J. Number Theory 45 (1993), 281-294.
[5] Mazur, B. and Wiles, A., Class fields of abelian extensions of Q,
Invent. math. 76 (1984), 179-330.
[6] Mazur, B. and Wiles, A., On p-adic analytic families of Galois representations, Compos. Math. 59 (1986), 231-264.
9
[7] Ohta, M., Ordinary p-adic étale cohomology groups attached to
towers of elliptic curves, Compos. Math. 115 (1999), 241-301.
[8] Ohta, M., Ordinary p-adic étale cohomology groups attached to
towers of elliptic curves II, Math. Ann. 318 (2000), 557-583.
[9] Ribet, K., A modular construction of unramified p-extensions of
Q(µp ), Invent. math. 34 (1976), 151-162.
[10] Serre, J.-P., Une interprétation des congruences relatives à la fonction τ de Ramanujan, Sém. Delange-Pisot-Poitou 1967/68 Exposé
14, Collected Papers II, 498-511.
[11] Serre, J.-P., Congruences et formes modulaires (d’après H. P. F.
Swinnerton-Dyer), Sém. Bourbaki 1971/72 Exposé 416, Collected
Papers III, 74-88.
[12] Wiles, A., On ordinary λ-adic representations associated to modular
forms, Invent. math. 94 (1988), 529-573.
[13] Wiles, A., The Iwasawa conjecture for totally real fields, Ann. of
Math. 131 (1990), 493-540.
10